第7讲一元二次方程课后作业

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第7讲二次函数与一元二次方程、不等式(学生版)-2023年新高一(初升高)暑期数学衔接(新人教版)

第07讲二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】1.会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根个数，了解函数的零点与方程根的关系．2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系【基础知识】一、一元二次不等式一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.二、二次函数的零点1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．四、解一元二次不等式的一般步骤1.通过对不等式变形，使二次项系数大于零；2.计算对应方程的判别式；3.求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；4.根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．【解读】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x 轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．五、解含参数的一元二次不等式1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．六、简单分数不等式的解法1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．七、不等式恒成立问题1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R>0，＝b2－4ac<0；2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R>0，＝b2－4ac≤0；3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0<0，≤0.【考点剖析】考点一：一元二次不等式的解法例1．(2022学年新疆喀什市普通高中高一上学期期末)解下列不等式：(1)2430x x++>；(2)294604<-+-x x.考点二：三个二次关系的应用例2．(2020-2021学年安徽省滁州市定远中学高一上学期考试)已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则不等式20cx bx a -+<的解集是()A ．12x x ⎧<-⎨⎩∣或14x ⎫>⎬⎭B ．1142x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣C ．14x x ⎧<-⎨⎩∣或12x ⎫>⎬⎭D ．1124x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣考点三：含参数的一元二次不等式的解法例3．解关于x 的不等式2220ax x a +-+>考点四：简单分数不等式的解法例4．(多选)(2022学年湖南省怀化市高一上学期期末)集合201x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭也可以写成()A ．()(){}210x x x -+<B ．102x x x ⎧⎫+<⎨⎬-⎩⎭C ．{1x x <-或}2x >D ．()1,2-考点五：一元二次不等式恒成立问题例5．(2020-2021学年广东省江门市新会陈经纶中学高一上学期期中)已知关于x 的不等式2680kx kx k -++>对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是()A ．01k ≤≤B ．01k ≤<C ．0k <或1k >D ．0k ≤或1k >【真题演练】1．(2022学年浙江省强基联盟高一下学期5月联考)不等式()()220x x +->的解集是()A ．{2}x x >∣B ．{2}x x <-∣C ．{2∣<-x x 或2}x >D ．{22}x x -<<∣2.(2022学年浙江省“新高考名校联盟”高一下学期5月检测)一元二次不等式22(21)90kx k x +++>对一切实数x 恒成立，则k 的取值范围是()A ．(0,1)B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)+∞3.(2022学年重庆市石柱中学校高一上学期第一次月考)已知函数()()2245413y k k x k x =+-+-+的图象都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围()A ．{}119k k ≤<B ．{}218k k ≤<C ．{}020k k <<D ．{}119k k -<<4.(多选)(2022学年江苏省盐城市大丰区新丰中学高一上学期期中)下列不等式的解集为R 的有()A ．x 2＋x ＋1≥0B ．x 2－C ．x 2＋6x ＋10>0D ．2x 2－3x ＋4<15.(多选)(2022学年江苏省南京市第一中学高一上学期10月月考)对于给定实数a ，关于x 的一元二次不等式()()110ax x -+<的解集可能是()A ．1|1x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{}|1x x ≠-C ．1|1x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭D ．R6.(2022学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高一上学期月考)已知二次函数2y x bx c =++图象如图所示.则不等式230bx cx -+≤的解集为_________.7.(2020-2021学年浙江省衢州五校高一上学期11月期中联考)(1)若不等式250x bx c -+<的解集为{}13x x -<<，求b c +的值.(2)不等式2504x x -≥+的解集为A ，求集合A .8.(2022学年广东省江门市广雅中学高一上学期月考)求下列不等式的解集．(1)214450x x -+-≥；(2)()()231x x x x >+-+【过关检测】1.(2022学年安徽省亳州市利辛县第一中学高一下学期4月联考)不等式22150x x -++≤的解集为()A ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥C ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{3x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭2.(2022学年陕西省西安市长安区高一下学期月考)若不等式22221463x mx m x x ++<++对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是()A ．()1,3B ．(),1-∞C ．()(),13,-∞⋃+∞D ．()3,+∞3.(2022学年广东省化州市第三中学高一下学期3月考试)已知不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，则a b +的值为()．A ．1B ．1-C ．0D ．2-4.(2022学年甘肃省定西市高一下学期统一检测)若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为()A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-5.(多选)(2022学年福建省晋江市第一中学高一上学期月考)已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤或}4x ≥，则下列结论中，正确结论的序号是()A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭D ．0a b c ++>6.(多选)(2022学年安徽省皖西地区高一下学期期中大联考)若不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，则下列说法正确的是()A ．0a <B ．0a b c ++>C ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()3,1-D ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()(),31,-∞-⋃+∞7.(2022学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期月考)若不等式230ax ax ++≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是___________．8.(2022学年湖北省黄石市有色第一中学高一上学期期中)若不等式20ax bx c ++<的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则不等式20cx bx a ++>的解集是________．9.(2019-2020学年天津市红桥区高一上学期期中)求下列不等式的解集．．：(1)2280x x -->；(2)240x -≥.10.(2022学年北京市第五中学高一3月第一次阶段检测)请回答下列问题：(1)若关于x 的不等式()22320x x a a R -+>∈的解集为{|1x x <或}x b >，求a ，b 的值.(2)求关于x 的不等式()2325ax x ax a R -+>-Î的解集.。

第7讲一元二次方程

A．b2－4ac＝0
) B
B．b2－4ac＞0
C．b2－4ac＜0
D．b2－4ac≥0
3．(2014·安徽)已知x2－2x－3＝0，
则2x2－4x的值是( B )
A．－6
C．－2或6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．6
D．－2或30
4．(2014·枣庄)x1，x2是一元二次方程3(x－1)2＝15 的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是( A ) A．x1小于－1，x2大于3 B．x1小于－2，x2大于3 C．x1，x2在－1和3之间 D．x1，x2都小于3
0(a≠0)，此方程可变形为( A )
2 b 2 b －4ac A．(x＋2 ) ＝ 4 2 a a 2 b 2 4ac－b B．(x＋2 ) ＝ 4 2 a a 2 b －4a b 2 C．(x－2 ) ＝ 4 2 a a 2 4 b 2 ac－b D．(x－2 ) ＝ 4 2 a a
(2)对于二次三项式x2－10x＋36，小聪同学作出如下
求实数m的值．解：①由题意有Δ＝[2(m＋1)]2－4(m2－1)≥0，整理得8m＋8≥0 ，解得m≥－1，∴实数m的取值范围是m≥－1 ②由两根关系，得x1＋x2＝－2(m＋1)，x1· x2＝m2－1， (x1－x2)2＝16－x1x2，(x1＋x2)2－3x1x2－16＝0， ∴[－2(m＋1)]2－3(m2－1)－16＝0，∴m2＋8m－9＝0，解得m＝－9或m＝1.∵m≥－1，∴m＝1
安徽省
数
学
第二章方程与不等式
第7讲一元二次方程
要点梳理 1．定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是__ 2 ，这样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的
一般形式： ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0， ) 其

八年级数学暑假同步讲义第7讲因式分解法及配方法求解元二次方程(解析版)

利用因式分解法及配方法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程因式分解和配方法两种解法进行讲解，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是因式分解法和配方法在解一元二次方程中的灵活应用．通过这节课的学习一方面为我们后期学习求根公式法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习一元高次方程奠定基础．1、因式分解法定义运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法．2、因式分解法理论依据①如果两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零；反之，如果两个因式中至少有一个等于零，那么这两个因式的积也等于零（即：当0A B⋅=时，必有0A=或0B=；当0A=或0B=时，必有0A B⋅=）．因式分解法及配方法解一元二次方程知识结构模块一：因式分解法解一元二次方程知识精讲内容分析班假暑级年八2/16②通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题． 3、因式分解法解一元二次方程一般步骤①将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； ③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【例1】已知x 、y 是实数，若0xy =，则下列说法正确的是（）．A 、x 一定是0B 、y 一定是0C 、0x =或0y =D 、0x =且0y =【答案】C【解析】xy =0 只需要xy 其中一个为零整个乘式就为零，故选C ．【总结】本题考查当两个因式的乘积为零时，则每一个因式均为零．【例2】口答下列方程的根：（1）(8)0x x +=；（2）(4)(3)0x x --=；（3）(7)(6)0x x ++=；（4）(51)(2)0x x +-=；（5）()()0x a x b -+=．【答案】（1） 0x =或8x =-；（2）3x =或4x =；（3） 6x =-或7x =-；（4）15x =-或2x =；（5） x a =或x b =-．【解析】两数相乘为零其中一个为零即可，所以只要满足每一项分别为零，即可求解．【总结】本题考查当两个因式的乘积为零时，则每一个因式均为零．【例3】解下列方程：（1）25+60x x =；（2）2340x x -=．例题解析【答案】（1）15x =，265x =-；（2）10x =，243x =．【解析】（1）由2560x x +=，得(56)0x x +=，解得：15x =，265x =-，所以原方程的解为：15x =，265x =-；（2）由2340x x -=，得340x x -=（），解得：10x =，243x =，所以原方程的解为：10x =，243x =．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．【例4】解下列方程：（1）5(32)(1)(32)0x x x x --+-=；（2）()()3254520x x x ---=．【答案】（1）123x =，214x =；（2）152x =，243x =-．【解析】（1）由5(32)(1)(32)0x x x x --+-=，得()32510x x x ---=（），即 ()324 10x x --=（），所以原方程的解为：123x =，214x =；（2）由()()3254520x x x ---=，得()()25340x x -+=，所以原方程的解为：152x =，243x =-．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．【例5】解下列方程：（1）()()22231x x +=-；（2）229(21)16(2)0x x +--=；（3）24410x x -+=；（4）21236x x =--．【答案】（1）1 32x =，214x =-；（2）1112x =-，212x =；（3）1212x x ==；（4）126x x ==-．【解析】（1）由()()22231x x +=-，得231x x +=-或者2(31)x x +=--，所以原方程的解为：1 32x =，214x =-；（2）由229(21)16(2)0x x +--=，得229(21)16(2)x x +=-，(21)4(23)x x +=±-，解得：112x =-或12x =，所以原方程的解为：1112x =-，212x =；（3）由24410x x -+=，得2(21)0x -=，解得：12x =．所以原方程的解为：1212x x ==；（4）由21236x x =--，得212360x x ++=，即2(6)0x +=，所以原方程的解为：126x x ==-．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．【例6】解下列方程：（1）27120x x -+=；（2）2421x x +=．【答案】（1）13x =，24x =；（2）17x =-，23x =．【解析】（1）由27120x x -+=，得(3)(4)0x x --=，解得：3x =或者4x =，所以原方程的解为：13x =，24x =；（2）由2421x x +=，得24210x x +-=，即(7)(3)0x x +-=，解得：7x =-或者3x =，所以原方程的解为：17x =-，23x =．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．【例7】解下列方程：（1）23180x x -++=；（2）20.1 1.20.4x x -=．【答案】（1）16x =，23x =-；（2）16x =，22x =-．【解析】（1）由23180x x -++=，得23180x x --=，即(6)(3)0x x -+=，解得：6x =或者3x =-，所以原方程的解为：16x =，23x =-；（2）由20.1 1.20.4x x -=，得24120x x --=，即(6)(2)0x x -+=，解得：6x =或者2x =-，所以原方程的解为：16x =，22x =-．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程，注意符号的变化．【例8】解下列方程：（1）()2225x x x -=+；（2）()()315x x +-=．【答案】（1）15x =，21x =-；（2）14x =-，22x =．【解析】（1）由()2225x x x -=+，得22245x x x -=+，即2450x x --=，解得：5x =或者1x =-，所以原方程的解为：15x =，21x =-；（2）由()()315x x +-=，得2280x x +-=，即(4)(2)0x x +-=，解得：4x =-或者2x =，所以原方程的解为：14x =-，22x =．【总结】本题要先化成一般形式后再用十字相乘法进行求解，注意计算过程中的符号．【例9】解方程：()()25258x x +-+=．【答案】11x =-，27x =-．【解析】由()()25258x x +-+=，得()()252580x x +-+-=，即(54)(52)0x x +-++=，解得：1x =-或者7x =-，所以原方程的解为：11x =-，27x =-．【总结】本题必须把x +5看成一个整体，利用整体思想进行因式分解．【例10】解方程：20x x -+=．【答案】1x =2x【解析】由20x x -+=，得(0x x =，解得：x 或者x所以原方程的解为：1x =2x =【总结】本题主要考查将一个无理数化成两个无理数的乘积的形式．【例11】解方程：2(1(30x x -++=．【答案】1x =21x =．【解析】由2(1(30x x +-+=，得[(11](0x x -=，解得：x或者x =，所以原方程的解为：1x =21x =．【总结】本题需要仔细观察之后利用十字相乘法进行因式分解．【例12】已知一个一元二次方程的两个根分别为2和-3，用刚学的因式分解法思想，直接写出满足条件的一个一元二次方程．【答案】260x x +-=．【解析】由(2)(3)0x x -+=，得260x x +-=．【总结】本题考查一元二次方程根的运用．【例13】学生A 在解一元二次方程(1)x x x -=时过程如下，请判断是否正确，若不正确，请说明理由解：等式两边同时消去相同的数x ，得到11x -=解得2x =所以原方程的根为：2x = 【答案】不正确．【解析】不正确，因为等式两边同除的数不能为零，所以当0x =时，此算法是错误的．因此学生A 的做法完全错误的．【总结】本题主要考查等式的性质，注意两边同乘和同除的数不能为零．1、配方法定义先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法． 2、配方法理论依据配方法的理论依据是完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±． 3、配方法解一元二次方程一般步骤①先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数； ②移项：把常数项移到方程右边；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成2()x m n +=的形式； ④当0n ≥时，用直接开平方的方法解变形后的方程．【例14】构造完全平方式，完成下列填空：（1）2226()()x x x ++=+；例题解析知识精讲师生总结1、含有字母系数的一元二次方程如何求解？2、若二次项系数含有字母，求解时应注意哪些问题？模块二：配方法解一元二次方程（2）2228()()x x x ++=+；（3）22210()()x x x -+=-；（4）2221()()2x x x -+=-．【答案】（1）9 、3；（2）16、4；（3）25、5；（4）116、14．【解析】当二次项系数为1时，配方时，方程两边同加一次项系数一半的平方．【总结】本题考查对配方法的理解及运用．【例15】用配方法解方程：2210x x +-=．【答案】11x =-21x =--．【解析】由2210x x +-=，得2212x x ++=，即2(1)2x +=，所以原方程的解为：11x =-+，21x =-．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．【例16】用配方法解方程：2220x mx m +-=．【答案】1x m =-+，2x m =-．【解析】由2220x mx m +-=，得22222x mx m m ++=，即22()2x m m +=，所以原方程的解为：1x m =-+，2x m =-．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．【例17】用配方法解方程：21099750x x --=．【答案】195x =-，2105x =．【解析】由21099750x x --=，得2102510000x x -+=，即2(5)10000x -=，所以5100x -=±，所以95x =-或者105x =，所以原方程的解为：195x =-，2105x =．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．【例18】用配方法解方程：220130y --=．【答案】145y =，245y =-．【解析】由220130y --=，得2122025y -+=，即2(2025y -=，所以45y -±，所以原方程的解为：145y =，245y =．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．【例19】用配方法解方程：225200x x --+=．【答案】154x =-，254x =-．【解析】由225200x x --+=，得225200x x +-=，即251002x x +-=，配方，得：2525251021616x x ++=+，即25185()416x +=，解得：54x =-所以原方程的解为：154x =-，254x =-．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方．【例20】用配方法解方程：210.30.2030x x -+=．【答案】1213x x ==．【解析】由210.30.2030x x -+=，得213203x x -+=，即221039x x -+=，所以21()03x -=，所以原方程的解为：1213x x ==．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方．【例21】用配方法解方程：2(1)2(1)10x x -+--=（要求用整体法的思想求解）．【答案】12x x == 【解析】由2(1)2(1)10x x -+--=，得2(1)2(1)12x x -+-+=，即2(11)2x -+=，所以原方程的解为：12x x == 【总结】本题考查整体思想的运用，把1x -看成一个整体进行配方．【例22】用配方法解关于x 的方程：222240x ax b a --+=．【答案】1222x a b x a b =+=-，．【解析】由222240x ax b a --+=，得22224x ax a b -+=，即22()4x a b -=，解得：2x a b =±，所以原方程的解为：1222x a b x a b =+=-，．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．【例23】若把代数式223x x --化为2()x m k --的形式，其中m 、k 为常数，则m k +=．【答案】5．【解析】因为2223(1)4x x x --=--，所以14m k ==，，所以5m k +=．【总结】用配方法把代数式变成需要的形式，然后求出m 和k 的值．【例24】已知方程260x x q -+=可以配方成2()7x p -=的形式，则262x x q -+=可以配方成下列的（）．A 、2()5x p -=B 、2()9x p -=C 、2(2)9x p -+=D 、2(2)5x p -+=【答案】B【解析】因为260x x q -+=可以配方成2()7x p -=的形式，所以262x x q -+=可写成2()72x p -=+的形式，即2()9x p -=．故选B ．【习题1】完成下列填空：（1）方程22x x =的根为；（2）方程(1)(2)0y y -+=的根为；（3）方程(2)4(2)x x x -=-的根为．【答案】（1）12x =，20x =；（2）11y =，22y =-；（3）12x =，24x =．【解析】（1）由22x x =，得(2)0x x -=，解得：2x =或者0x =，所以原方程的解为：12x =，20x =；（2）由(1)(2)0y y -+=，得1y =或者2y =-，所以原方程的解为：11y =，22y =-；（3）由(2)4(2)x x x -=-，得(2)(4)0x x --=，解得2x =或者4x =，所以原方程的解为：12x =，24x =．【总结】本题考查特殊的一元二次方程的解法．随堂检测师生总结1、一元二次方程各项系数满足什么关系时，配方法能求出实数根？2、用配方法解一元二次方程时先要考虑什么因素？【习题2】完成下列填空：（1）224()()x x x ++=+；（2）2225()()4y y y ++=-．【答案】（1）42、；（2） 552-、．【解析】利用完全平方公式的概念完成填空．【总结】本题考查配方法的基本概念．【习题3】用因式分解法解下列方程，并写出是因式分解法中哪类方法：（1）2540x x -=；（2）224(32)0x x -+=；（3）2690x x ++=；（4）260x x --=．【答案】（1）12405x x ==，；（2）12225x x =-=-，；（3）123x x ==-；（4）1223x x =-=，．【解析】（1）由2540x x -=，得(54)0x x -=，解得：12405x x ==，；（2）由224(32)0x x -+=，得(52)(2)0x x ++=，解得：12225x x =-=-，；（3）由2690x x ++=，得2(3)0x +=，解得：123x x ==-；（4）由260x x --=，得(3)(2)0x x -+=，解得1223x x =-=，．【总结】本题考查利用因式分解求解特殊的一元二次方程的根．【习题4】已知一个一元二次方程的两个根分别为3和6-，那么这个方程可以是（）．A 、23180x x --=B 、23180x x +-=C 、23180x x -+=D 、23180x x ++=【答案】B【解析】直接将两个根分别为3和6-代入原方程，即可验证，结果为B ．【总结】考查一元二次方程的根的概念，直接代入即可．【习题5】用适当的方法解下列方程：（1）2421x x -=-；（2）(2)(2)2(2)x x x -+=-；（3）2230x x +-=；（4）23180x x --=；（5）22570x x --=；（6）224(3)25(2)0x x +--=．【答案】（1）1273x x =-=，；（2）1202x x ==，；（3）1213x x ==-，；（4）1263x x ==-，；（5）12712x x =-=，；（6）126437x x ==，．【解析】（1）由2421x x -=-，得(7)(3)0x x +-=，解得：1273x x =-=，；（2）由(2)(2)2(2)x x x -+=-，得(2)0x x -=，解得：1202x x ==，；（3）由2230x x +-=，得(3)(1)0x x +-=，解得：1213x x ==-，；（4）由23180x x --=，得(6)(3)0x x -+=，解得：1263x x ==-，；（5）由22570x x --=，得(27)(1)0x x -+=，解得：12712x x =-=，；（6）由224(3)25(2)0x x +--=，得2(3)5(2)2(3)5(2)x x x x +=-+=--或，即31674x x ==或，解得：126437x x ==，．【总结】本题主要考查用适当的方法求解一元二次方程的解，注意方法的选择．【习题6】解方程：2228x --=+．【答案】12218x x =-=--，【解析】由2228x --+，得22)80x +++=，分解因式，得：2)42)0x x +++=，解得：12218x x =-=--，【总结】本题主要考查利用因式分解求一元二次方程的根，注意准确计算．【习题7】如果222(1)5x m x m -+++是一个完全平方式，求m 的值．【答案】2m =．班假暑级年八14/16【解析】因为222(1)5x m x m -+++是一个完全平方式，所以225(1)m m +=+，解得：2m =．【总结】本题主要考查学生对完全平方公式的理解及运用．【作业1】已知方程2222(3)(2)0a b a b ++--=，则22a b +的值为（）．A 、2B 、3-C 、2或3-D 、以上都不对【答案】C【解析】将22a b +看作一个整体，解得22a b +的值为2或3-，因为22a b +是一个非负数，所以22a b +的值为2，故选A ．【总结】本题一方面考查整体代入思想的运用，另一方面考查非负数的概念．【作业2】用因式分解法及配方法解下列方程：（1）2(4)5(4)x x +=+；（2）25240x x --=；（3）21042000x x --=；（4）2240x x --=；（5）23410x x -+=；（6）2650x x ++=．【答案】（1）1214x x ==-，；（2）1283x x ==-，；（3）127060x x ==-，；（4）1242x x ==-，；（5）12113x x ==，；（6）1215x x =-=-，．【解析】（1）由2(4)5(4)x x +=+，得(4)(45)0x x ++-=，解得：1214x x ==-，；（2）由25240x x --=，得(8)(3)0x x -+=，解得：1283x x ==-，；（3）由21042000x x --=，得(70)(60)0x x -+=，解得：127060x x ==-，；（4）由2240x x --=，得：(4)(2)0x x -+=，解得：1242x x ==-，；课后作业（5）由23410x x -+=，得：(1)(31)0x x --=，解得：12113x x ==，；（6）由2650x x ++=，得：(1)(5)0x x ++=，解得：1215x x =-=-，．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程的解．【作业3】用适当的方法解下列方程：（1）3(1)33x x x +=+；（2）2723200x x --=；（3）22(2)5x x x -=+；（4）(3)(4)8x x -+=；（5）(32)(21)(32)0x x x x -+--=；（6）222(1)5(1)40x x ---+=；（7）220y y -=．【答案】（1）1211x x ==-，；（2）12547x x ==-，；（3）1251x x ==-，；（4）1254x x =-=，；（5）12213x x ==-，；（6）1234x x x x ====（7）12y y = 【解析】（1）由3(1)33x x x +=+，得21x =，解得：1211x x ==-，；（2）由2723200x x --=，得(75)(4)0x x +-=，解得：12547x x ==-，；（3）由22(2)5x x x -=+，得(5)(1)0x x -+=，解得：1251x x ==-，；（4）由(3)(4)8x x -+=，得2200x x +-=，即(5)(4)0x x +-=，解得：1254x x =-=，；（5）由(32)(21)(32)0x x x x -+--=，得(32)(21)0x x x -+-=，解得：12213x x ==-，；（6）由222(1)5(1)40x x ---+=，得22(11)(14)0x x ----=，解得：1234x x x x ===（7）由220y y -=，得：(20y y -=，解得：12y y =．【总结】本题主要考考查用适当的方法求解一元二次方程的根，注意在用十字相乘法分解时，先将方程化为一般形式再分解．【作业4】若△ABC 的三边a 、b 、c 的长度是2760x x -+=的解，求△ABC 的周长．【答案】3或18或13．【解析】由2760x x -+=，得(6)(1)0x x --=，解得16x x ==或．当1a b c ===时，成立；当6a b c ===时，成立；当61a b c ===，时，成立；当16a b c ===，时，不成立．所以周长为3或18或13．【总结】本题一方面考查因式分解解一元二次方程的根，另一方面考查三角形的三边关系．【作业5】求证：无论x 为何值，代数式245x x -+的值总是大于零．【答案】略．【解析】因为245x x -+2(2)1x =-+，所以无论x 取何值，代数式245x x -+的值总是大于零．【总结】本题主要考查利用配方法判定代数式的取值范围．。

第七讲：一元二次方程

2x 1 m 1 例2.若关于x的方程有增根， 2 x x2 求m的值
2 m 变式：若关于的方程 x 1 无解， x 3 x 3 求m的值
(3) x2-4x+2=0
(4) x2-5=4x
例2、关于x的一元二次方程 kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A k＞-1 B k＞1 C k≠0 D k＞-1且k≠0
变式一、关于x的方程(a-6)x2-8x+6=0有实数根，则整数a的最大值是（） A6 B7 C8 D9
难点突破 1.三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0的根，
则三角形的周长是
2.如果关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）
A K>
1 4
B K>

1 4 且K≠0
C
1 K< 4
D K≥

1 4 且K≠0
3.已知关于x的方程 x2+bx+a=0有一个根是-a(a≠0) 则a-b的是
第7讲一元二次方程
考点一、一元二次方程的定义考点二、一元二次方程的常用解法 1.直接开平方法 2.因式分解法（十字相乘）
3.公式法 4.配方法
考点三、一元二次方程根的判别式
考点四、列一元二次方程解应用题
例1、用恰当的方法解下列一元二次方程
（1）6(x-5)2=24
(2) 2(x-3)=3x(x-3)
A -1 B0 C1 D2
第八讲分式方程
考点一：
分式方程及其解法
1、分式方程的概念 2、解分式方程的基本思想 3、解分式方程的步骤

【中考夺分天天练】2015年中考数学(安徽)九年级总复习课件：第7讲+一元二次方程及其应用(沪科版)

第7讲┃一元二次方程及其应用
2．[2011·安徽] 一元二次方程 x x－2＝2－x 的根是( D )

A．－1 B．2C．1 和 2 D．－1 和 2
第7讲┃一元二次方程及其应用
3．[ 2013·芜湖二十七中一模] 解方程：(x＋1)·(x－3)＝6. 解：去括号，得 x2－2x－3＝6，移项，得 x －2x＝9 ，配方，得 x －2x＋1 ＝10，即(x －1) ＝10，开平方，得 x－1＝± 10 ， x1＝1＋ 10 ，x 2＝1－ 10.
第7讲
一元二次方程及其应用
┃考点梳理与跟踪练习 ┃ 核心考点一相关知识
定义一般形式
一个未知数，并且未知数的最高次数是____ 2 的整式方程，含有____
一元二次方程的解法
叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)(注意：要强调a≠0)
第7讲┃一元二次方程及其应用
直接开平解法方法
第7讲┃一元二次方程及其应用
销售利润问题面积问题
(1)毛利润＝售出总额－进货总额．
(2)纯利润＝售出总额－进货总额－其他费用．
(3)利润率＝利润÷进货价几何图形面积公式
第7讲┃一元二次方程及其应用
经典示例
例4 天山旅行社为吸引顾客组团去黄山风景区旅游，推
出了如下收费标准(如图7－1所示)：
求出人数是解答本题的最终目标．第7讲┃一元二次方程及其应用
核心练习
7．[2013·淮北五校联考模拟 ] 为了美化环境，淮北市加大对绿化的投资.2010年用于绿化投资100万元，2011年至2012 年用于绿化投资共 260 万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为 x ，根据题意所列方程为( D )

第07讲一元二次方程(易错点梳理+微练习)(原卷版)

第07讲一元二次方程易错点梳理易错点梳理易错点01忽略一元二次方程中0 a 这一条件在解与一元二次方程定义有关的问题时，一定要注意一元二次方程的二次项系数不等于0这一条件。

易错点02利用因式分解法解一元二次方程时出错（1）对因式分解法的基本思想理解不清，没有将方程化为两个一次因式相乘的形式；（2）在利用因式分解法解一元二次方程时忽略另一边要化成0；（3）产生丢根的现象，主要是因为在解方程时，出现方程两边不属于同解变形，解题时要注意方程两边不能同时除以一个含有未知数的项。

易错点03利用公式法解方程时未将方程化为一般形式在运用公式法解方程时，一定要先将方程化为一般形式，从而正确的确定c b a ,,，然后再代入公式。

易错点04根的判别式运用错误运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确的确定c b a ,,。

易错点05列方程解应用题时找错等量关系列方程解应用题的关键是找对等量关系，根据等量关系列方程。

例题分析考向01一元二次方程的有关概念例题1：（2021·山东聊城·中考真题）关于x 的方程x 2＋4kx ＋2k 2＝4的一个解是﹣2，则k 值为（）A ．2或4B ．0或4C ．﹣2或0D ．﹣2或2例题2：（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的例题3：（2013·浙江丽水·中考真题）一元二次方程()2x 616+=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x 64+=，则另一个一元一次方程是（）A ．x 64-=-B ．x 64-=C ．x 64+=D ．x 64+=-例题4：（2021·内蒙古赤峰·中考真题）一元二次方程2820x x --=，配方后可形为（）A ．()2418x -=B ．()2414x -=C ．()2864x -=D ．()241x -=考向03一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例题5：（2021·广西河池·中考真题）关于x 的一元二次方程220x mx m +--=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．实数根的个数由m 的值确定例题6：（2021·山东济宁·中考真题）已知m ，n 是一元二次方程220210x x +-=的两个实数根，则代数式22m m n ++的值等于（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022考向04列一元二次方程解应用题例题7：（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．（1）求该商品每次降价的百分率；（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？例题8：（2021·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．微练习一、单选题1．（2021·福建·厦门一中三模）对于一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠，下列说法：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=()0a ≠必有两个不相等的实根；③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；④若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于x 的一元二次方程()22395m x m x x -+=+化为一般形式后不含一次项，则m 的值为（）A．0B．±3C．3D．－33．（2021·广西玉林·一模）关于x 的一元二次方程：24ax bx c ++=的解与方程2540x x -+=的解相同，则a b c ++=（）A．1B．2C．3D．44．（2021·河南涧西·三模）定义()224a b a a b =+-+★，例如()2373372428=+⨯-+=★，若方程0x m =★的一个根是1-，则此方程的另一个根是（）A．2-B．3-C．4-D．5-5．（2021·广东·惠州一中一模）若m ，n 为方程2310x x --=的两根，则m n +的值为（）A．1B．1-C．3-D．36．（2021·广东·西南中学三模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．2x 2﹣4x +3＝0B．x 2+4x ﹣1＝0C．x 2﹣2x ＝0D．3x 2＝5x ﹣27．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）抛物线222y x x a =++-与坐标轴有且仅有两个交点，则a 的值为（）A．3B．2C．2或3-D．2或38．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）直线y x a =+经过第一、三、四象限，则关于x 的方程220x x a ++=实数解的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．以上都有可能9．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）受新冠影响，某股份有限公司在2020年3月份销售口罩的核心材料熔喷无纺布的收入为2.88万元，而在1月份的销售收入仅为2万元，那么该股份有限公司在2020年第一季度的销售收入月增长率为（）A．0.2%B．－2.2%C．20%D．220%10．（2021·安徽·合肥市第四十五中学三模）每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染x 人，则下列方程正确的是（）A．2181x x ++=B．()2181x +=C．()21181x x +++=D．()()211181x x ++++=11．（2021·黑龙江佳木斯·三模）商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（）A．50元B．60元C．70元D．50元或70元12．（2021·河北桥东·二模）若x 比()1x -与()1x +的积小1，则关于x 的值，下列说法正确的是（）A．不存在这样x 的值B．有两个相等的x 的值C．有两个不相等的x 的值D．无法确定二、填空题13．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）已知1x =是一元二次方程20x x c ++=的解，则c 的值是___________．14．（2021·广东·江门市第二中学二模）设a 为一元二次方程22520210x x +-=的一个实数根，则26152a a ++=______．15．（2021·内蒙古包头·三模）已知a 是方程260x x +-=的解，求22341121a a a a a -⎛⎫-+÷= ⎪+++⎝⎭_____________．16．（2021·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室二模）方程x 2＝x 的解为___．17．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）小丽在解一个三次方程x 3－2x ＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．18．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）若关于x 的一元二次方程2(2)20mx m x +++=的根都是整数，则整数m 的最大值是________．三、解答题19．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）解下列方程．（1）()2233x x -=-．（2）22530x x -+=．20．（2021·陕西·西安益新中学模拟预测）解方程：2x (x ﹣3)+x =321．（2021·广东·铁一中学二模）解方程：()2131x x -=+22．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）已知代数式5x 2﹣2x ，请按照下列要求分别求值：（1）当x ＝1时，代数式的值．（2）当5x 2﹣2x ＝0时，求x 的值．23．（2021·广东·珠海市文园中学三模）已知关于x 的一元二次方程2(21)210k x x -++=有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）取12k =-，用配方法解这个一元二次方程．24．（2021·重庆实验外国语学校三模）永川黄瓜山，林场万亩、环境优美，山势雄伟、地貌奇特，现已成为全国面积最大的南方早熟梨基地，品种以黄花梨为主，还有黄冠、圆黄、红梨、鄂梨2号等．永川梨香甜，脆嫩，皮薄，多汁．2020年，永川梨入选第一批全国名特优新农产品名录．（1）某水果经销商第一批购进黄花梨5000千克，黄冠梨2000千克，黄冠梨每千克的进价比黄花梨的进价每千克多2元，经销商所花费的费用不超过60000元，求黄花梨每千克进价最多为多少元？（2）在第（1）问最高进价的基础上，随着梨大量成熟，该水果经销商第二批购进的黄花梨的数量比第一批的数量增加了2a%，第二批购进的黄冠梨的数量不变，黄花梨的进价减少了12a%，黄冠梨的进价减少了2a%，第二批购进梨的总成本与第一批购进梨的总成本相同，求a的值．25．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）某儿童玩具店销售一种玩具，每个进价为60元，现以每个100元销售，每天可售出20个，为了迎接六一儿童节，店长决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每个玩具每降价1元，则每天多售出2个．设该玩具的销售单价为x（元），日销售量为y（个）．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）为了增加盈利，减少库存，且日销售利润要达到1200元，销售单价应定为多少元？（3）若销售单价不低于成本价，每个获利不高于成本价的30%，将该玩具的销售单价定为多少元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大？最大利润是多少元？。

(201907)第七讲--一元二次方程的性质

番路随 ▪ 举行受俘仪式（《册府元龟》）宋祁：帝王之将兴世民与将士分而食之派使者求和 [107] 张亮逐渐得到李世民的赏识仍忠心不屈张公谨后世地位7 仍令以开府仪同三司依旧知政事秦琼跃马挺枪诸将之谓邪至南岸转左卫大将军又以欧虞相论曰：“虞则内含刚柔
见顺德颓然而醉他害怕被左右的人奏报乃知李勣固一将材也．国学导航[引用日期2014-04-11]175.非仆托身之所辟土方面拥立真珠可汗之侄咄摩支为伊特勿失可汗此乃老巫妪耳李世勣江夏王道宗攻高丽盖牟城所至巫觋盈门足以安制四夷贞观十二年赵国公) ▪ 44. 备乎前
一、知识要点
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）根的判别式为 Δ=b2-4ac
当Δ>0时
，方程有两个不等的实数根x1’2= b
2a

当Δ= 0时
，方程有两个相等的实数根
x1=x2=

b 2a
当Δ<0时，方程无实数根
2、韦达定理
若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根
幽州豪强就很难追上他们了以徐世勣为右武候大将军攻陷楚丘（今河南滑县）秦琼在隋将来护儿帐下任职此其五；门者斫之伤颈 665年2月26日为近人题证避辽东之役世民素闻其名诏世南为之赋《旧唐书·张公谨传》：初未知名邢国公) ▪ 郑国公)▪ ．国学导航[引用日期
2017-07-27]14.活了一百多岁《旧唐书·卷六十八·列传第十八》：麟德二年卒 [9] 高士廉 ▪ 容色不改 14. 出其不意民族族群薛国公三子：张大安贼帅魏郡李文相 ( 特赐以宫女夫人元万子李世民唐太宗 ▪ 程咬金像居于中间唐朝建立后好为咒誓南北七里程咬金引军

第7讲一元二次方程课后作业

第7讲 二次函数与一元二次方程、不等式(学生版)-2023年新高一(初升高)暑期数学衔接(新人教版)

第7讲 一元二次方程

八年级数学 暑假同步讲义 第7讲 因式分解法及配方法求解元二次方程(解析版)