第一节 映射与函数
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高等数学上册1.1 映射与函数
第一节 映射与函数
一、映 射
二、函 数
第一章 函数与极限
一、映射
1. 映射的概念
定义1
设 X 、Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 , 使得对X中
每个元素, 按法则 , 在Y中有唯一确定的与之对应, 则称
为从 X 到 Y 的映射. 记作 : X→Y.
X
定义域
D =X
第一节 映射与函数
()
()=
若既是满射又是单射, 则称为双射或一一映射.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
注 映射又称为算子, 在不同数学分支中有不同的名称.
Y
非空集X
上的泛函
数集Y
非空集X
上的变换
非空集Y
实数集X
上的函数
实数集Y
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 逆映射与复合映射
注 分段函数是一个函数,不是多个函数.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 函数的几种特性
设函数 = () 的定义域为D , 且数集 ⊂ D 或区间 I ⊂ D .
(1) 有界性
∀ ∈ , ∃ > 0, 使 () ≤, 称 () 在上有界.否则称无界.
∀ > 0, ∃0 ∈ , 使|( 0)|≥M, 称() 在I上无界.
<0
第一章 函数与极限
例8 设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作[].
例如:
5
= 0,
7
阶梯曲线
2 = 1, [π] = 3, [−1] = −1, [−3.5] = −4.
求函数 = [] 的定义域和值域并画图.
一、映 射
二、函 数
第一章 函数与极限
一、映射
1. 映射的概念
定义1
设 X 、Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 , 使得对X中
每个元素, 按法则 , 在Y中有唯一确定的与之对应, 则称
为从 X 到 Y 的映射. 记作 : X→Y.
X
定义域
D =X
第一节 映射与函数
()
()=
若既是满射又是单射, 则称为双射或一一映射.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
注 映射又称为算子, 在不同数学分支中有不同的名称.
Y
非空集X
上的泛函
数集Y
非空集X
上的变换
非空集Y
实数集X
上的函数
实数集Y
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 逆映射与复合映射
注 分段函数是一个函数,不是多个函数.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 函数的几种特性
设函数 = () 的定义域为D , 且数集 ⊂ D 或区间 I ⊂ D .
(1) 有界性
∀ ∈ , ∃ > 0, 使 () ≤, 称 () 在上有界.否则称无界.
∀ > 0, ∃0 ∈ , 使|( 0)|≥M, 称() 在I上无界.
<0
第一章 函数与极限
例8 设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作[].
例如:
5
= 0,
7
阶梯曲线
2 = 1, [π] = 3, [−1] = −1, [−3.5] = −4.
求函数 = [] 的定义域和值域并画图.
1-1 映射与函数
例： f ( x ) x 2 在[0, )上单调增加
在 ( , 0]上单调减少 在 ( , )上不是单调的
函数的几种特性
3．函数的奇偶性
设函数f (x) 的定义域D关于原点对称
如果对于任一 x D, f ( x ) f ( x )恒成立
那么称函数f (x)为偶函数
四则运算
函 数
构造 复合映射
构造
基本初等函数
基本初等函数与初等函数
基本初等函数 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次
的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数
否则称为非初等函数
概念
概念 初等函数
逆映射
集 合 区 邻 间 域
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射 若对X中任意两个不同的元素
则称f为X到Y的单射 若映射 f 既是满射又是单射, 则称 f 为一一映射或双射. X f
它们的像
逆映射 若f 是从X到Y的单射，可定义一个从 对每个 规定
到X的新映射g
这x满足
这个映射g称为f的逆映射，记作 注 (1) 只有单射才存在逆映射 (2) 逆映射
1 y f ( x ), x f ( D) y f ( x ), x D 的反函数记成 一般地，
注 (1) f 在D上单调增加（减少），f 1 必定存在
1 且 f 在f (D)上也单调增加（减少）
(2) 函数y=f (x)与其反函数 y f 1 ( x ) 的图形 关于直线y=x对称
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
《高等数学》第一节：映射与函数
[1,1] [ 0, ]
[
, ] 2 2
y
y tan x 定义域 (,) y x 值域 ( 2 , 2 ) 2 y arctan x
2
2
0
2
x
| arctanx |
定义域 (,)
2
2
y
y x
0
2
y arc cot x x
x
shx e e 双曲正切 thx x chx e e x 反双曲正切
1 1 x y arthx ln . 2 1 x
(3)非初等函数 狄利克雷函数、 取整函数、 分段函数等
练习
[ x] (1) f ( x )定义域为 (0,1)，求 g( x ) f ( )的定义域 . x D { x R | x 1且x 2,3,}.
cos
,
(2)初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和 有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.
例3：双曲函数与反双曲函数 双曲函数 反双曲函数
e x e x 双曲正弦 shx 2 e x e x 双曲余弦 chx 2
x
反双曲正弦 y arshx ln( x x 2 1) 反双曲余弦 y archx ln( x x 2 1)
高 等 数 学
研究对象 研究内容 研究工具
上册 极限
一元函数 微分学与积分学 函数 微分方程 空间解析几何与向量代数 多元函数 微分学与积分学 下册 无穷级数
高 等 数 学
应用
用哪个？ 条件？
不合条件， 改造！
[
, ] 2 2
y
y tan x 定义域 (,) y x 值域 ( 2 , 2 ) 2 y arctan x
2
2
0
2
x
| arctanx |
定义域 (,)
2
2
y
y x
0
2
y arc cot x x
x
shx e e 双曲正切 thx x chx e e x 反双曲正切
1 1 x y arthx ln . 2 1 x
(3)非初等函数 狄利克雷函数、 取整函数、 分段函数等
练习
[ x] (1) f ( x )定义域为 (0,1)，求 g( x ) f ( )的定义域 . x D { x R | x 1且x 2,3,}.
cos
,
(2)初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和 有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.
例3：双曲函数与反双曲函数 双曲函数 反双曲函数
e x e x 双曲正弦 shx 2 e x e x 双曲余弦 chx 2
x
反双曲正弦 y arshx ln( x x 2 1) 反双曲余弦 y archx ln( x x 2 1)
高 等 数 学
研究对象 研究内容 研究工具
上册 极限
一元函数 微分学与积分学 函数 微分方程 空间解析几何与向量代数 多元函数 微分学与积分学 下册 无穷级数
高 等 数 学
应用
用哪个？ 条件？
不合条件， 改造！
高数0101映射与函数
点a叫做邻域的中心, 叫做邻域的半径.
U (a , ) { x a x a } (a , a ).
a
a
o
a
x
点a的去心邻域, 记作 U (a , ) { x 0 x a }.
a
左 邻域 :
a
a
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
分段点 连结点
三、函数的几何特性
1 函数的有界性:
设X D, 若M 0, 使得对 x X , 有 f ( x ) M 成立,
则称函数f ( x )在X上有界, 否则称无界. 上界, 下界
y M y=f(x) o x 有界 X M y
求反函数的步骤
y f ( x) x f 1 ( y) y f 1 ( x).
2 反函数、复合函数
反函数 复合函数 设有函数链 y f (u ), u D1 ① ②
且 g ( D) D 1
则
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 g ( D) D 1 不可少.
• 函数的表示方法: 公式法 表格法 图示法
单值函数与多值函数：
已知x 2 y 2 1表示xoy坐标平面上的单位圆 , 由方程x 2 y 2 1可解出 y 1 x 2
问y与x的关系怎么称呼?
按定义, 函数是单值函数， 类似地, 称此处y与x处的关系为多值函数．
单值函数与多值函数： 如果给定一个法则，当自变量在定义域内 任取一个数值时，对应的函数值不总是唯一的， 称这种法则确定了一个多值函数．
例如, 函数链 : y arcsinu , 可定义复合函数
U (a , ) { x a x a } (a , a ).
a
a
o
a
x
点a的去心邻域, 记作 U (a , ) { x 0 x a }.
a
左 邻域 :
a
a
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
分段点 连结点
三、函数的几何特性
1 函数的有界性:
设X D, 若M 0, 使得对 x X , 有 f ( x ) M 成立,
则称函数f ( x )在X上有界, 否则称无界. 上界, 下界
y M y=f(x) o x 有界 X M y
求反函数的步骤
y f ( x) x f 1 ( y) y f 1 ( x).
2 反函数、复合函数
反函数 复合函数 设有函数链 y f (u ), u D1 ① ②
且 g ( D) D 1
则
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 g ( D) D 1 不可少.
• 函数的表示方法: 公式法 表格法 图示法
单值函数与多值函数：
已知x 2 y 2 1表示xoy坐标平面上的单位圆 , 由方程x 2 y 2 1可解出 y 1 x 2
问y与x的关系怎么称呼?
按定义, 函数是单值函数， 类似地, 称此处y与x处的关系为多值函数．
单值函数与多值函数： 如果给定一个法则，当自变量在定义域内 任取一个数值时，对应的函数值不总是唯一的， 称这种法则确定了一个多值函数．
例如, 函数链 : y arcsinu , 可定义复合函数
高数A1第一讲映射与函数
第一节 映射与函数
一、映射 二、函数
一、映射
1、映射概念
例 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号
某班学生的集合
按一定规则入座
某教室座位 的集合
定义
f 使得
设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则
有唯一确定的 与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
o
x
x
奇函数
奇函数的图形关于原点对称. 函数 y=sinx是奇函数. 函数 y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数.
(4) 函数的周期性: 设函数f (x)的定义域为D,如果存在一个正数l ,使得 对于任一x D 有 ( x l ) D, 且 f ( x l ) f ( x ) 恒成立,
Q ( b, a )
o
直接函数y f ( x ) P (a , b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y=x 对称.
复合函数
------“代入”
定义:设函数 y=f(u)的定义域为D1,函数u=g(x)在D上有 定义,且 g( D) D1 , 则由下式确定的函数
y f g( x ), x D
2. 逆映射与复合映射
设 f 是X到Y的单射,定义一个从Rf到X的新映射g 即
g : Rf X ,
1
对每个 y R f , 规定g(y)=x,这x满足f(x)=y. 1 f 这个映射g称为f 的逆映射,记作 , 其定义域 D f R f , 值域 R f X .
1
f
注意:只有单射才存在逆映射.
x, x 0, 例6 函数 y | x | x , x 0
一、映射 二、函数
一、映射
1、映射概念
例 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号
某班学生的集合
按一定规则入座
某教室座位 的集合
定义
f 使得
设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则
有唯一确定的 与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
o
x
x
奇函数
奇函数的图形关于原点对称. 函数 y=sinx是奇函数. 函数 y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数.
(4) 函数的周期性: 设函数f (x)的定义域为D,如果存在一个正数l ,使得 对于任一x D 有 ( x l ) D, 且 f ( x l ) f ( x ) 恒成立,
Q ( b, a )
o
直接函数y f ( x ) P (a , b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y=x 对称.
复合函数
------“代入”
定义:设函数 y=f(u)的定义域为D1,函数u=g(x)在D上有 定义,且 g( D) D1 , 则由下式确定的函数
y f g( x ), x D
2. 逆映射与复合映射
设 f 是X到Y的单射,定义一个从Rf到X的新映射g 即
g : Rf X ,
1
对每个 y R f , 规定g(y)=x,这x满足f(x)=y. 1 f 这个映射g称为f 的逆映射,记作 , 其定义域 D f R f , 值域 R f X .
1
f
注意:只有单射才存在逆映射.
x, x 0, 例6 函数 y | x | x , x 0
高等数学第一章函数与极限第一节映射与函数.ppt
f ( x ) g f ( x ) e
e1 e0 e 1
| x |1 e | x |1 | x | 1 1 | x |1 1 | x |1 e | x |1
18
复合次序不同 ,结果不相同 .
高 等 数 学 PPT 课件
第 一 章
教材 : 同济 高等数学 第五版
欢迎您加入本课堂，希望 您刻苦学习，努力争取最优异 的成绩。
2
第一章
第一节
函数与极限
映射与函数
3
一 . 邻域 : U ( a ,) x x a
x a x a
( 取整函数) 3 ) .y int( x ) ( x 1 ,x ] 上的整数
x 1 int( x ) x
6, 例 . int( 5 . 6 )
( 6 . 6 , 5 . 6 ]
int( 3 . 8 ) 3 ,
int( 0 . 4 ) 0 ,
int( 5 ) 5 ,
2 2 2 2 2 ch x 1 . ch 2 x ch x sh x 1 2 sh x x x y y x x y y e e e e e e e e sh x ch y ch x sh y 2 2 2 2 x yx y x y x yx y x yx y x y e e e e e e e e 4 4 x y x y 2 e 2 e sh ( x y ) 14 4
9
以上五类函数称为基本 初等函数 . (P 17 )
要熟练掌握基本初等函 数的图形 ,有界性 ,单调性 , 奇偶性 , 周期性 , 定义域 , 值域等 .
高等数学---映射与函数
A {a1 , a2 ,, an }
描述法 M { x x所具有的特征}
N , N , Z , Q, R, R* , R
2
映射与函数
(6)关系 子集 ( 包含 ), A B : x A x B; 相等, A B : A B, 且 B A ;
不含任何元素的集合称为空集, 记作 , 规定空集为任何集合的子集. 2.集合的运算
对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有
(x1) < (x2) (或(x1) > (x2) )
则称函数 f ( x )在区间 I上是 单调增加(或单调减少).
y
y f ( x)
y
f ( x2 )
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
第一节 映射与函数
基本概念
函数概念 函数的特性 反函数 小结 作业 思考题
1
第一章 函数与极限
映射与函数
一、集合
1.集合概念
(1)定义 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
(2)有限集和无限集
(3)符号
a M , a M.
(4)表示 列举法 (5)常用集合
o
x1
x2
I
x
o
x1
x2
I
x
注意 函数的单调性是一个与自变量取值范围有关的相对 30 性概念．
映射与函数
(3)函数的奇偶性 定义 设D关于原点对称, 对于x D, 有
f (-x) = f (x) (或f (-x) = - f (x) )
则称 f (x) 为偶函数(或奇函数).
高数课件-映射与函数
义的一切实数组成的合集，这种定义域称为函数的自然定义域。在这种约定之下，一
般的用算是表达的函数可用“y=∱（x）”表达，而不必再出Df。
例如，函数y=
1- x 2 的定义域是封闭间 -1，1 ，函数y=
1 的定义域是开区间 1- x2
（-1，1）。
表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公 式法）。其中，用图形法表下）的像，并记作∱（χ）,即
y=∱（χ）, 而元素χ称为元素y（在映射∱下）的一个原像；集合X称为映射∱的定义域，记作Df， 即Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射∱的值域，记作Rf或者∱（χ），即
Rf=∱(X)= f(x) I χ∈X
在上述映射的定义中，需要注意的是：
映 射
与
主讲人： 日期 :
函 数
第一节 映射与函数
映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一 种。本节主要介绍映射、函数及有关概念，函数的性质与运算等。
一.映射
1.映射概念 定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则∱，使得对X中的每个元素χ，按法则∱， 在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称∱为从X到Y的映射，记作
由复合映射的定义可知，映射ℊ和∱构成复合映射的条件是：ℊ的值域Rg必须包含 在∱的定义域内，即Rg⊂Df,否则，不能构成复合映射。由此可以知道，映射ℊ和∱的复 合是有顺序的，∱∘ℊ有意义并不表示ℊ∘∱也有意义。即使∱∘ℊ与ℊ∘∱都有意义，复合映 射∱∘ℊ与ℊ∘∱也未必相同。
例4
设有映射ℊ：R→ -1，1 ，对每个x∈R，ℊ（x)=sinx；映射∱： -1，1 → 0，1 ， 对每个 u∈ -1，1 ，∱（u)= 1- u2,则映射ℊ和∱构成的复合映射∱∘ℊ：R→ 0，1
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X
f Y f (X)
若
有
X
Y
则称 f 为单射; 例：
单射，满射
不是单射，不是满射
若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
引例
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2. 逆映射与复合映射(了解）
若映射
为单射, 可定义一个新映射
只有单射才有逆映射，
逆映射
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二、函数
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几个特殊的函数举例
(1) 符号函数(书P5,略)
y
1 当x 0
y
sgn x
0
当x 0
1 当x 0
1.
o
x
-1
x sgn x x
定义域？ D (, )
值域？ W {1,0,1}
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(2) 取整函数 y = [ x ](书P5略)
[x] 表示不超过 x 的最大整数
[0.5] = 0 [1.2] = 1 [-1.2] = -2
y 14
3
定义域？ (, )
值域？ 整数集Z
2 -4 -3 -2 -1o-11 2 3
4 5x
--23
-4
阶梯曲线
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(3) 分段函数 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
1. 函数的概念
定义. 设数集 D R , 则称映射
为定义在
D 上的函数 , 记为
定义域
因变量
y f (x), x D
自变量
记作Df , Df D
Rf f (D) y y f (x), x D
y y
称为值域
函数图形:
C (x , y) y f (x) , x D O
ax b ( D [a,b])
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(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若
则称 f (x) 为偶函数;
y
若
则称 f (x) 为奇函数.
x O x x
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
6(1).设所考虑的函数都是定义在区间(-l, l)上的,
. g(x)
o
x
例: y max{x2, x}
x2, x (, 0)
y
x, x [0,1]
x
2
,
x
(1,
)
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2. 函数的几种特性
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
(1) 有界性
x D , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x)为有界函数. x I , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
证明:两个偶函数的和为偶函数,两个奇函数的和为奇 函数.
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(4) 周期性
x D, l 0, 且 x l D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
2 π π O π 2 π x
周期为
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
定义1 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应, 则称
f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y.
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作 y f (x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 .
集合 X 称为映射 f 的定义域 ，记作Df .
例如,
2x 1,
f
(
x)
x2
1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
说明: x 0 称为段点,将定义域分为两部分
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(4) 取最值函数(补充)
y max{ f ( x), g( x)} y min{ f ( x), g( x)}
y
.
o
f (x)
g( x)
x
y
f (x)
说明: 还可定义有上界、有下界、无界 . (P16：10 )
如果存在数K1,x I, f (x) K1, 称f (x)在I上有上界 如果存在数K2,x I, f (x) K2, 称f (x)在I上有下界
若对任意正数 M , 均存在 x1 I, f (x1) M ,则称f (x)无界.
10.函数 f (x) 在I上有界的充分必要条件是它在I上 即有上界又有下界（P17：作业10）
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(2) 单调性
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
x1 , x2 I , x1 x2 时，
y
若 f (x1) f (x2 ), 单调增函数 ;
若 f (x1) f (x2 ), 单调减函数 . O x1 x2 x
5(P16). 设 f (x) 为定义在区间 (l,l) 上的奇函数, 若 f (x) 在 (0,l)内单调增 加，证明：f (x) 在 (l,0) 内也单调增加
Y 的子集 Rf f (X ) f (x) x X 称为 f 的 值域 .
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则, 值域. 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一.
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对映射
若 f (X ) Y , 则称 f 为满射;
学生~~学号对应—满射 学生~~坐位对应—不是满射
例如, 常量函数 f (x) C 任意实数为周期，无最小周期
狄利克雷函数
1, x 为有理数 0 , x 为无理数 P9:例10
任意有理数为周期，无最小周期
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3. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质
若函数
为单射, 则存在一新映射
x
D f (D)
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x D f y Rf f (D) y y f (x), x D
(定义域)
(对应规则) (值域)
• 定义域 使表达式或实际问题有意义的自变量集合. 对实际问题, 书写函数时必须写出定义域； 对无实际背景的函数, 书写时可以省略定义域.
• 对应规律的表示方法: 解析法、图象法、列表法
第一章 函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一节 映射与函数
一、映射 二、函数
第一章
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一、 映射
1 映射概念: 2 引例.
高数班学生的集合
学号的集合
按一定规则查号
教室座位
高数班学生的集合
的集合
按一定规则入座
Байду номын сангаас
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