高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点归纳及单元测试题
1.已知△ABC中, , , , 则等于（）A 4B2.△ABC中, , , , 则最短边的边长等...... .. ）AB C12D3.长为5.7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )A 90°B 120°C 135°D 150°4.△ABC中, , 则△ABC一定......... .. ）A 直角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形5.△ABC中, , , 则△ABC一定........... .. ）A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形6.△ABC中, ∠A=60°, a= , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )A 有一个解B 有两个解C 无解D 不能确定7.△ABC中, , , , 则等....... .. ）A 30B 60C 30或150D 60或1208.△ABC中, 若, , 则等于（）A 2B 1229.△ABC中, , 的平分线把三角形面积分成两部分, 则.. ）A 13B12C34D 010.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度, 则这个新的三角形的形状为（）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 由增加的长度决定11.在△ABC中, 如果, 那么等于。
12.在△ABC中, 已知, , , 则边长。
13.在钝角△ABC中, 已知, , 则最大边的取值范围是。
14.三角形的一边长为14, 这条边所对的角为, 另两边之比为8：5, 则这个三角形的面积为。
15在△ABC中, 已知边c=10, 又知, 求边a、b 的长。
高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳1.三角形三角关系: A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2.三角形三边关系: a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系:sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 4.正弦定理: 在 中, 、 、 分别为角 、 、 的对边, 为 的外接圆的半径, 则有 .5.正弦定理的变形公式:①化角为边: , , ；②化边为角： , , ；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 6.两类正弦定理解三角形的问题: ①已知两角和任意一边, 求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角, 求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)7、三角形面积公式: . =2R2sinAsinBsinC= = =8、余弦定理：在 中, 有 , ,2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论: , , .10、余弦定理主要解决的问题:①已知两边和夹角, 求其余的量。
高中数学必修5 第一章 解三角形复习知识点总结与练习-9-16
高中数学必修5 第一章解三角形复习知识点总结与练习-9-16高中数学必修5第一章解三角形是高中数学的一个重要章节，本章主要介绍了三角形的基本概念、解三角形的方法和定理以及相关的性质。
下面我将对本章的知识点进行总结，并给出一些练习题进行巩固。
一、基本概念1. 三角形的定义：三边的连接所形成的图形叫做三角形。
2. 三角形的分类：按边长分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形；按角度分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
二、解三角形的方法和定理1. 正弦定理：在三角形ABC中，a、b、c分别为三边的长度，A、B、C分别为三个对应的内角的度数，那么有以下关系成立：sinA/a = sinB/b = sinC/c该定理为解各种不同类型三角形的关键方法之一。
2. 余弦定理：在三角形ABC中，a、b、c分别为三边的长度，A、B、C分别为三个对应的内角的度数，那么有以下关系成立：c² = a² + b² - 2ab cosC该定理可以用于解决已知三边求角、已知两边一夹角求第三边等问题。
3. 正切定理：在三角形ABC中，a、b、c分别为三边的长度，A、B、C分别为三个对应的内角的度数，那么有以下关系成立：tanA/a = tanB/b = tanC/c该定理可以用于解决已知角求边、已知两边的夹角求第三边等问题。
4. 两角定理：若在三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
5. 直角三角形中的性质：直角三角形中，两个锐角的正弦、余弦、正切值互为倒数关系。
三、练习题1. 已知三角形ABC，AB = 5cm，BC = 8cm，AC = 6cm，求三个内角的大小。
解：根据余弦定理：c² = a² + b² - 2ab cosC将已知数据代入得：6² = 5² + 8² - 2×5×8 cosC化简得：36 = 25 + 64 - 80cosC化简得：75cosC = 53解得：cosC = 53/75从而得：C ≈ 46.6°同理，可以得出A ≈ 41.4°，B ≈ 92°2. 已知三角形ABC，AB = 7cm，BC = 9cm，A = 30°，求角B和边AC的长度。
高中数学必修5(人教B版)第一章解三角形1.1知识点总结含同步练习题及答案
a b b sin A 1 √2 sin 45∘ ，所以sin B = = = = ．因为 a > b，所以 sin B a 2 2 sin A A > B，所以 B 为锐角，所以 B = 30∘ ．
下列关于 △ABC 的说法正确的是（ ） A．若 a = 7，b = 14 ，A = 30∘ ，则 B 有两解 B．若 a = 30 ，b = 25 ，A = 150 ∘ ，则 B 只有一解
14 × 7 25 × 30 9×
1 2 = 1，所以 B = 90∘ ，即只有一解，A 项 1 2 < 1，又 A 为钝角，故 B 只有一解，B
b sin A C 项中，由正弦定理，得 sin B = = a
误；
√2 2 > 1，所以 B 不存在，即无解，C 项错 6
√3 10 × c sin B 2 < 1 ，因为 b < c ，B = 60∘ ， D 项中，由正弦定理，得 sin C = = b 9 0 ∘ < C < 180 ∘ ，所以 C 有两解，D 项错误．
得{ b = 2,
c = 4.
4.判断三角形形状 描述： 利用三角恒等变换、正弦定理和余弦定理进行边角互化，从而找到三角形元素之间的关系，进而 判断三角形形状． 例题： 设 △ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 b cos C + c cos B = a sin A，则 ） △ABC 的形状为（ A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 解：A 由正弦定理可得 sin B cos C + sin C cos B = sin A sin A，所以 sin(B + C ) = sin 2 A，即 sin A = sin 2 A ．又 sin A ≠ 0，所以 sin A = 1，所以 A = 90∘ ． 在 △ABC 中，a2 ⋅ tan B = b 2 ⋅ tan A，判断三角形 ABC 的形状． 解：由正弦定理得
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必修五：解三角形知识点一：正弦定理和余弦定理1.正弦定理a b c:si nAsin B si nC J'或变形：a: b:c s iri A:sin B:sin CcosAb 2 2 c2a2bc2 222a2 2b c2bccos AcosB ac b2acb 22 2 a c2accosBcosCb 2 2 a 2 c2 c 2 2 b a 2 •余弦定理：2bacosC 或2ab3. （ 1）两类正弦定理解三角形的问题： 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角（2）两类余弦定理解三角形的问题： 1、已知三边求三角•2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4•判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式运算 女口. sin(A B) sinC,cos(A B)A B C ABC AB C sincos ,cossin ,ta n cot — 2 2 22 225 •解题中利用 ABC 中A B C，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的cosC, tan(A B) tanC,1.若ABC 的三个内角满足si nA:si nB:si nC 5:11:13，贝U ABC 是( )A. 锐角三角形B•钝角三角形C.直角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形•2 .在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若a2b=2,sinB+cosB= 、 2 ,则角A的大小为( )A - B. _ C - D.—2 3 463.在厶ABC中，a 7,b 4、.3,c.13 ,则最小角为A—B、一 C 、— D 、364124.已知ABC中，AB 4, AC 3, BAC60，则BC ()A. 13B. 13C.5D.10 5•在锐角ABC中，若C 2B，则c的范围（）bA. 2, 3 B . 3,2 C . 0,2 D. 2,26.在ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知a2b2c2-、°ab，则C （）23A. 2B.4C.3D.47.在厶ABC中，A60o,b16,面积S220 .. 3，则cA 10、6 B、75C、55D、4 98.在厶ABC中，（a c)(a c) b(b c), 则AA 30o B、60o C、120o D、150o9.已知ABC中，AB 4,BAC45AC 3.2则ABC的面积为cosB b10.在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边,且cosC 2a c ,则角B的大小为11.已知锐角三角形的边长分别是23 x，则x的取值范围是A、1 X 5 B 、、5 x ^13 C 、0 x .5 D 、13x512 . ABC中，AB 1,BC 2则角C的取值范围是__________________知识点二：判断三角形的形状问题C1.在ABC 中，若cos A cos B sin2—，则ABC 是（）2A.等边三角形B •等腰三角形C .锐角三角形D.直角三角形A、一定是直角三角形C、可能是锐角三角形tan A3. 已知在△ABC中，tan B a b4. 在ABC 中，若cosA cosBA .等腰直角三角形5. 在△ ABC 中，若2cosBsinA = sinC,y^ ABC 的形状一定是( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形6. △ ABC 中，B 60°, b2 ac,则厶ABC - -定是( )A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形7. 若(a+b+c)(b+c —a)=3abc,且sinA=2sinBcosC,那么△ ABC 是()A .直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形 D . 等腰直角三角形8.在厶ABC中，已知2ab c2sin A sin BsinC，试判断厶ABC的形状。
高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)
高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)第一部分必修五三角函数知识点整理第一章解三角形1、三角形的性质：①.A+B+C=π,? 222A B C π+=-?sin cos 22A B C += ②.在ABC ?中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ?sin A ＞sinB ...........................A ＞B ?cosA ＜cosB, a ＞b ? A ＞B③.若ABC ?为锐角?，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理：①.(2R 为ABC ?外接圆的直径)2s i n a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R= 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222cos 2a b c C ab+-= 补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin1ααααααα±=±+=±?⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ?落幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．第二部分必修五练习题含答案解析第一章解三角形1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形解析：最大边AC 所对角为B ，则cosB ＝52＋62－822×5×6＝－320B>CB ．B>A>C C ．C>B>AD ．C>A>B解析由正弦定理a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C>B>A. 答案 C3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解:由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝4 6. 答案 C4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC → 的值为( )A ．5B ．－5C ．15D ．－15解析在△ABC 中，由余弦定理得：cosB ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17. ∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cosB ＝5×7×17＝5. 答案 A5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( )A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：2： 3 D.2：3：2解析设三边长分不为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cosA ＝a 2＋3a 2－2a 22·a ·3a ＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cosB ＝2a 2＋3a 2－a 22·2a ·3a ＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°. 所以三角之比为1：2：3. 答案 A6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数别确定解析由b sinB ＝a sinA ，得sinB ＝bsinA a ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解．答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A －sin 2C)＝(2a －b)sinB(其中a ，b 分不为A ，B 的对边)，这么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析依照正弦定理，原式可化为2R ? ??a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b)·b 2R ，∴a 2－c 2＝(2a －b)b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°. 答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，且满脚ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3解析由a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2.∴c osC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sinC ＝32. ∴S △ABC ＝12absinC ＝ 3. 答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinB sinC 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.35解析由余弦定理，得 cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC，解得AC ＝3. 由正弦定理sinB sinC ＝AC AB ＝35. 答案 D10.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3. 答案 A11．有一长为1 km 的歪坡，它的倾歪角为20°，现要将倾歪角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 km D.32km 解析如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝AC tan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分不为a ，b ，c.若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2解析在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bccosA ＝b 2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22? ????32－12＝14(6－2)，∴b 2－2b(6＋2)cos75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A. 答案 A 13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝bsinC sinB ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．答案 4(3－1)14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________.解析由B ＝A ＋60°，得 sinB ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋32cosA. 又由b ＝2a ，知sinB ＝2sinA.∴2sinA ＝12sinA ＋32cosA. 即32sinA ＝32cosA.∵cosA ≠0，∴tanA ＝33.∵0°<A<180°，∴A ＝30°. 答案30° 15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝_______，AB ＝_______.解析由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sinB ，∴10 3＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8. 答案60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sinA ：sinB ：sinC ＝________.解析设b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sinA ：sinB ：sinC ＝11：9：7.答案 11：9：717．在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分不为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)．(1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝XXX ，试推断△ABC 的形状．解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b ·(b ＋c)＝b 2＋bc ，由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a 2b ＝sinA 2sinB ，∴sinA ＝2sinBcosB ＝sin2B.则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B.(2)∵a ＝XXX ，由a 2＝b(b ＋c)，得XXX 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b.又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2.故△ABC 为直角三角形．18．锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满脚2sin(A ＋B)－3＝0.求：(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B)－3＝0，得sin(A ＋B)＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6.∴c ＝ 6.S △ABC ＝12absinC ＝12×2×32＝32. 19.已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分不是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解 (1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.由正弦定得知，sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入上式，得a ·a 2R ＝b ·b 2R，∴a ＝b.故△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0. 解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×4×sinπ3＝ 3.。
高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习
高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习一、知识点总结1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =.推论：①定理：若α、β＞0，且α+β＜π，则α≤β⇔sin sin αβ≤，等号当且当α=β时成立。
②判断三角解时，可以利用如下原理： sinA ＞ sinB ⇔ A ＞ B ⇔ a ＞ b cos cos A B A B >⇔<（cos y x =在(0,)π上单调递减）2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- 已知条件 定理应用 一般解法一边和两角 （如a 、B 、C ）正弦定理由A+B+C=180˙，求角A ，由正弦定理求出b 与c ，在有解时 有一解。
两边和夹角 (如a 、b 、c)余弦定理 由余弦定理求第三边c ，由正弦定理求出小边所对的角，再 由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。
三边(如a 、b 、c)余弦定理 由余弦定理求出角A 、B ，再利用A+B+C=180˙，求出角C 在有解时只有一解。
必修5第一章解三角形知识点全面 总结
必修5第一章解三角形 知识总结1.正弦定理: 在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即sin sin a b A B =sin cC==2R （1）正弦定理说明同一三角形中, 边与其对角的正弦成正比, 且比例系数为同一正数2R, 即 , , ； （2） 等价于 变形: , （3）正弦定理的基本作用为:①已知三角形的两角及其一边可以求其他边, 即先用内角和求第三角, 再用正弦定理求另外两边；②已知三角形的两边与一边的对角可以先求另一对角的正弦值, 然后用内角和定理求第三角, 再用正弦定理求第三边如先求sin sin aA B b=——A ——C ——c2.余弦定理: 三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即:2222cos a b c bc A =+- 或 2222cos b c a bc A +-= 2222cos =+-b a c ac B 或 2222cos a c b ac B +-= 2222cos c a b ab C =+- 或 2222cos a b c ab C +-= 从余弦定理, 又可得到以下推论:222cos 2b c a A bc +-=222cos 2a c b B ac +-= 222cos 2a b c C ab+-= 在△ABC 中, 由 得:若 , 则cosC=0, 角 是直角； 若 , 则cos <0, 角C 是钝角； 若 , 则cos >0, 角C 是锐角．3.三角形面积公式: 三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半. S= absinC= bcsinA= acsinB4.三角形中的三角变换 , 除了应用上述公式和上述变换方法外, 还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换：在△ABC 中, A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
必修5解三角形知识点和练习题(含答案)
高二数学期末复习专题——解三角形复习要点1.正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩ﻩ． 3．(1)两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角．2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角．(2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角．4.判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式.5.解题中利用ABC ∆中A B C π++=,以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算,如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++===． 一．正、余弦定理的直接应用：1、ΔA ＢC 中,a=1,b ＝3, ∠A ＝30°，则∠B 等于ﻩ( )A.６0°ﻩＢ．6０°或120°ﻩC.30°或150°ﻩD ．1２0°2、在ΔABC 中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，若1sin ,2A=sin 2B =,求::a b c 3、在ΔAB Ｃ中，若S ΔABC =41 （a 2+ｂ２-c 2),那么角∠Ｃ=___＿_＿. 4．若△ＡＢC 的周长等于２0，面积是10错误!,Ａ＝60°,则ＢC 边的长是( ) Ａ．5 ﻩﻩﻩB ．6 C ．7 ﻩD.8 5．在△A ＢC 中，C -A ＝错误!，sin B ＝错误!.(１)求sin A 的值；（2)设AC ＝错误!,求△ABC 的面积.6．在△ＡＢC 中，若()()3a b c a b c ac ++-+=，且tan tan 3A C +=+AB 边上的高为求角,,A B C 的大小与边,,a b c 的长二．判断三角形的形状7、在锐角三角形ＡBC 中,有ﻩ（ )A.ｃos Ａ＞sinB 且c ｏsB>s ｉnA ﻩB.co ｓA<si ｎB 且co ｓＢ＜sinAC ．ｃｏsA ＞sinB 且ｃo ｓＢ<ｓi ｎA ﻩD ．ｃo ｓA<sin Ｂ且cos Ｂ>ｓｉn Ａ8、若（ａ＋b+c)(b+c －a)=3bc,且ｓin Ａ=２ｓinBco ｓC ， 那么ΔABC 是( ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形 Ｄ.等腰直角三角形9、钝角ΔA ＢＣ的三边长分别为x,ｘ+1，x+2,其最大角不超过120°则实数x 的取值范围是: 1０.已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边 （1）若ABC ∆面积,60,2,23︒===∆A c S ABC 求a 、b 的值； (2）若B c a cos =，且A c b sin =，试判断ABC ∆的形状.三．测量问题11．在2０0 ｍ高的山顶上,测得山下塔顶和塔底的俯角分别为３0°,６０°，则塔高为( ) A.４0０3ｍ B.错误! m C ．错误! m D.错误! m 12.测量一棵树的高度，在地面上选取给与树底共线的A 、Ｂ两点,从Ａ、B 两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且AB=60米,则树的高度为多少米？13.如图,四边形A ＢCD 中，∠B =∠C ＝12０°,AB ＝4，B Ｃ=C Ｄ=2，则该四边形的面积等于（ ）Ａ.错误! B ．5错误! C ．6错误! D ．7错误!14．一缉私艇发现在北偏东 45方向,距离1２ nm ｉle 的海面上有一走私船正以10 nm ｉle/h 的速度沿东偏南15方向逃窜.缉私艇的速度为1４ nmi ｌe/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东α+ 45的方向去追，.求追及所需的时间和α角的正弦值.15．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a 经过三个景点A 、B 、C .景区管委会又开发了风景优美的景点D .经测量景点D 位于景点A 的北偏东３0°方向上8 k ｍ处,位于景点B 的正北方向,还位于景点C 的北偏西７5°方向上,已知AB =５ k ｍ.（1)景区管委会准备由景点D 向景点B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(２)求景点C 和景点D 之间的距离．AB C 北 东四．正、余弦定理与三角函数,向量的综合应用16、设A 、B 、C 为三角形的三内角，且方程(s ｉnB －si ｎA)ｘ2＋(s ｉnA-sinC ）x +(ｓinC －sinB)=０有等根,那么三边a ，b ，ｃ的关系是 ﻩ１７.在Rt △ABC 中,090C =,则B A sin sin 的最大值是___＿＿__＿_______。
高中数学必修5解三角形知识总结及练习
解三角形一、知识点：1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ．（两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.）2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中） ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B 4．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩（两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.）5、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =为直角三角形；②若222a b c +>，则90C <为锐角三角形；③若222a b c +<，则90C >为钝角三角形．6．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.7．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++===二、知识演练1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°2、若(a+b+c)(b+c －a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形3．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )．A ．90°B ．120°C ．130°D ．150°4．在△ABC 中，222a b c bc =++ ，则A 等于（ ）A ．60°B ．45°C ．120°D ．30°5．在△ABC 中，A 为锐角，lgb-lgc =lgsinA =－lg 2, 则△ABC 为（ ）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形6、锐角ABC ∆中，B=2A ，则a b的取值范围是（ ）A （-2，2）B （0，2）C （2，2）D 3,2）7.在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是 A ．（0，6π] B ．[ 6π，π） C ．（0，3π] D ．[ 3π，π）8.在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45，若△ABC 有两解，则x 的取值范围是_______________9. ABC ∆中，60,B AC =︒=，则AB+2BC 的最大值为_________．10．a ，b ，c 为△ABC 的三边，其面积S △ABC ＝123，bc ＝48，b-c ＝2，求a11.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且满足cos 25A =，3AB AC ⋅=．（I ）求ABC ∆的面积；（II ）若6b c +=，求a 的值．12、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC的面积，满足222()4S a b c =+-。
必修5第一章解三角形总复习
第一章解三角形复习提纲及专题练习一、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名不变，符号看象限） 若︒=+180y x ，则=x sin ，=x cos ，=x tan 。
⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名改变，符号看象限） 若︒=+90y x ，则=x sin ，=x cos ，=x tan 。
二、和角公式和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-三、二倍角角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=二倍角的余弦公式有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1ααα+=+2)cos (sin 2sin 1ααα-=-四、正弦定理（重点）R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ∆外接圆半径） 五、余弦定理（重点） A bc c b a cos 2222⋅-+=⇒ bca cb A 2cos 222-+=ABCabcB ac c a b cos 2222⋅-+= ⇒ acb c a B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222⋅-+=⇒ abc b a C 2cos 222-+=六、三角形的面积公式B ca A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边一夹角） 七、边与三角形形形状的关系 设a 是最长的边，则 △ABC 是钝角三角形 △ABC 是锐角三角形 △ABC 是直角角三角形 八、解三角形专题练习1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24．在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于( )A.75°B.120°C.135°D.150° 5.在△ABC 中，若acosA=bcosB,则△ABC 是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角 6. 在△ABC 中，已知C B B a b cos cos ,sin 323==且，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰或等边三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 7．三角形三边长之比为3：5：7，则其最大角是（ ）A ．2π B ．π32 C ．43π D ．65π8．A 、b 、c 是△ABC 的三边，B ＝60°，那么222b c ac a -+-的值是（ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不确定9.△ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( )222c b a +>⇔222c b a +<⇔222c b a +=⇔A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形10．在△ABC 中，已知()b c +：)(a c +：)(b a +＝4：5：6，则A s i n ：B sin ：C sin 等于（ ）A ．6：5：4B ． 7：5：3C ．3：5：7D ．4：5：6 11.在不等边三角形中，a 是最大的边，若222c b a +<，则∠A 的取值范围（ ）A ．),2(ππB ．（4π，2π） C ．（3π，2π） D ．（0，2π）12．已知三角形的三边长分别为,a b ，则三角形的最大内角是（ ） 13．在△ABC 中，已知34,31cos ,23===∆ABC S C a ，则b ＝__________． 14．三角形的一边长为14，这条边所对的角为600，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为__________．15．三角形ABC 中，a=1，b=2，则最大边C 的取值范围是_____ 。
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第一章 解三角形1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有：2sin sin sin a b cR C===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。
2、已知两角和一边，求其余的量。
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。
（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。
具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 点旋转，看所得轨迹以AD当无交点则B 无解、当有一个交点则B 有一解、当有两个交点则B 有两个解。
法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a<bsinA ，则B 无解当bsinA<a ≤b,则B 有两解 当a=bsinA 或a>b 时，B 有一解注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=．(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。
2、已知三边求角)6、如何判断三角形的形状：设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >． 7、正余弦定理的综合应用： 如图所示：隔河看两目标A 、B,C 、D 两点，并测得∠ACB=75O, ∠BCD=45O, ∠ADC=30O,∠ADB=45O (A 、B 、C 、D 在同一平面内)，求两目标A 、B附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.练习题一、选择题1、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ B ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3102、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程25760x x --=的根，则三角形的另一边长为A ．52B ．C ．16D ．43、在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ）A 090 B 060 C 0120 D 01504 、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ D ） A ．b = 10，A = 45°，B = 70° B ．a = 60，c = 48，B = 100°C ．a = 7，b = 5，A = 80°D ．a = 14，b = 16，A = 45° 5、已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( A ) A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ． 1：3：2D ．3：1：26、若△ABC 的周长等于20，面积是310，A ＝60°，则BC 边的长是（ C ） A ． 5 B ．6 C ．7D ．8二、填空题（每题5分,共25分）7、在ABC ∆中，已知4:5:6sin :sin :sin =C B A ，则cosA =___________8、在△ABC 中，A =60°, b =1, 面积为3，则sin sin sin a b cA B C ++++=9、在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线27=AD ，那么BC= 10、在ABC △中，已知角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，边72c =，且60C ︒=，又ABC △的，则a b +=________________ 三．解答题（2小题，共40分）13、在∆ABC 中，sin()1C A -=, sinB=13.（I ）求sinA 的值； (II)设∆ABC 的面积.知识点巩固练习（一）一、选择题1．在△ABC 中，若030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．Atan 13．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ）A ．2 B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．06030或 B ．06045或 C ．060120或 D ．015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A ．090B ．0120C ．0135D ．0150 二、填空题1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。
2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。
3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20_________。
4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。
三、解答题1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。
知识点巩固练习（二）一、选择题1．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．2 2．在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值（ ） A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不能确定 3．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（ ）A ．A b sin 2B ．A b cos 2C ．B b sin 2D ．B b cos 24．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 5．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A ．090 B ．060 C ．0135 D ．0150 6．在△ABC 中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（ ） A ．51- B ．61- C ．71- D ．81-二、填空题1．若在△ABC 中，060,1,ABC A b S ∆∠==则CB A cb a sin sin sin ++++=_______。
2．若,A B 是锐角三角形的两内角，则B A tan tan _____1（填>或<）。
3．在△ABC 中，若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则_________。
4．在△ABC 中，若,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是_________。
5．在△ABC 中，若=+===A c b a 则,226,2,3_________。
三、解答题1． 在△ABC 中，0120,,ABCA c b a S =>==，求c b ,。
2． 在锐角△ABC 中，求证：1tan tan tan >⋅⋅C B A 。
3． 在△ABC 中，求证：2cos 2cos 2cos 4sin sin sin C B A C B A =++。
4． 在△ABC 中，若0120=+B A ，则求证：1=+++ca b c b a 。
5． 在△ABC 中，若223cos cos 222C A ba c +=，则求证：2a c b +=知识点巩固练习（三）一、选择题1．A 为△ABC 的内角，则A A cos sin +的取值范围是（ ） A ．)2,2( B ．)2,2(- C ．]2,1(- D ．]2,2[-2．在△ABC 中，若,900=C 则三边的比cba +等于（ ） A ．2cos 2B A + B ．2cos 2B A - C ．2sin 2B A + D ．2sin 2BA -3．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ） A ．12 B ．221C ．28D ．36 4．在△ABC 中，090C ∠=，00450<<A ，则下列各式中正确的是（ ）A ．sin cos A A >B ．sin cos B A >C ．sin cos A B >D ．sin cos B B >5．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ ） A ．090 B ．060 C ．0120 D ．01506．在△ABC 中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形二、填空题1．在△ABC 中，若,sin sin B A >则A 一定大于B ，对吗？填_________（对或错） 2．在△ABC 中，若,1cos cos cos 222=++C B A 则△ABC 的形状是______________。