初中数学教师学科知识竞赛
2 B .
7
2
C . 10
A .
9
的延长线分别交半圆⊙ O 于点 D ，E ，AB =6，则 DE 的长为（ ）
D
2
C ．4+ π
D ．4+ π
2
主视图 左视图 俯视图
3 π R 3 ）
，若 R =3，
2 时,代数式 x (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5)的值为
初中数学教师学科知识竞赛试卷
一、选择题（共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分．每小题的四个选项中有且只有一个选项是正
确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）
1．如图，一个大长方形被两条线段 AB ，CD 分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 的面
积分别为 8，6，5，那么图中阴影部分的面积为( )
15
3
D . 8
C
Ⅰ Ⅱ
A B
2．如图，C 在以 AB 为直径的半圆⊙ O 上， I 是 ?ABC 的内心， AI , BI
Ⅲ
(第 1 题)
A ． 3
B ． 3 2
C ． 3 3
D ． 5
C
D
3
3．对于每个 x ，函数 y 是 y = 2 x ,
y = x + 2, y = - x + 12 1
2 3 E
I
这三个函数中的最小值. 则函数 y 的最大值是( )
A
O
B
A ．4
B ．6
C ．8
D ．
48
7
4．设有一几何体的三视图如下，则该几何体的体积为（
）
2
2
(第 2 题)
A ．4+
5π
B ．4+
3π
2
2
2
2
2
1
3
1 1
2
5．已知一个半径为 R ，高为 h （h >2R ）的无盖圆柱形容器装满水，缓缓倾斜45? 后，剩在圆柱形
容器里的水恰好装满一个半径也为 R 的球形容器（球体的体积公式：V = 4
则圆柱形容器的高 h 为（
） A ．6 B ．7
C ．8
D ．9
二、填空题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分）
6．当 x =
21 - 5
．
7．如图，在 △Rt ABC 中，斜边 AB 的长为 35，正方形 CDEF 内接于△ ABC ，且它的边长为 12，
△
则 ABC 的周长为 .
8．两条渡轮分别从江的两岸同时开出，它们各自的速度分别是固定的，
A
第一次相遇在距一岸 800 米处，相遇后继续前行，到对岸后立即返
F E
回（转向时间不计），第二次相遇在距另一岸 300 米处，则江面宽是
C
D B
米.
(第 7 题)
（ 9．如图，在直角梯形 ABCD 中，∠BAD =90o，AC ⊥BD ，AB =3CD ，
D C
则 AC BD
= .
10．已知关于 x 的一元二次方程 x 2＋cx ＋a ＝0 的两个整数根恰好比
A
B
(第 9 题)
方程 x 2＋ax ＋b ＝0 的两个根都大 1，则 a ＋b ＋c 的值为
.
三、解答题（共 4 题，满分 50 分）
11．（12 分）已知抛物线 l : y = ax 2 + bx + c(abc ≠ 0) ，它的顶点 P 的坐标是
b 4a
c - b 2 (- , ) ，与 y 轴的交点是 M (0, c) .我们称以 M 为顶点，对称轴是 y 轴且过点 P 的
2a 4a
抛物线为抛物线 l 的伴随抛物线，直线 PM 为 l 的伴随直线.
（1）请直接写出抛物线 y = 2 x 2 - 4 x + 1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：
伴随抛物线：
， 伴随直线： ；
（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是 y = - x 2 - 3 和 y = - x - 3 ，请直接写出这
条抛物线的解析式是
；
（3）求抛物线 l : y = ax 2 + bx + c(abc ≠ 0) 的伴随抛物线和伴随直线的解析式.
12． 12 分）“要想富，先修路”某地政府为实施辖区内偏远地区的开发，把一条原有的铁路延伸 了一段，并在沿途设立了一些新的车站，因此铁路局要印制 46 种新车票，这段路上新老车站 加起来不超过 20 个，那么该地新建几个车站？该地原有几个车站？
13．（12 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O ，且满足 AB =AC ，
A
E
D
（1）过点A作AF⊥BD交BD于点F，求证：BF=CD+DF．（2）若CD//AB，过点D作DE⊥AB交AB于点E，且DE=DC．
①求证：AD22AE AB；
②求DC
AB
的值．
14.（15分）按《省初中毕业生学业考试说明》中的要求进行编题，并给出答案。编一道选择题，
难度值：0.6左右，主要知识点：相似三角形.
15．（14分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A，D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC 于点H，折痕为EF，连结BP,BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH．
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
（第14题）
?2 x + y - 1 = 23．
? ? 2 x + y - 1 = 23．
?
温州市第四届初中数学教师学科知识竞赛——参考答案
一、选择题 1．C
2．B
3．B
4．A
5．B
二、填空题 6．－15
7．84
8．2100
9．
3
3
10．29 或 -3
三、解答题 11. （1） y = -2 x 2 + 1 ，
（2 分）
y = -2 x + 1 ；
（2 分）
（2） y = x 2 - 2 x - 3 ；
（2 分）
（3）伴随抛物线是： y = -ax 2 + c
（3 分）
伴随直线是： y = b 2
x + c （3 分）
12. 解：设原有车站 x 个，新车站有 y 个．则每个新车站需要印制的车票有（x +y －1）种，y 个
新车站要印（x +y －1)y 种新车票，对于 x 个老车站，要印 xy 种新车票． 根据题意，有(x +y －1)y +xy =46， （4 分） 即 y(2x +y －1)=46．
由于 46=1×46=2×23，
∴ (1)? y = 1，
?2 x + y - 1 = 46．
? y = 2， (2) ?
（4 分）
? y = 2，
因为 x ，y 必须取正整数，加之新车站合起来不超过 20 个，则有 ? 符合题
意，解得 ? x = 11，
? y = 2．
即新建 2 个，原有 11 个．
（4 分）
E
A
D
13.
（1）证明：在 BF 上截取 BK =CD ，∵∠1=∠2，CA =BA ，
∴△DCA ≌△KBA ，∴AK =AD ，∵AF ⊥BD ，∴DF =KF ，
B
1 O
H
F K 2
C
∴BF =BK +KF =CD +DF ；
（3 分）
(第 13 题)
（2）①证明：过 A 作 AH ⊥BC 交 BC 于点 H ，∵CD//AB ，∴AD=BC,∴∠DAE =∠ABH ，
∵AB =AC ∴AD =BC =2BH ，且 △Rt DAE ∽△Rt ABH ，
∴ DA AB AD = ，∵ BH = ， ∴ AD 2 = 2 A E ? AB （4 分）
AE BH 2
1 1
②设 CD = x ，AB = y ，则 DE = x ，AE = ( AB - CD) = ( y - x) 在 △Rt DAE 中，
2 2 1 1
2 A E ? AB = AD 2 = AE 2 + DE 2 ，即 2 ? ( y - x) ? y = [ ( y - x)]2 + x 2
2 2
∴ 5 x 2 + 2 x y - 3 y 2 = 0 ? ( x + y)(5 x - 3 y ) = 0
∴5x=3y，∴CD x3
==，（5分）AB y5
15.（1）解：如图1，∵PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．
即∠PBC=∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．（3分）
（2△）PHD的周长不变为定值8．（1分）
证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．
由（1）知∠APB=∠BPH，
又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，
∴△ABP≌△QBP．（2分）
∴AP=QP，AB=BQ．
又∵AB=BC，∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴△Rt BCH≌△Rt BQH．∴CH=QH．
(第15题)∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．（2分）
（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．
又∵EF为折痕，
∴EF⊥BP．
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，
∴∠EFM=∠ABP．
又∵∠A=∠EMF=90°，
∴△EFM≌△PBA．∴EM=AP=x．
∴在△Rt APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2．
x2
解得，BE=2+．（2分）
8
(第15题)
∴CF=BE-ME=2+x2
8-
x．又四边形PEFG与四边形BEFC全等，
11x2x2x2
∴s=(CF+BE)?BC=(2+-x+2+)?4=-2x+8．（2分）22882
1
配方得，s=(x-2)2+6，
2
∴当x=2时，S有最小值6．（2分）