函数与映射的概念及其表示方法
函数、映射的概念
函数、映射的概念•1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。
（2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。
2、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x ∈A}叫做函数f（x）的值域。
显然值域是集合B的子集。
3、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。
4、函数的表示方法：（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。
•映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。
人教版高一数学必修一第一单元知识点：函数及其表示
人教版高一数学必修一第一单元知识点：函数及其表示数学，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，小编准备了人教版高一数学必修一第一单元知识点，希望你喜欢。
1.函数的基本概念(1)函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y=f(x)，x∈A中，x叫自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域.值域是集合B的子集.(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等;这是判断两函数相等的依据.2.函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法.3.映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射.注意：一个方法求复合函数y=f(t)，t=q(x)的定义域的方法：①若y=f(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得a两个防范(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域.(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性.三个要素函数的三要素是：定义域、值域和对应关系.值域是由函数的定义域和对应关系所确定的.两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等.函数是特殊的映射，映射f：A→B的三要素是两个集合A、B和对应关系f.人教版高一数学必修一第一单元知识点就为大家介绍到这里，希望对你有所帮助。
高中数学知识点总结(第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节 函数及其表示)
第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一 函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln1－x x ＋1＋1x的定义域是( ) A ．[－1,0)∪(0,1) B ．[－1,0)∪(0,1] C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则(1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [题组训练] 1.函数f (x )＝1lnx ＋1＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln x ＋1≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． 答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f x ＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f x ＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0， ∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2x －1，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f x －1，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2， ∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f 2x ＋1log 2x ＋1的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f 2x ＋1log 2x ＋1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1. 所以该函数的定义域为(0,1]．答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________. 解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2. 答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，x ≤0，－x －12，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________． 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，－x －12≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故所求x 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0. (2)函数f (x )的图象如图所示．。
第5讲 函数的表示法及映射(基础)
函数的表示法及映射【学习目标】(1)掌握函数的表示法，能根据对应关系满足的条件，求函数的解析式；(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；(4)了解映射的概念，象与原象的概念，和一一映射的概念．【要点梳理】要点一、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．要点二、映射1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a 叫做b的原象.要点诠释：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数与映射的区别与联系：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.要点三、关于分段函数应注意的几点（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数．（2）处理分段函数的求值问题时，一定要明确自变量的取值应属于哪一个区间，以免因误用法则造成错误结果．（3）分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域也是各段值域的并集．要点四、函数解析式的求法（1）若已知函数的结构形式，可用待定系数法求解．（3）已知(())f g x 得解析式，求()f x 的解析式用换元法．可令()g x t =，反解出x ，即用t 表示x ，然后代入(())f g x 中即求得()f t ，从而求得()f x ． 要点诠释：利用配凑法、换元法求解析式时一定要注意自变量的取值范围为所求函数的定义域．（4）已知()f x ，()g x 的解析式，求(())f g x 的解析式，用代入法，只需将()g x 替换()f x 中的x ． （5）方程组法（消去法），适用于自变量有对称规律，如：互为倒数（如()f x ，1()f x）；互为相反数（如()f x ，()f x -）的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．【典型例题】类型一、映射与函数例1．（1）试用列举法表示[]3,3-内的整数的绝对值；则零售量是否为月份的函数？为什么？例2. 判断下列对应哪些是从集合A 到集合B 的映射，哪些是从集合A 到集合B 的函数？（1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x ，y ）|,x R y R ∈∈}，对应法则是：A 中的点与B 中的（x ，y ）对应．（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：作三角形的外接圆； （3）A=N ，B={0，1}，对应法则是：除以2的余数；（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，对应法则是f ：2x y x =→（5）A={0，1，2}，B={0，1，12}，对应法则是f ：x 1y x =→举一反三：【变式1】下列对应哪些是从A 到B 的映射？是从A 到B 的一一映射吗？是从A 到B 的函数吗？(1)A=N ，B={1，-1}，f ：x →y=(-1)x； (2)A=N ，B=N +，f ：x →y=|x-3|； (3)A=R ，B=R ，;x1x1y x :f -+=→ (4)A=Z ，B=N ，f ：x →y=|x|； (5)A=N ，B=Z ，f ：x →y=|x|； (6)A=N ，B=N ，f ：x →y=|x|.例3．已知映射:f A B →中，{}(,)|,A B x y x R y R ==∈∈，:(,)(321,431).f x y x y x y →-++- （1）求A 中元素（1,2）的像； （2）求B 中元素（1,2）的原像．【变式1】如果(,)x y 在映射f 的作用下的像为(,)x y xy +，其中,x y R ∈，则(1,2)的像是 ，（2，－3）的原像是 ．类型二、函数解析式的求法 例4. 求函数的解析式(1)若2()2f x x x =+，求(21)f x +； (2)若2(1)21f x x +=+，求()f x ； (3)已知1()2()32f x f x x-=+，求()f x ．举一反三：【变式1】已知f(x+1)=x 2+4x+2，求f(x)．【变式2】求下列函数的解析式（1）已知()f x 为二次函数，(0)2,f =且当1x =时()f x 取最小值1-，求()f x ； （2）函数()y f x =满足1()3(),f x f x x-=求()f x ．类型三、函数的图象例5.作出下列函数的图象.（1）1({21012})y x x =-∈--，，，，；（2）211x y x +=-；（3）2|2|1y x x =-+．类型四、分段函数例6.函数22,1,(),12,2, 2.x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩中，若()3f x =，则x 的值为（ ）．A ．1B ．1或32C．举一反三：【变式1】 已知2,0(),0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若()4f α=，则实数α=A ．-4或-2B ．-4或2C ．-2或4D ．-2或2【巩固练习】1．对于集合A 到集合B 的映射，有下述四个结论 ( )①B 中的任何一个元素在A 中必有原象； ②A 中的不同元素在B 中的象也不同；③A 中任何一个元素在B 中的象是唯一的； ④A 中任何一个元素在B 中可以有不同的象． 其中正确结论的个数是（ ）2．设,f g都是由A到A的映射，其对应法则如表1和表2所示：表1 映射f的对应法则表2 映射g的对应法则原像 1 2 3 4像 3 4 2 1则与((1))f g相同的是（）A．((1))g f B．((2))g f C．((3))g f D．((4))g f3．点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象( )A．(25，1) B．(1，3) C．(2，6) D．(-1，-3)4．函数222(03)()6(20)x x xf xx x x⎧-≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩的值域是（）A．R B．[)9,-+∞C．[]8,1-D．[]9,1-5．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，如图四个图象中较符合该学生走法的是( )6．已知函数2,0(),()(1)0,1,0x xf x f a fx x>⎧=+=⎨+≤⎩若则实数a的值等于（）A．－3 B．－1 C．1 D．37．已知函数)(xfy=的图象关于直线1-=x对称，且当),0(+∞∈x时，有,1)(xxf=则当)2,(--∞∈x时，)(xf的解析式为（）A．x1-B．21--xC．21+xD．21+-x8．如图所表示的函数解析式是( )A.3|1|(02)2y x x=-≤≤ B.33|1|(02)22y x x=--≤≤C.3|1|(02)2y x x=--≤≤ D. 1|1|(02)y x x=--≤≤13(,),(1,3),(2,3)A B C-原像 1 2 3 4像 4 3 1 2为 。
年高考数学基础突破集合与函数2函数的概念及其表示
2021年高考数学根底突破——集合与函数2．函数概念及其表示【知识梳理】1．函数与映射概念(1)函数定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x取值范围A叫做函数定义域；与x值相对应y值叫做函数值，函数值集合{f(x)|x∈A}叫做函数值域．显然，值域是集合B子集．(2)函数三要素：定义域、值域与对应关系．(3)相等函数：如果两个函数定义域与对应关系完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两函数相等依据．(4)函数表示法: 表示函数常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数假设函数在其定义域不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同式子来表示，这种函数称为分段函数．4．常见函数定义域求法(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0．(3)一次函数、二次函数定义域为R．(4)y＝a x(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R ．(5)y ＝tan x 定义域为.5．根本初等函数值域(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)值域是R ．(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)值域是：当a ＞0时，值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |y ≥4ac －b 24a ；当a ＜0时，值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |y ≤4ac －b 24a ． (3)y ＝k x(k ≠0)值域是{y |y ≠0}． (4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)值域是{y |y ＞0}．(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)值域是R ．(6)y ＝sin x ，y ＝cos x 值域是[－1，1]．(7)y ＝tan x 值域是R ．【根底考点突破】考点1. 函数根本概念【例1】M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤3}，给出以下四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 函数关系有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个变式训练1. 试判断以下各组中函数f (x )与g (x )是否表示同一个函数，并说明理由．(1)f (x )＝(x －1)0，g (x )＝1； (2)f (x )＝x ，g (x )＝x 2；(3)f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2； (4)f (x )＝|x |，g (x )＝x 2. 考点2. 分段函数【例2】 假设函数，(1)求f (－5)，f (－3)，f [f (－3)]值；(2)假设f (a )＝3，求a 值．变式训练2.〔1〕【2021年高考北京理数】设函数.①假设0a ，那么()f x 最大值为_________；②假设()f x 无最大值，那么实数a 取值范围是_______.〔2〕作出函数y ＝2|x －1|－3|x |图象．考点3. 求函数解析式【例3】 (1)反比例函数f (x )满足f (3)＝－6，求f (x )解析式；(2)一次函数y ＝f (x )，f (1)＝1，f (－1)＝－3，求f (3)．变式训练3. f (1＋1x )＝1＋x 2x 2＋1x，试求f (x )． 考点4. 函数定义域【例4】 求函数定义域．变式训练4.〔1〕【2021高考江苏卷】函数y =定义域是 .〔2〕 函数f (x )＝lg 〔1－2x 〕定义域为( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，12 考点5. 函数值域【例5】 求函数22([0,3])y x x x =+∈值域．变式训练5. 求函数f (x )＝x －1－2x 值域【根底练习】1．以下四组式子中，f(x)与g(x)表示同一函数是( )A．f(x)＝4x4，g(x)＝(4x)4B．f(x)＝x，g(x)＝3x3C．f(x)＝x，g(x)＝(x)2D．f(x)＝x2－4x＋2，g(x)＝x－22．f(x)＝x2＋x＋1，那么f[f(1)]值是( )A．11 B．12 C．13 D．103．函数y＝x＋10|x|－x定义域是( )A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(0，＋∞)4．函数y＝x2－2x定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3} C．{y|－1≤y≤3}D．{y|0≤y≤3}5．函数f(x)由下表给出，那么f(3)等于( )x1234f(x)－3－2－4－1A.－1 D．－46．f(x2－1)＝2x＋3，且f(m)＝6，那么m等于( )A ．－14 B.14 C.32 D ．－327．等腰三角形周长为20，底边长y 是一腰长x 函数，那么( )A ．y ＝10－x (0<x ≤10)B ．y ＝10－x (0<x <10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5<x <10)8．函数，那么f (2)等于( )A ．0 B.13C ．1D ．2 9．函数f (x )＝x ＋|x |x图象是( ) 10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2值域是( )A ．[0，＋∞)B ．RC ．[0,3]D ．[0,2]∪{3}11．a 、b 为实数，集合M ＝{b a，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中元素x 映射到集合N 中仍为x ，那么a ＋b 值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±112．映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3,－2,－1,1,2,3,4}，集合B中元素都是集合A 中某个元素在映射f 下对应元素，且对任意a ∈A ，在B 中与它对应元素是|a |，那么集合B 中元素个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．713．设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )图象可能是( )14．以下图中能表示函数关系是________．15．设f (x )＝11－x，那么f [f (x )]＝________. 16．函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)值域是________．17．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2，x ≤2，2x ，x >2，那么f (－4)＝________，又f (x 0)＝8，那么x 0＝________.18．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1，x ≥0，x 2，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x 2，x ≤1，2，x >1，那么f [g (π)]＝________，g [f (2)]＝________.19．全集U ＝R ，函数y ＝x －2＋x ＋1定义域为A ，函数y ＝2x ＋4x －3定义域为B . (1)求集合A ，B ；(2)求(∁U A )∪(∁U B )．20．二次函数f (x )满足f (0)＝0，且对任意x ∈R 总有f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．2021年高考数学根底突破——集合与函数2．函数概念及其表示〔教师版〕【知识梳理】1．函数与映射概念(1)函数定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x取值范围A叫做函数定义域；与x值相对应y值叫做函数值，函数值集合{f(x)|x∈A}叫做函数值域．显然，值域是集合B子集．(2)函数三要素：定义域、值域与对应关系．(3)相等函数：如果两个函数定义域与对应关系完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两函数相等依据．(4)函数表示法: 表示函数常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数假设函数在其定义域不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同式子来表示，这种函数称为分段函数．4．常见函数定义域求法(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0．(3)一次函数、二次函数定义域为R．(4)y＝a x(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R ．(5)y ＝tan x 定义域为.5．根本初等函数值域(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)值域是R ．(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)值域是：当a ＞0时，值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |y ≥4ac －b 24a ；当a ＜0时，值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |y ≤4ac －b 24a ． (3)y ＝k x(k ≠0)值域是{y |y ≠0}． (4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)值域是{y |y ＞0}． (5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)值域是R ．(6)y ＝sin x ，y ＝cos x 值域是[－1，1]．(7)y ＝tan x 值域是R ．【根底考点突破】考点1. 函数根本概念【例1】M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤3}，给出以下四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 函数关系有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】用x ＝a,0≤a ≤2动直线去截图象，哪个始终只有一个交点，哪个就表示具有函数关系．由图可知，图(2)(3)都具有这一性质，而(1)(4)那么不具有这一性质，所以有2个具有函数关系．变式训练1. 试判断以下各组中函数f (x )与g (x )是否表示同一个函数，并说明理由．(1)f (x )＝(x －1)0，g (x )＝1； (2)f (x )＝x ，g (x )＝x 2；(3)f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2； (4)f (x )＝|x |，g (x )＝x 2.【解】(1)f (x )定义域是{x |x ∈R ，且x ≠1}，g (x )定义域是R ，它们定义域不同，故不是同一个函数；(2)定义域一样都是R ，但是g (x )＝|x |，即它们解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一个函数；(3)定义域一样都是R ，但是它们解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一个函数；(4)定义域一样都是R ，解析式化简后都是y ＝|x |，也就是对应关系一样，故是同一个函数．考点2. 分段函数【例2】 假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋ 2 x ≤－2，x 2 －2<x <2，2x x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f [f (－3)]值；(2)假设f (a )＝3，求a 值．【解析】(1)f (－5)＝－5＋2＝－3，f (－3)＝(－3)2＝3，f [f (－3)]＝f (3)＝2×3＝6.(2)①假设a ＋2＝3，那么a ＝1>－2不成立，舍去；②假设a 2＝3，那么a ＝±3，－2<±3<2成立；③假设2a ＝3，那么a ＝32<2不成立，舍去． 变式训练2. 〔1〕【2021年高考北京理数】设函数.①假设0a =，那么()f x 最大值为_________；②假设()f x 无最大值，那么实数a 取值范围是_______.【答案】2，(,1)-∞-.【解答】解：①假设a=0，那么，那么，当x ＜﹣1时，()0f x '>，此时函数为增函数；当x ＞﹣1时，()0f x '<，此时函数为减函数，故当1x =-时，()f x 最大值为2.②，令()0f x '=，那么x=±1，假设f 〔x 〕无最大值，那么，或，解得：(,1)a ∈-∞-．〔2〕作出函数y ＝2|x －1|－3|x |图象． 【解析】当x <0时，y ＝－2(x －1)＋3x ＝x ＋2； 当0≤x <1时，y ＝－2(x －1)－3x ＝－5x ＋2； 当x ≥1时，y ＝2(x －1)－3x ＝－x －2， 因此，依上述解析式作出图象如以下图 考点3. 求函数解析式【例3】 (1)反比例函数f (x )满足f (3)＝－6，求f (x )解析式； (2)一次函数y ＝f (x )，f (1)＝1，f (－1)＝－3，求f (3)．【解析】(1)设反比例函数f (x )＝k x (k ≠0)，那么f (3)＝k3＝－6，解得k ＝－18，故f (x )＝－18x.(2)设一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (1)＝1，f (－1)＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1－a ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－1，∴f (x )＝2x －1. ∴f (3)＝2×3－1＝5.变式训练3. f (1＋1x )＝1＋x 2x 2＋1x，试求f (x )．【解析】解法一：(换元法)令t ＝1＋1x，那么t ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，于是x ＝1t －1，代入1＋x 2x 2＋1x 中，可得f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．解法二：(配凑法)f (1＋1x )＝1＋x 2x 2＋1x ＝x 2＋2x ＋1x 2－2x x 2＋1x＝(1＋1x )2－(1＋1x )＋1，因为1＋1x≠1，所以函数解析式为f (x )＝x 2－x＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)． 考点4. 函数定义域 【例4】 求函数定义域．【解析】要使函数解析式有意义，由解得x ≥－1且x ≠2，所以函数定义域为{x |x ≥－1且x ≠2}．变式训练4.〔1〕【2021高考江苏卷】函数y =定义域是 .〔2〕函数f (x )＝lg 〔1－2x 〕定义域为( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，0) C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12D ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，12 【解析】〔1〕要使函数有意义，必须2320x x --≥，即2230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故应填：[]3,1-，〔2〕要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，lg 〔1－2x 〕≥0，解得x ≤0，应选A.考点5. 函数值域【例5】 求函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0，3])值域．【解析】(1)(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，因为y ＝(x ＋1)2－1在[0，3]上为增函数，所以0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0，3])值域为[0，15]． 变式训练5. 求函数f (x )＝x －1－2x 值域解: 法一：(换元法)令1－2x ＝t ，那么t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数值域是⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，12. 法二：(单调性法)f (x )定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，12，容易判断f (x )为增函数，所以f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝12，即函数值域是⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，12. 【根底练习】1．以下四组式子中，f (x )与g (x )表示同一函数是( )A ．f (x )＝4x 4，g (x )＝(4x )4B ．f (x )＝x ，g (x )＝3x 3C ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2D ．f (x )＝x 2－4x ＋2，g (x )＝x－2答案：B解析：A 、C 、D 定义域不同，B 定义域、对应关系、值域都一样．2．f (x )＝x 2＋x ＋1，那么f [f (1)]值是( )A ．11B ．12C ．13D ．10 解析：f [f (1)]＝f (3)＝9＋3＋1＝13. 答案：C 3．函数y ＝x ＋1|x |－x定义域是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(0，＋∞)解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |>x ，∴x <0且x ≠－1，即定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)．答案：C4．函数y ＝x 2－2x 定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )A ．{－1,0,3}B ．{0,1,2,3}C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}解析：x ＝0，y ＝0；x ＝1，y ＝－1；x ＝2，y ＝0；x ＝3，y ＝3，∴值域为{－1,0,3}．答案：A5．函数f (x )由下表给出，那么f (3)等于( )x 1 2 3 4f (x )－3 －2 －4 －1A.－1 B ．－2 C ．－3 D ．－4答案：D6．f (x2－1)＝2x ＋3，且f (m )＝6，那么m 等于( )A ．－14 B.14 C.32D ．－32解析：令2x ＋3＝6，得x ＝32，所以m ＝x 2－1＝12×32－1＝－14，或先求f (x )解析式，再由f (m )＝6，求m .答案：A7．等腰三角形周长为20，底边长y 是一腰长x 函数，那么( )A ．y ＝10－x (0<x ≤10)B ．y ＝10－x (0<x <10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5<x <10)解析：∵2x ＋y ＝20，∴y ＝20－2x ，解不等式组，得5<x <10. 答案：D8．函数，那么f (2)等于( )A ．0 B.13 C ．1 D ．2解析：f (2)＝2－1＝1. 答案：C9．函数f (x )＝x ＋|x |x图象是( )解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0，画出f (x )图象可知选C.答案：C10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2值域是( )A ．[0，＋∞)B ．RC ．[0,3]D ．[0,2]∪{3}答案：D11．a 、b 为实数，集合M ＝{ba，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中元素x 映射到集合N 中仍为x ，那么a ＋b 值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：∵f ：x →x ，∴M ＝N . ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，ba ＝0，解得a ＝1，b ＝0.∴a ＋b ＝1.答案：C12．映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3,－2,－1,1,2,3,4}，集合B 中元素都是集合A 中某个元素在映射f 下对应元素，且对任意a ∈A ，在B 中与它对应元素是|a |，那么集合B 中元素个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：∵|±3|＝3，|±2|＝2，|±1|＝1，|4|＝4，∴B ＝{1,2,3,4}．答案：A13．设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )图象可能是( )解析：由于f (a )＝0，f (b )＝0，那么函数图象过点(a,0)，(b,0)． 当x <b 时，那么x －b <0，(x －a )2>0，此时f (x )<0，即在区间(－∞，a )∪(a ，b )上，函数图象位于x 轴下方，排除A 、B 、D.答案：C14．以下图中能表示函数关系是________．解析：(3)中元素2对应着两个元素1与3，不符合函数定义．(1)、(2)、(4)均符合函数定义．答案：(1)(2)(4)15．设f (x )＝11－x，那么f [f (x )]＝________.解析：f [f (x )]＝f (11－x )＝11－11－x＝1－x －x ＝x －1x.答案：x －1x16．函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)值域是________．解析：画出函数图象，如右图所示，观察图象可得图象上所有点纵坐标取值范围是[f (2)，f (5))，即函数值域是[2,11)．答案：[2,11)17．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤2，2x ，x >2，那么f (－4)＝________，又f (x 0)＝8，那么x 0＝________.解析：f (－4)＝(－4)2＋2＝18；令x 2＋2＝8，解得x ＝±6，∵x ≤2，∴x ＝－6；令2x ＝8，解得xx 0＝－6或4.答案：18 4或－618．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≥0，x 2，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x ≤1，2，x >1，那么f [g (π)]＝________，g [f (2)]＝________.解析：f [g (π)]＝f (2)＝3×2＋1＝7，g [f (2)]＝g (7)＝2. 答案：7 219．全集U ＝R ，函数y ＝x －2＋x ＋1定义域为A ，函数y ＝2x ＋4x －3定义域为B .(1)求集合A ，B ； (2)求(∁U A )∪(∁U B )． 解：(1)函数y ＝x －2＋x ＋1应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋1≥0，∴x ≥2.∴A ＝{x |x ≥2}．函数y ＝2x ＋4x －3应满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4≥0，x －3≠0，∴x ≥－2且x ≠3. ∴B ＝{x |x ≥－2且x ≠3}．(2)∁U A ＝{x |x <2}，∁U B ＝{x |x <－2或x ＝3}，∴(∁U A )∪(∁U B )＝{x |x <2或x ＝3}．20．二次函数f (x )满足f (0)＝0，且对任意x ∈R 总有f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝c ＝0，∴f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ，f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .。
一函数与映射的基本概念
一、函数与映射的基本概念一、基本概念1．函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称这样的对应“f :A →B ”为从集合A 到B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A ，其中x 叫做自变量.x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合C={y|y = f （x ）,x ∈A }叫做函数的值域)(B C ⊆. 函数符号y =f (x )表示“y 是x 的函数”，或简记为f (x )．这里的“f ”即对应法则，它确定了y 与x 的对应关系．从函数概念看，“定义域、值域和对应法则”是构成函数的三个要素，其中，“定义域和对应法则”是两个关键性要素，定义域和对应法则一旦确定，函数的值域也随之确定．2、对应法则是指y 与x 的对应关系，它含有两层意思，一是对应的过程（形式），即由x 求出y 的运算过程，一般体现在函数的解析表达式中；二是运算的结果（本质），即y 的值，两个对应法则是否相同，要看对于同一个自变量的值所得到的函数值是否相同，有时形式上不同的对应法则本质上是相同的。
例如：x x x y x y ++=+=22cos sin 1与的对应法则是相同的。
3、同一个函数两个函数当且仅当定义域和对应法则二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件．4、变换字母在函数的定义域及对应法则不变的条件下，用不同的字母表示自变量及对应法则，这对于函数本身并无影响，比如f （x ）=x 2+1，g （t ）= t 2+1，都表示同一函数.5、区间及其表示方法．区间是数学中常用的表示数集的术语与符号．设b a R b a <∈,、，规定闭区间: [a ，b ]={}b x a x ≤≤|，开区间:（a ，b ）={}b x a x <<|，半开半闭区间:（a ，b ]={}b x a x ≤<|，[a ，b ）={}b x a x <≤|． 其中a 、b 分别为区间的左端点、右端点，b -a 为区间长度．符号+∞读作正无穷大，﹣∞读作负无穷大，它们都不是一个具体的数． 用+∞或-∞作为区间的端点，表示无穷区间，并且只能用开区间的形式． 如：{}a x x a >=+∞|),(，{}}|),(b x x b <=-∞，R =+∞-∞),(6．映射的概念：映射是两个集合间的一种特殊的对应关系，即若按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任一元素，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A 、B 和对应法则f ）就叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B ．在映射f ：A →B 中，若A 中元素a 与B 中元素b 对应，则b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象．因而，映射可以理解为“使A 中任一元素在B 中都有唯一象”的特殊对应（即单值对应）．如果映射f ：A →B 满足①A 中不同元素在B 中有不同的象；②B 中任一元素均有原象，那么这个映射就是A 到B 上的一一映射．7、映射与函数的关系函数是映射，但映射不一定是函数。
新高一预科第8讲___映射与函数的概念
第8讲 映射与函数的概念一【学习目标】1.了解映射的概念及表示方法；2.理解函数的概念，了解简单的分段函数及应用，明确函数的三种表示方法；3.会求一些简单函数的定义域和值域.二【知识梳理】1.映射引入：复习初中常见的对应关系（1）对于任何一个实数a ，数轴上都有唯一的点p 和它对应；（2）对于坐标平面内任何一个点A ，都有唯一的有序实数对（,x y ）和它对应； （3）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；（4）某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；定义：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．记作“f ：A →B ”.点拨：（1）这两个集合有先后顺序，A 到B 的映射与B 到A 的映射是截然不同的，其中f 表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．（3）设f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射，且f ：a →b ，则b 叫做a 的象；a 叫做b 的原象. 2.函数（1）函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域．点拨：① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；②函数符号“y=f(x)”中的f (x )表示与x 对应的函数值，是一个数，而不是f 乘x ． ③函数是特殊的映射.（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则称这两个函数相等（或为同一函数）.即：两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关. （3）函数的表示方法：解析法、列表法、图象法三种.三【典例精析】例1．下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？（1）A={|P P 是数轴上的点}，B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应； （2）A={|P P 是平面直角坐标中的点}，}{(,)|,,B x y x R y R =∈∈对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B={|},x x 是圆对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆； （4）A={|x x 是新华中学的班级}，}{|,B x x =是新华中学的学生对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．思考：将（3）中的对应关系f 改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f ：B →A 是从集合B 到集合A 的映射吗？例2．在下图中，图（1），（2），（3），（4）用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则，是不是映射？是不是函数关系？A 求平方B A例3.画图表示集合A 到集合B 的对应（集合A ，B 各取4个元素）已知：（1）}}{{1,2,3,4,2,4,6,8A B ==，对应法则是“乘以2”； （2）A={|x x ＞}0，B=R ，对应法则是“求算术平方根”； （3）{}|0,A x x B R =≠=，对应法则是“求倒数”；（4）{0|0A α=∠＜}}{090,|1,B x x α∠≤=≤对应法则是“求余弦”．例4．在下图中的映射中，A 中元素600的象是什么？B A 求正弦 B点拨：判定是否是映射主要看两条：一条是A 集合中的元素都要有象，但B 中元素未必要有原象；二条是A 中元素与B 中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式． 例5.已知函数f(x)=3+x +21+x （1）求函数的定义域； （2）求f （－3），f(32)的值； （3）当a ＞0时，求f （a ）,f(a －1)的值.例6.设一个矩形周长为80，其中一边长为x ，求它的面积关于x 的函数的解析式，并写出定义域.解：由题意知，另一边长为2280x-，且边长为正数，所以0＜x ＜40. 所以S=8022xx -⋅=（40－x ）x （0＜x ＜40） 点拨：（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义.例7.下列函数中哪个与函数y=x 相等？（1）y=(x )2; （2）y=(33x );（3）y=2x; （4）y=xx 2例8．某种笔记本的单价是5元，买}{(1,2,3,4,5)x x ∈个笔记本需要y 元，试用三种表示法表示函数()y f x =．点拨：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等； ②解析法：必须注明函数的定义域； ③图象法：是否连线；④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．例9．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算），已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义，根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．点拨：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．四【过关精练】一、选择题1.已知集合{1,2,3,}M m =，42{4,7,,3}N n n n =+，*,m n N ∈，映射:31f y x →+是从M 到N 的一个函数，则m n -的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52.}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个3.设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1516B ．2716- C ．89 D ．184.若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)(1,4] D ．(0,1)5．设函数f (x )对任意x 、y 满足f (x ＋y )=f (x )＋f (y )，且f (2)=4，则f (－1)的值为（ ）A ．－2B ．±21C ．±1D ．26．已知函数f (x ＋1)=x ＋1，则函数f (x )的解析式为（ ）A ．f (x )=x 2B ．f (x )=x 2＋1(x ≥1)C ．f (x )=x 2－2x (x ≥1)D ．f (x )=x 2－2x ＋2(x ≥1) 7．下列各组中，函数f (x )和g(x )的图象相同的是（ ）A ．f (x )=x ，g(x )=(x )2B ．f (x )=1，g(x )=x 0C ．f (x )=|x |，g(x )=2xD ．f (x )=|x |，g(x )=⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈)0,(,),0(,x x x x二、填空题8.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<++=)0(2)0()(2x x c bx x x f 且)0()4(f f =-，2)2(-=-f 则方程f(x)=x 解的个数为9.设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是10.已知函数()()()x g x f x +=ϕ,其中()f x 是x 的正比例函数,()g x 是x 的反比例函数，且,1631=⎪⎭⎫⎝⎛ϕ()81=ϕ,则()=x ϕ .三、解答题11.（1）若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，求(1)f x +的定义域；（2）若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，求函数()f x 的定义域.12.已知函数2()426()f x x ax a x R =-++∈. （1）若函数()f x 的值域为［0，+∞)时的a 的值；（2）若函数()f x 的值均为非负值，求函数()23f a a a =-+的值域.。
高二上学期数学第二章知识点
高二上学期数学第二章知识点在高二上学期的数学学习中，数学第二章的内容是我们需要重点掌握的。
该章节主要涵盖了函数与方程的相关知识，下面将逐一介绍其中的几个重要知识点。
一、函数及其表示方法1. 函数的定义：函数是一种映射关系，将一个集合的元素（自变量）对应到另一个集合的元素（因变量）。
2. 函数的表示方法：常用的表示方法有函数表达式、函数图像、函数关系式等。
3. 性质：函数可以是一对一的映射（每个自变量对应唯一的因变量）或多对一的映射（多个自变量对应同一个因变量）。
二、一次函数1. 定义：一次函数是最简单的一种函数，其函数表达式为y =kx + b，其中k和b为常数。
2. 斜率和截距：斜率k表示函数图像的倾斜程度，截距b表示函数与y轴的交点位置。
3. 性质：一次函数的图像为一条直线，其图像的斜率等于函数表达式中的系数k。
4. 直线方程：一次函数的函数表达式可以通过给定的两点坐标求得。
三、二次函数1. 定义：二次函数是一个含有二次项（x²）的函数，其函数表达式一般形式为y = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数且a≠0。
2. 抛物线性质：二次函数的图像为一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。
3. 零点和顶点：二次函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标，顶点是抛物线的最高或最低点。
4. 求解方法：可以通过配方法、图像法和因式分解等方式求解二次方程。
四、指数函数1. 定义：指数函数是以底数为常数的数学函数，形式为y = a^x，其中a为底数。
2. 指数函数的性质：指数函数的图像与x轴交于点(0,1)，并且随着自变量x的增大，函数值呈现指数增长的趋势。
3. 对数函数：指数函数的反函数被称为对数函数，常用的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e（自然对数的底数）为底的自然对数函数。
五、幂函数1. 定义：幂函数是一种以自变量为指数的函数，形式为y = x^a，其中a为指数，可以是分数、小数或负数。
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函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念 (1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →:★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域[误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a[正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域 [误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而22-≤≤-b x a ，所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[--b a[正解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，则b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[++b a 即本题的实质是由b x a ≤≤求2+x 的范围 即)(x f 与)2(+x f 中x 含义不同1． 求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 221++-=x x y 就是利用函数u y 21log =和322++-=x x u 的值域来求。
（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。
如求函数22122+-+=x x x y 的值域 由22122+-+=x x x y 得012)1(22=-++-y x y yx ，若0=y ，则得21-=x ，所以0=y 是函数值域中的一个值；若0≠y ，则由0)12(4)]1(2[2≥--+-=∆y y y 得021332133≠+≤≤-y y 且，故所求值域是]2133,2133[+- （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。
如求函数1cos 3cos 2+-=x x y 的值域，因为1cos 521cos 3cos 2+-=+-=x x x y ，而]2,0(1cos ∈+x ，所以]25,(1cos 5--∞∈+-x ，故]21,(--∞∈y（5）利用基本不等式求值域：如求函数432+=x xy 的值域当0=x 时，0=y ；当0≠x 时，xx y 43+=，若0>x ，则4424=⋅≥+xx x x 若0<x ，则4)4()(2)4(4=-⋅-≤-+--=+x x x x x x ，从而得所求值域是]43,43[- （6）利用函数的单调性求求值域：如求函数])2,1[(2224-∈+-=x x x y 的值域 因)14(22823-=-=x x x x y ，故函数])2,1[(2224-∈+-=x x x y 在)21,1(--上递减、在)0,21(-上递增、在)21,0(上递减、在)2,21(上递增，从而可得所求值域为]30,815[ （7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。
★热点考点题型探析考点一：判断两函数是否为同一个函数[例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）2)(x x f =，33)(x x g =；（2）xx x f =)(，⎩⎨⎧<-≥=;01,01)(x x x g（3）1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *）；（4）xx f =)(1+x ，x x x g +=2)(；（5）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g[解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。
[解析] （1）由于x x x f ==2)(，x x x g ==33)(，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函数xx x f =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，而⎩⎨⎧<-≥=;01,01)(x x x g 的定义域为R ，所以它们不是同一函数.（3）由于当n ∈N *时，2n ±1为奇数，∴x x x f n n ==++1212)(，x x x g n n ==--1212)()(，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数xx f =)(1+x 的定义域为{}0≥x x ，而x x x g +=2)(的定义域为{}10-≤≥x x x 或，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. [答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。
第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。
原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f 不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如1)(2+=x x f ，1)(2+=t t f ，1)1()1(2++=+u u f 都可视为同一函数.[新题导练]1．(2009·佛山) 下列函数中与函数x y =相同的是( ) A .y = (x )2 ; B. y=y =2x; D. y =xx 2[解析] B ；因为y=t =，所以应选择B2．(09年重庆南开中学)与函数)12lg(1.0-=x y 的图象相同的函数是 （ ）A.)21(12>-=x x y ；B.121-=x y ；C.)21(121>-=x x y ； D.|121|-=x y[解析] C ；根据对数恒等式得121101.0121lg)12lg(-===--x y x x ，且函数)12lg(1.0-=x y 的定义域为),21(+∞，故应选择C 考点二：求函数的定义域、值域 题型1：求有解析式的函数的定义域 [例2].（08年湖北）函数=)(x f )4323ln(122+--++-x x x x x的定义域为( ) A.),2[)4,(+∞--∞ ;B.)1,0()0,4( -；C. ]1,0()0,4[, -;D. )1,0()0,4[, - [解题思路]函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。
[解析]欲使函数)(x f 有意义，必须并且只需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠>+--++-≥+--≥+-0043230430232222x x x x x x x x x )1,0()0,4[ -∈⇒x ，故应选择D 【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。
题型2：求抽象函数的定义域[例3]（2006·湖北）设()x x x f -+=22lg ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为（ ） A . ()()4,00,4 -；B . ()()4,11,4 --；C . ()()2,11,2 --；D . ()()4,22,4 --[解题思路]要求复合函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域，应先求)(x f 的定义域。
[解析]由202x x +>-得，()f x 的定义域为22x -<<，故22,222 2.xx⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩解得()()4,11,4x ∈--。
故⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()4,11,4 --.选B. 【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数()f x 的定义为[,]a b ，则函数[()]f g x 的定义域是满足不等式()a g x b ≤≤的x 的取值范围；一般地，若函数[()]f g x 的定义域是[,]a b ，指的是[,]x a b ∈，要求()f x 的定义域就是[,]x a b ∈时()g x 的值域。
题型3；求函数的值域[例4]已知函数)(6242R a a ax x y ∈++-=，若0≥y 恒成立，求32)(+-=a a a f 的值域[解题思路]应先由已知条件确定a 取值范围，然后再将)(a f 中的绝对值化去之后求值域 [解析]依题意，0≥y 恒成立，则0)62(4162≤+-=∆a a ，解得231≤≤-a ， 所以417)23()3(2)(2++-=+-=a a a a f ，从而4)1()(max =-=f a f ，419)23()(min-==f a f ，所以)(a f 的值域是]4,419[-【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。