D1_1映射与函数
高数课件(同济第五版)D1_1映射与函数
解: 当 1≤ x < 0 时, y = x ∈( 0, 1] , 则 x = y , y ∈( 0, 1] 当 0 < x ≤1 时, y = ln x ∈( ∞, 0] , 则 x = e , y ∈( ∞, 0]
y
2e
2
1 1 o 1 2x
当 1< x ≤ 2 时, y = 2ex1∈( 2, 2e] , y 则 x =1+ ln 2 , y ∈( 2, 2e] 反函数 y =
o 1
y = th x x
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(4) 周期性
x ∈D, l > 0, 且 x ± l ∈D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
π 2π
o π 2π x
周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 f (x) = C 狄里克雷函数
( 自学, P17 – P21 )
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非初等函数举例: 符号函数 当x>0 当x=0 当x<0 取整函数 当
y
2 1o 1 2 3 4
y
1
o
1
x
x
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例5. 求 y =
x2 , 1≤ x < 0 ln x , 0 < x ≤1 的反函数及其定义域. x1 2e , 1< x ≤ 2 y
* M 表示 M 中排除 0 的集 ;
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
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大一高数知识点映射与函数
大一高数知识点映射与函数高等数学是大多数理工科专业大一必修的一门课程，其中包含了许多重要的数学知识点。
在这篇文章中，我们将重点讨论高数中的映射与函数。
一、映射的概念与性质映射是数学上非常重要的概念，它描述了元素之间的对应关系。
在集合论中，我们将一个元素从一个集合映射到另一个集合，这两个集合可以是相同的，也可以是不同的。
映射一般用函数符号f(x) 表示，其中 x 是原集合的元素，f(x) 是它在目标集合中的对应元素。
映射具有以下性质：1. 单射：若 f(x1) = f(x2)，则 x1 = x2。
即不同的元素在映射中有不同的对应元素。
2. 满射：若对于任意的 y ∈目标集合，都存在 x ∈原集合，使得 f(x) = y。
即每一个元素都有对应的映射元素。
3. 一一映射：即又是单射又是满射的映射。
二、函数的定义与性质函数是映射的一种特殊形式，它在数学和其他学科中都有着广泛的应用。
函数的定义比较简洁，它是一种特殊的映射，其中原集合只能有一个元素对应到目标集合中的一个元素。
函数具有以下性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是指输入变量的取值范围，值域是指函数输出的取值范围。
2. 奇偶性：函数 f(x) 的奇偶性取决于 f(-x) = f(x) 或 f(-x) = -f(x) 是否成立。
3. 单调性：函数在定义域上的增减状况，可以分为递增、递减或保持不变。
4. 极值与最值：函数在定义域的某一点或某一区间上取得的最大值或最小值。
5. 对称性：函数是否具有关于某个轴的对称性。
三、常见的函数类型在高数课程中，我们学习了许多常见的函数类型。
下面是其中一些重要的函数：1. 幂函数：y = x^n，其中 n 是正整数。
2. 指数函数：y = a^x，其中 a 是正实数且不等于 1。
3. 对数函数：y = log_a(x)，其中 a 是正实数且不等于 1。
4. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
5. 反三角函数：包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
1-1 映射与函数
例： f ( x ) x 2 在[0, )上单调增加
在 ( , 0]上单调减少 在 ( , )上不是单调的
函数的几种特性
3．函数的奇偶性
设函数f (x) 的定义域D关于原点对称
如果对于任一 x D, f ( x ) f ( x )恒成立
那么称函数f (x)为偶函数
四则运算
函 数
构造 复合映射
构造
基本初等函数
基本初等函数与初等函数
基本初等函数 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次
的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数
否则称为非初等函数
概念
概念 初等函数
逆映射
集 合 区 邻 间 域
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射 若对X中任意两个不同的元素
则称f为X到Y的单射 若映射 f 既是满射又是单射, 则称 f 为一一映射或双射. X f
它们的像
逆映射 若f 是从X到Y的单射，可定义一个从 对每个 规定
到X的新映射g
这x满足
这个映射g称为f的逆映射，记作 注 (1) 只有单射才存在逆映射 (2) 逆映射
1 y f ( x ), x f ( D) y f ( x ), x D 的反函数记成 一般地，
注 (1) f 在D上单调增加（减少），f 1 必定存在
1 且 f 在f (D)上也单调增加（减少）
(2) 函数y=f (x)与其反函数 y f 1 ( x ) 的图形 关于直线y=x对称
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
高中数学必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解
经典高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示1、映射：1对映射定义的理解;2判断一个对应是映射的方法;一对多不是映射,多对一是映射集合A,B 是平面直角坐标系上的两个点集,给定从A →B 的映射f:x,y →x 2+y 2,xy,求象5,2的原象.3.已知集合A 到集合B ＝｛0,1,2,3｝的映射f:x →11-x ,则集合A 中的元素最多有几个写出元素最多时的集合A.2、函数;构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法; 例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法;但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是()g x 的值域;例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式;与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化; 例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法; 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式;例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f例6 设)(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式六、赋值法：当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式;例7 已知：1)0(=f ,对于任意实数x 、y,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,求)(x f七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式;例8 设)(x f 是+N 上的函数,满足1)1(=f ,对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(,求)(x f1、求函数定义域的主要依据：1分式的分母不为零；2偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义；32 2 (21)x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发,推出y=fx 的取值范围,适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式； ③判别式法：运用方程思想,依据二次方程有根,求出y 的取值范围；适合分母为二次且x ∈R 的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式x 有范围限制时要画图； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数四．1．定义:2.性质：①y=fx 是偶函数⇔y=fx 的图象关于y 轴对称, y=fx 是奇函数⇔y=fx 的图象关于原点对称,②若函数fx 的定义域关于原点对称,则f0=0③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇两函数的定义域D 1 ,D 2,D 1∩D 2要关于原点对称31、函数单调性的定义：2 设()[]x g f y =是定义在M 上的函数,若fx 与gx 的单调性相反,则()[]x g f y =在M 上是减函数；若fx 与gx 的单调性相同,则()[]x g f y =在M 上是增函数;时,1)(>x f ,⑴求证：)(x f 在R 上是增函数； ⑵若4)3(=f ,解不等式2)5(2<-+a a f 3函数)26(log 21.0x x y -+=的单调增区间是________4高考真题已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A (0,1)B 1(0,)3C 11[,)73D 1[,1)7一：函数单调性的证明1.取值 2,作差 3,定号 4,结论 二：函数单调性的判定,求单调区间x a x y += 0>a xax y -= 0>a 三：函数单调性的应用1.比较大小 例：如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)2()2(-=+t f t f ,那么 A 、)4()1()2(f f f << B 、)4()2()1(f f f <<C 、)1()4()2(f f f << C 、)1()2()4(f f f <<2.解不等式例：定义在－1,1上的函数()f x 是减函数,且满足：(1)()f a f a -<,求实数a 的取值范围; 例：设是定义在上的增函数,,且,求满足不等式的x 的取值范围.3.取值范围例: 函数 在上是减函数,则 的取值范围是_______．例：若(31)41()log 1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数,那么a 的取值范围是A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)74. 二次函数最值例：探究函数12)(2+-=ax x x f 在区间[]1,0的最大值和最小值;例：探究函数12)(2+-=x x x f 在区间[]1,+a a 的最大值和最小值;5.抽象函数单调性判断例：已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞,当1>x 时,0)(>x f ,且)()()(y f x f xy f +=⑴求)1(f ,⑵证明)(x f 在定义域上是增函数⑶如果1)31(-=f ,求满足不等式)21()(--x f x f ≥2的x 的取值范围例：已知函数fx 对于任意x ,y ∈R ,总有fx ＋fy ＝fx ＋y ,且当x >0时,fx <0,f 1＝－错误!.1求证：fx 在R 上是减函数； 2求fx 在－3,3上的最大值和最小值．例：已知定义在区间0,＋∞上的函数fx 满足f 错误!＝fx 1－fx 2,且当x >1时,fx <0. 1求f 1的值；2判断fx 的单调性；3若f 3＝－1,解不等式f |x |<－2.六．函数的周期性：1．定义若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数,T 是它的一个周期;说明：nT 也是)(x f 的周期推广若)()(b x f a x f +=+,则)(x f 是周期函数,a b -是它的一个周期对照记忆()()f x a f x a +=-说明：()()f a x f a x +=-说明：2．若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 周期是2a1 已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+2=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D22 定义在R 上的偶函数()f x ,满足(2)(2)f x f x +=-,在区间-2,0上单调递减,设( 1.5),(2),(5)a f b f c f =-==,则,,a b c 的大小顺序为_____________3 已知f x 是定义在实数集上的函数,且,32)1(,)(1)(1)2(+=-+=+f x f x f x f 若则f 2005= .4 已知)(x f 是-∞+∞，上的奇函数,)()2(x f x f -=+,当0≤≤x 1时,fx=x,则f=________ 例11 设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x 恒满足)()2(x f x f -=+,当]2,0[∈x 时22)(x x x f -=⑴求证：)(x f 是周期函数；⑵当]4,2[∈x 时,求)(x f 的解析式；⑶计算：1、已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数,则)1(f 的范围是A 25)1(≥fB 25)1(=fC 25)1(≤fD 25)1(>f2、方程0122=++mx mx 有一根大于1,另一根小于1,则实根m 的取值范围是_______八．指数式与对数式 1．幂的有关概念1零指数幂)0(10≠=a a 2负整数指数幂()10,n na a n N a-*=≠∈ 3正分数指数幂()0,,,1m n m na a a m n N n *=>∈>； 5负分数指数幂()110,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>60的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质3．根式根式的性质:当n 是奇数,则a a n n =；当n 是偶数,则⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a n n4．对数1对数的概念:如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a2对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a3对数的运算性质 logMN=logM+logN对数换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a 且且 对数的降幂公式：)10,0(log log ≠>>=a a N N mnN a n a m 且 1 213323121)()1.0()4()41(----⨯b a ab 2 1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+x 名称 指数函数 对数函数 一般形式 Y=a x a>0且a ≠1 y=log a x a>0 , a ≠1 定义域 -∞,+ ∞ 0,+ ∞ 值域 0,+ ∞ -∞,+ ∞ 过定点 ０,1 1,０ 图象 指数函数y=a x 与对数函数y=log a x a>0 , a ≠1图象关于y=x 对称数相同,如果底数相同,可利用指数函数的单调性；指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系对数式比较大小同理记住下列特殊值为底数的函数图象：3、研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的（1）1、平移变换：左+ 右- ,上+ 下- 即①函数图象及变化规则掌握几类基本的初等函数图像是学好本内容的前题1、基本函数1一次函数、2二次函数、3反比例函数、4指数函数、5对数函数、6三角函数;2、图象的变换1平移变换左加右减①函数y=fx+2的图象是把函数y=fx的图像沿x轴向左平移2个单位得到的；反之向右移2个单位②函数y=fx-3的图象是把函数y=fx的图像沿y轴向下平移3个单位得到的；反之向上移3个单位2对称变换①函数y=fx 与函数y=f-x 的图象关于直线x=0对称； 函数y=fx 与函数y=-fx 的图象关于直线y=0对称；函数y=fx 与函数y=-f-x 的图象关于坐标原点对称；②如果函数y=fx 对于一切x ∈R 都有fx+a=fx-a,那么y=fx 的图象关于直线x=a对称;③y=f-1x 与y=fx 关于直线y=x 对称 ⑤y=fx →y=f|x|3、伸缩变换y=afxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的纵坐标伸长a>1或缩短0<a<1到原来的a 倍;y=faxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的横坐标缩短a>1或伸长0<a<1到原来的a 倍;十．函数的其他性质1．函数的单调性通常也可以以下列形式表达：1212()()0f x f x x x ->- 单调递增1212()()0f x f x x x -<- 单调递减2．函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：()()0f x f x +-= 奇函数 ()()0f x f x --= 偶函数3．函数的凸凹性：1212()()()22x x f x f x f ++<凹函数图象“下凹”,如：指数函数 1212()()()22x x f x f x f ++>凸函数图象“上凸”,如：对数函数。
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( f o g )=f[g(x)].
1.3.4 函数的运算 设函数 f(x)，g(x)的定义域依次为 D1，D2，D=D1ÇD2¹Æ，则我们可以定义这两个函数 的下列运算：
(1)和(差) f±g：(f±g)(x)=f(x)±g(x)，xÎD； (2)积 f×g：(f×g)(x)=f(x)×g(x)，xÎD；
tan
-tanα cotα -cotα -tanα tanα cotα -cotα -tanα tanα
cot
-cotα tanα -tanα -cotα cotα tanα -tanα -cotα cotα
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映射称为映射 g 和 f 构成的复合映射.
1.3 函数 1.3.1 函数 设数集 DÌ ¡ ，则称映射 f：D® ¡ 为定义在 D 上的函数，记为 y=f(x)，xÎD， 其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域，记作 Df，即 Df=D. 1.3.2 函数的几种特性 (1)函数的有界性 设函数 f（x）的定义域为 D，数集 X Ì D. 如果存在正数 M，使对任 一 xÎX，有|f(x)|£M，则称函数 f(x)在 X 上有界；如果这样的 M 不存在，则称函数 f(x)在 X 上无界.即对任何 M，总存在 x1ÎX，使|f(x)|>M. (2)函数的单调性 设函数 y=f(x)的定义域为 D，区间 IÌD.如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2，当 x1<x2 时，恒有 f(x1)<f(x2)，则称函数 f(x)在区间 I 上是单调增加的. 如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2，当 x1<x2 时，恒有 f(x1)>f(x2)，则称函数 f(x)在区间 I 上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. (3)函数的奇偶性 设函数 f(x)的定义域 D 关于原点对称.如果对于任一 xÎD，有 f(-x)=f(x) 恒成立，则称 f(x)为偶函数；如果对于任一 xÎD，有 f(-x)=-f(x)恒成立，则称 f(x)为奇函数. 偶函数的图形关于 y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称. (4)函数的周期性 设函数 f(x)的定义域为 D.如果存在一个正数 l，使得对于任一 xÎD 有 (x±l)ÎD，且 f(x+l)=f(x)，则称 f(x)为周期函数，l 称为 f(x)的周期. 1.3.3 反函数与复合函数
一一对应 连续函数 开映射
一一对应连续函数开映射一一对应是数学中的一个概念，它描述了两个集合之间的关系，其中每个元素都与另一个集合中的唯一元素对应。
在连续函数开映射的背景下，一一对应是一个非常有用且重要的概念。
连续函数是数学中的一种特殊函数，它在数学分析和实际应用中扮演着重要的角色。
连续函数的定义是指函数在整个定义域上都是连续的，即函数的图像没有断裂或突变。
开映射是指函数将定义域中的开集映射到值域中的开集。
开集是指集合中的每个点都有一个邻域，而且邻域中的点仍然属于该集合。
那么，连续函数开映射的含义是什么呢？它意味着函数既是连续的，又能够将定义域中的开集映射到值域中的开集。
这种映射关系在数学和实际问题中经常出现，并且具有很多重要的性质和应用。
连续函数开映射的存在性是一个重要的结果。
根据实分析中的连续函数开映射定理，任意两个实数区间之间都存在一个连续函数开映射。
这个结果非常有用，例如在优化问题中，可以利用这个定理来构造优化算法。
连续函数开映射还具有保序性质。
如果函数是一个连续函数开映射，并且定义域上的元素按照某种顺序排列，那么对应的值域上的元素也会按照相同的顺序排列。
这个性质在经济学和金融学中经常使用，例如在供需分析和市场均衡中，可以利用这个性质来研究市场的行为和价格变动。
连续函数开映射还具有保持距离性质。
如果函数是一个连续函数开映射，并且定义域上的两个点之间的距离小于等于某个值，那么对应的值域上的两个点之间的距离也小于等于相同的值。
这个性质在几何学和拓扑学中经常使用，例如在度量空间和拓扑空间的研究中，可以利用这个性质来研究空间的结构和性质。
连续函数开映射还具有保持邻域性质。
如果函数是一个连续函数开映射，并且定义域中的一个点有一个邻域，那么对应的值域中的点也有一个邻域，并且这两个邻域之间存在一一对应关系。
这个性质在微积分和实分析中经常使用，例如在函数极限和连续性的研究中，可以利用这个性质来证明一些重要的定理和结论。
连续函数开映射是数学中一个非常有用且重要的概念。
高等数学---映射与函数
A {a1 , a2 ,, an }
描述法 M { x x所具有的特征}
N , N , Z , Q, R, R* , R
2
映射与函数
(6)关系 子集 ( 包含 ), A B : x A x B; 相等, A B : A B, 且 B A ;
不含任何元素的集合称为空集, 记作 , 规定空集为任何集合的子集. 2.集合的运算
对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有
(x1) < (x2) (或(x1) > (x2) )
则称函数 f ( x )在区间 I上是 单调增加(或单调减少).
y
y f ( x)
y
f ( x2 )
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
第一节 映射与函数
基本概念
函数概念 函数的特性 反函数 小结 作业 思考题
1
第一章 函数与极限
映射与函数
一、集合
1.集合概念
(1)定义 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
(2)有限集和无限集
(3)符号
a M , a M.
(4)表示 列举法 (5)常用集合
o
x1
x2
I
x
o
x1
x2
I
x
注意 函数的单调性是一个与自变量取值范围有关的相对 30 性概念．
映射与函数
(3)函数的奇偶性 定义 设D关于原点对称, 对于x D, 有
f (-x) = f (x) (或f (-x) = - f (x) )
则称 f (x) 为偶函数(或奇函数).
1-1函数与映射
在[1，+ ]，有界；在(0, 1)无界。
2019年12月24日星期二
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18
2）单调性
设函数 f (x)的定义域为D, 区间I D,
如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2, 当 x1 x2时,
恒有 (1) f (x1) f (x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调增加的 ;
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21
设D关于原点对称 , 对于x D, 有
f (x) f (x) 称 f (x)为奇函数 ;
-x f (x)
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
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4）周期性 设函数f ( x)的定义域为D, 如果存在一个不为零的
y sin x2 y u u sin v v x2
或 y u u sin x 注：不是任何函数都可以复合成一个函数。 如： y u 与 u sin x 不能进行复合。
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4. 函数的运算
和、差、积、商。 注：只有具备公共定义域的函数才能运算 。
y
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
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3）奇偶性
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
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(2) sin(arcsin x) x, x [1,1] arcsin( x) arcsin x
, [ , ] 2 2 arcsin(sin ) , [ , ] 2 2
8. 反余弦函数
(1) y cos x在[0, ]上的反函数称为反余弦函数 y arccos x
一般δ 取得比较小
2. 两个函数 (1) 符号函数 当x>0 当x=0 当x<0 (2) 取整函数
y
1
1
o
x
当
y
o
x
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3. 函数的几种特性 设函数 y f ( x) , x D , 且有 I D . (1) 有界性 x D , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f ( x) 为有界函数. x I , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f ( x) 在 I 上有界. 说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (见 P6 )
第一章 函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一章
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
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1. 点a的邻域 (1) 点a的 邻域
a 心 , 称为邻域半径 . (2) 点a的去心 邻域 (3) 点a的左 邻域 : 右 邻域 :
结束
(2) 复合函数定义的推广
y h( x) : y f1 (u1 ), u1 f 2 (u2 ), , un f n1 (x )
其中 u1 , u2 , , un 为中间变量
5. 初等函数 (P12)
(1) 基本初等函数 (2) 初等函数 (3) 复合函数一般分解原则：所分解的每一个形为
(1) y f (u ) u , u g ( x) 1 x 2 ; (2) y lg u, u sin x ; (3) y 1 u , u 2 ln 2 x ; (4) y eu , u sin v, v 1 x 2 .
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9. 反正切函数
2) 奇函数，单调增加函数，非周期函数，
有界函数但无最大(小)值
(2) tan(arctan x) x, arctan( x) arctan x, x (, ) , 2 , 2 arctan(tan ) , , 2 2
2) f ( x)在I 上有界 f ( x)在I 上既有上界又有下界
(2) 单调性
x1 , x2 I , x1 x2 时,
若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f ( x)在I 上是 单调增加的 ; 若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称
y
x1 x 2 x
f ( x) 为在I 上是 单调减少的. 说明: f ( x) 为单调增加(减少)函数，单调函数
2 2 例3 把下列各式改写为反正弦的形式 1 1 (1) sin = ; (2) sin = ; (3) sin =1 6 2 2 6 2 3 (4) sin 0=0; (5) sin = 1 2 且ymax |x 1
,
ymin |x 1
D [1,1], R f [0, ]
说明: 1)角arccos x [0, ], x 为其余弦值
2) 非奇非偶函数，单调减少函数，非周期函数， 有界函数，且ymax |x1
ymin |x1 0
例4 把下列各式改写为反余弦的形式
2 3 2 (1) cos = ; (2) cos = ; (3) cos = 1 4 2 4 2 1 (4) cos =0; (5) cos = 2 3 2
10. 反余切函数
(1) y cot x在(0, )上的反函数称为反余切函数 y arccot x
D (, ), Rf (0, )
说明: 1)角 arccot x (0, ), x 为其余切值
2) 非奇非偶函数，单调减少函数，非周期函数， 有界函数但无最大(小)值
如 y x2 , I1 [0, ) 单增，I 2 (,0] 单减 ，D (, ) 非单调
y x 1 为单调增加函数
(3) 奇偶性
y
则称 f (x) 为偶函数; 则称 f (x) 为奇函数； 则称 f (x) 为非奇非偶函数。
x D, 且有 x D,
x 为无理数
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4. 复合函数
引例.
D1
D
手电筒
D2
D 复合映射
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(1)设有函数链 y f (u ), u D1 ①;
且 g ( D) D1 ②．则
称为由①, ②
确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 g ( D) D1 不可少. 例1 下列各组中的两个函数能否构成复合函数？
1 如 y , D (, 0) (0, ) x D (,0) (0, ) 无界
I1 (,0) 无界，有上界而无下界
I 2 (0, ) 无界，有下界而无上界 I3 [1, 2] 有界
说明: 1) f ( x) 为有(无)界函数 如 y sin x, y 2 x 1
(2) cot(arc cot x) x, x (, ) arc cot( x) arc cot x , (0, ) arc cot(cot ) , (0, )
(2) cos(arccos x) x, x [ 1,1] arccos( x) arccos x , [0, ] arccos(cos ) , [0, ]
(1) y tan x在 , 上的反函数称为反正切函数 y arctan x 2 2 D (, ), R f , 2 2 说明: 1)角 arctan x , , x 为其正切值 2 2
y af ( x) b ( f ( x)为基本初等函数，a, b为常数且 a 0),
并且所分解的函数个数尽可能的少。
例2 下列函数可以看成由哪些函数复合而成的？
1) y 1 x ;
2 3 2
2) y e
a
sin 2 x
;
3) y cos (2x +1) .
(4) 复合函数的重要性
x D, l 0 , 且 x l D,
若
则称 f ( x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
2
o 2 x
周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 f ( x) C 狄里克雷函数
周期为
1, 0,
x 为有理数
若 若 若
x o
xx
说明: 若 f ( x) 在 x = 0 有定义 则当 , f ( x) 为奇函数时 , 必有 f (0) 0.
如 f ( x) x2 cos x 为偶函数， f ( x) x6 sin x 为奇函数， f ( x) x2 x 为非奇非偶函数。
(4) 周期性
7. 反正弦函数
(1) y sin x在[
, ] 上的反函数称为反正弦函数 y arcsin x 2 2
D [1,1], R f [
说明: 1)角
, ] 2 2 arc sin x [ , ], x 为其正弦值 2 2
2) 奇函数，单调增加函数，非周期函数，有界函数