复变函数试题及标准答案

二．判断题（每题3分，共30分）1．n z z

(在0=z解析。【】

f=

z

)

2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。【 】 3．z e z f =)(是周期函数。【 】

4． 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【 】 5． 设级数∑∞

=0

n n c 收敛，而||0

∑∞

=n n c 发散，则∑∞

=0

n n n z c 的收敛半径为1。

【 】

6． 1

tan()z

能在圆环域)0(||0+∞<<<

8．如果函数)(z f =ω在0z 解析，那末映射)(z f =ω在0z 具有保角性。

【 】

9．如果u 是D 内的调和函数,则

y

u i x u f ∂∂-∂∂=

是D 内的解析函数。

【 】10．2122

3

3||||2

2

1

1

12|2(1)

1z z z z dz dz i i z z z z ππ==

=

=

==--⎰

⎰

。【 】 三．（8分）y e v px sin =为调和函数，求p 的值，并求出解析函数

iv u z f +=)(。

四．（8分） 求())

2)(1(--=z z z

z f 在圆环域21<

洛朗展开式。

五．（8分）计算积分dx x x x ⎰∞

+∞-++5

4cos 22。

六．（8分）设⎰

-++=C

d z

z f ξ

ξξξ1

73)(2，其中C 为圆周3||=z 的正向，求

(1)f i '+。

七．（8分）求将带形区域})Im(0|{a z z <<映射成单位圆的共形映射。 复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分)

1.3ln 2i k e +-π；

2. 三级极点 ；

3. 23z ；

4. 0 ；

5. 0 ；

6. e

1 ；

7. 3

22)1(26+-s s ；8. 0；

9. 0 ；10.

)]2()2()

2(1)2(1[21++-+++-ωπδωπδωωj j 。 二.判断1.错；2.错；3.正确； 4. 错 ；5.正确 ；6.错； 7.错 ；8. 错 ；9. 正确 ；10. 错 。 三(8分) 解: 1)在2||1<

11000111111

()()(()())()21222

n n n n n n n n z z f z z z z z z z z +∞∞∞

+====-=--=-+--∑∑∑-----4

分

2) 在1|2|z <-<∞

2

111111

()(1)(1)(1)122122(2)(2)(1)

2

n

n n f z z z z z z z z ∞+==+=+=+---+----+-∑--4

分

四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故

]

2,54[Re 25422i z z e s i dx x x e iz

ix +-++=++⎰∞

+∞-π

--------3分 )2sin 2(cos 54))2((lim 222i e

z z e i z i iz i z -=+++--=+-→π

π --------6分 故 2cos 254Re 254cos 222e dx x x e dx x x x ix π

=++=++⎰⎰∞+∞-∞

+∞- ---------8分 五

.(8

分

)

解

:

22

371

()()C

f z d z ξξξξ++'=

-⎰

-------3分

由于1+i 在3||=z 所围的圆域内, 故

i C

i d i i f +='++=+-++=+'⎰122

2|)173(2))1((1

73)1(ξξξπξξξξ)136(2i +-=π -------8

分

六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到

λ

λ

π

π

θ

--=z

a z

a

i e e

e z

f )( (映射不唯一,写出任何一个都算对)

七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换:

1

3)(3))0()(()0()0()(`2+=

--+'--s s Y y s sY y sy s Y s 代入初始条件,得3

21

13

)(2-+++=s s s s Y --------4分

)1)(3(1

)1)(3)(1(3-++-++=s s s s s 3

81185143

++-++-

=s s s 故, t t t e e e t y 38

18543)(--++-= ---------8

分(用留数

做也可以)

复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)

一.填空(各3分)1.3ln 2i k e +-π ；2. 三级极点 ；3. 23z ； 4. 0 ；5. 0 ；6. e

1 ；7. 1cos 1sin - ；8. 0 ；9. 0 ； 10. 0。

二.判断1.错；2.错；3.正确 ；4. 错 ；5.正确 ；6.错 ；7.错 ；8. 错 ；9. 正确 ；10. 错 。

三.(8分) 解:因为y e v px sin =是调和函数,则有

02

222=∂∂+∂∂y v

x v ,即

sin )1(sin sin 22=-=-y e p y e y e p px px px 故

1±=p ---------2

分

1) 当 1=p 时, y e v x sin =, 由

C-R 方程,

y e y v x u x cos =∂∂=∂∂, 则)(cos ),(y g y e y x u x +=, 又由 y e x

v

y g y e y u x x sin )(sin -=∂∂-='+-=∂∂，故 0)(='y g , 所以c y g =)( 。 则

c e z f z +=)( ----------3分