高考数学权重体系 上

高考数学权重体系—函数体系第一部分基本初等函数（I）题型一映射与函数的基本概念(一) 映射A集合中的每个元素按照某种对应法则在B集合中都能找到唯一的元素和它对应，这种对应关系叫做从A集合到B集合的映射.A中的元素叫做原象，B中的相应元素叫做象.在A到B的映射中，从A中元素到B中元素的对应，可以多对一，不可以一对多.图2-1是映射图2-2是一一映射图2-3不是映射(Ⅰ)求映射(或一一映射)的个数，m个元素的集合到n个元素的集合的映射的个数是n m.(Ⅱ)判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多.(二) 函数的概念定义域到值域的映射叫做函数。

如图2-4。

高中阶段，函数用f(x)来表示：即x按照对应法则f对应的函数值为f(x)．函数有解析式和图像两种具体的表示形式。

偶尔也用表格表示函数.函数三要素：定义域A：x取值范围组成的集合。

值域B：y取值范围组成的集合。

对应法则f：y与x的对应关系。

有解析式和图像和映射三种表示形式函数与普通映射的区别在于：(1)两个集合必须是数集；(2)不能有剩余的象，即每个函数值y都能找到相应的自变量x与其对应.图2-4习题精选一、求映射的个数1设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（ ） A 8个 B 12个 C 16个 D 18个2 A =｛1，2，3，4，5｝，B =｛6，7，8｝从集合A 到B 的映射中满足f （1）≤f （2）≤f （3）≤f （4）≤f （5）的映射有（ ）个A 27B 9C 21D 123 集合A ={3，4}，B ={5，6，7}，那么可建立从A 到B 的映射个数是__________，从B 到A 的映射个数是__________4集合M ={a ，b ，c }，N ={－1，0，1}，映射f :M →N 满足f （a ）+f （b ）+f （c ）=0，那么映射f :M →N 的个数是_________5．设集合A={-1，0，1}，B={2，3，4，5，6}，映射A →B ，使对任意x ∈A,都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f 的个数是6．已知集合A={1,2,3,4},B={-1,1,2}, (1)集合A 到B 的映射共有多少个？(2)若集合B 中的每一个元素都有原象，这样的映射共有多少个？ （3）若集合B 中元素2必须要有原象，这样的映射共有多少个？二、象与原象1设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，象20的原象是A2 B3 C4 D52设集合A=R，集合B=正实数集，则从集合A到集合B的映射f只可能是A f:x→y=|x|B f:x→y=xC f:x→y=3－xD f:x→y=log2（1+|x|）3．设f：A→B是从A到B的一个映射，其中A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},f：(x,y)→(x+y,xy),则A中(1,-2)的象是，B中(1,-2)的原象是4 若f :y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B三、函数的定义1设M={x|－2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是2．与函数y=)12lg(1.0-x 的图象相同的函数是 ( )A y=2x -1(x>1/2)B y=1/(2x -1)C y=1/(2x -1)(x>1/2)D y=1/|2x -1|3 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ；（2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x （3）f （x ）=1212++n n x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1（n ∈N *）；（4）f （x ）=x1+x ，g （x ）=x x +2；（5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －14设定义在N 上的函数f （x ）满足f （n ）=⎩⎨⎧-+)]18([13n f f n ),2000(),2000(>≤n n 试求f （2002）的值5 已知函数f （x ）=⎩⎨⎧<-≥-),2(2),2(2x x x 则f （lg30－lg3）=________；不等式xf （x －1）＜10的解集是___________6 定义“符号函数”f （x ）=sgn x =⎪⎩⎪⎨⎧<-=>,01,00,01x x x 则不等式x +2＞（x －2）sgn x 的解集是___________7已知函数f(x)=1(1)3(1)x x x x +≤⎧⎨-+>⎩,则f[f(5/2)]=8 设f （x ）=1214+-x x －2x +1，已知f （m ）=2，求f （－m ）题型二 定义域与值域一、定义域题型(一) 具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式 直接考查：主要考解不等式。

利用：()0f x ≥；在()()g x f x 中，()0f x ≠；在log ()a f x 中，()0f x >；在tan ()f x 中，()2f x k ππ≠+；在0()f x 中， ()0f x ≠；在x a 与log a x 中0a >且1a ≠，列不等式求解.(二)抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同.二、 值域题型(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段.常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数.(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域. 解题步骤：(1)换元变形；(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围； (3)画图像，定区间，截段。

(三) 分式函数求值域 ：四种题型(1)cx d y ax b +=+(0)a ≠ ：则cy a≠且y R ∈. (2)(2)cx dy x ax b+=≥+：利用反表示法求值域。

先反表示，再利用x 的范围解不等式求y 的范围.(3)2223261x x y x x +-=--： (21)(2)21()(21)(31)312x x x y x x x x -++==≠-++ ， 则1y 13y ≠≠且且y R ∈. (4)求2211x y x x -=++的值域，当x R ∈时，用判别式法求值域。

2211x y x x -=++⇒2(2)10yx y x y +-++=， 2(2)4(1)0y y y ∆=--+≥⇒值域.(四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段.判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。

详情见单调性部分知识讲解.(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域.(六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围.一、定义域问题1求下列函数的定义域：(1)y=1|1|32---x x x ; (2)y=x x cos ln 252+-2函数f(x)与g(x) =3-x的图象关于直线y=x 对称，则函数f(x -1)的定义域为3已知函数f(x)=31323-+-ax ax x 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A a>1/3B -12<a<0C -12<a ≤0D a ≤1/34(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],且a+b>0,求f(x 2)的定义域；(2)已知函数f(2x)的定义域为[1,2],求f(log 2x)的定义域5已知函数f(x)的定义域为[0,1],g(x)=f(x+a)+f(x -a),求函数g(x)的定义域6.已知函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：(1) 2()23f x +;(2)2y =7已知函数1()1xf x x+=-的定义域为A ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B ，则 ()A A B B = ()B AB ()C A B = ()D A B B =8 设函数2221()log log (1)log ()1x f x x p x x +=+-+--， （1）求函数的定义域；（2）问()f x 是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由二 值域问题1 求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)(③1+=x x y ④xx y =2 求下列函数的值域：（1）232y x x =-+； （2）y =； （3）312x y x +=-；（4）y x =+ （5）y x = （6）|1||4|y x x =-++；（7）22221x x y x x -+=++； （8）2211()212x x y x x -+=>-； （9）1sin 2cos xy x-=-3求下列函数的值域(1)y=(1-x 2)/(1+x 2); (2)y=(1-2sinx)/(1+sinx)4求下列函数的值域：(1)y=122++-x x xx ; (2)y=x x 21--;(3)y= -222++x x x5已知函数f(x)=lg(x 2-2mx+m+2)(1)若f(x)的定义域为R ，求实数m 的取值范围； (2)若f(x)的值域为R ，求实数m 的取值范围6若函数y=x 2-3x -4的定义域为[0,m],值域为[-25/4,-4],则m 的取值范围是7已知f(x)的值域为[3/8,4/9],试求y=f(x)+)(21x f -的值域8函数y=|x –3|–|x+1|的最大值是9已知1/2≤t ≤1,则2/t –t 的最大值是10函数y= –x 2–2ax(0≤x ≤1)的最大值是a 2,那么实数a 的取值范围是11在区间[1/2,2]上函数f(x)=x 2+px+q 与g(x)=2x+1/x 2在同一点取得相同的最小值，那么f(x)在区间[1/2,2]上的最大值是题型三 解析式的求解(一) 换元法：如f(2x + 3)=x 2 + 3x + 5，求f(3-7x)，。

(二221x x +=，求f(x)。

(三y=Asin(ωx +ϕ) + C 中系数(四.(五x 、y 互换.1若f （sin x ）=2－cos2x ，则f （cos x ）等于（ ）A 2－sin2xB 2+sin2xC 2－cos2xD 2+cos2x2已知f （x x +-11）=2211x x +-，则f （x ）的解析式可取为（ ） A2x B －212x x + C 22x D －21x x +3（1）已知3311()f x x x x+=+，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x +=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求(f x4 如果f ［f （x ）］=2x －1，则一次函数f （x ）=___________5已知f(x -1/x)=x 2+1/x 2,则f(x)=6函数f(x)是一个偶函数，g(x)是一个奇函数，且f(x)+g(x)=1/(x -1),则f(x)=7设函数f(x)=f(1/x)lgx+1,则f(10)的值是题型四 函数的性质（一） 奇偶性(一)定义：如果()()f x f x -=,则()f x 为偶函数；如果()()f x f x -=-,则()f x 为奇函数。