函数与映射的概念
的对应关系的方法叫做列表法.
3.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而分别用几个不同的 式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数虽由几个部分组成，但它 表示的是 一个 函数.
1.(教材习题改编)设A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,7,15,31,33}，下列的对应法 则 f 能构成从A到B的映射的是( D ) A.f：x→x2＋x＋1 B.f：x→x＋(x－1)2
A 【解析】 由题意，知f (1)＝2. ∵f (a)＋f (1)＝0，∴f (a)＋2＝0. ①当a > 0时，f (a)＝2a,2a＋2＝0无解， ②当a ≤ 0时，f (a)＝a＋1，∴a＋1＋2＝0，即a＝－3. 【预测理由】 通过对近几年广东高考试题的分析，主要考查函数的概念 、解析式及分段函数.预计2015年仍将分段函数作为考查重点，体现数形 结合与分类讨论的思想.
B.至多一个 D.一个、两个或无穷多个
【思路分析】 紧扣函数的定义，集合A中每一个元素，在集合B中都有 象，并且象是唯一的.
【解析】若 8∈A，则与 8 对应的 B 中元素有且只有一个；若 8∉A， 则 B 中无元素与 8 对应， 故函数 y＝f(x)的图象与直线 x＝8 的交点个数 至多一个.故选 B.
1.准确理解函数概念的内涵及外延. 2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表
法、解析法)来表示函数.
3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 重点：映射与函数的概念. 难点：抽象函数的理解、分段函数的概念.
1.函数与映射的概念
数集
集合
任意 数x 唯一确定
任意
③若两个函数的定义域相同、对应关系完全一致，就称这两个函数相等
； ④函数的定义域是自变量x的取值范围，是函数的一个重要组成部分， 同一个对应关系，由于定义域不相同，函数的图象与性质一般也不相同；
⑤函数的图象可以是一条或几条平滑的曲线； ⑥对于以x为自变量的函数，f (a)的含义与f (x)的含义不同，f (a)表示自变
【解析】当接收方收到密文 14,9,23,28 时，
a＋2b＝14， 2b＋c＝9， 有 2c＋3d＝23， 4d＝28，
a＝6， b＝4， 解得 c＝1， d＝7，
解密得到的明文为 B.
题型二
函数的表示
【思路分析】 用配凑法、换元法、方程组法，但要注意函数的定义域.
题型三
分段函数
-2
【思路分析】 多重函数值计算一般先由内向外算.
【规律总结】 函数求值就是将自变量用相应的数或代数式进行替换，然 后化简得到结果，对于某些有规律的求值问题，可根据其规律求之.
3
x≤1， x>1， 【解析】依题意得 －x 1 或 1 ⇒x＝3. 2 ＝4 log81x＝4
【规律总结】 函数解析式是函数三要素之一，在一些大题中只要将f(x)求
出，其他问题则可迎刃而解，所以求函数解析式非常重要.
【解析】待定系数法：设 f(x)＝ax＋b， 则 f(x＋1)＝ax＋(a＋b)，f(x－1)＝ax＋(b－a)， ∴3f(x＋1)－2f(x－1)＝ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.
C.f：x→2x－1－1
D.f：x→2x－1
【解析】根据射影的定义，知D正确.
B
【解析】f 故f
1 1 1 ＝log3 ＝－2，f(－2)＝2－2＝ ， 9 4 9
1 1 f ＝ ，选 9 4
B.
1 e
1 1 1 【解析】 e >0，故 f e ＝ln e＝－1， 1 1 －1 则 f f e ＝f (－1)＝e ＝ e.
(1)理解函数概念还必须注意以下几点： ①函数是一种特殊的映射，集合A，B都是非空的数集； ②确定函数的映射是从定义域A到B(值域C⊆B)上的映射，允许A中的不
同元素在B中有相同的象，但不允许B中的不同元素在A中有相同的原象，
A中任意元素在B中都要有象，但B中元素可以在A中无原象，C中元素在 A中不能没有原象；
4.(2013年浙江文)已知函数f(x)＝，若 f (a)＝3，则实数a＝
【解析】由题意，得 a－1＝3，解得 a＝10.
10
.
1＋5x x2 (x≠0)
1 【解析】x 用 x代替可得.
题型一
映射及函数概念问题 函数y＝f (x)的图象与直线x＝8的交点个数为( B )
A.至少一个 C.必有一个
量x＝a 时所得的函数值，它是一个常量；f (x)是x的函数，通常它是一个
变量. 2.函数的表示法 函数的表示法：解析法、图象法、列表法. (1)解析法：如果在函数y＝f (x)(x∈A)中f (x)是用自变量x 的代数式来表达 的，则这种表示函数的方法叫做解析法.
(2)图象法：对于函数y＝f (x)(x∈A)，定义域内每一个x的值都有唯一的y值 与它对应，把这两个对应的数构成的有序实数对(x，y)作为点P的坐标， 记作P (x，y)，则所有这些点的集合构成一个曲线，把这种用 点的集合 表示函数的方法叫做图象法. (3)列表法：用列出 自变量x 与对应的 函数值y 的表格来表达两个变量间
【规律总结】 (1)集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯 一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；而函数是特殊的映射，要求 两个集合都是数集； (2)集合A中无闲元，集合B中可以有闲元； (3)可以多对一，不能一对多.
为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加 密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应 密文a＋2b，2b＋c,2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收 方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为( B ) A.7,6,1,4 C.4,6,1,7 B.6,4,1,7 D.1,6,4,7
离散数学4.1-2
离散数学
5
函数的概念
续:
从A到B的不同的函数仅有22=4个.分别如下: f1={<a,1>,<b,1>};f2={<a,1>,<b,2>}; f3={<a,2>,<b,1>};f4={<a,2>,<b,2>}.
常将从A到B的一切函数构成的集合记为BA:BA={f|f: A→B}
离散数学
6
函数的概念
gοf(a1)=g(f(a1)) ο
离散数学
18
逆函数和复合函数
定理 设f和g分别是A到B和从B到C的函数,则: 如f,g是满射,则gοf也是从A到C满射; 如f,g是入射,则gοf也是从A到C入射; 如f,g是双射,则gοf也是从A到C双射. 证明: 对任意c∈C 由于g是满射,所以存在b∈B c∈C, b∈B, 证明:1) 对任意c∈C,由于g是满射,所以存在b∈B, 使得g(b) g(b)= 对于b∈B 又因f是满射,所以存在a∈A b∈B, a∈A, 使得g(b)=c.对于b∈B,又因f是满射,所以存在a∈A, 使得f(a) f(a)= 从而有g(b)=g(f(a))= (a)= 使得f(a)=b.从而有g(b)=g(f(a))=gοf(a)=c. 即存在a∈A,使得:gοf(a)=c,所以fοg是满射. 即存在a∈A,使得: (a)= 所以f 是满射. a∈A
离散数学
11
函数的概念
续: 证明:1) 证f是入射.任取S1,S2∈P(An),S1≠S2, 则存在元素aj(1≤j≤n),使得aj∈S1,ajS2或相反 aj∈S2,ajS1. 从而f(S1)=b1b2b3…bn中必有bj=1,f(S2)=c1c2c3…cn必有 cj=0或相反f(S1)=b1b2b3…bn中必有bj=0,f(S2)= c1c2c3…cn必有cj=1. 所以f(S1)≠f(S2),即f是单射.
映射与函数知识点总结
映射与函数知识点总结一、映射与函数的概念1.映射的定义：将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的一些元素的规律称为映射。
对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有一个元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的映射。
记作f：A→B。
2.函数的定义：函数是一种特殊的映射，它满足每个元素a∈A只能对应一个元素b∈B的规律。
对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有唯一的元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的函数。
记作f：A→B。
3.定义域和值域：函数f的定义域是指所有可能作为函数输入的数的集合，通常用符号D(f)表示；函数f的值域是指函数所有可能的输出的数的集合，通常用符号R(f)表示。
二、映射与函数的性质1.单射：也称为一一对应，指当对于集合A中的不同元素a1和a2，它们在集合B中的对应元素f(a1)和f(a2)也不相同。
换句话说，每个元素a∈A都对应着集合B中唯一的元素。
2.满射：也称为映满函数，指函数的值域与集合B相同，即函数的所有可能的输出都在集合B中。
3.双射：即同时满足单射和满射的函数，也称为一一映射。
4.奇函数和偶函数：如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f是奇函数；如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f是偶函数。
5.反函数：如果函数f的定义域和值域都是实数集，且对于函数f中的每一对实数(x,y)，都有y=f(x)，则存在一个函数g，使得对于函数g中的每一对实数(y,x)，都有x=g(y)。
这样的函数g称为函数f的反函数。
三、映射与函数的应用1.函数关系式：映射与函数可以描述实际问题中的各种关系，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
通过分析函数关系式，我们可以了解函数的性质和特点，从而应用到各种实际问题中。
2.函数的图像：通过绘制函数的图像，可以直观地表达函数的变化规律，了解函数的增减性、奇偶性、周期性等。
函数、映射的概念
函数、映射的概念•1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。
（2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。
2、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x ∈A}叫做函数f（x）的值域。
显然值域是集合B的子集。
3、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。
4、函数的表示方法：（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。
•映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。
1-1 映射与函数
例： f ( x ) x 2 在[0, )上单调增加
在 ( , 0]上单调减少 在 ( , )上不是单调的
函数的几种特性
3．函数的奇偶性
设函数f (x) 的定义域D关于原点对称
如果对于任一 x D, f ( x ) f ( x )恒成立
那么称函数f (x)为偶函数
四则运算
函 数
构造 复合映射
构造
基本初等函数
基本初等函数与初等函数
基本初等函数 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次
的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数
否则称为非初等函数
概念
概念 初等函数
逆映射
集 合 区 邻 间 域
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射 若对X中任意两个不同的元素
则称f为X到Y的单射 若映射 f 既是满射又是单射, 则称 f 为一一映射或双射. X f
它们的像
逆映射 若f 是从X到Y的单射，可定义一个从 对每个 规定
到X的新映射g
这x满足
这个映射g称为f的逆映射，记作 注 (1) 只有单射才存在逆映射 (2) 逆映射
1 y f ( x ), x f ( D) y f ( x ), x D 的反函数记成 一般地，
注 (1) f 在D上单调增加（减少），f 1 必定存在
1 且 f 在f (D)上也单调增加（减少）
(2) 函数y=f (x)与其反函数 y f 1 ( x ) 的图形 关于直线y=x对称
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
《高等数学》第一节：映射与函数
[
, ] 2 2
y
y tan x 定义域 (,) y x 值域 ( 2 , 2 ) 2 y arctan x
2
2
0
2
x
| arctanx |
定义域 (,)
2
2
y
y x
0
2
y arc cot x x
x
shx e e 双曲正切 thx x chx e e x 反双曲正切
1 1 x y arthx ln . 2 1 x
(3)非初等函数 狄利克雷函数、 取整函数、 分段函数等
练习
[ x] (1) f ( x )定义域为 (0,1)，求 g( x ) f ( )的定义域 . x D { x R | x 1且x 2,3,}.
cos
,
(2)初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和 有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.
例3：双曲函数与反双曲函数 双曲函数 反双曲函数
e x e x 双曲正弦 shx 2 e x e x 双曲余弦 chx 2
x
反双曲正弦 y arshx ln( x x 2 1) 反双曲余弦 y archx ln( x x 2 1)
高 等 数 学
研究对象 研究内容 研究工具
上册 极限
一元函数 微分学与积分学 函数 微分方程 空间解析几何与向量代数 多元函数 微分学与积分学 下册 无穷级数
高 等 数 学
应用
用哪个？ 条件？
不合条件， 改造！
2015高考总复习数学(文)课件：2.1 函数与映射的概念
3
3.(2013 年江西)函数 y＝ xln(1－x)的定义域为( B )
A.(0,1) C.(0,1] B.[0,1) D.[0,1]
x≥0， 解析：由题意，得自变量满足 1－x>0
解得 0≤x<1，即函
数 y＝ xln(1－x)的定义域为[0,1).故选 B.
1 4.(2012 年四川)函数 f(x)＝ 1－2x
________，f(2x＋1)的定义域为________；
(3)若函数 f(x)的值域为[2,3]，则 f(x－1)的值域为________；
f(x)－1 的值域为________.
正解：(1)若函数 f(x)的定义域为[2,3]， 则 f(x－1)有 2≤x－1≤3，解得 3≤x≤4. 即 f(x－1)的定义域为[3,4]. (2)若函数 f(x－1)的定义域为[2,3]， 即 2≤x≤3，有 1≤x－1≤2，则 f(x)的定义域为[1,2]. 1 而 f(2x＋1)有 1≤2x＋1≤2，解得 0≤x≤2.
x＋1≠0， 要使函数有意义，应满足 1 ＋1≠0， x ＋ 1 即 x≠－1，且 x≠－2. 故函数的定义域是{x|x∈R，x≠－1，且 x≠－2}.
易错、易混、易漏 ⊙对复合函数的定义域理解不透彻 例题：(1)若函数 f(x)的定义域为[2,3]，则 f(x－1)的定义域 为________； (2) 若 函 数 f(x － 1) 的定义域为 [2,3] ，则 f(x) 的定义域为
－
C.f(x)＝2x＋3，T 将函数 f(x)的图象关于点(－1,1)对称
π D.f(x)＝sinx＋3，T
将函数 f(x)的图象关于点(－1,0)对称
考点 3 求函数的定义域
映射的概念和函数的概念
映射的概念和函数的概念映射的概念和函数的概念都涉及了数学中的一种关系，在数学中常被用来描述元素之间的对应关系。
虽然映射和函数都描述了元素之间的关系，但在不同的数学领域和语境中，这两个术语的使用可能略有不同。
下面将分别对映射和函数这两个概念进行较为详细的解释。
映射是数学中的一个概念，它描述了元素之间的一种对应关系。
简单来说，映射就是将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素，其中每个元素在映射中只能被对应一次。
映射通常用箭头“→”或者表示，例如“f: A →B”，表示把集合A中的元素映射到集合B中的元素。
其中，A称为映射的定义域或者输入域，B称为映射的值域或者输出域。
映射的定义可以相当灵活，可以是任意类型的元素之间的对应关系，不仅局限在数字之间的对应关系。
例如，我们可以定义一个映射f，把一个人的名字对应到他的年龄上。
在这个例子中，映射的定义域是人的名字的集合，值域是人的年龄的集合。
我们可以通过查找映射f来找到某个人的年龄。
函数是映射的一种特殊情况，它在数学中具有更为具体严格的定义。
函数是一种关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用一种常见的表示法“y = f(x)”来展示，其中y是函数的输出，x是函数的输入。
函数的定义域是所有可能的输入，而值域则是所有可能的输出。
函数的定义域和值域可以是实数集、整数集或者其他类型的集合，取决于问题的具体上下文，而函数的定义域和值域通常具有一定的关系。
例如，我们可以定义一个函数f(x) = x²，其中定义域和值域都是实数集。
这个函数接受一个实数作为输入，并将其平方作为输出。
函数在数学中有很多重要的属性和性质。
比如，函数可以是线性的、非线性的、一一对应的、多对一的、单射的、满射的等等。
函数之间可以进行运算，比如函数的加法、减法、乘法和除法。
函数还可以进行复合，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
在计算机科学中，函数被广泛应用于编程和算法设计中。
第2讲 函数与映射的概念js
第二讲 函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念 (1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →:★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域[误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a[正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域[误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而22-≤≤-b x a ，所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[--b a[正解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，则b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[++b a 即本题的实质是由b x a ≤≤求2+x 的范围 即)(x f 与)2(+x f 中x 含义不同重难点：2．求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 221++-=x x y 就是利用函数u y 21log =和322++-=x x u 的值域来求。
高数课件-映射与函数
义的一切实数组成的合集，这种定义域称为函数的自然定义域。在这种约定之下，一
般的用算是表达的函数可用“y=∱（x）”表达，而不必再出Df。
例如，函数y=
1- x 2 的定义域是封闭间 -1，1 ，函数y=
1 的定义域是开区间 1- x2
（-1，1）。
表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公 式法）。其中，用图形法表下）的像，并记作∱（χ）,即
y=∱（χ）, 而元素χ称为元素y（在映射∱下）的一个原像；集合X称为映射∱的定义域，记作Df， 即Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射∱的值域，记作Rf或者∱（χ），即
Rf=∱(X)= f(x) I χ∈X
在上述映射的定义中，需要注意的是：
映 射
与
主讲人： 日期 :
函 数
第一节 映射与函数
映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一 种。本节主要介绍映射、函数及有关概念，函数的性质与运算等。
一.映射
1.映射概念 定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则∱，使得对X中的每个元素χ，按法则∱， 在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称∱为从X到Y的映射，记作
由复合映射的定义可知，映射ℊ和∱构成复合映射的条件是：ℊ的值域Rg必须包含 在∱的定义域内，即Rg⊂Df,否则，不能构成复合映射。由此可以知道，映射ℊ和∱的复 合是有顺序的，∱∘ℊ有意义并不表示ℊ∘∱也有意义。即使∱∘ℊ与ℊ∘∱都有意义，复合映 射∱∘ℊ与ℊ∘∱也未必相同。
例4
设有映射ℊ：R→ -1，1 ，对每个x∈R，ℊ（x)=sinx；映射∱： -1，1 → 0，1 ， 对每个 u∈ -1，1 ，∱（u)= 1- u2,则映射ℊ和∱构成的复合映射∱∘ℊ：R→ 0，1
高考总复习2函数与映射的概念s
第2讲函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念 (1)函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为 (2)函数的定义域、值域在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数的定义域为，求的定义域[误解]因为函数的定义域为，所以，从而 故的定义域是[正解]因为的定义域为，所以在函数中，， 从而，故的定义域是 即本题的实质是求中的范围问题2：已知的定义域是，求函数的定义域 [误解]因为函数的定义域是，所以得到，从而B A 、f A x B A B A x x f y ∈=),(A x x f y ∈=),(x x A )(x f y =x y {}A x x f ∈)()(x f y =B A 、f A B A B B A f →:)(x f y =][b a ，)2(+=x f y )(x f y =][b a ，b x a ≤≤222+≤+≤+b x a )2(+=x f y ]2,2[++b a )(x f y =][b a ，)2(+=x f y b x a ≤+≤222-≤≤-b x a )2(+=x f y ]2,2[--b a b x a ≤+≤2x )2(+=x f y ][b a ，)(x f y =)2(+=x f y ][b a ，b x a ≤+≤2，所以函数的定义域是[正解]因为函数的定义域是，则，从而 所以函数的定义域是，即本题的实质是由求的范围， 即与中含义不同重难点：2．求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数，可变为解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数就是利用函数和的值域来求。