北师大版八年级数学期末专题复习

C

E

A D

B 八年级（下）期末复习资料

一、三角形

考点一、特殊三角形

1、已知,等腰三角形的一条边长等于6,另一条边长等于3,则此等腰三角形的周长是（ ） A.9 B.12 C.15 Ｄ.12或15

２. 等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为__________ ３、等腰三角形的一个角是８0度,则它的另两个角是____＿＿＿_ ４、等腰三角形的顶角为12０°,腰长为4，则底边长为__________

考点二、三角形的特殊线段 一、垂直平分线 1、如图1，在△ABC 中，已知AC=27,A Ｂ的垂直平分线交A Ｂ于点D ，交AC 于点Ｅ，△BCE 的周长等于5０，求BC 的长.

2、如图：△ＡBC 中,AB=AC,∠B ＡC=120０,EF 垂直平分ＡB, EF=2,求AB 与BC 的长。

二、角平分线

１、如图，在△ＡBC 中，∠C ＝90°,∠A 的平分线交BC 于E ，DE ⊥AB 于Ｄ,BC=８,A Ｃ=６,AB=10，则△ＢDE 的周长为__＿______。

B A

E

D

图1

E B

F C

A

2、如右下图，在△A ＢC 中,∠A ＣB=９0°，BE 平分∠ABC,ＤＥ⊥AB 于D,如果AC=3 ｃm ，那么AE+ＤＥ等于 。

A.２ cm Ｂ.３ ｃm Ｃ．４ cm D ．５ c ｍ

3.如右图，已知BE ⊥A Ｃ于E ，CF ⊥AB 于Ｆ,BE 、C Ｆ相交于点D ，若BD=CD. 求证:AD 平分∠BAC.

考点三、三角形全等 1、．如下图,已知∠ABC ＝∠ＡDC=9０°，E 是A Ｃ上一点,AB=AD ，求证：EB=E Ｄ．

2、如右图，已知△ＡBC 和△BD Ｅ都是等边三角形，求证：AE =C Ｄ.

拓展与提高

1..如图2４,在?A B C 中，A Ｂ=A Ｃ,ＡB 的垂直平分线交A Ｂ于点N,交BC 的延长线于点M,若0

40A ∠=． (1)求NMB ∠的度数；

（２）如果将（1）中A ∠的度数改为0

70，其余条件不变,再求NMB ∠的度数； (3）你发现有什么样的规律性,试证明之；

（４）若将(1)中的A ∠改为钝角,你对这个规律性的认识是否需要加以修改？

２.如图,在△ABC中，AＢ=AC、Ｄ是AＢ上一点，E是ＡC延长线上一点，且CE=ＢD,连结DＥ交BＣ于F。(１)猜想DF与EＦ的大小关系；（2）请证明你的猜想。

?

3.如图,△ABＣ和△DＥF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAＣ＝∠ＥＤF=9０°，△DEF 的顶点E与△ＡBＣ的斜边ＢC的中点重合．将△DEF绕点E旋转,旋转过程中，线段DＥ与线段AB相交于点P，线段EF与射线ＣA相交于点Q．

(1)如图①，当点Ｑ在线段AC上，且AＰ=AQ时，求证:△BPE≌△CＱＥ；

考点四、直角三角形

1.如图,△ABC中，∠C=90°,AC=2，BC=1,顶点Ａ、C分别在x轴、y轴的正半轴上滑动,求点B到原点的最大距离。

2.（1)在△ＡB Ｃ中，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于N,交ＢC 的延长线于M,∠A ＝0

40，求∠NMB 的大小

(2)如果将（1)中∠Ａ的度数改为0

70,其余条件不变，再求∠N ＭB 的大小 (3)你发现有什么样的规律性?试证明之．

（4）将(1)中的∠A 改为钝角,对这个问题规律性的认识是否需要加以修改

3.在△A ＢC 中，AB 的中垂线ＤE 交AC 于F,垂足为D ，若A Ｃ＝6，BC ＝4，求△BCF 的周长。

E

C F

A D B

二、不等式（组)

考点一、不等式的基本性质

例１、若b a ，则下列不等式中不成立的是( ）

A B

C

N M

A B

C

N

M

A

B

C

N

M

A.55-<-b a

B.b a 55<

C.0<-b a

D.b a 55-<- 练习：

1、如果a>b,那么下列不等式中不成立的是( ） A 、ａ-3＞b －3 B 、－3a ＞-３b C

、

3

3b

a > D 、

b a -<- 2、已知不等式（a+1)ｘ＜2的解集是x ＜1，则a 的值为 .

考点二、不等式（组）的解集 例1、把不等式组??

?≤->1

1

x x 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ▲ ）

A ． B. C. Ｄ．

例２、不等式组???>-≤+0

1x x 的解集为（ )

A.1-

B.0

C.01<≤-x Ｄ.1-≤x

练习:

1、关于x 的不等式12-≤-a x 的解集如图所示,则a 的取值是（ ) Ａ．０ Ｂ.-３ Ｃ.－2 Ｄ.-1

2、不等式２-x≤0的解集在数轴上表示正确的是( ）

A 、 B.

C ．

D.

3.直线1l ：b x k y +=1与直线2l ：x k y 2=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x 的不等式b x k x k +<12的解集为（ )

Ａ、1-x Ｃ、2>x D 、2

考点三、含有参数的不等式

例1、若关于x 的不等式03>+-m x 的解集是x<2，则关于x 的不等式03<+-m x 的解集是 。

练习:

1、关于x 的一元一次不等式组??

?-<+>2

32

b x b x 有解，则直线b x y +-=不经过第__＿_____象

1 0 1-

1 0 1- 1 0 1- 1

0 1-

2、已知不等式03≤-a x 的整实数解恰巧是1、2、3,则a 的取值范围是（ ）

3、如果关于ｘ的方程13922=---x x x m 的解也是不等式组???

??->+≤--13

2110

)1(3x x x x 的一个解，求m 的取值范围是 。

4、若||()x x y m -+--=4502

,求当y ≥0时，m 的取值范围 。 5、若不等式组0

122

x a x x +≥??

->-?有解，则a 的取值范围是 。

考点四、解不等式

１、把不等式组???

??≥-->+2

321123

x x x 的解集在数轴上表示出来,并求出不等式组的整数解。

2、解不等式组???

????>+-≤--322813

7x x x

，并把解集在数轴上表示出来;

３、解不等式组???

??->+≥--13

214)2(3x x x x ,并写出不等式组的非负数解。

考点五、不等式应用

例1、某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销,就用3.2万元购进了一批这种运动服,上市后很快脱销,商场又用6.8万元购进第二批这种运动服,所购数量是第一批购进数量的２倍,但每套进价多了10元.

(1)该商场两次共购进这种运动服多少套？

(2)如果这两批运动服每套的售价相同,且全部售完后总利润率不低于３5%,那么每套售价至少是多少元？（利润率100%=

?利润

成本

）

练习:

1、某企业在生产甲、乙两种节能产品时需用Ａ、B 两种原料，生产每吨节能产品所需原料的数量如下表所示:

Ａ 原料(吨) Ｂ原料(吨) 甲种产品 ３ 3 乙种产品

1

５

本次销售甲、乙两种产品的利润m （万元)与销售量n(吨)之间的函数关系如图所示．已知该企业生产了甲种产品ｘ吨和乙种产品y 吨，共用去A 原料200吨．?（1）写出x 与y 满足的关系式;

（2）为保证生产的这批甲种、乙种产品售后的总利润不少于220万元,那么至少要用B 原料多少吨?

2、某电器城经销A型号彩电,今年四月份毎台彩电售价为2000元.与去年同期相比，结果卖出彩电的数量相同的，但去年销售额为5万元，今年销售额为4万元.

（1)问去年四月份每台A型号彩电售价是多少元?

(2)为了改善经营，电器城决定再经销Ｂ型号彩电，已知Ａ型号彩电每台进货价为1800元,B 型号彩电每台进货价为150０元，电器城预计用不多于３.3万元且不少于３．2万元的资金购进这两种彩电共２0台，问有哪几种进货方案??(3）电器城准备把A型号彩电继续以原价每台20０0元的价格出售,B型号彩电以每台1８00元的价格出售,在这批彩电全部卖出的前提下,如何进货才能使电器城获利最大?最大利润是多少?

３、某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降。今

年三月份的电脑售价比去年同期每台降低１0０0元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年售价8万元

（1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？

（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为30０0元，公司预计用不多于5万元且不少于4．8万元的资金购进这两种电脑共1５台，共有哪几种进货方案?

（３)如果乙种电脑每台售价为3８00元，为了打开乙种电脑的销路,公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金ａ元，要使（２)中所有方案获利相同,ａ值应是多少?此时,哪种方案对公司更有利？

三、因式分解

考点一、提公因式法.：ｍa+ｍb+mc=ｍ(a+b+ｃ)

例(1)多项式32223

15520m n m n m n +-的公因式是( )

A 、5mn

B 、225m n

C 、25m n

D 、2

5mn

(2)()()2

3

2x y y x ---; (3)23++-n n

n

a a

a ；

考点二、运用公式法．

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式，例如：

(1) (ａ＋b)（ａ-ｂ） ＝ a 2-b 2 ａ２

-ｂ２

=(a ＋ｂ)(a-b)； (2） (a±b)2 = a 2±2ab+ｂ2 a 2±2ab ＋ｂ２=(a±b ）2；

（3） (a+b)(ａ2-a ｂ＋ｂ2) ＝a 3+ｂ3 a ３

+b ３

＝(a+ｂ)(a ２

-ab+b 2）; (4) (a －b)(a 2＋a ｂ+b ２

) = ａ３

-b ３

a 3-

b ３＝（ａ-b)(a 2+ａb ＋b 2). 下面再补充两个常用的公式:

(５)a 2+b ２

+c 2+2ab ＋2bc+2c ａ＝(ａ＋ｂ+ｃ）２

;

（6)ａ3＋b ３

+ｃ３

-3a ｂc ＝(a+b+c ）(ａ2＋b 2+ｃ2－ab-ｂc －ｃa ）；

1．已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222

a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是( ) A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 2、分解因式 （1）

14ａ2ｂ2-1 (2)－1

4

ｘy 3＋０.0９ｘｙ； (3)-（x +2）2＋1６(x －1)２

.

(４)2

2224)1(4)1(a a a a ++-+ （5)222)1(4+-a a (６)222224)(b a b a -+

3 在实数范围内分解因式

(1) x 2－2; (2) 5ｘ2-3 （3)4

4

4a b -

4求证:当ｎ为自然数时， ()()2

2

57--+n n 能被24整除.

5.已知:a ，ｂ,c 是三角形的三边，且满足()()

2

2

2

2

3c b a c b a ++=++.求证：这个三角形是等边三角形。

6计算: 22221111111123910?

???????---- ??? ???????????

三、分组分解法.

（一)分组后能直接提公因式 １、分解因式:

（１)bn bm an am +++ （2)bx by ay ax -+-5102

（3)bc ac ab a -+-2

（4)1+--y x xy

（二)分组后能直接运用公式 ２、分解因式： （

1)

ay ax y x ++-22

（２)2

2

2

2c b ab a -+-

(３)y y x x 3922--- (４）yz z y x 22

22---

四、十字相乘法．

(一)二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2

q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点:(1)二次项系数是1;

（2)常数项是两个数的乘积;

（3)一次项系数是常数项的两因数的和。 1分解因式：

(1）652

++x x (2)1522

--y y

(二)二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2

条件：(1）21a a a = 1a 1c

（2）21c c c = 2a 2c （3)1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2

＝))((2211c x a c x a ++ 2分解因式:

（1)101132+-x x (2)2732+-x x （3）

317102

+-x x

(三)二次项系数为1的齐次多项式 3分解因式

（1）2

2

1288b ab a -- (2)2

2

86n mn m +- （３）

226b ab a --

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

（1)2

2

672y

xy x +-

(２)232

2+-xy y x

(3）

abc x c b a abcx +++)(2222

五、换元法

分解因式（1）2

)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++

（２)90-)384)(23(22++++x x x x （3)2

22222)3(4)5()1(+-+++a a a

六、添项、拆项、配方法

分解因式（1)32623+-x x (2)673

+-x x (3)1224+-x x

七、待定系数法

1、分解因式61362

2

-++-+y x y xy x

２、(1)当m 为何值时,多项式652

2-++-y mx y x 能分解因式,并分解此多项式。 (2)如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值。

中考链接:

1、(201４?毕节地区)下列因式分解正确的是( )

Ａ． 2ｘ2﹣2=2(ｘ+1）(x ﹣1）?Ｂ. x 2＋2ｘ﹣1=（x ﹣1）2? C . x 2＋１=（x ＋１）2?D ． x 2﹣ｘ+2=ｘ（x ﹣１）+2

２、（2０1４·台湾,第１7题3分)(3x +2)(﹣x 6+3ｘ5）＋(3x ＋2)（﹣2ｘ６

+x ５

)＋（x ＋1)(3x 6﹣4ｘ５

)与下列哪一个式子相同?( )

A ．（3x 6﹣4x ５

)(2ｘ＋1) Ｂ.(３ｘ6﹣4x ５

）（２ｘ+3） C ．﹣（3x ６

﹣4x ５)（2x ＋1) D ．﹣(3ｘ6﹣4x 5)(２x +3)

3、( ２0１4?广西玉林市、防城港市）下面的多项式在实数范围内能因式分解的是（ ） A . x 2＋y 2 B ．x ２

﹣ｙ C ． x 2+x +1 D . x 2﹣2ｘ＋1 3、（201４?襄阳，第１8题5分)已知：ｘ＝1﹣,y =1+

,求ｘ2+y 2﹣xy ﹣2ｘ+２y 的值。

４、关于x 的分式方程2

3

4222+=

-+-x x ax x 无解,则a 的值为

5、先化简：444

()(m 4)3m (1)2m m m m

??+--÷-??-??，再任选一个你喜欢的整数m 代入并

求值。

6、已知实数满足方程222322x x x x +-=+,则22

x x

+=

四、分式

题型一、分式的意义及分式的值 1、若分式

应满足有意义，则x x x x )

1)(3(1

-+- 。

2、________4

1

的取值范围是中，自变量在x x x y -+=

3、__________02

1

2

2的值是，则的值是已知分式x x x x -+- 4、组的整数值共有分式

_______1

3

2+-x x 5、当x 发生变化时，分式的最小值是

题型二、解分式方程 ① ②错误!─ 错误!─ 1

= 0 ③

④

13-x -)

1(2-+x x x ＝0

题型三、化简求值

（1）()

2

2111a a a ??-+÷+ ?+?

?，其中21a =-

（２）先化简下列式子,x x x x x x x x -++?-+÷+--39

62

3446222再从2,﹣２，３，4,-3中选择一

个合适的数进行计算．

(3）化简并求值:

，其中a 的值从不等式组

的解集中

选取一个你认为合适的整数

(４）先化简.再求值.222211y xy x y

y x y x +-÷???

?

??+--

其中21+=x 21-=y .

（5)已知1

13)1)(1(2732++

-+=+-+-x B

x A x x x x ,A 、Ｂ为常数,求2Ａ+3Ｂ的值

(6）设m ＞n ＞０，ｍ2＋n ２

=4mn ，求

22

m n mn

-的值

（7)若a 、ｂ、c 两两不等，求

bc ac ab a c

b a +----22+a

c bc ab b a c b +----22+ab

bc ac c b a c +----22

题型四、关于增根、无解及解的正负 1、 若方程1

13142

-=-++x k

x x 有增根，则k 的值为

2、 若关于x 的方程1

1122+=

-+-x x x k x x 不会产生增根,求k 的值？

3、 若关于x 的方程31-x 9

332

-+=++x k

x k 无解，则k 的为

4、 当a 为何值时，

)

1)(2(21221+-+=+----x x a

x x x x x 的解是负数

题型五、应用题

1、某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程.

（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天?

(2)若甲工程队独做ａ天后,再由甲、乙两工程队合作 天(用含ａ的代数式表示)可完成此项工程；

(3）如果甲工程队施工每天需付施工费１万元，乙工程队施工每天需付施工费２.5万元,甲工程队至少要单独施工多少天后,再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元?

2、某商店第一次用60０元购进２B铅笔若干支，第二次又用60０元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．

（１）求第一次每支铅笔的进价是多少元?

(2)若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元,问每支售价至少是多少元?

3、某一项工程,在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书,施工一天，需付甲工程队工程款1.５万元，乙工程队工程款ｌ.１万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案:

(1)甲队单独完成这项工程刚好如期完成;

（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；

(3）若甲、乙两队合作４天,余下的工程由乙队单独也正好如期完成．

问：甲、乙两队单独完成这项上程各需多少天?在不耽误工期的情况下，你觉得那一种施工方案最节省工程款?

4、为了美化都匀市环境，打造中国优秀旅游城市,现欲将剑江河进行清淤疏通改造，现有两家清淤公司可供选择，这两家公司提供信息如表所示：

(1)若剑江河首批需要清淤的淤泥面积大约为１.２万平方米，平均厚度约为０.4米,那么请哪个清淤公司进行清淤费用较省,请说明理由(体积可按面积×高进行计算)

(2)若甲公司单独做了2天，乙公司单独做了３天,恰好完成全部清淤任务的一半;若甲公司先做2天，剩下的清淤工作由乙公司单独完成，则乙公司所用时间恰好比甲公司单独完成清淤任务所用时间多1天,则甲、乙两公司单独完成清淤任务各需多少时间?

中考链接:

1.(2014·浙江金华）在式子

11

,,x2,x3

x2x3

--

--

中,x可以取2和3的是(）

A．

1

x2

-

B.

1

x3

-

C.x2

-D.x3

-

２、(20１4?呼和浩特)下列运算正确的是（)

A. ?=Ｂ. =ａ3

Ｃ．(+)2÷(﹣）=Ｄ. (﹣ａ）9÷a3=(﹣ａ)6

3、（2０14?济宁）如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线,称得它的质量为a克，再称得剩余电线的质量为ｂ克，那么原来这卷电线的总长度是米.

4、（2014?德州)分式方程﹣１=的解是(）

Ａ．x=1 B．ｘ=﹣1+C．x=２D．无解

5、（2014?泰州)已知a２+3ab＋b2=0(a≠0,ｂ≠0），则代数式+的值等于（）

6、(２014?广西贺州）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中,正方形的周长最短”的结论，推导出“式子ｘ+(ｘ＞０)的最小值是2”.其推导方法如下:在面积是1的矩形中设矩形的一边长为ｘ，则另一边长是，矩形的周长是2（x+);当矩形成为正方形时，就有x=(0＞０），解得x=1，这时矩形的周长2(x+）=４最小,因此x+（ｘ＞0)的最小值是2．模仿张华的推导,你求得式子(x>0)的最小值是（)

A．2B．1Ｃ. ６D. 10

７、由于货源紧缺,小王、小李两名商贩连续再次以不同的价格在同一公司购进了A型香米,两次的购买单价分别为a、b(a＜b,单位:元/千克）,小王的采购方式为：每次购进c千克大米，

小李的购买方式为:每次购进d元的大米。若只考虑采购单价，下列结论正确的是（) A、小王合算B、小李合算C、一样合算D、无法确定谁更合算

8（201４?广西贺州)马小虎的家距离学校1８0０米，一天马小虎从家去上学,出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了,立即带上课本去追他，在距离学校20０米的地方追上了他,已知爸爸的速度是马小虎速度的２倍,求马小虎的速度。

9、（20１４?四川自贡，第21题10分）学校新到一批理、化、生实验器材需要整理,若实验管理员李老师一人单独整理需要4０分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后,李老师因事外出,王师傅再单独整理了2０分钟才完成任务.

(1)王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟?

（2)学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟,要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？

五、图形的平移和旋转

一、填空题

1.平移不改变图形的和,只改变图形的。

2.钟表的分针匀速旋转一周需要６0分，它的旋转中心是_＿＿________,经过20分,分针旋转___＿_＿_＿_＿_度。

3、如图,在四边形ABＣD中,AＤ∥BC,BC>ＡＤ，∠B与∠C互余,将AB,ＤＣ分别平移到EF和EG的位置,则△ＥＦG为________三角形,若AD=2cm,BC=8cm，则FG=_________＿__

4、如图,小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形的边长是大正六边形边

长的一半，当小正六边形由图①位置滚动到图②位置时,线段OA绕点O顺时针转过的角度

为

度．

５、如图，将AOB △绕点O 逆时针旋转90,得到A OB ''△.若点A 的坐标为()a b ，，则点A '的坐标为 .

三、解答题

1、如图所示:正方形A ＢCD 中E 为BC 的中点，将面ABE 旋转后得到

△C ＢF ．

（1）指出旋转中心及旋转角度.（2）判断AE 与CF 的位置关系．

(3）如果正方形的面积为18c ｍ2,△BC Ｆ的面积为4c ｍ2,问四边形ＡEC Ｄ的面积是多少?

2．如图,已知正方形A ＢCD,点E 、F 分别在B Ｃ、CD 上，且ＡE=B Ｅ+FD,请说出AF 平分∠D ＡＥ的理由。

３、操作:在△ABC 中，ＡC ＝BC=２,∠C=900,将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边ＡB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转,三角板的两直角边分别交射线ＡC 、C Ｂ于D 、E 两点.图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况.研究：

（１)三角板绕点P 旋转,观察线段ＰD 和PE 之间有什么数量关系?并结合图②加以证明．

(2)三角板绕点Ｐ旋转，△PB Ｅ能否为等腰三角形？若能，指出所有情况(即写出△P ＢE 为等腰三角形时C Ｅ的长)；若不能,请说明理由．

y

A '

B '

O B ()A a b ，

x