第一节映射与极限

第一章
教学内容与基本要求：
1、理解函数的概念。

了解函数奇偶性、周期性、单调性和有界性。

理解复合函数的概念、了解反函数概念。

熟练掌握基本初等函数的性质及其图形。

会建立简单实际问题中的函数关系式。

2、理解极限的概念（对极限ε─N ，ε─δ定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出ε求N 或δ不作过高要求），了解极限的性质。

3、掌握极限四则运算法则。

4、了解极限存在的两个准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。

5、了解无穷小、无穷大的概念，会讨论无穷小的比较，会用等价无穷小求极限。

6、理解函数在一点连续的概念，了解函数在区间上连续的概念。

了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。

了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大最小值定理）。

第一节 映射与函数
㈠．本课的基本要求
理解函数的概念。

了解函数的基本性态。

理解复合函数的概念、了解反函数概念。

熟练掌握基本初等函数的性质及其图形。

会建立简单实际问题中的函数关系式。

㈡．本课的重点、难点
重点是复合函数的概念，难点是函数的基本性态。

㈢．教学内容
引言──微积分的主要内容和思想方法
微积分是现代数学的第一个伟大成就，不仅对于数学本身的发展具有十分巨大的影响，而且作为强有力的工具，在几乎所有的科学（自然科学、社会科学和人文科学）领域里得到了广泛的应用。

微积分诞生于17世纪下半叶，但其思想的萌芽可追溯到2500多年关的古希腊人，我国古代也有一些精妙的思想和做法。

在对由直线围成的图形面积计算的同时，人们一直试图计算由曲线围成的图形的面积，计算圆的周长、圆的面积等这样一些著名问题一直吸引着许许多多的智者。

在两千多年不屈不挠的努力过程中，人们对许多具体问题建立了一些富有创见的解法。

经过反复认识和不断积累，人类对运动、变化、弯曲、连续等客观世界模式终于有了比较清晰的认识。

随着生产的发展和科学的进步，到17世纪时，求运动物体的速度和位移、求曲线的切线和曲线的长度、求由曲线所围的平面图形的面积和由曲面所围的空间立体的体积、求物体之间的引力等问题成为当时迫切需要解决的一些主要科学问题。

伟大的物理学家Newton 和哲学家Leibniz 由于本身科学工作的需要（例如Newton 计算瞬时速度和万有引力，Leibniz 计算曲线的切线等），在前人思想方法和计算方法的基础上，分别独立地建立了用于解决一类广泛问题的普遍方法和计算法则──微积分，极大地影响了数学以及整个科学的发展。

微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一。

现今，微积分已成为现代科学技术必备的一块“敲门砖”，是大学数学基础教育最基本的组成部分之一。

微积分的学习，不应该仅仅局限于学会一些计算方法，其间的思想方法将更有益于我们去认识客观世界。

一．介绍函数、极限、连续在本课程的地位
集合与映射我们在中学已经学过，以后也不用，这里就不再介绍。

二．邻域
邻域是一个经常用到的概念。

以点0x 为中心的任何开区间称为点0x 的邻域，记为)(0x U 。

设δ是任一正数，则开区间),(00δδ+-x x 就是点0x 的一个邻域，这个邻域称为点0x 的δ邻域，记余),(0δx U 。

称0x 为邻域的中心，δ为邻域的半径。

由于δδ+<<-00x x x 相当于δ<-0x x ，因此}|{),(00δδ<-=x x x x U 。

因为
0x x -表示点x 与点0x 间的距离，所以),(0δx U 表示：与点0x 距离小于δ的点x 的集合。

有时用到的邻域需要把邻域中心去掉。

点0x 的δ邻域去掉中心0x 后，称为点0x 的去心δ邻域，记作),(0δx U ，即}||0|{),(00δδ<-<=x x x x U。

这里||00x x -<就表示0x x ≠。

为了方便，有时把开区间),(00x x δ-称为0x 的左δ邻域，把开区间),(00δ+x x 称为0x 的右δ邻域。

两个闭区间的直积表示xoy 平面上的矩形区域。

例如 ]},[],,[|),{(],[],[d c y b a x y x d c b a ∈∈=⨯即为xoy 平面上的一个矩形区域，这个区域在x 轴与y 轴上的投影分别为闭区间],[b a 和闭区间],[d c 。

三．函数
略提函数、反函数的概念，几种特性：单调性、奇偶性、周期性
练习：判断)32(4<<-=x x y 是偶函数。

（非）
1.有界性：设函数)(x f 的定义域为D ，数集D X ⊂。

如果存在数1K ，使得1)(K x f ≤，对任一X x ∈都成立，则称函数)(x f 在X 上有上界，而1K 称为函数)(x f 在X 上的一个上界。

如果存在数2K ，使得2)(K x f ≥，对任一X x ∈都成立，则称函数)(x f 在X 上有下界，而2K 称为函数)(x f 在X 上的一个下界。

如果存在正数M ，使得M x f ≤)(，对任一X x ∈都成立，则称函数)(x f 在X 上有界，而M 称为函数)(x f 在X 上的一个界。

如果这样的M 不存在，就称函数)(x f 在X 上无界；这就是说，如果对于任何正数M ，总存在X x ∈1，使M x f >)(1，那么函数)(x f 在X 上无界。

举例说明。

容易证明，函数)(x f 在X 上有界的充要条件是它在X 上既有上界又有下界。

2.基本初等函数的概念
基本初等函数的图象，从图象上看函数的性质
3.复合函数定义 设有两个函数，E x x g u D u u f y ∈=∈=),(,),(及，如果对于某些x 值
所对应的u 值，函数)(u f y =有定义，则y 通过u 的联系，也是x 的函数，就称这个函数为由)(u f y =与)(x g u =复合而成的复合函数，记为*)),((E x x g f y ∈=，这时，x 是自变量，y 是因变量，u 称为中间变量，其中{}
E x D x g x E ∈∈=,)(*
函数g 与函数f 构成的复合函数通常记为g f ，即)]([))((x g f x g f = 。

例1．求21,x u u y -==复合而成的复合函数。

例2．设))(()),((,12)(,sin )(2x f x f x x x x f ϕϕϕ求+==.
例3．指出))ln(sin(tan ,)1arctan(,sin 32x x e y x +=是由哪些函数复合而成。

注：不是任意两个函数都能复合，如2arcsin 2+==x u u y 与。

强调构成复合函数g f 的条件。

4.函数的运算
函数的和、差、积、商称为函数的运算。

但是必须注意运算的条件：函数的定义域要有交集。

5.初等函数 由基本初等函数及常数经过有限次四则运算和有限次复合构成并且可以用一个数学式子表示的函数。

双曲函数：双曲正弦2x x e e shx --=，双曲余弦2
x
x e e chx -+=，双曲正切chx shx thx =，反双曲函数略。

注：分段函数不是初等函数
例 符号函数⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>=0100
01sgn x x x x ， 例 函数⎩⎨⎧=x 是是无理x 是是有理
x D ,1,0)(。

该函数的图形是无法绘制的。

（这个函数称为Dirichlet(狄
利克雷)函数。

它的奇特性可以用于说明许多涉及微积分本质的问题。

）
书上也提到取整函数这里不再介绍。

介绍几个常用符号：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=∀∃0
100
01sgn x x x x ct st ，、、、 四．初等数学模型的例子
我们介绍一个比较简单的初等数学模型的例子。

问题1 美国1975年至1978年的能源进口金额（单位：10亿）如下表所示：
⑴假设y 与t 为线性关系，试写一通过点(0,96)及(3,172)的线性方程式。

⑵利用此方程式估计976年及1977年的进口量（线性内插），并与实际进口量比较。

⑶预测1980年之能源进口量（线性外插）。

⑷由⑴中的直线斜率可得何种信息？
解略
本例虽很简单，但从中可以看出数学工具在解决实际问题中的作用。

另外，本例中所用的线性内插与线性外插是计算数学中的一类重要方法──插值法的简单情形。

以后我们进一步介绍。

问题 2 煤油在作为喷气发动机燃料之前需通过粘土以去除其中的污染物。

假设粘土呈管状，且每米管道可去除进入其中的污染物的20%，则煤油通过每米管道后尚留80%的污染物。

若0P 是初始污染物量，则)(n f P =是通过n 米管道后污染物遗留量。

试建立)(x f P =的表达式，并求当x 为何值时02
1P P =
？答案的实际意义是什么？ 解略
小结：
作业：P.22.16(1)(3)(5),18。