函数与映射概念的理解

玩转函数第一招第1招：函数与映射概念的理解【知识点理解】①映射.映射f : A→B 的概念。

对于两个集合A，B 如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任．何．一．个．元素在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括A、B 及f）叫做从集合 A 到集合B的映射. 记作：f：A→B.对于映射这个概念，应明确以下几点：①映射中的两个集合A 和B 可以是数集，点集或由图形组成的集合以及其它元素的集合.②映射是有方向的，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往是不相同的.③映射要求对集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有象，而这个象是唯一确定的.这种集合 A 中元素的任意性和在集合 B 中对应的元素的唯一性构成了映射的核心.④映射允许集合B 中的某些元素在集合A 中没有原象，也就是由象组成的集合 C B.⑤映射允许集合A 中不同的元素在集合B 中有相同的象，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”.一一映射：设 A ，B 是两个集合，f ：A → B 是从集合 A 到集合 B 的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合A 中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且 B 中每一元素都有原象，那么这个映射叫做从．A．到．B．上．的一一映射.一一映射既是一对一又是 B 无余的映射.在理解映射概念时要注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

总结：取元任意性，成象唯一性。

【精准训练】（1）设f :M→N是集合M到N的映射，下列说法正确的是A、M中每一个元素在N中必有象B、N中每一个元素在M中必有原象C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的D、N是M中所在元素的象的集合（答：A）；（2）、若从集合A 到集合B 的映射 f满足 B 中的任何一个元素在 A中都有原象，则称映射 f 为从集合 A 到集合 B 的满射，现集合 A 中有 3 个元素，集合 B 中有 2 个元素，则从集合 A 到集合 B 的满射 f 的个数是： A 、 5 B 、6 C、 8 D、 9 （答：B ）（3）点（a,b）在映射f的作用下的象是（a-b,a+b），则在f作用下点（3,1）的原象为点 _______ （答：（2，－1））；（4）a、b为实数，集合M{b ,1}, N ={a,0}, f : x→ x表示把集合M中的元素x映射到集合N中a 仍为x，则a +b= A、1 B、0 C、－1 D、±1（5）若A = {1,2,3,4}，B ={a,b,c}，a,b,c R，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B的函数有个（答：81,64,81）；（6）设集合M={-1,0,1},N={1,2,3,4,5}，映射f :M→ N满足条件“对任意的x M，x+ f（x）是奇数”，这样的映射f有_____ 个（答：12）；（7）设f :x→ x2是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则A B一定是_______ （答：或{1}）.8）、已知集合A = {1, 2,3} ，B={-1,0,1}，则满足条件f（3）=f（1）+f（2）的映射f : A→ B的个数是（）（A）2 （B）4 （C）5 （D）7（9）、从集合A={1,2,3}到B={3,4}的映射f : A→ B中满足条件f（3）= 3个数是（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D）6（10）、已知集合A={1,2,3}，在A→ A的映射中满足条件f（3）=3，f（2）=1个数是（）（11）、．A={1，2，3，4，5，}，B={6，7，8，}从集合A到B的映射中满足f（1）≤f （2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射有（）A、27B、9C、21D、12解：（1）当一个不等号也没有时，（即与B中的一个元素对应），则f有C13个（2）有一个不等号时的映射（即与B 中的两个元素对应），f 有C 14 ·C 32 =12个（3）有二个不等号的映射，f 有C 24 ·C 32 =6个。

所以共有3+12+6=21 个，答案选C 。

（12）、已知映射 f : A → B ，其中集合 A =｛-2,-1,0,1,2,3,4｝，集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的aA ，在B 中和它对应的元素为a 2 ，则集合B 的真 子集个数是————。

（13）、设集合A = ｛a ,b ｝， f : A → A 是映射，且满足条件 f f （x ）= f（x ），这样的从 A →A 自身的映射个数是（A ）1（B ）2（C ）3 （D ）4 （14）、已知集合M =｛x ,y ,z ｝，N =｛-1,0,1｝，则满足条件 f （x ）+f （y ）=f （z ）的映射f :M →N 的个数是（A ）1 （B ）5 （C ）7 （D ）10 （15）、从任何一个正整数n 出发，若n 是偶数就除以2，若n 是奇数就乘3再加1,如此继 续下去…,现在你从正整数3 出发，按以上的操作，你最终得到的数不可能是A ，10B ，4C ，2D ，1（ 16 ）、已知集合A = ｛-1,0,1｝ ， B =｛-2,-1,0,1,2｝ ，则满足条件：对每一个 x A ,恒使x + f （x ） 是 偶 数 的 映 射 f :A →B 的 个 数 是（A ）4 （B ）7 （C ）12 （D ）非上述结果 （17）、 由x 4 +a x 3 +a x 2 +a x +a = （x +1）4 +b （x +1）3 +b （x +1）2 +b （x +1）+b 定义映射 f ：（a 1,a 2,a 3,a 4）→ （b 1,b 2,b 3,b 4），则（4,3,2,1）的象是（） A 、 （1,2,3,4）B 、 （0,3,4,0）C 、 （-1,0,2,-2）D 、 （0,-3,-4,-1）a c x x '=ax +cy x ' 2 -1x a c x ，则｛x '=ax +cy ，按照 x ' = 2 -1 x ，称b d yy '=bx +dy y ' pq y 点（x,y ）映到点（x',y'）的一次变换。

把直线 y=kx 上的各点映到这点本身，而把 直线 y=mx 上的各点映到这点关于原点的对称点。

这时， k= m= p= q= 24，1，3，3，-2（19）设 M ＝｛平面内的点（a ，b ）｝，N ＝｛f （x ）|f （x ）＝a cos2x +b sin2x ｝，给出 M 到 x'=N 的映射f：（a，b）→f（x）＝a cos2x＋b sin2x，则点（1，3）的象f（x）的最小正周期为ππA．πB．2πC．D．②函数：1函数定义a:传统(古典)定义：如果在某变化过程中，有两个变量x，y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y 就是x 的函数.x 叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.b: 近代(映射)定义：设A ，B 都是解空的数的集合，f 是从A 到B 的一个对应法则，那么A 到B 的映射f：A→B叫做A到B的函数.记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合 A 叫做函数f(x) 的定义域。

象集合C叫做函数f ( x)的值域, C B.注：(1)两种定义的比较：①相同点： 1 °实质一致2°定义域，值域意义一致3°对应法则一致②不同点：1°传统定义从运动变化观点出发，对函数的描述直观，具体生动.2 °近代定义从集合映射观点出发，描述更广泛，更具有一般性 .( 2 )对函数定义的更深层次的思考：①映射与函数的关系：函数是一种特殊的映射 f ： A → B ，其特殊性表现为集合 A ， B 均为非空的数集..函数f : A →B 是特殊的映射。

特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。

小结：函数概念8 个字：非空数集上的映射。

②函数三要素1°核心——对应法则等式y=f(x)表明，对于定义域中的任意x，在“对应法则f”的作用下，即可得到y.因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径.是联系x 与y 的纽带，从而是函数的核心.对于比较简单的函数，对应法则可以用一个解析式来表示，但在不少较为复杂的问题中，函数的对应法则 f 也可以采用其他方式(如图表或图象等).2°定义域定义域是自变量x 的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数.在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解析式表示的.如果没有特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x 的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题.3°值域值域是全体函数值所组成的集合.在一般情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定.因此，判断两个函数是否相同，只要看其定义域与对应法则是否完全相同，若相同就是同一个函数，若定义域和对应法则中有一个不同，就不是同一个函数.同一函数概念。

构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。

而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。

③关于函数符号 y=f(x)1°、y=f(x) 即“y 是 x 的函数”这句话的数学表示.仅仅是函数符号，不是表示“y 等于f 与 x的乘积”.f(x)也不一定是解析式.2°、f(x)与 f(a)的区别：f(x)是 x 的函数，在通常情况下，它是一个变量.f(a)表示自变量 x=a时所得的函数值，它是一个常量即是一个数值.f(a)是 f(x)的一个当 x=a 时的特殊值.3°如果两个函数的定义域和对应法则相同虽然表示自变量的与函数的字母不相同，那么它们仍然是同一个函数，但是如果定义域与对应法则中至少有一个不相同，那么它们就不是同一个函数.例：y=f（x）=ax2+bx+c，a，b，c 为常量且x≥0 与S=g（t）=at2+bt+c、a，b，c 为相同的常量且t≥0.则我们说这两个函数是同一个函数，对于它们的图象是一个相同的曲线.4°有些函数在它的定义中，对于自变量 x 的不同的取值范围，对应法则不相同，例如：x, x>0y=f（x）=|x|= 0, x=0 这样的函数通常称为分段函数.注意，分段函数是一个函数，-x, x<0而不是几个函数. 2．函数的常用的表示法（ 1 ）解析法：将两个变量的函数关系用一个等式来表示 .（ 2 ）列表法：利用表格来表示两个变量的函数关系 .（ 3 ）图象法：用图象来表示两个变量的函数关系 . 3．实数集的三种表示方法：集合表示法，不等式表示法，区间表示法. 这个问题实质上涉及到函数的定义域与值域的表示法，而定义域的确定和值域的确定是函数概念中两个重要的问题.而区间的概念在函数的定义域中，显得十分重要.设a，b∈R 且a<b，则下列的不等式表示的实数x 的集合可分别表示为：（ 1 ） a ≤ x ≤b 表示为闭区间[a ，b]. 数轴表示为:（2）a<x<b 表示为开区间（a，b）.数轴表示为a b（ 3 ） a ≤ x<b 表示为左闭右开区间[a ，b] 数轴表示为:（4）a<x≤b 表示为右闭左开区间（a，b]数轴表示为（ 5 ）x∈ R 表示为（- ∞，+ ∞）数轴表示为整个数轴（6）x≤a，表示为（-∞，a]数轴表示为a7）x≥a 表示为[a，+∞] 数轴表示为:精准训练】1)已知函数y = f (x), x a,b,那么集合{(x, y) | y = f (x), x [a,b ]}{(x,y)|x=2}中所含元素的个数是A. 0 个B. 1 个C. 0 或1 个D. 0 或1 或无数个2）若函数y = 1x2- 2x + 4的定义域、值域都是闭区间[2,2b] ，则b＝（答：2）3）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函 数”，那么解析式为y = x 2 ，值域为｛4，1｝的“天一函数”共有 ___ 个（答：9）（4）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函 数”，那么函数解析式为 y=2x 2+1，值域为｛5,19｝的“孪生函数”共有A 、10 个B 、9 个C 、8 个D 、7 个（5）已知函数 y = f （x ）,它的图象与直线的交点的个数是（ ）（A ）至少一个 （B ）至多一个 （C ）一个或两个 （D ）可能有无数个（6x1 2 3 g （f （ x ））A. 3,1,2 B . 2,1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,1附： 趣说函数函数是一种特殊的映射，当A , B 时非空的数的集合时，映射 f :A →B 就叫做从A 到B 的函数，记作 y = f （x ），其中xA ,yB . 解析式y = f （x ）表示，对于集合A 中的任意一个x ，在对应法则 f 的作用下，即可得 到 y ，因此， f 是使“对应”得以实现的方式和途径，是联系 x 与 y 的纽带，从而是函数 的核心. f 可用一个或多个解析式来表示，也可以用数表或图象等其他方式表示.原象集合A 叫函数 f （x ）的定义域，象集合B 叫函数 f （x ）的值域，很明显 C B . “函数”概念是初中和高中阶段的重点和难点，有不少的同学直到高三还不能深刻理解 这一概念.原因在于这一概念的抽象性，如果把“函数”与我们实际生活结合起来，同学们 学起来就会觉得既有意义又容易理解和运用.1 函数是个“信使”“函”字本身就有“信件”之意，每封信都是由邮递员按地址投到不同的的地方，每 封信上都写有确定的地址，不能含混不清.同样，“函数”也是这样，每个自变量 x 都要按一 定的对应法则与确定的 y 一一对应.自变量x 就是一封信，它被“对应法则”这个信使送到 确定的“收信x 1 2 3 f （x ） 2 3 1 x 12 3 g （x ）1 3 2人”——y手里.2 函数是个“产品加工厂”工厂里把原料按规格加工成不同的产品.函数就是把自变量x按规格——“对应法则” “加工”成不同产品——y .它也象“数字发生器”把原料——自变量x，投入不同的“数字发生器”——“对应法则”就会得到不同的产物——因变量y .3 函数是个“无能的射手”有本领的射手可以“一箭双雕”，可函数不行，有可能射不中目标，但它能多箭一雕. 正如，由数集A到数集B的映射中，B中每个元素必有原象，也可有多个原象. A中元素在B 中可以没有象.4函数是“封建社会的婚宴”在封建社会，流传着“好女不嫁二夫”，但“一夫可多妻”.同样函数中多个自变量x可对应一个函数值y，但是一个“妇女”——自变量x不能找多个“婆家”——y值.在现代社会是“一夫一妻”制，这正如有反函数的函数x与y之间必须是一一对应的.有了上面的解释，你对“函数”这个概念是否更加了解了呢？其实，只要我们对数学产生了兴趣，能经常和我们的生活联系在一起，就易学多了.(7)设a、b为常数，M ={f(x)| f(x) = a cos x + b sin x}; F：把平面上任意一点(a，b )映射为函数a cos x + b sin x.( 1 )证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；(2)证明：当f0(x)M时，f1(x)= f0(x+t)M，这里t为常数；(3)对于属于M的一个固定值f0(x)，得M1 ={f0(x+t),t R}，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？7解：(1)假设有两个不同的点( a，b )，( c，d )对应同一函数，即F(a,b) = a cos x + b sin x与F(c,d) = c cos x+ d sin x相同，即a cos x+b sin x = c cos x + d sin x对一切实数x均成立。