第11章 格与布尔代数
6
证明
(1) a∨b是{ a, b }的最小上界, b∨a是{ b, a }的最小上界. 由于 { a, b } = { b, a }, 所以 a∨b = b∨a. 由对偶原理, a∧b = b∧a.
(2) 由最小上界的定义有 (a∨b)∨c≽a∨b≽a (1) (a∨b)∨c≽a∨b≽b (2) (a∨b)∨c≽c (3) 由式(2)和(3)有 (a∨b)∨c≽b∨c (4) 由式(1)和(4)有 (a∨b)∨c≽a∨(b∨c) 同理可证 (a∨b)∨c≼a∨(b∨c) 根据反对称性 (a∨b)∨c = a∨(b∨c) 由对偶原理, (a∧b)∧c = a∧(b∧c)
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格的性质：算律
定理11.1 设<L, ≼>是格, 则运算∨和∧适合交换律、结合律、 幂等律和吸收律, 即 (1) a,b∈L 有 a∨b = b∨a, a∧b = b∧a (2) a,b,c∈L 有 (a∨b)∨c = a∨(b∨c), (a∧b)∧c = a∧(b∧c) (3) a∈L 有 a∨a = a, a∧a = a (4) a,b∈L 有 a∨(a∧b) = a, a∧(a∨b) = a
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分配格的判别及性质
定理11.5 设L是格, 则L是分配格当且仅当L不含有与钻石格 或五角格同构的子格. 证明省略. 推论 (1) 小于五元的格都是分配格. (2) 任何一条链都是分配格. 例6 说明图中的格是否为分配格, 为什么？ 解 都不是分配格. { a,b,c,d,e }是L1的子格, 同构于钻石格 { a,b,c,e,f }是L2的子格, 同构于五角格； { a,c,b,e,f } 是L3的子格 同构于钻石格.
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解答
(1) L1中 a 与 c 互为补元, 其中 a 为全下界, c为全上界, b 没有 补元. (2) L2中 a 与 d 互为补元, 其中 a 为全下界, d 为全上界, b与 c 也互为补元. (3) L3中a 与 e 互为补元, 其中 a 为全下界, e 为全上界, b 的补 元是 c 和 d ; c 的补元是 b 和 d ; d 的补元是 b 和 c ; b, c, d 每个元素都有两个补元. (4) L4中 a 与 e 互为补元, 其中 a 为全下界, e 为全上界, b 的补 元是 c 和 d ; c 的补元是 b ; d 的补元是 b .
7
证明
(3) 显然 a ≼ a∨a, 又由 a ≼ a 可得 a∨a ≼a. 根据反对称性 有a∨a = a . 由对偶原理, a∧a = a 得证.
(4) 显然 a∨(a∧b)≽ a 由 a ≼a, a∧b ≼ a 可得 a∨(a∧b) ≼a 由式(5)和(6) 可得 a∨(a∧b) = a, 根据对偶原理, a∧(a∨b) = a (5) (6)
4
格的性质：对偶原理
定义11.2 设 f 是含有格中元素以及符号 =,≼ ,≽ ,∨和∧的命 题. 令 f*是将 f 中的≼替换成≽,≽替换成≼,∨替换成∧,∧替换成 ∨ 所得到的命题. 称 f* 为 f 的对偶命题. 格的对偶原理 f 是 (a∨b)∧c≼c, f*是 (a∧b)∨c≽c . 例如, 在格中令 设 f 是含有格中元素以及符号=,≼,≽,∨和∧等的命题. 若 f 对 一切格为真, 则 f 的对偶命题 f*也对一切格为真. 例如, 如果对一切格L都有 a,b∈L, a∧b≼a，那么对一切格L 都有 a,b∈L, a∨b≽a 注意：对偶是相互的，即 ( f*)*= f
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有界分配格的补元惟一性
定理11.7 设<L,∧,∨,0,1>是有界分配格. 若L中元素 a 存在 补元, 则存在惟一的补元. 证 假设 c 是 a 的补元, 则有 a∨c = 1, a∧c = 0, 又知 b 是 a 的补元, 故 a∨b = 1, a∧b = 0 从而得到 a∨c = a∨b, a∧c = a∧b, 由于L是分配格, b = c. 注意： 在任何有界格中, 全下界0与全上界1互补. 对于一般元素, 可能存在补元, 也可能不存在补元. 如果 存在补元, 可能是惟一的, 也可能是多个补元. 对于有界 分配格, 如果元素存在补元, 一定是惟一的.
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子格及其判别法
定义11.4 设<L,∧,∨>是格, S是L的非空子集, 若S关于L中 的运算∧和∨仍构成格, 则称S是L的子格.
例5 设格L如图所示. 令 S1={a, e, f, g}, S2={a, b, e, g} S1不是L的子格, 因为e, fS1 但 e∧f = cS1. S2是L的子格.
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有补格的定义
定义11.9 设<L,∧,∨,0,1>是有界格, 若L中所有元素都有补 元存在, 则称L为有补格. 例如, 图中的L2, L3和L4是有补格, L1不是有补格.
图9
20
布尔代数的定义与实例
定义11.10 如果一个格是有补分配格, 则称它为布尔格或布 尔代数. 布尔代数标记为<B,∧,∨,, 0, 1>, 为求补运算. 例8 设 S110 = {1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110}是110的正因子集合， gcd表示求最大公约数的运算，lcm表示求最小公倍数的运 算，问<S110, gcd, lcm>是否构成布尔代数？为什么？ 解 (1) 不难验证S110关于gcd 和 lcm 运算构成格. (略) (2) 验证分配律 x, y, z∈S110 有 gcd(x, lcm(y, z)) = lcm(gcd(x, y), gcd(x, z)) (3) 验证它是有补格, 1作为S110中的全下界, 110为全上界, 1和110互为补元, 2和55互为补元, 5和22互为补元, 10和 11互为补元, 从而证明了<S110, gcd, lcm>为布尔代数.
2
实例
例2 判断下列偏序集是否构成格，并说明理由. (1) <P(B), >，其中P(B)是集合B的幂集. (2) <Z, ≤>，其中Z是整数集，≤为小于或ห้องสมุดไป่ตู้于关系. (3) 偏序集的哈斯图分别在下图给出.
(1) 幂集格. x,y∈P(B)，x∨y就是x∪y，x∧y就是x∩y. (2) 是格. x,y∈Z，x∨y = max(x,y)，x∧y = min(x,y)， (3) 都不是格. 可以找到两个结点缺少最大下界或最小上界
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有界格的定义
定义11.6 设L是格, (1) 若存在a∈L使得x∈L有 a ≼ x, 则称a为L的全下界 (2) 若存在b∈L使得x∈L有 x ≼ b, 则称b为L的全上界 说明： 格L若存在全下界或全上界, 一定是惟一的. 一般将格L的全下界记为0, 全上界记为1. 定义11.7 设L是格,若L存在全下界和全上界, 则称L 为有界 格, 一般将有界格L记为<L,∧,∨,0,1>.
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实例
例9 设B为任意集合, 证明B的幂集格<P(B), ∩,∪, ~, , B> 构成布尔代数, 称为集合代数.
证 (1) P(B)关于∩和∪构成格, 因为∩和∪运算满足交换律, 结合律和吸收律. (2) 由于∩和∪互相可分配, 因此P(B)是分配格. (3) 全下界是空集, 全上界是B. (4) 根据绝对补的定义, 取全集为B, x∈P(B), ~x是x的补元. 从而证明P(B)是有补分配格, 即布尔代数.
8
格的性质：序与运算的关系
定理11.2 设L是格, 则a,b∈L有 a ≼ b a∧b = a a∨b = b 证 (1) 先证 a ≼ b a∧b = a 由 a ≼ a 和 a ≼ b 可知 a 是{ a,b }的下界, 故 a ≼ a∧b. 显然有a∧b ≼ a. 由反对称性得 a∧b = a. (2) 再证 a∧b = a a∨b = b 根据吸收律有 b = b∨(b∧a) 由 a∧b = a 和上面的等式得 b = b∨a, 即 a∨b = b. (3) 最后证 a∨b = b a≼b 由 a ≼ a∨b 得 a ≼ a∨b = b
图2
3
实例：子群格
例3 设G是群，L(G)是G 的所有子群的集合. 即 L(G) = { H | H≤G }， 对任意的H1, H2∈L(G)，H1∩H2是G 的子群，<H1∪H2>是由 H1∪H2生成的子群（即包含着H1∪H2的最小子群）. 在L(G)上定义包含关系，则L(G)关于包含关系构成一个 格，称为G的子群格. 在 L(G)中， H1∧H2 就是 H1∩H2 H1∨H2 就是 <H1∪H2>
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有界格的性质
定理11.6 设<L,∧,∨,0,1>是有界格, 则a∈L有 a∧0 = 0, a∨0 = a, a∧1 = a, a∨1 = 1
注意： 有限格L={a1,a2,…,an}是有界格, a1∧a2∧…∧an是L的全下 界, a1∨a2∨…∨an是L的全上界. 0是关于∧运算的零元,∨运算的单位元；1是关于∨运算的 零元,∧运算的单位元. 对于涉及到有界格的命题, 如果其中含有全下界0或全上界 1, 在求该命题的对偶命题时, 必须将0替换成1, 而将1替换 成0.
第十一章 格与布尔代数
主要内容 格的定义及性质 子格 分配格、有补格 布尔代数
1
11.1 格的定义与性质
定义11.1 设<S, ≼>是偏序集，如果x,yS，{x,y}都有最小上 界和最大下界，则称S关于偏序≼作成一个格. 求{x,y} 最小上界和最大下界看成 x 与 y 的二元运算∨和∧， 例1 设n是正整数，Sn是n的正因子的集合. D为整除关系，则 偏序集<Sn,D>构成格. x,y∈Sn，x∨y是lcm(x,y)，即x与y的 最小公倍数. x∧y是gcd(x,y)，即x与y的最大公约数.
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有界格中的补元及实例
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在格中定义运算
在格中可以定义如下的运算：
“保联”：x,yS, x⋁y=lub{x,y}
“保交”：x,yS, x⋀y=glb{x,y}
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偏序格的例子
({1,2,3,4,6,8,12,16,24,48}, | )
x⋀y=gcd(x,y), x⋁y=lcm(x,y) x⋀y=x⋂y, x⋁y=x⋃y x⋀y=min{x,y}, x⋁y=max{x,y}
9
布尔恒等式（1）
等 式 x=x x+x = x xx = x x+0 = x x1 = x x+1 = 1 x0 = 0 x+y = y+x xy = yx 名 称 双重补律 幂等律 同一律
支配律
交换律
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布尔恒等式（2）
等 式 x+(y+z)=(x+y)+z x (yz)=(xy) z x+(yz)=(x+y)(x+z) x (y+z)=xy +x z ( x y) = x + y (x+y) = x y x+(xy)=x x (x+y)=x x + x =1 x x =0 名 称 结合律 分配律 德摩根律 吸收律 补律
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a*b即{a,b}的最大下界
注意：a◦b=b 当且仅当 a*b=a，因此aRb a*b=a
a*b即{a,b}的下界
(a*b)*a=a*(a*b)=(a*a)*b=a*b， (a*b)Ra (a*b)*b=a*(b*b)=a*b，(a*b)Rb
a*b即{a,b}的最大下界
格与布尔代数
对P(S)中任一元素A,S与A的差集S-A是其唯一补元
因为:
(S-A)∪A=S和(S-A)∩A=Φ.
36
7.5 几种特殊的格
定义4(分配格) 格<L, ,*>称作一个分配格,如果对L中 任意元素a,b,c都有: (1) a*(bc)=(a*b)(a*c); (2) a(b*c)=(ab)*(ac). 例：幂集格<P(S),∩,∪>都是分配格. 格<P(S),∩,∪> 的两个二元运算分别是S幂集合上的交和并运算,交 对并和并对交都具有分配律;
M={c,d}
无上确界，下确界为e 上确界为a，下确界为b
12
7.1 偏序集
M={{a},{b}}
上确界{{a,b}}，下确界为
M={{a},{a,b}}
上确界{{a,b}}，下确界为{a}
M={{a},{b,c}}或 M={{a},{b},{c}}或
上确界{{a,b,c}}，下确界为
M={{a,b},{b,c}}
31
7.5 几种特殊的格
定义1 (有界格) 若格<L,≤>存在最大元和最小元，则称该格为有界格。
记最大元为1，最小元为0。记有界格为<L,≤,0,1>。
例： <P(S), , ,S>有界格。
32
7.5 几种特殊的格
定义2 (补元) 有界格<L,≤,0,1>中，如果a*b=0且ab=1. 则称元素b为a的补元。
18
7.2 格的定义
例. 设S是任意集合, 则< P(s), >为偏序格。
|S|=1
|S|=2
|S|=3 两个集合A，B的上确界是A∪B，下确界是A∩B
格与布尔代数
∴f 是 A1 到 A2 的格同态。
定理2：设f是由格<A1, ≤1>到格<A2, ≤2>的格同态，
第六章
1、格的基本概念
2、分配格 3、有补格
格与布尔代数
4、布尔代数
5、布尔表达式
非本次期末考试内容
§1 格的基本概念
定义1：设<A,≤>是一个偏序集，若A中任意两个 元素都有最大下界和最小上界，则称 <A,≤>为格。
36
12 4 2 3 1 12 6 3 1 2 3
24
不是格
2
6
格
格
图、三个偏序集哈斯图
就得到另一个命题P’，把P’称为P的对偶命题。
则P’对任意格也是真命题。（其中“≥”是“≤”的逆关系） 在<A,≤>中任何两个元素的∨的结果值必然等于 若<A,≤>是格，可证明<A,≥>也是一个格， 这两个元素在<A,≥>中∧的结果值； 任何两个元素的∧的结果值必然等于这两个元素在 且它们的哈斯图是上下颠倒的。 30 <A,≥>中∨的结果值；反之亦然。 1
5
< S6 , D >
< S8 , D >
1 < S30 , D >
1
2 4 6 3 5 7
1
2
3
6
4
7
5
这两个图是偏序关系，但不是格。
定义2：格代数 设<A,≤>是一个格，若在A上定义两个二元运算∨和 ∧,使得对于a,bA, a∨b等于a和b的最小上界,a∧b等于a和b的最大下界, 则称<A,∨,∧>为由格<A, ≤>所诱导的代数系统。
(优选)第篇格与布尔代数
第2式证明由对偶原理从上式直接可得。
定理15-1.6 设<A, >是一个格,那么，对于任意的 a,bA, 都有：
ab(a∧b)=a(a∨b)=b
ab(a∧b)证明思路：
(1)先证 ab (a∧b)=a
由ab和a a ，根据定理15-1.2得 a a∧b
又根据a∧b的定义， 有
a∧b a
由二元关系的反对称性得 ：
（优选）第篇格与布尔代数
通常用a∨b 表示{a,b}的上确界,用a∧b 表示{a， b}的下确界,∨和∧分别称为保联(join)和保交(meet) 运算。由于对任何a，b，a∨b及a∧b都是A 中确定 的成员，因此 ∨,∧均为A上的运算。
例3 设S={a,b} ， (S) ={, {a},{b},{a,b}} 由格< (S), >诱导的代数系统为< (S),∨,∧> 。 其中∨为集合的并运算和∧为集合的交运算。
a∧b = a
(2) 再证 (a∧b)=a ab
设a∧b=a，则a =a∧bb ，这就证明了
(a∧b)=a ab
综合(1)和(2)得： ab(a∧b)
定理15-1.7 设<A, >是一个格,那么，对于任意的
a,b,cA, 都有： aca∨(b∧c) (a∨b)∧c
证明思路： (1)先证 ac a∨(b∧c) (a∨b)∧c 根据定理15-1.6有 ac (a∨c)=c 根据定理15-1.5有a∨(b∧c)(a∨b)∧(a∨c)
可以证明，若<A,>是格，则<A,R>也是格。 称R是的逆关系。记为。
格对偶原理可以叙述为：设P是对任意格都真的命题， 如果在命题P中把换成 ，∨换成∧，∧换成∨，就
第11章 格与布尔代数
11.1 格的定义和性质
11.1 格的定义 定义11. 定义11.1.1 设(S,≤)是一个偏序集,如果S中任意两个 11 元素都有上确界(最小上界)和下确界(最大下界),则 称(S,≤)为格. 把S中元素a和b得上确界和下确界,分别记为:a∨b和a∧b, 即 a∨b=sup{a,b},a∧b=inf{a,b}. a∨b读作a并b,a∧b读作a交b.
11.1 格的定义和性质
11.1.2 格的对偶原理 定义11. 定义 11.1.2 设(S,≤)是格,将关系式P中的≤与≥互 11 换,∨与∧互换得到关系式P*,其中≥定义为b≥a当且仅当 a≤b,称P*为P的对偶式,简称对偶. 例如P是a≤a∨b,那么P的对偶式是a≥a∧b.
11.1 格的定义和性质
11.2 分配格和有补格
11.2.2 分配格 定理11. 定理11.2.3 每个链是分配格. 11 (1)b≤a且c≤a. 在此情况下,有b∨c≤a,b∧c≤a,因此a∧(b∨c)=b∨c, a∨(b∧c)=a.又因为b≤a,c≤a,所以 a∧b=b,a∧c=c, a∨b=a,a∨c=a,从而(a∧b)∨(a∧c)= b∨c,(a∨b) ∧ ( a∨c ) = a∧a=a . 于 是 有 a∧ ( b∨c ) = ( a∧b ) ∨ (a∧c),a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c).
11.2 分配格和有补格
11.2.1 模格 例11.2.2 图11.2-1给出了五个格L1, L2, L3, L4, L5,, 不难验证L1, L2, L3和L4都是模格.但L5不是模格,这 是因为由c≤d,可得d∧(c∨b)=d,c∨(d∧b)=c,但 d≠c.我们称L3为钻石格,L5为五角格.
11.2 分配格和有补格
11.2.2 分配格 定理11. 定理11.2.3 每个链是分配格. 11 证明 设偏序集(S,≤)是链.先证明(S,≤)是格. 任取a,b∈S,根据链的定义,S中任意两个元素都有偏序 关系,即a≤b或b≤a.不妨设a≤b,则a∨b=b,a∧b=a,所以 a∨b∈S,a∧b∈S,从而(S,≤)是格. 下面证明(S,≤)是分配格.任取a,b,c∈S,只要讨论 以下两种情况:
离散数学-格和布尔代数
的次序图如下
-1 的次序图如下
6 2 1 3 2
1 3 6
若 < L; > 是一个偏序集，则对于任意元素 l1, l2, l3 L，有以 下六个关系式成立： l1 l1 若 l1 l2，l2 l1，则 l1 = l2 若 l1 l2，l2 l3，则 l1 l3 l1 l1 若 l1 l2，l2 l1，则 l1 = l2 (7-1) (7-2) (7-3) (7-1) (7-2)
60以上说明与格一样布尔代数也是一个代数系统该代数系统可取交换律分配律同一律和互补律作为公二元运算是一元运算若这些运算满足交换律分配律同一律和互补律则称称作集合代数它是一个布尔代数
第二部分 抽象代数
0
第七章
格和布尔代数
格是 Birkhoff (1884 - 1944) 在 20 世纪 30 年代提出的，格的提出 以子集为背景。 历史上最初出现的格是英国数学家 George Boole 于 1854 年提出 的，是他在研究命题演算中发现的，通常称为布尔格或布尔代 数。 格和布尔代数的理论成为计算机硬件设计和通讯系统设计中的 重要工具。格论是计算机语言的指称语义的理论基础。格是一 种特殊的偏序集，也可以看作是有两个二元运算的代数系统， 布尔代数是一种特殊的格。在保密学、开关理论、计算机理论 和逻辑设计以及其他一些科学和工程领域中，都直接应用了格 与布尔代数。 1
7.2 格及其性质
一、格的定义
定义7-5 设 < L; > 是一个偏序集，如果 L 中任意两个元素都 存在着最大下界和最小上界，则称 < L; > 是格。 由于每对元素的最大下界和最小上界唯一，故引入记号： l1 l2 = glb(l1, l2)，l1 l2 = lub(l1, l2)， 其中 和 均可看作是集合 L 上的二元运算，分别称为交和并。 注：若 < L; > 是一个格，则意味着 < L; > 也是一个形为 < L; , > 的代数系统，其中 和 是 L 上的两个二元运算， 对于任意 l1, l2 L，l1 l2 表示在偏序 “ ” 意义下，l1 和 l2 的最小上界，l1 l2 表示 l1 和 l2 的最大下界。
离散数学布尔代数
一个非零元素b，至少存在一个原子a，使得a ≤ b。 1
证明：若b本身就是一个原子，则b ≤ b，得证。c
df
若b不是原子，肯定存在b1，使得0 ≤ b1 ≤ b， a
be
若b1是原子，则定理得证；
0
否则，若b1不是原子，则必存在b2，使得0 ≤ b2 ≤ b1 ≤ b
∵<A, ≤>是一个有全下界的有限格，
定理1：对于布尔代数中任意两个元素 a, b，必定有
(1) ( a ) = a， (2) a∨b = a∧b ， (3) a∧b = a∨b
3
❖ 布尔代数
定义3：设<A,∨1,∧1, - > 和<B,∨2,∧2, ~ >是两个布尔代数， 如果存在A到B的双射 f，对于a,bA，有
f (a∨1b) = f (a) ∨2 f (b)
2、对a,bA，有 f (a∧b) = f (a)∩f (b)
9
❖ 格与布尔代数
定理3 ( Stone表示定理 ) ：
设<A,∨,∧, - >是由有限布尔格<A, ≤>所诱导的一个有 限布尔代数，S是布尔格<A, ≤>中的所有原子的集合，则 < A,∨,∧, - >< P(S),∪,∩, ~ >同构。 分析：要证两个代数系统同构，分为以下几步：
1、找一个双射函数 f: A P(S)
∴a ≤ c ，又∵a ≤ c， ∴a ≤ c ∧ c，即 a ≤ 0，
这与a是原子相矛盾， ∴假设错
∴b ∧ c = 0，由引理1得： b≤c ∴b=c，即：b= a1∨a2∨... ∨ak
7
❖ 格与布尔代数
证明(2)：设b的另一种表示形式为 b = aj1∨aj2∨... ∨ajt 其中aj1,aj2,……,ajt是A中原子。∵b是 aj1,aj2,……,ajt 的最小上界， ∴有aj1≤b, aj2≤b,…,ajt≤b，而a1,a2,……,ak是A中满足 a j ≤b的所有原子， {aj1,aj2,…,ajt}是{a1,a2,…,ak}的子集，即 |{aj1,aj2,…,ajt}|<=|{a1,a2,…,ak}|， 即：t ≤ k。(下面证 t < k 是不可能的)
第11章格与布尔代数
在 例 11.1 中 ， 根 据 图 11.1 ， 集 合 4,6 的 最 小 上 界 为 12 ， 即 4∨6=12=4和6的最小公倍数；它的最大下界为2，即4∧6=2=4和6的 最大公约数。同样，这个结果也可以推广到一般情况。即在格S12,R
导出的代数系统S12,∨,∧中，二元运算∨是求最小公倍数；二元运算
统称为格。
第11章 格与布尔代数
定理11.1.4 设X,≼是格，∨是X上的并运算，∧是X上的交 运算。则a,bX有
⑴ a≼b当且仅当a∧b=a ⑵ a≼b当且仅当a∨b=b 证明：⑴ 设a≼b，下证a∧b=a 由a≼a且a≼b知a是集合a,b的下界，故有a≼a∧b；另一方面， 由于a∧b是a,b的最大下界，所以是a,b的下界，即a∧b≼a。 根据偏序关系的反对称性得a∧b=a 设a∧b=a，下证a≼b a=a∧b≼b，即a≼b ⑵ 可类似⑴进行证明。
a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c) (并运算对交运算可分配) a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c) (交运算对并运算可分配) 则称X,∨,∧为分配格。 因为a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)和
a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c) 互为对偶命题，根据对偶原理，定义11.1.8还可以改写为：一个格
第11章 格与布尔代数
⑵证明a,bX，a∧b是集合a,b的最大下界。因为 (a∧b)∧a=a∧b和(a∧b)∧b=a∧b
所以a∧b≼a且a∧b≼b，即a∧b是a,b的下界。 下证a∧b是a,b的最大下界。 设c是a,b的任一下界，即c≼a，c≼b，那么有 c∧a=c，c∧b=c
而 c∧(a∧b)=(c∧a)∧b=c∧b=c 所以 c≼a∧b，即a∧b是a,b的最大下界。
≼=a,b|a,bX且a∧b=a ⑴ 证明≼是X上的偏序关系。 由定理11.1.2知∧满足幂等律，即a∧a=a，所以a≼a。故≼是 自反的。 设a≼b且b≼a，则a∧b=a且b∧a=b，于是a=a∧b=b∧a =b。所以≼是反对称的。 设a≼b且b≼c，则a∧b=a且b∧c=b，于是a∧c=(a∧b)∧c =a∧(b∧c)=a∧b=a，即a≼c，故≼是传递的。 这就证明了≼是X上的偏序关系。
导出的代数系统S12,∨,∧中，二元运算∨是求最小公倍数；二元运算
统称为格。
第11章 格与布尔代数
定理11.1.4 设X,≼是格，∨是X上的并运算，∧是X上的交 运算。则a,bX有
⑴ a≼b当且仅当a∧b=a ⑵ a≼b当且仅当a∨b=b 证明：⑴ 设a≼b，下证a∧b=a 由a≼a且a≼b知a是集合a,b的下界，故有a≼a∧b；另一方面， 由于a∧b是a,b的最大下界，所以是a,b的下界，即a∧b≼a。 根据偏序关系的反对称性得a∧b=a 设a∧b=a，下证a≼b a=a∧b≼b，即a≼b ⑵ 可类似⑴进行证明。
a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c) (并运算对交运算可分配) a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c) (交运算对并运算可分配) 则称X,∨,∧为分配格。 因为a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)和
a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c) 互为对偶命题，根据对偶原理，定义11.1.8还可以改写为：一个格
第11章 格与布尔代数
⑵证明a,bX，a∧b是集合a,b的最大下界。因为 (a∧b)∧a=a∧b和(a∧b)∧b=a∧b
所以a∧b≼a且a∧b≼b，即a∧b是a,b的下界。 下证a∧b是a,b的最大下界。 设c是a,b的任一下界，即c≼a，c≼b，那么有 c∧a=c，c∧b=c
而 c∧(a∧b)=(c∧a)∧b=c∧b=c 所以 c≼a∧b，即a∧b是a,b的最大下界。
≼=a,b|a,bX且a∧b=a ⑴ 证明≼是X上的偏序关系。 由定理11.1.2知∧满足幂等律，即a∧a=a，所以a≼a。故≼是 自反的。 设a≼b且b≼a，则a∧b=a且b∧a=b，于是a=a∧b=b∧a =b。所以≼是反对称的。 设a≼b且b≼c，则a∧b=a且b∧c=b，于是a∧c=(a∧b)∧c =a∧(b∧c)=a∧b=a，即a≼c，故≼是传递的。 这就证明了≼是X上的偏序关系。
离散数学--十一章格与布尔代数
离散数学--⼗⼀章格与布尔代数格的定义与性质:布尔代数是计算机逻辑设计的基础，它是由格引出的。
格⼜是从偏序集引出的。
所以我们先回顾⼀下偏序集中的⼀些概念。
偏序集简单来说就是集合A中有⾃反，反⾃反，传递的关系具体可以看第七章我们结合Hasse图看如下关系：假如 A={1,2,3,6,12,24,36} 且有如下关系如果：B={2，3，6}最⼤|⼩元定义：y是B的最⼩元⇔∃y∈B∧∀x(x∈B→y≤x)y是B的最⼤元⇔∃y∈B∧∀x(x∈B→x≤y)最⼤|⼩元是唯⼀的（类⽐函数的最值）⽽极⼤|⼩元不唯⼀B最⼤元6 ，最⼩元⽆B中Hasse图的最底（顶）层，且这⼀层只有⼀个点才能是最⼩（⼤）元极⼤|⼩元定义：y是B的极⼩元⇔∃y∈B∧¬∃x(x∈B∧x≤y)y是B的极⼤元⇔∃y∈B∧¬∃x(x∈B∧y≤x)这⾥⾯B的极⼩元是 {2，3}，极⼤元是 {6}B中Hasse图的最底（顶）层，则是极⼩（⼤）元上下界定义：y是B的下界⇔∃y∈A∧∀x(x∈B→y≤x)y是B的上界⇔∃y∈A∧∀x(x∈B→x≤y)⽐如 B上界 {12，24，36} 下界 {1}Hasse图中B的最底（顶）层，包括这⼀层和这⼀层下⾯（上⾯）的所有元素构成的集合则是下（上）界确界定义：B的上确界（最⼩上界）下确界（最⼤下界）就是上界的min，下界的max结合Hasse 图理解若B={2，3，6} 有如上图的关系格讲这么多终于到格的定义了其实只要⼀个偏序集中任意⼦集都有上下确界就是格了莫名很简洁暗⽰判断格要疯狂枚举格诱导的代数系统交并运算设<A, ≤>是格,在A上定义⼆元运算∨和∧为:∀a,b∈Aa∨b=LUB {a,b} |{a,b}的最⼩上界.Least Upper Bounda∧b=GLB {a,b} |{a,b}的最⼤下界.Greatest Lower Bound称<A,∨,∧>是由格<A,≤>诱导的代数系统. (∨-并,∧-交)就是⽤符号定义了上下确界⽽已并且有：设<L, ≼>是格则有运算∨和∧适合交换律、结合律、幂等律和吸收律<==> 设<S, ∗, ◦ >是代数系统, ∗和◦是⼆元运算, 如果∗和◦满⾜交换律、结合律和吸收律, 则<S, ∗,◦>构成格.注意⼀下吸收率就好了：a∨(a∧b) = a, a∧(a∨b) = a各种格分配格如果交并还满⾜分配率就叫分配格有界格如果B是A时仍有上下确界则此时的格为有界格，这个确界分别称为全上|下界⼀般将全上界记为1 ，全下界记为0，⼀般将有界格L记为<L,∧,∨,0,1>.有限格L={a1,a2,…,an}是有界格, 则a1∧a2∧…∧an是L的全下界, a1∨a2∨…∨an是L的全上界.0是关于∧运算的零元,∨运算的单位元；1是关于∨运算的零元,∧运算的单位元.有补格有补元的格称为有补格a∧b = 0 和 a∨b = 1成⽴, 则称b是a的补元在任何有界格中, 全下界0与全上界1互补对于⼀般元素, 可能存在补元, 也可能不存在补元. 如果存在补元, 可能是惟⼀的, 也可能是多个补元.对于有界分配格, 如果元素存在补元, ⼀定是惟⼀的⼦群格没有特别懂对⼀个群先找出它的所有⼦群⽐如Z12 <0>,<1>,<2>,<3> ,<6>就是所有⼦群|也满⾜格的定义？也是⼦格然后再画所有⼦群（⼦格）的Hasse图就⾏了布尔代数本质上就是⼀个集合如果⼀个格是有补分配格, 则称它为布尔格或布尔代数. 布尔代数标记为<B,∧,∨,′, 0, 1>, ′为求补运算这⾥⾯的 ' 的运算规律相当于 ‘否’(a' )' =a∀a,b∈B, (a∧b)′ = a′∨b′, (a∨b) ′= a′∧b′(0∧b)∨(a∧0) = 0∨0 = 0(1∨b′)∧(a′∨1) = 1∧1 = 1(a∧b)∧(a′∨b′) = (a∧b∧a′)∨(a∧b∧b′)注意⼀下：Sn代表 n的因⼦所构成的集合|别到时候不知道⽐如 s6={1，2，3，6}。
格与布尔代数
格与布尔代数后述，一部分关于格与一部分关于布尔代数。
关于格格是数学中的一种代数结构，它被广泛用于数学、计算机科学和逻辑学等领域。
在数学中，格是一种偏序集合，它具有两个基本运算：上下拟合和交并运算。
其中，上下拟合是指存在最小上估和最大下估，而交并运算则是指对于任意两个元素都可以求出它们的最大公共上界和最小公共下界。
尽管最初格是在点集拓扑学中发现的，但它们的概念在其他领域中也扮演着重要角色，例如，它们在科学中被用来定义空间，它们被用来解决许多计算机科学问题，例如，程序正确性证明，它们与数据结构有关，在逻辑学中，格被用来理解一些推理系统。
关于布尔代数布尔代数是一种代数结构，它被广泛用于逻辑学、电子工程和计算机科学中。
布尔代数是邓纳-Bier恩论文提出的一种基于命题逻辑的代数系统，其中对于两个命题P和Q，存在两个二元运算，即并（∨）和交（∧）。
这种代数系统可以用0和1表示，其中0表示假，1表示真。
布尔代数中的一些重要性质是：交换律、结合律、分配律等。
尽管在布尔代数中并和交这两个朴素的逻辑运算都不是独立产生的概念，但该理论在数学和计算机科学中有着重要应用。
布尔代数不仅用于设计电路和硬件，还用于在计算机程序和算法中描述逻辑条件，可编程逻辑和任意逻辑等方面。
格与布尔代数的关系虽然格和布尔代数看起来似乎是两种完全不同类型的代数结构，但它们之间有着密切的联系。
一些格配合着一些次区域可以构成布尔代数；同样，对于一个布尔代数而言，它也可以被看作是某个格所描述的偏序集合。
在交集上平凡地定义结构子格也叫布尔子格。
一个布尔代数的子集都可以看做是一种决策支持系统（Decision Support System，DSS）或决策信息系统（Decision Information System，DIS）。
由此可见，布尔代数是格论的一种特例，而格论是布尔代数的一种扩展。
总体而言，格与布尔代数的关系很紧密。
事实上，这种关系已经在数学和计算机科学的广泛应用中得到了充分的体现。