微积分大一上学期知识点
微积分大一上学期知识点
微积分大一上学期知识点微积分是数学的一个分支，主要研究函数的极限、连续性、可导性以及积分等概念和性质。
在大一上学期的微积分课程中，我们学习了许多重要的知识点。
本文将对这些知识点进行简要介绍，以帮助回顾和巩固我们所学的内容。
1. 极限与连续在微积分中，极限是一个基础且重要的概念。
我们研究函数在某一点上的极限，可以帮助我们理解函数在该点的趋势和性质。
极限的定义通常用到ε-δ语言，即对于任意给定的ε（大于0），存在与之对应的δ（大于0），使得当自变量x与该点的距离小于δ时，函数值f(x)与极限L的差的绝对值小于ε。
另外，我们还学习了一些常用的极限公式和性质，如极限的四则运算法则、一些基本函数的极限等。
连续性是函数的一个重要特性，它描述了函数在某一点上的无间断性。
我们学习了连续函数的定义与性质，以及常见的连续函数的例子。
如果一个函数在某一点上连续，并且在该点的左右两侧的极限存在且相等，那么该函数在该点处可导。
2. 导数与微分导数是微积分中的另一个基本概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
我们学习了导数的定义和计算方法，包括导数的极限定义、基本导数公式以及求导法则（如常数因子法则、和差法则、链式法则等）。
通过导数，我们可以求解函数的极值、最优化问题等。
微分是导数的另一种表达方式，它是函数在某一点处的线性近似。
微分的计算方法包括利用导数公式、微分中值定理等。
微分在物理学、经济学等领域有着广泛的应用，如速度、加速度的计算等。
3. 积分与定积分积分是微积分的核心内容之一，它是函数的反过程。
我们学习了不定积分和定积分两种积分的概念和计算方法。
不定积分是积分的基本形式，它是一个函数族。
我们了解了如何计算一些基本函数的不定积分，并学习了一些基本的积分表达式和求积分的方法，如换元积分法、分部积分法等。
定积分是对函数在一个区间上的积分运算，它代表了函数在该区间上的累积效应。
我们学习了定积分的定义和性质，掌握了定积分的计算方法，如定积分的几何意义与计算、定积分的线性性质、定积分的基本公式等。
大一微积分复习总结
微积分期中复习第一章 函数与极限一、函数1、数轴、区间、领域2、函数的概念：设有两个变量x 和y ，如果当某非空集合D 内任取一个数值时， 变量y 按照一定的法则(对应规律)f ，都有唯一确定的值y 与之对应，则称y 是x 的函数。
记作()y f x =，其中变量x 称为自变量，它的取值范围D 称为函数的定义域；变量y 称为因变量，它的取值范围是函数的值域，记作()Z f ，即(){|(),}Z f y y f x x D ==∈。
函数的表示：函数的表示有三种。
公式法、表格法和图示法。
3、函数的几种特性函数的有界性、奇偶性、单调性和周期性。
4、初等函数(1) 基本初等函数① 幂函数：y x μ=(μ为任意实数)， y kx b =+， 2y ax bx c =++ ② 指数函数：x y a =(0a >且1a ≠) ③ 对数函数：log a y x =(0a >且1a ≠)。
恒等式： log (0,1)a N a N a a =>≠ 换底公式： log log log c a c bb a=运算的性质：log log log a a a xy x y =+，log log log aa a yy x x=-。
④ 三角函数：sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x y x y x y x y x ======。
⑤ 反三角函数：arcsin ,arccos ,arctan ,cot y x y x y x y arc x ====。
(2) 反函数： (3) 复合函数： 5、常见的经济函数(1) 成本函数、收益函数和利润函数01()()C x C C x =+， ()()R x p x x =⋅，()()()L x R x C x =-。
(2) 需求函数与供给函数 (),()d d s s Q f p Q f p ==二、极限的概念与性质1、数列的极限 (1) 数列(2) 数列极限的定义 (3) 数列极限的几何意义 2、函数的极限(1) 当自变量x →∞时函数()f x 的极限 (2) 当自变量0x x →时函数()f x 的极限 (3) 左右极限3、函数极限的主要性质极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。
微积分大一上学期知识点笔记
微积分大一上学期知识点笔记微积分是数学的一个分支，研究数学函数的变化和性质，被广泛应用于自然科学、工程学以及经济学等领域。
下面是微积分大一上学期的知识点笔记，帮助大家回顾和总结学习内容。
一、函数与极限函数是一种特殊的关系，将一个数集的每个元素与另一个数集中的唯一元素相对应。
函数的表示方式有多种，例如函数表达式、图像等。
极限是函数概念的重要部分。
设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在常数L，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε成立，则称函数f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作lim┬(x→a)〖f(x) = L〗。
二、导数与微分导数是描述函数在某一点的变化率，或者说切线的斜率。
设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果极限lim┬(h→0)〖(f(a+h) - f(a))/h = L〗存在，则称函数f(x)在点x=a处可导，L为函数f(x)在x=a处的导数，记作f'(a)。
导数的求解可以使用导数的定义或求导法则。
微分是导数的一个应用，仅在某一点附近考虑，表示函数在该点的局部变化。
记dx为自变量x的增量，dy为函数y=f(x)在x点的增量，则有dy = f'(x)dx。
微分可以近似描述函数的变化情况，例如在曲线上某一点的切线方程。
三、常用函数的导数计算1. 幂函数导数计算：设f(x) = x^n，其中n为自然数，则f'(x) = nx^(n-1)。
2. 指数函数导数计算：设f(x) = a^x，其中a为正数且a≠1，则f'(x) = a^x * lna。
3. 对数函数导数计算：设f(x) = lnx，则f'(x) = 1/x。
4. 三角函数导数计算：常见的三角函数包括正弦函数sinx、余弦函数cosx、正切函数tanx等。
它们的导数分别为cosx、-sinx、sec^2x。
大一微积分每章知识点总结
大一微积分每章知识点总结微积分是数学的重要分支之一，用于研究变化率与累积效应。
在大一微积分课程中，我们学习了许多重要的知识点，这些知识点为我们进一步学习高级数学打下了坚实的基础。
本文将对大一微积分每章的知识点进行总结，以帮助读者巩固所学内容。
第一章：函数与极限在这一章中，我们学习了函数的概念与性质，以及极限的定义与运算法则。
函数是一种将一个数集映射到另一个数集的规则，可以用数学公式或图形表示。
极限是函数在某个点无限接近于某个值的情况，是微积分的基础概念之一。
第二章：导数与微分导数是用来描述函数变化率的概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。
我们学习了导数的计算方法，包括基本导数公式、加减乘除法则、链式法则等。
微分则是导数的应用，用于计算函数在某一点的近似值，并研究函数的局部特征。
第三章：微分中值定理与导数的应用在这一章中，我们学习了微分中值定理和导数的应用。
微分中值定理是描述函数在某个区间内存在某点的斜率等于该区间的平均斜率的定理，包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
导数的应用包括函数的单调性、极值点、凹凸性等的判断与求解。
第四章：不定积分不定积分是导数的逆运算，用于求解函数的原函数。
我们学习了不定积分的基本性质和常用的积分公式，包括换元法、分部积分法、有理函数的积分等。
通过不定积分，我们可以求解函数的面积、曲线长度等问题。
第五章：定积分与定积分的应用定积分是用来计算曲线下面积的工具，也可以表示变化率与累积效应。
我们学习了定积分的定义和性质，以及计算定积分的方法，如换元法、分部积分法和定积分的几何应用等。
定积分的应用包括计算曲线的弧长、质量、物体的质心等。
第六章：微分方程微分方程是用导数和未知函数构成的方程，研究函数之间的关系。
我们学习了常微分方程的基本概念和解法，包括一阶线性微分方程和可分离变量的方程等。
微分方程是实际问题建模与求解的重要工具，应用广泛于物理、化学、工程等领域。
通过对大一微积分每章的知识点进行总结，我们回顾了函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分与定积分的应用、微分方程等内容，巩固了所学知识，并为之后学习高级数学打下了坚实的基础。
大一微积分重点知识点总结
大一微积分重点知识点总结微积分是数学的一门重要分支，也是大一学习的一门必修课程。
通过学习微积分，我们可以研究数学中的变化以及极限问题。
下面是大一微积分的重点知识点总结：1. 函数与极限函数是微积分的基础，它描述了自变量与因变量之间的关系。
函数的概念、性质以及函数图像的绘制是大一微积分的第一部分内容。
极限是微积分中的重要概念，通过极限，我们可以研究函数在某一点的变化趋势。
大一微积分研究的主要是一元函数的极限，其中包括函数的左极限、右极限以及无穷大极限等。
2. 导数与微分导数是描述函数变化率的工具，它表示函数在某一点的切线斜率。
大一微积分中，我们主要研究一元函数的导数，其中包括导数的定义、性质以及常见函数的导数计算方法。
微分是导数的一个应用，它表示函数在某一点上的微小变化量。
微分的计算方法包括差分法、高阶微分以及隐函数微分等。
3. 积分与定积分积分是求解函数面积或曲线长度的工具，它是导数的逆运算。
在大一微积分中，我们主要学习一元函数的不定积分，其中包括不定积分的基本性质、基本积分表以及换元积分法等。
定积分是求解曲线下面积的工具，它表示函数在一定区间上的积累效应。
大一微积分中，我们主要学习一元函数的定积分，其中包括定积分的定义、性质以及常见函数的定积分计算方法。
4. 微分方程微分方程是描述变化规律的方程，它将导数和未知函数联系在一起。
大一微积分中，我们主要学习一阶常微分方程，其中包括常微分方程的基本概念、解的存在唯一性以及常见微分方程的求解方法。
5. 应用领域微积分在各个科学领域和工程技术中都有广泛应用。
在物理学中，微积分被用于描述物体的运动和力学问题；在工程学中，微积分被用于解决电路、材料以及流体力学等问题；在经济学中，微积分被用于求解最优化问题和经济模型等。
总结：大一微积分是复杂而重要的学科，通过学习微积分可以培养我们的逻辑思维能力和问题解决能力。
本文对大一微积分的重点知识点进行了总结，包括函数与极限、导数与微分、积分与定积分、微分方程以及应用领域等。
大一上微积分知识点总结
大一上微积分知识点总结微积分是数学的一个重要分支，主要研究函数和变量之间的关系，包括导数和积分两个方面。
在大一上学期的微积分课程中，我们学习了许多重要的知识点。
下面将对这些知识点进行总结。
一、函数和极限函数是微积分的基础，它描述了自变量和因变量之间的关系。
我们学习了一些基本的函数类型，如线性函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
另外，我们还学习了函数的极限概念，可以通过计算极限来求解一些复杂函数的性质。
二、导数与微分导数是函数在某一点上的变化率，可以用来描述曲线的切线斜率。
通过导数，我们可以研究函数的变化趋势以及特征。
在大一上学期，我们学习了导数的计算规则，如和、差、积、商法则，以及复合函数求导、隐函数求导等。
微分是导数的一个应用，它与函数的局部线性近似有关。
我们学习了微分的定义和性质，包括微分的几何意义和物理意义。
微分在求解极值问题、斜率问题、弦长与弧长问题等方面有重要应用。
三、积分与定积分积分是导数的逆运算，用于求解函数的面积、曲线长度、体积等问题。
我们学习了积分的定义和性质，掌握了常用函数的不定积分和定积分计算技巧。
定积分是积分的一种特殊形式，它表示函数在一定范围内的累积。
我们学习了定积分的计算方法，包括基本积分法、换元积分法、分部积分法等。
定积分在求解面积、弧长、体积等方面有广泛应用。
四、微分方程初步微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程，是微积分的一个重要应用领域。
我们初步学习了一阶和二阶常微分方程，学习了常微分方程的基本解法，如分离变量法、线性方程法、二阶齐次线性方程法等。
通过学习以上知识点，我们对微积分有了初步的了解。
微积分不仅是数学学科的重要基础，也在物理、工程、经济学等领域有广泛应用。
希望同学们能够深入理解微积分，运用微积分方法解决实际问题。
只有通过不断练习和应用，才能真正掌握微积分的知识与技巧。
总而言之，大一上学期的微积分课程涵盖了函数和极限、导数与微分、积分与定积分以及微分方程初步等知识点。
大一高数微积分知识点理科
大一高数微积分知识点理科大一学生学习高等数学微积分，是理科类专业学习的重要课程之一。
微积分主要包括导数和积分两个方面的内容，是为了研究函数的变化规律和求解曲线下面积而产生的数学工具。
下面将介绍大一高数微积分的一些重要知识点。
1. 函数与极限函数是微积分的基本概念，是研究自变量与因变量之间关系的工具。
在微积分中，我们关注的是函数的变化趋势，而极限就是用来描述函数在某一点附近的变化趋势的概念。
极限可以分为左极限、右极限和无穷大极限等不同类型，通过极限的概念我们可以研究函数的连续性、导数和积分等重要性质。
2. 导数与微分导数是描述函数变化率的概念，是微积分中的重要工具。
在函数图像上，导数表示函数曲线在某一点处的斜率。
导数的计算可以使用极限的方法，也可以使用导数的定义公式进行计算。
微分是导数的一个应用，表示函数在某一点附近的近似变化量。
导数和微分可以帮助我们研究函数的变化规律、求取函数的最大值最小值等问题。
3. 反函数与隐函数反函数是指如果函数f(x)和g(x)满足f(g(x))=x和g(f(x))=x，那么g(x)就是f(x)的反函数。
反函数在微积分中有着重要的应用，可以帮助我们求取一些复杂函数的导数和积分。
隐函数指的是含有多个未知数的方程，通过对方程的求导可以求取隐函数的导数。
4. 积分与定积分积分是导数的逆运算，表示函数的累积效应。
积分的计算可以使用不定积分和定积分两种方法。
不定积分表示求取函数的原函数，定积分表示求取函数在某一区间上的面积。
积分在求取曲线下面积、曲线长度、弧长等物理问题中有着广泛的应用。
5. 微分方程微分方程是包含未知函数及其导数的方程，是微积分的重要应用领域之一。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种类型，常微分方程中的未知函数是一个变量的函数，而偏微分方程中的未知函数是多个变量的函数。
微分方程在物理学、生物学、经济学等领域有着重要的应用，帮助我们预测和描述自然界中的变化。
大学微积分l知识点总结一
大学微积分l 知识点总结第一部分大学阶段准备知识 1、不等式：ab 2ba ≥+2121n n 2211......a a b a ...b a b a n n b b b a +++++≤+++()时取等号为常数，当且仅当，n ...3,2,1i b a i i ==λλ2、函数周期性和对称性的常用结论1、若fx+a=±fx+b,则fx 具有周期性；若fa+x=±fb-x,则fx 具有对称性; 口诀：“内同表示周期性,内反表示对称性”2、周期性1若fx+a=fb+x,则T=|b-a| 2若fx+a=-fb+x,则T=2|b-a| 3若fx+a=±1/fx,则T=2a 4若fx+a=1-fx/1+fx,则T=2a 5若fx+a=1+fx/1-fx,则T=4al n sin =∂正弦 l m cos =∂余弦 m ntan =∂正切n m cot =∂余切 m l sec =∂正割 n lcsc =∂余割∂=∂cot 1tan ∂=∂csc 1sin ∂=∂sec 1cos商的关系：∂∂=∂=∂∂csc sec tan cos sin ∂∂=∂=∂∂sec csc cot sin cos平方关系：()()sina cosa 1cosa-1sina 2a cot sina cosa -1cosa 1sina 2a tan cosa 1212a cos cosa -1212a sin 22+==⎪⎭⎫⎝⎛=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛•⎪⎭⎫ ⎝⎛+•=⎪⎭⎫⎝⎛•⎪⎭⎫ ⎝⎛+•=⎪⎭⎫⎝⎛•⎪⎭⎫ ⎝⎛+•=a -3tan a 3tan tana a 3tan a -3cos a 3cos cosa 4a 3cos a -3sin a 3sin sina 4a 3sin ππππππ 万能公式：()ββtan tan 1-tan •∂+=∂和差化积公式：()()⎦⎤⎢⎣⎡⎦⎤⎢⎣⎡+=+21-cos 21sin 2sin sin ϕθϕθϕθ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=21-sin 21cos 2sin -sin ϕθϕθϕθ ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎦⎤⎢⎣⎡+=+21-cos 21cos 2cos cos ϕθϕθϕθ ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎦⎤⎢⎣⎡+=21-sin 21sin 2-cos -cos ϕθϕθϕθ原式得证，由题，22b a x x cos x sin 1x x +=∴===⎪⎭ ⎝+⎪⎭ ⎝M M 4、数学归纳法数学上证明与自然数N 有关的命题的一种特殊方法,它主要用来研究与正整数有关的数学问题,在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立;例如：前n个奇数的总和是n2,那么前n个偶数的总和是：n2+n最简单和最常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立,这种方法由下面两步组成：①递推的基础：证明当n=1时表达式成立②递推的依据：证明如果当n=m时成立,那么当n=m+1时同样成立1第一数学归纳法5、初等函数的含义概念：初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算以及有限次数函数复合所产生,并且能用一个解析式表示的函数;有理运算：加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方基本初等函数：对数函数、指数函数、幂函数、三角函数、反三角函数6、二项式定理：即二项展开式,即a+b n 的展开式()nn n k k -n k n 1-n 1n n 0n n b ...b a ...b a a C b a C C C ++•++•+=+称为二次项系数其中kn C表示项，用项，它是第叫做二次项展开式的通1k k k -n kn 1k b a ++•T Cn n y∞→8、其他一些知识点10不是正数,不是负数;是自然数;0是偶数,偶数分为：正偶数、负偶数和0 （2）正偶数称为“双数” （3）正常数：常数中的正数（4）质数：又称“素数”;一个大于1的自然数,如果除了1和它自身以外,不能被其他自然数整除的数,否则称为“合数”;最小的质素数是2;1既不是素数,也不是合数;（5）exp ：高等数学中,以自然对数e 为底的指数函数 （6）在数学符号中,sup 表示上界；inf 表示下界 （7）≡：表示恒等于（8）0的阶乘是1.阶乘是一个递推定义,递推公式为：n=nn-1因为1的阶乘为其中,e n 11n→⎪⎭⎫⎝⎛+,e 为初等函数,又称“幂指函数”,e 即根据此公式得到,e ≈2.7181n 1-1n2→⎪⎭⎫⎝⎛ ()()61n 21n n n ...21222++=+++()233321n n n ...21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++()1-a a-a s a ...a a s 1n n 2+=+++=()()()()()1-n 2-n 1-n n n b ...b a a b -a b -a +++=x sinx 0x →→时， x tanx → 2x 21cosx -1→列举一些趋向于0的函数：()0lnn 10n a 1a 0c -n b0b 0a 0q 1q b nan →→→→④，＞③，＞，＞②，＜①柯西极限存在准则：3斯托尔茨定理设数列n y 单调增加到无穷大,则11lim lim--∞→∞→--=n n n n n n n n y y x x y x ()[]()a x g f x g f x f x x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→→00lim lim )().4(是连续函数：如：nn n S S n S --++++=-2232 (2523211)32n 解题思路： 函数的连续性和间断点问题 1如何讨论并确定函数的连续性①若该函数是初等函数,则该函数在其定义域区间均连续②若是一元函数,则可对其求导,其导数在某点上有意义则函数在该点必然连续的x f x )()0=00)''()'(''''''00x )('''x x )()''()'(''''''0.0x )(εδδεεδεδε≥----∈∃∀x f x f x x x x x f x x x f x f x f x x x x x x f ，但是＜，尽管、存在，总＞，无论对多么小的＞上，存在定义在集合不一致连续：设函数小。
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第一章 函数，极限与连续第一节 函数注：函数是高中的重点知识，以下是高中函数全部重点，篇幅有点长，供查阅。
一、函数的概念与表示1、映射:设A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法那么f ，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应〔包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法那么f 〕叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B 。
注意点:判断一个对应是映射的方法:可多对一，不可一对多，都有象，象唯一.2、函数:如果A,B 都是非空的数集，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，记作)(x f y =,其中B y A x ∈∈,.原像的集合A 叫做函数)(x f y =的定义域.由所有象f(x)构成的集合叫做)(x f y =的值域，显然值域是集合B 的子集.构成函数概念的三要素: ①定义域(x 的取值范围)②对应法那么〔f 〕③值域〔y 的取值范围〕两个函数是同一个函数的条件：定义域和对应关系完全一致. 二、函数的定义域、解析式与值域 1、求函数定义域的主要依据： 〔1〕整式的定义域是全体实数； 〔2〕分式的分母不为零；〔3〕偶次方根的被开方数大于等于零；〔4〕零取零次方没有意义〔零指数幂的底数不为0〕； 〔5〕对数函数的真数必须大于零；〔6〕指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；〔7〕假设函数)(x f y =是一个多项式，需要求出各单项式的定义域，然后取各局部结果的交集；〔8〕复合函数的定义域：假设)(x f 的定义域],[b a ，求复合函数))((x g f 的定义域，相当于求使],[)(b a x g ∈时x 的取值范围；假设复合函数))((x g f 的定义域，求)(x f 的定义域，相当于求)(x g 的值域. 2求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合b ax y ±+= ③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围；适合分子或分母为二次且x ∈R 的分式；此种类型不拘泥于判别式法，如ka by +=2的形式可直接用不等式性质；n mx ax bx y ++=2可先化简再用均值不等式；nmx x n x m ax y ++'+'+=22通常用判别式法；nm x n x m x y +'+'+=2 可用判别式法或均值不等式；④别离常数：适合分子分母皆为一次式〔x 有范围限制时要画图〕；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥图象法：1.二次函数必画草图求其值域；在给定区间上求最值有两类：闭区间[]b a ,上的最值；求区间动〔定〕，对称轴定〔动〕的最值问题；注意“两看〞：一看开口，二看对称轴与给定区间的位置关系.)0,0(>>+=b a x b ax y 型函数的图像在单调性中的应用：增区间为],(ab --∞，),[+∞a b ，减区间为)0,[a b -，],0(ab ；⑦利用对号函数：xx y 1+=〔如右图〕；⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域.主要是含绝对值函数 三．函数的奇偶性1．定义: 设y=f(x)，x ∈A ，如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=，那么称y=f(x)为偶函数.如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=-，那么称y=f(x)为奇函数.2.性质：①y=f(x)是偶函数⇔y=f(x)的图象关于y 轴对称, y=f(x)是奇函数⇔y=f(x)的图象关于原点对称;②假设函数f(x)的定义域关于原点对称，那么f(0)=0;③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D 1 ，D 2，D 1∩D 2要关于原点对称] 3．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称;②看f(x)与f(-x)的关系或观察函数图像的对称关系；4，复合函数的奇偶性：“内偶那么偶，内奇同外〞 四、函数的单调性作用：比拟大小，解不等式，求最值.1、函数单调性的定义：如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有()()()2121)()(x f x f x f x f ><，那么就称函数)(x f 在区间D 上是增函数〔减函数〕，区间D 叫)(x f y =的单调区间. 图像特点：增函数：从左到右上升〔y 随x 的增大而增大或减小而减小〕；减函数：从左到右下降〔y 随x 的增大而减小或减小而增大〕； 2.判断单调性方法：①定义法[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数.②观察法：根据特殊函数图像特点；③掌握规律：对于两个单调函数()f x 和()g x ，假设它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅：(i)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x ，()g x 相同， ②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定；(ii)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么：①1()()()F x f x g x =+的增减性不能确定； ②3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠为增函数；5()()(()0)()g x F x f x f x =≠为减函数. 3.奇偶函数的单调性奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。
4.复合函数单调性确实定〔同增异减〕：()[]x g f y =是定义在M 上的函数，假设f(x)与g(x)的单调性相反，那么()[]x g f y =在M 上是减函数；假设f(x)与g(x)的单调性相同，那么()[]x g f y =在M 上是增函数.五、函数的对称性函数()y f x =的图象的对称性〔自身〕()y f x =的图象关于直2a bx +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-= 特殊的有：①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.②函数()y f x =的图象关于y 轴对称〔奇函数〕)()(x f x f =-⇔; ③函数)(a x f y +=是偶函数)(x f ⇔关于a x =对称;()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++.特殊的有： ① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--0)2()(=-+⇔x a f x f ;② 函数()y f x =的图象关于原点对称〔奇函数〕)()(x f x f -=-⇔; ③ 函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称.④ 假设一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x 对称.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称; ②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称; ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =-; ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =--;⑤函数()y f x =与)(y a f x a -=-的图像关于直线a y x =+成轴对称 函数()y f x =与)(a y f a x +=-的图像关于直线a y x =-成轴对称 函数()y f x =的图像与x = f (y)的图像关于直线y x = 成轴对称. 六．函数的周期性：1．定义 假设⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数，T 是它的一个周期.说明：nT 也是)(x f 的周期。
推广：假设)()(b x f a x f +=+，那么)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期结论1：如果()()f x a f x b +=+〔a b ≠〕，那么()f x 是周期函数，其中一个周期T a b =-结论2：如果()()f x a f x b +=-+〔a b ≠〕，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =-结论3：如果定义在R 上的函数()f x 有两条对称轴x a =、x b =对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =-结论4：如果偶函数()f x 的图像关于直线x a =〔0a ≠〕对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a =结论5：如果奇函数()f x 的图像关于直线x a =〔0a ≠〕对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a =结论6：如果函数同时关于两点(),a c 、(),b c 〔a b ≠〕成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =-结论7：如果奇函数()f x 关于点(),a c 〔0a ≠〕成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a =结论8：如果函数()f x 的图像关于点(),a c 〔0a ≠〕成中心对称，且关于直线x b =〔a b ≠〕成轴对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a b =- 结论9：如果1()()f x p f x +=或1()()f x p f x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T p = 结论10：如果1()()21()p f x f x f x ++=-或1()()21()p f x f x f x -+=+，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T p =结论11：如果()()f x p f x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T p =七、反函数1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域； 2、求反函数的步骤 〔1〕解 (2)换 (3)写定义域。