第2讲 函数与映射的概念js
映射与函数教案范文
映射与函数教案范文第一章：映射的概念与性质1.1 映射的定义教学目标：让学生理解映射的概念，掌握映射的表示方法。
教学内容：介绍映射的定义，举例说明映射的概念。
教学方法：通过具体例子引导学生理解映射的概念，互动提问，巩固学生对映射的理解。
教学步骤：（1）引入映射的概念，引导学生思考在日常生活中遇到的映射现象。
（2）给出映射的定义，解释映射的基本要素：集合、对应关系。
（3）通过具体例子，让学生理解映射的表示方法，如图示、表格等。
（4）引导学生总结映射的性质，如单射、满射、双射等。
1.2 映射的性质教学目标：让学生掌握映射的性质，学会判断映射的类型。
教学内容：介绍映射的性质，包括单射、满射、双射等。
教学方法：通过实例分析，让学生理解映射的性质，互动提问，巩固学生对映射性质的掌握。
教学步骤：（1）回顾上一节的内容，引导学生思考映射的性质。
（2）讲解单射、满射、双射的定义与特点，举例说明。
（3）让学生通过实例分析，判断映射的类型。
（4）总结映射的性质，引导学生掌握判断映射类型的方法。
第二章：函数的概念与性质2.1 函数的定义教学目标：让学生理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
教学内容：介绍函数的定义，举例说明函数的概念。
教学方法：通过具体例子引导学生理解函数的概念，互动提问，巩固学生对函数的理解。
教学步骤：（1）引入函数的概念，引导学生思考在日常生活中遇到的函数现象。
（2）给出函数的定义，解释函数的基本要素：定义域、值域、对应关系。
（3）通过具体例子，让学生理解函数的表示方法，如图示、表格等。
（4）引导学生总结函数的性质，如单调性、奇偶性等。
2.2 函数的性质教学目标：让学生掌握函数的性质，学会判断函数的类型。
教学内容：介绍函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。
教学方法：通过实例分析，让学生理解函数的性质，互动提问，巩固学生对函数性质的掌握。
教学步骤：（1）回顾上一节的内容，引导学生思考函数的性质。
（2）讲解单调性、奇偶性、周期性的定义与特点，举例说明。
离散数学4.1-2
离散数学
5
函数的概念
续:
从A到B的不同的函数仅有22=4个.分别如下: f1={<a,1>,<b,1>};f2={<a,1>,<b,2>}; f3={<a,2>,<b,1>};f4={<a,2>,<b,2>}.
常将从A到B的一切函数构成的集合记为BA:BA={f|f: A→B}
离散数学
6
函数的概念
gοf(a1)=g(f(a1)) ο
离散数学
18
逆函数和复合函数
定理 设f和g分别是A到B和从B到C的函数,则: 如f,g是满射,则gοf也是从A到C满射; 如f,g是入射,则gοf也是从A到C入射; 如f,g是双射,则gοf也是从A到C双射. 证明: 对任意c∈C 由于g是满射,所以存在b∈B c∈C, b∈B, 证明:1) 对任意c∈C,由于g是满射,所以存在b∈B, 使得g(b) g(b)= 对于b∈B 又因f是满射,所以存在a∈A b∈B, a∈A, 使得g(b)=c.对于b∈B,又因f是满射,所以存在a∈A, 使得f(a) f(a)= 从而有g(b)=g(f(a))= (a)= 使得f(a)=b.从而有g(b)=g(f(a))=gοf(a)=c. 即存在a∈A,使得:gοf(a)=c,所以fοg是满射. 即存在a∈A,使得: (a)= 所以f 是满射. a∈A
离散数学
11
函数的概念
续: 证明:1) 证f是入射.任取S1,S2∈P(An),S1≠S2, 则存在元素aj(1≤j≤n),使得aj∈S1,ajS2或相反 aj∈S2,ajS1. 从而f(S1)=b1b2b3…bn中必有bj=1,f(S2)=c1c2c3…cn必有 cj=0或相反f(S1)=b1b2b3…bn中必有bj=0,f(S2)= c1c2c3…cn必有cj=1. 所以f(S1)≠f(S2),即f是单射.
映射的概念
这些对应就是今天我们将要学习的概念“映 射”。前一章，学习了元素与集合及集合与 集合之间的关系，而映射是重点研究两个集 合的元素与元素之间的对应。
映射
1、定义：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对
应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都
４、班级里的每一位学生都有唯一确定的学号与他对 应。
再如，某班级全体同学组成的集合为Ａ，正 实数集为Ｂ，让每位同学与其体重对应，则 Ａ中的每一个元素，在Ｂ中都有唯一元素与 之对应，用图可表示为：
f: x y y为x的体重数
Ａ
Ｂ
再如，坐标平面内的所有点组成的集合为Ａ， 所有的有序数对组成的集合为
Ｂ＝｛﹙ｘ，ｙ﹚∣ｘ∈Ｒ，ｙ∈Ｒ｝． 让每一点与其坐标对应，则Ａ中的每一个元素
有惟一元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A、
B及A到B的对应法则）叫做集合A到集合B的映射，记
作f：A B
2、 映射是 特殊的对应
A、B及A到B的对应法则三部分构成整体 满足A中“任一”到B中“惟一”
3、 f：A B与f：B A是不同的。
4、集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合。
5、映射与函数的区别和联系：函数是特殊的映射， 它是两个非空数集之间的映射。所以，函数是映射， 但映射不一定是函数。
1
(C) f: x y= 4 x
（） 1 (B) f: x y= 3 x
1
(D) f: x y= 6 x
例3 设集合M={x|0x1},N={y|0y1},则下列 四个图像中,表示从M到N的映射的有哪些?
y 1
0
1
x
(1)
y
y
映射与函数知识点总结
映射与函数知识点总结一、映射与函数的概念1.映射的定义：将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的一些元素的规律称为映射。
对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有一个元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的映射。
记作f：A→B。
2.函数的定义：函数是一种特殊的映射，它满足每个元素a∈A只能对应一个元素b∈B的规律。
对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有唯一的元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的函数。
记作f：A→B。
3.定义域和值域：函数f的定义域是指所有可能作为函数输入的数的集合，通常用符号D(f)表示；函数f的值域是指函数所有可能的输出的数的集合，通常用符号R(f)表示。
二、映射与函数的性质1.单射：也称为一一对应，指当对于集合A中的不同元素a1和a2，它们在集合B中的对应元素f(a1)和f(a2)也不相同。
换句话说，每个元素a∈A都对应着集合B中唯一的元素。
2.满射：也称为映满函数，指函数的值域与集合B相同，即函数的所有可能的输出都在集合B中。
3.双射：即同时满足单射和满射的函数，也称为一一映射。
4.奇函数和偶函数：如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f是奇函数；如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f是偶函数。
5.反函数：如果函数f的定义域和值域都是实数集，且对于函数f中的每一对实数(x,y)，都有y=f(x)，则存在一个函数g，使得对于函数g中的每一对实数(y,x)，都有x=g(y)。
这样的函数g称为函数f的反函数。
三、映射与函数的应用1.函数关系式：映射与函数可以描述实际问题中的各种关系，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
通过分析函数关系式，我们可以了解函数的性质和特点，从而应用到各种实际问题中。
2.函数的图像：通过绘制函数的图像，可以直观地表达函数的变化规律，了解函数的增减性、奇偶性、周期性等。
函数、映射的概念
函数、映射的概念•1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。
（2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。
2、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x ∈A}叫做函数f（x）的值域。
显然值域是集合B的子集。
3、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。
4、函数的表示方法：（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。
•映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。
2020年浙江高考数学一轮复习：函数及其表示
••＞必过数材美函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A TB 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数X，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A T B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A T B为从集合A到集合B的一个映射记法y= f(x)，x€ A对应f：A T B是一个映射2. 函数的有关概念(1) 函数的定义域、值域：在函数y= f(x), x€ A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x € A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.(2) 函数的三要素：定义域、值域和对应关系.(3) 相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.(4) 函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表________3. 分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.［小题体验］1. (2018台州模拟)下列四组函数中，表示相等函数的是()A. f(x)= x2，g(x)= x2B. f(x)=子，g(x)= ：2函数及其表示C. f(x)= 1, g(x)= (x — 1)2x — 9D. f(x)= "x+J , g (x)=x— 3解析：选B 选项A 中，f(x) = x 2与g(x)= x 2的定义域相同，但对应关系不同；选项B中，二者的定义域都为 ｛x|x >0｝,对应关系也相同；选项 C 中，f(x)= 1的定义域为R , g(x) 0 x 2— 9=(x — 1)0的定义域为｛x|x M 1｝；选项 D 中，f(x)= 的定义域为｛x|x M — 3｝, g(x)= x — 3 x + 3的定义域为R.2.若函数 y = f(x)的定义域为｛x| — 3w x < 8, x M 5｝，值域为｛y| — K y w 2, y M 0｝，贝y y =f(x)的图象可能是(解析：选B 根据函数的概念，任意一个 x 只能有唯一的 由定义域为｛x|— 3< x w 8, X M 5｝排除A 、D 两项，故选 B.___ 13.函数f(x)= 2x- 1+口的定义域为解析：由题意得I2 — 1> 0， 解得x > 0且X M 2.lx — 2M 0,答案：［0,2) U (2,+^ )4.若函数 f(x) = ex —IT 贝 “(2))=5 — x , x > 1 , 解析：由题意知，f(2) = 5— 4 = 1, f ⑴=e 0= 1,答案：15•已知函数f(x)= ax 3 — 2x 的图象过点(一1,4),贝V f(2)= 解析：T 函数f(x) = ax 3— 2x 的图象过点(—1,4),4= — a + 2,.°. a = — 2，即卩 f(x) = — 2x — 2x , ••• f(2) = — 2X 23— 2X 2=— 20. 答案：—20••I 必过易措关1•求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义 域.y 值和它对2•分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成” •求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.=2的解为解析: Wg)卜"。
映射的概念和函数的概念
映射的概念和函数的概念映射的概念和函数的概念都涉及了数学中的一种关系，在数学中常被用来描述元素之间的对应关系。
虽然映射和函数都描述了元素之间的关系，但在不同的数学领域和语境中，这两个术语的使用可能略有不同。
下面将分别对映射和函数这两个概念进行较为详细的解释。
映射是数学中的一个概念，它描述了元素之间的一种对应关系。
简单来说，映射就是将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素，其中每个元素在映射中只能被对应一次。
映射通常用箭头“→”或者表示，例如“f: A →B”，表示把集合A中的元素映射到集合B中的元素。
其中，A称为映射的定义域或者输入域，B称为映射的值域或者输出域。
映射的定义可以相当灵活，可以是任意类型的元素之间的对应关系，不仅局限在数字之间的对应关系。
例如，我们可以定义一个映射f，把一个人的名字对应到他的年龄上。
在这个例子中，映射的定义域是人的名字的集合，值域是人的年龄的集合。
我们可以通过查找映射f来找到某个人的年龄。
函数是映射的一种特殊情况，它在数学中具有更为具体严格的定义。
函数是一种关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用一种常见的表示法“y = f(x)”来展示，其中y是函数的输出，x是函数的输入。
函数的定义域是所有可能的输入，而值域则是所有可能的输出。
函数的定义域和值域可以是实数集、整数集或者其他类型的集合，取决于问题的具体上下文，而函数的定义域和值域通常具有一定的关系。
例如，我们可以定义一个函数f(x) = x²，其中定义域和值域都是实数集。
这个函数接受一个实数作为输入，并将其平方作为输出。
函数在数学中有很多重要的属性和性质。
比如，函数可以是线性的、非线性的、一一对应的、多对一的、单射的、满射的等等。
函数之间可以进行运算，比如函数的加法、减法、乘法和除法。
函数还可以进行复合，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
在计算机科学中，函数被广泛应用于编程和算法设计中。
js 数学函数
js 数学函数JavaScript 是一种非常强大的编程语言，它有很多内置的函数库来处理数字运算和数学计算。
这些函数被称为JavaScript 的数学函数或数学库。
JavaScript 的数学函数主要包含以下几种：1. Math 对象：Math 对象是JavaScript 的一个内置对象，它包含了很多常用的数学函数，例如：Math.pow()、Math.sqrt()、Math.sin()、Math.cos()、Math.tan()、Math.min()、Math.max()等等。
Math 对象也包含了常数值，例如：Math.PI、Math.E 等等。
2. Number 对象：JavaScript 中Number 对象也有一些内置的数学函数，例如：Number.toFixed()、Number.toPrecision() 等等。
这些函数可以让我们控制数字的精度和格式。
3. Random 对象：Random 对象也是JavaScript 的一个内置对象，它主要用于生成随机数。
Random 对象包含了一些常用的函数，例如：Math.random()、Math.floor()、Math.ceil()、Math.round() 等等。
4. Date 对象：JavaScript 中的Date 对象可以用来处理时间，时间的计算也属于数学计算的一部分。
Date 对象包含了一些常用的函数，例如：Date.now()、Date.parse()、Date.UTC() 等等。
这些数学函数都有其使用的场景和对应的语法规则，下面我们逐一来介绍它们：1. Math 对象1.1 Math.pow(base, exponent)：该函数用于计算一个基数的指数幂，其中base 表示基数，exponent 表示指数。
例如：console.log(Math.pow(2, 8)); 输出2561.2 Math.sqrt(x)：该函数用于计算一个数的平方根。
映射的概念
明目标、知重点 1.了解映射的概念，能够判定一些简单的对应是不是映射.2.通过对映射特殊化的分析，揭示出映射与函数之间的内在联系．1．映射的概念一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B.2．映射与函数的关系由映射的概念可以看出，映射是函数概念的推广，特殊在函数概念中，A、B为两个非空数集．[情境导学]大家想一想，如果我们都没有名字，这个世界将会怎样？一个人可以有小名，有笔名，有外号，有学名，是一人多名，也可能是多人一名，但为了便于管理，政府部门规定，每人只能有一个法定的名字，这样，每个人都有了唯一确定的身份证上的名字，人与名字的关系是集合到集合的一种确定的对应．在数学里，把这种集合到集合的确定性的对应说成映射．探究点一映射的概念思考1在初中我们已经学过对应法则，生活中还有很多在两个集合之间建立单值对应的例子，你能举出几个？答对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x，y)和它对应；对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位和它对应．思考2两变量的函数关系实质上是一种对应法则，其对应有何特点？答函数是建立在两个非空数集间的一种对应．思考3函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的两集合中的元素之间的对应法则，即映射．那么，你能给映射下个定义吗？答一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做从集合A到集合B的映射．记作f：A→B.思考4映射与函数有什么区别与联系？答映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射，函数是映射，但映射不一定是函数．例1下图所示的对应中，哪些是从A到B的映射？解根据映射的定义，可以知道上述图中，(4)的对应是A到B的映射，(1)、(2)、(3)的对应不是A到B的映射．反思与感悟对于映射f：A→B，A中元素与B中元素的对应法则，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．跟踪训练1下图表示集合A到集合B的映射的是______．答案(1)(4)探究点二映射概念的应用例2已知(x，y)在映射f的作用下的象是(x＋y，xy)．(1)求(1，－2)在f作用下的象；(2)若在f作用下的象是(2,1)，求它的原象．解(1)因为1－2＝－1,1×(－2)＝－2，所以，(1，－2)在f作用下的象是(－1，－2)．⎧⎧⎪x＋y＝2⎪x＝1(2)设它的原象是(x，y)，则有：⎨，解得：⎨.⎪xy＝1⎪⎩⎩y＝1所以，原象是(1,1)．反思与感悟由映射的定义可知：集合B可以有剩余的元素在A中没有原象，但集合A中每一个元素在B中都有象，不能有剩余的元素．跟踪训练2已知(x，y)在映射f的作用下的象是(x＋y，x－y)．(1)求(2，－2)在f作用下的象；(2)若在f作用下的象是(3，－1)，求它的原象．解(1)因为x＝2，y＝－2，所以x＋y＝0，x－y＝4，从而得(2，－2)在f作用下的象为(0,4)．⎧⎧⎪x＋y＝3，⎪x＝1，(2)由⎨得⎨即所求的原象为(1,2)．⎪x－y＝－1，⎪⎩⎩y＝2.探究点三映射与函数的关系例3给出下列四个对应法则：①A＝N*，B＝Z，f：x→y＝2x－3；②A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{y|y∈N*，y≤5}，f：x→y＝|x－1|；③A＝{x|x≥2}，B＝{y|y＝x2－4x＋3}，f：x→y＝x－3；④A＝N，B＝{y∈N*|y＝2x－1，x∈N*}，f：x→y＝2x－1.上述四个对应中是函数的有________．(填序号)答案①③反思与感悟判断两个集合之间的对应是否构成函数，首先应判断能否构成映射，且构成映射的两个集合之间对应必须是非空数集之间的对应．跟踪训练3设集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,9,25,49,81,100}，下面的函数关系式能构成A 到B的映射的有________．(填序号)①y＝(2x－1)2；②y＝(2x－3)2；③y＝2x－1；④y＝(x－1)2.答案④解析函数的定义域为A，对应的值域为B，只有④y＝(x－1)2满足x＝2,4,6,8,10时，对应的函数值分别为1,9,25,49,81.只有集合B中的元素100剩余，满足映射的定义中对A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应．1．从集合A到集合B的对应：＋①A＝R，B＝R，f：求绝对值；②A＝R，B＝R，f：开平方根；③A＝{平面内的点}，B＝{平面内的圆}，f：在平面内以A中的点为圆心画圆．其中是映射的个数是________．答案0解析①中，集合A的元素0在集合B中找不到对应的元素，所以①不是映射；②中，集合A中的元素4在集合B中有两个元素2和－2与之对应且负数没有平方根，不满足映射的定义；③中，由于圆的半径没有限制，所以一个圆心对应着无数个圆，所以③也不是映射．2．集合A和集合B都是实数集R，映射f：A→B是把集合A中的元素x对应到集合B中元素x3－x＋1，则映射f下象1的原象所组成的集合是________．答案{0，－1,1}解析由x3－x＋1＝1，得x＝0，－1,1.3．已知A＝{x，y，z}，B＝{2,3}，从A到B建立映射f，使得f(x)＋f(y)＋f(z)＝7，则满足条件的映射有________个．答案3解析∵f(x)＝f(y)＝2，f(z)＝3；f(x)＝f(z)＝2，f(y)＝3；f(y)＝f(z)＝2，f(x)＝3，所以满足条件的映射有3个．4．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤4}，则下述对应法则f中，不能构成从A到B的映射的是________．(填序号)①f：x→y＝x2；②f：x→y＝3x－2；③f：x→y＝－x＋4；④f：x→y＝4－x2.答案④解析对于④，当x＝2时，由对应法则y＝4－x2得y＝0，在集合B中没有元素与之对应，所以④不能构成从A到B的映射．[呈重点、现规律]1．映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的．2．对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．3．判断一个对应是否是映射，主要看第一个集合A中的每一个元素在对应法则下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，若唯一则这个对应就是映射.一、基础过关1．设f：A→B是从集合A到集合B的映射，则下面说法正确的是________．(填序号)①A中的每一个元素在B中必有元素与之对应；②B中每一个元素在A中必有元素与之对应；③A中的一个元素在B中可以有多个元素与之对应；④A中不同元素在B中对应的元素可能相同．答案①④解析根据映射的定义，只有①④符合．2．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，则下列能表示从P到Q的映射的是________．(填序号)1①f：x→y＝x；21②f：x→y＝x；32③f：x→y＝x；3④f：x→y＝x.答案①②④解析如果从P到Q能表示一个映射，根据映射的定义，对P中的任一元素，按照对应法28则f在Q中有唯一元素和它对应，③中，当x＝4时，y＝×4＝Q.333．下列集合A到集合B的对应中，不能构成映射的是________．(填序号)答案①②③解析①、②中的元素2没有对应的元素；③中1的对应元素有两个；只有④满足映射的定义．4．下列集合A，B及对应法则能构成函数的是________．(填序号)①A＝B＝R，f(x)＝|x|；1②A ＝B ＝R ，f (x )＝；x③A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6,7}，f (x )＝x ＋3；④A ＝{x |x >0}，B ＝{1}，f (x )＝x 0.答案①③④解析在②中f (0)无意义，即A 中的数0在B 中找不到和它对应的数．5．给出下列两个集合之间的对应法则，回答问题：①A ＝{你们班的同学}，B ＝{体重}，f ：每个同学对应自己的体重；②M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,4,6,8}，f ：n ＝2m ，n ∈N ，m ∈M ；③M ＝R ，N ＝{x |x ≥0}，f ：y ＝x 4；④A ＝{中国，日本，美国，英国}，B ＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f ：对于集合A 中的每一个国家，在集合B 中都有一个首都与它对应．上述四个对应中映射的个数为______，函数的个数为______．答案42解析①、②、③、④都是映射；②、③是函数．6．集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4}，从A 到B 的映射f 满足f (3)＝3，则这样的映射共有________个．答案4解析由于要求f (3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的对应元素的问题，总共有如图所示的4种可能．7．设f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射，其中A ＝{正实数}，B ＝R ，f ：x →x 2－2x －1，求A 中元素1＋2在B 中的对应元素和B 中元素－1在A 中的对应元素．解当x ＝1＋2时，x 2－2x －1＝(1＋2)2－2×(1＋2)－1＝0，所以1＋2的对应元素是0.当x 2－2x －1＝－1时，x ＝0或x ＝2.因为0A ，所以－1的对应元素是2.8．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 235⎫＋1)，求A 中元素2在B 中的对应元素和B 中元素⎛⎝2，4⎭在A 中的对应元素．解将x ＝2代入对应法则，可求出其在B 中的对应元素(2＋1,3)．⎧由⎨5x ＋1＝，⎩423x ＋1＝，21得x ＝.235⎫1，在A 中对应元素为.所以2在B 中的对应元素为(2＋1,3)，⎛⎝24⎭2二、能力提升9．设A ＝Z ，B ＝{x |x ＝2n －1，n ∈Z }，C ＝R ，且从A 到B 的映射是x →2x －1，从B 到C1的映射是y →，则经过两次映射，A 中元素1在C 中对应的元素为________．2y ＋11答案3解析A 中元素1在B 中对应的元素为2×1－1＝1，11而1在C 中对应的元素为＝.2×1＋1310．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表：映射f 的对应法则如下：A 中元素对应元素映射g 的对应法则如下：A 中元素对应元素则f [g 1]的值为________．答案1解析∵g (1)＝4，∴f [g 1]＝f (4)＝1.11．已知f 是从集合M 到N 的映射，其中M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－3,0,3}，则满足f (a )＋f (b )＋f (c )＝0的映射f 的个数是________．答案7f (a )＝3，⎧⎪解析⎨f (b )＝0，⎪⎩f (c )＝－3，f (a )＝－3，⎧⎪⎨f (b )＝3，⎪⎩f (c )＝0，1423314213243241f (a )＝－3，⎧⎪⎨f (b )＝0，⎪⎩f (c )＝3，f (a )＝3，⎧⎪⎨f (b )＝－3，⎪⎩f (c )＝0，f (a )＝0，⎧⎪⎨f (b )＝3，⎪⎩f (c )＝－3，f (a )＝0，⎧⎪⎨f (b )＝－3，⎪⎩f (c )＝3，f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.12．已知A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，其中m，n∈N*.若x∈A，y∈B，有对应法则f：x→y＝px＋q是从集合A到集合B的一个映射，且f(1)＝4，f(2)＝7，试求p，q，m，n的值．解由f(1)＝4，f(2)＝7，⎧⎧⎪p＋q＝4⎪p＝3列方程组：⎨⎨.⎪2p＋q＝7⎪⎩⎩q＝1故对应法则为f：x→y＝3x＋1.由此判断出A中元素3的对应值是n4或n2＋3n.若n4＝10，因为n∈N*，不可能成立，所以n2＋3n＝10，解得n＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A 中的元素m的对应元素是n4时，即3m＋1＝16，解得m＝5.当集合A中的元素m的对应元素是n2＋3n时，即3m＋1＝10，解得m＝3.由元素互异性知，舍去m＝3.故p＝3，q＝1，m ＝5，n＝2.三、探究与拓展13．在下列对应法则中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？哪些不是？(1)A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，对应法则f：“加1”；(2)A＝(0，＋∞)，B＝R，对应法则f：“求平方根”；(3)A＝N，B＝N，对应法则f：“3倍”；(4)A＝R，B＝R，对应法则f：“求绝对值”；(5)A＝R，B＝R，对应法则f：“求倒数”．解(1)中集合A中的每一个元素通过对应法则f作用后，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，显然，对应法则f是A到B的映射．(2)中集合A中的每一个元素通过对应法则f作用后，在集合B中都有两个元素与之对应，显然对应法则f不是A到B的映射．(3)中集合A中的每一个元素通过对应法则f作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f是从A到B的映射．(4)中集合A中的每一个元素通过对应法则f作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f是从A到B的映射．1(5)当x＝0∈A时，无意义，故对应法则f不是从A到B的映射.x。
映射、对应和函数1
中都有唯一的元素和它对应.
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四.映射与函数的联系和区别
映射、对应和函数 2019/4/29
映射:
设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应法则f,
对A中的任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y
与x对应,则称f是集合A到集合B的映射。
记作 f: A → B 函数： 设集合A是一个非空的数集，对A内任意数x，按
如果A、B是非空数集，那么A到B 的映射f:A B 就叫做A到B的函数
记作： y=f(x)
函数是一种特殊的映射
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映射、对应和函数
例3：在下列对应中、哪些是映射、那些映射是20函19/4数/29 、
那些不是？为什么？
（1）设A={1,2,3,4}，B={3,5,7,9}，对应关系：
f(x)=2x+1,x∈A .
设A,B是两个非空集合,如果按照 某种对应法则f,对A中的任意一个 元素x,在B中有且仅有一个元素y与 x对应,则称f是集合A到集合B的映 射.
这时, X称作y的原象,y称作是x在映射f的作
用的象,记作f(x), 于是
y=f(x).
映射f也可记为:
f: A →B
X → f(x)
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二、对概念的认识
映射、对应和函数 2019/4/29
照 确定的法则f，都有唯一确定的数值y与它应，则这 种对应关系叫做集合A上的一个函数。
记作 y=f(x),x∈A
联系：都是从A到B 的单值对应 区别：构成函数的两个集合必须是数集，而构成映射的两个集
合可以是其它集合
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四.映射和函数的联系和区别
映射、对应和函数 2019/4/29
因此还可以用映射的概念来定义函数：
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第二讲 函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念 (1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →:★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域[误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a[正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域[误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而22-≤≤-b x a ，所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[--b a[正解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，则b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[++b a 即本题的实质是由b x a ≤≤求2+x 的范围 即)(x f 与)2(+x f 中x 含义不同重难点：2．求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 221++-=x x y 就是利用函数u y 21log =和322++-=x x u 的值域来求。
（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。
如求函数22122+-+=x x x y 的值域由22122+-+=x x x y 得012)1(22=-++-y x y yx ，若0=y ，则得21-=x ，所以0=y 是函数值域中的一个值；若0≠y ，则由0)12(4)]1(2[2≥--+-=∆y y y 得021332133≠+≤≤-y y 且，故所求值域是]2133,2133[+- （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。
如求函数1cos 3cos 2+-=x x y 的值域，因为1cos 521cos 3cos 2+-=+-=x x x y ，而]2,0(1cos ∈+x ，所以]25,(1cos 5--∞∈+-x ，故 ]21,(--∞∈y（5）利用基本不等式求值域：如求函数432+=x xy 的值域当0=x 时，0=y ；当0≠x 时，xx y 43+=，若0>x ，则4424=⋅≥+xx x x 若0<x ，则4)4()(2)4(4=-⋅-≤-+--=+xx x x x x ，从而得所求值域是]43,43[-（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数])2,1[(2224-∈+-=x x x y 的值域因)14(22823-=-=x x x x y ，故函数])2,1[(2224-∈+-=x x x y 在)21,1(--上递减、在)0,21(-上递增、在)21,0(上递减、在)2,21(上递增，从而可得所求值域为]30,815[（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。
★热点考点题型探析考点一：判断两函数是否为同一个函数[例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）2)(x x f =，33)(x x g =；（2）x xx f =)(，⎩⎨⎧<-≥=;01,01)(x x x g（3）1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *）； （4）xx f =)(1+x ，x x x g +=2)(；（5）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g[解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。
[解析] （1）由于x x x f ==2)(，x x x g ==33)(，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函数x xx f =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，而⎩⎨⎧<-≥=;01,01)(x x x g 的定义域为R ，所以它们不是同一函数.（3）由于当n ∈N *时，2n ±1为奇数，∴x x x f n n ==++1212)(，x x x g n n ==--1212)()(，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数xx f =)(1+x 的定义域为{}0≥x x ，而x x x g +=2)(的定义域为{}10-≤≥x x x 或，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.[答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。
第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。
原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f 不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如1)(2+=x x f ，1)(2+=t t f ，1)1()1(2++=+u u f 都可视为同一函数.考点二：求函数的定义域、值域题型1：求有解析式的函数的定义域[例2].（08年湖北）函数=)(x f )4323ln(122+--++-x x x x x的定义域为( ) A.),2[)4,(+∞--∞ ;B.)1,0()0,4( -；C. ]1,0()0,4[, -;D. )1,0()0,4[, - [解题思路]函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。
[解析]欲使函数)(x f 有意义，必须并且只需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠>+--++-≥+--≥+-0043230430232222x x x x x x x x x )1,0()0,4[ -∈⇒x ，故应选择D 【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。
题型2：求抽象函数的定义域[例3]（2006·湖北）设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为（ ） A . ()()4,00,4 -； B . ()()4,11,4 --； C . ()()2,11,2 --； D . ()()4,22,4 --[解题思路]要求复合函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域，应先求)(x f 的定义域。
[解析]由202x x +>-得，()f x 的定义域为22x -<<，故22,222 2.xx⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩解得()()4,11,4x ∈-- 。
故⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛x f x f 22的定义域为()()4,11,4 --.选B. 题型3；求函数的值域[例4]函数)(6242R a a ax x y ∈++-=，若0≥y 恒成立，求32)(+-=a a a f 的值域 [解题思路]应先由已知条件确定a 取值范围，然后再将)(a f 中的绝对值化去之后求值域 [解析]依题意，0≥y 恒成立，则0)62(4162≤+-=∆a a ，解得231≤≤-a ， 所以417)23()3(2)(2++-=+-=a a a a f ，从而4)1()(max =-=f a f ，419)23()(min-==f a f ，所以)(a f 的值域是]4,419[-基础巩固训练： 1．(2013·佛山) 下列函数中与函数x y =相同的是( ) A .y = (x )2; B. y=y =2x; D. y =xx 2[解析] B ；因为y=t =，所以应选择B2．(2007·广东改编) 已知函数xx f -=11)(的定义域为N ，)1ln()(x x g +=的定义域为M ，则=N M[解析] ),(+∞∞；因为(1,),(,1)M N =-+∞=-∞,故R N M = 3．函数)23(log 31-=x y 的定义域是[解析] 23(,1]；由1230≤-<x 得到132≤<x 4．函数1212+-=x x y 的值域是[解析])1,1(-；由1212+-=x x y 知1≠y ，从而得y y x-+=112，而02>x ，所以011>-+y y ，即11<<-y5.（2008安徽文、理）函数2()f x =的定义域为 ．[解析] [3,)+∞；由⎩⎨⎧≠->-≥--11,01012x x x 解得3≥x6．定义在R 上的函数()y f x =的值域为[,]a b ，则函数(1)y f x =-的值域为( ) A ．[1,1]a b --；B ．[,]a b ；C ．[1,1]a b ++；D ．无法确定[解析] B ；函数(1)y f x =-的图象可以视为函数()y f x =的图象向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一样的综合提高训练：1．(14年重庆中学)与函数)12lg(1.0-=x y 的图象相同的函数是 （ ） A.)21(12>-=x x y ；B.121-=x y ；C.)21(121>-=x x y ； D.|121|-=x y [解析] C ；根据对数恒等式得121101.0121lg)12lg(-===--x y x x ，且函数)12lg(1.0-=x y 的定义域为),21(+∞，故应选择C2．(2008江西改) 若函数()y f x =的定义域是]3,1[，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是[解析] ]23,1()1,21[ ；因为()f x 的定义域为]3,1[，所以对()g x ，321≤≤x 但1x ≠故]23,1()1,21[ ∈x3．(2008江西理改)若函数()y f x =的值域是]3,32[，则函数()()1()F x f x f x =+的值域 是 [解析] ]310,2[；)(x F 可以视为以)(x f 为变量的函数，令)(x f t =，则)332(1≤≤+=t t t F 2222)1)(1(111t t t t t t F -+=-=-='，所以，t t F 1+=在]1,32[上是减函数，在]3,1[上是增函数，故)(x F 的最大值是310，最小值是2 4．（05天津改）设函数x x x f -+=22ln )(，则函数)1()2()(xf x f xg +=的定义域是[解析] )4,21()21,4( --；由022>-+x x 得，()f x 的定义域为22<<-x 。