解 0—1 规划的隐枚举法

(5)解 0—1 规划的隐枚举法

解 0—1 规划的隐枚举法有其独特的工作程序，具体过程如下。

a.模型转化为求极小的问题

b.变量替换。极小问题模型的目标函数中所有变量系数为负的0—1变量，可利用变量替换x k=1－x'k (x'k是引入的新的0—1变量)，将目标函数中所有变量系数化为正数。

c.目标函数中变量按系数大小排列，约束条件中变量排列顺序也相应调整。

d.按目标函数值由小到大的顺序依次排列可能的解，并予以可行性检验。

e.发现求极小问题的最优解并停止。

f.转化为原问题的最优解。

例4 用隐枚举法求解下列0—1规划问题

Max Z=3x1＋2x2－5x3－2x4＋3x5

x

＋x2＋x3＋2x4 ＋x5≤4

1

7x1 ＋3x3－4x4＋3x5≤8

11x1－6x2 ＋3x4 ＋5x5≥3

x

=0, 1, j=1, 2, 3, 4, 5.

j

解：

①转化为求极小的问题

Min Z=－3x1－2x2＋5x3＋2x4－3x5

－x1 －x2－x3－2x4 －x5≥－4

－7x1 －3x3＋4x4－3x5≥－8

11x1 －6x2 ＋3x4 ＋5x5≥3

x

=0, 1, j=1, 2, 3, 4, 5.

j

②令x'1=1－x1, x'2=1－x2, x'5=1－x5, 带入极小问题模型中，得

Min Z=3 x'1＋2 x'2＋5x3＋2x4＋3 x'5－8

x'

＋x'2－x3－2x4 ＋x'5≥－1

1

7x'1 －3x3＋4x4＋3x'5≥2

－11x'1 ＋6x'2 ＋3x4－5x'5≥－7

x

=0, 1, j= 3, 4; x'j =0, 1, j= 1, 2, 5.

j

③目标函数中变量按系数大小排列，约束条件中变量排列顺序也相应调整，得Min Z=5x3＋3 x'1＋3 x'5＋2 x'2＋2x4－8

－x3＋x'1 ＋x'5＋x'2－2x4 ≥－1 ①

－3x3＋ 7x'1 ＋3x'5 ＋4x4≥2②

－11x'1 －5x'5＋6x'2 ＋3x4≥－7 ③

x

=0, 1, j= 3, 4; x'j =0, 1, j= 1, 2, 5.

j

④按目标函数值由小到大的顺序排列可能的解，并予以可行性检验。计算表格如下

表4.1

⑤最优解为x'5=1, x'1=x'2=x3=x4=0.

⑥所以原问题的最优解为：x1=x2=1, x3=x5=x4=0 （注意：x'1=1－x1, x'2=1－x2, x'

=1－x5）.

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