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2019届中考数学专题复习讲义函数型
我们目前所学的函数主要有一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数，在解决函数问题的时候要注意每种函数的时候要注意各自的特点形式：
“靠近课本，贴近生活，联系实际”是近年中考函数应用题编题原则，因此在广泛的社会
生活、经济生活中，抽取靠近课本的数学模型是近年来中考的热点问题，解决次类问题经常使用待定系法求解析问题，但这类问题蕴含有代入消元法等重要的数学思想方法，又极易与方程、不等式、几何等初中数学中的重要知识相融合.
类型之一分段函数应用题
分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的
应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。

在现实生活中存在着很多需分段计费的
实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。

1.年春节前夕，南方地区遭遇罕见的低温雨雪冰冻天气，赣南脐橙受灾滞销．为了减少果农
的损失，政府部门出台了相关补贴政策：采取每千克补贴0.2 元的办法补偿果农．
下图是“绿荫”果园受灾期间政府补助前、后脐橙销售总收入y（万元）与销售量x（吨）的关系图．请结合图象回答以下问题：
（1）在出台该项优惠政策前，脐橙的售价为每千克多少元？
（2）出台该项优惠政策后，“绿荫”果园将剩余脐橙按原售价打九折赶紧全部销完，加上政府补贴共收入 11.7 万元，求果园共销售了多少吨脐橙？
（3）①求出台该项优惠政策后y 与 x 的函数关系式；②去年“绿荫”果园销售30 吨，总收入为 10.25 万元；若按今年的销售方式，则至少要销售多少吨脐橙？总收入能达到去年水平．
类型之二与二次函数有关的最优化问题
二次函数是一描述现实世界变量之间关系的重要数学模型．二次函数在人们的生产、生活中有着广泛的应用，求最大利润、最大面积的例子就是它在最优化问题中的应用．
2. 枇杷是莆田名果之一，某果园有100 棵枇杷树。

每棵平均产量为40 千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会
减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量
0.25 千克，问：增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是
多少千克？
3. 某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200 元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10 元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，
宾馆需对每个房间每天支出20 元的各种费用．
设每个房间每天的定价增加x
元．求：
（1）房间每天的入住量y
（间）关于
x
（元）的函数关系式．
（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x
（元）的函数关系式．
（3）该宾馆客房部每天的利润w
（元）关于
x
（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少
元时，w
有最大值？最大值是多少？
类型之四存在探索性函数问题
存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论．探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不
仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注．
4. 在直角坐标系 xOy 中，设点 A（0， t ），点 Q（ t ，b）。

平移二次函数y
tx 2的图象，得
到的抛物线 F 满足两个条件：①顶点为Q；②与 x 轴相交于 B， C 两点（∣ OB∣ <∣ OC∣），连结 A， B。

F，使得OA
2
（1）是否存在这样的抛物线
OB OC
？请你作出判断，并说明理由；3
2
，求抛物线 F 对应的二次函数的解析式。

（2）如果 AQ∥ BC，且 tan ∠ABO=
参考答案
1.【解析】从函数图象容易看出前面一段是出台该项优惠政策前的情况，后面一段是出台该项优惠政策后的情况，前面一段所有的量已经知道，容易求出该果园共销售脐橙的重量，为后面一段的求值奠定了基础 .
【答案】解：（ 1）政策出台前的脐橙售价为
3104元
3 元 /千克
10103千克；
（2）设剩余脐橙为x 吨 , 则
103 ×（ 3× 9+0.2 ）x=11.7 ×104
(11.73)104
x=3 10吨；
∴103(30.90.2)
该果园共销售了10 +30 = 40 吨脐橙；
（3）①设这个一次函数的解析式为y mx n (10
x 40) ，
代入两点（ 10， 3）、（ 40， 11.7 ）
3 10m n,
得：11.740m n;
解得
m=0.29,
n=0.1;函数关系式为y
0.29x0.1 (10 x 40)，
②令 y 10.25( 万元），则 10.250.29 x0.1 ，
解得 x 35 (吨）
答：（ 1）原售价是
3 元 / 千克；（ 2 ）果园共销售
40 吨脐橙； （ 3 ）①函数关系式为
y 0.29x
0.1 (10
x
40) ；
②今年至少要销售
35 吨，总收入才达到去年水平．
2. 【解析】 先建立函数关系式， 把它转化为二次函数的一般形式， 然后根据二次函数的顶点坐标公式进行求极值 .
【答案】 解：设增种 x 棵树，果园的总产量为
y 千克，依题意得： y=（ 100 + x ）(40 – 0.25x )
=4000 – 25x + 40 x – 0,25x2 = - 0.25 x2 + 15x + 4000
b
15 x 2
30
因为 a= - 0.25 ＜ 0，所以当2a
0.25，
y 有最大值
4ac b 2 4 ( 0.25) 4000 152
y 最大值
4a 4225
4 ( 0.25)
答：增种 30 棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多，最多总产量是 4225 千克 .
3. 【解析】 解决在产品的营销过程中如何获得最大利润的 “每每型”试题成为近年中考的热
点问题。

每每型”试题的特点就是每下降，就每减少，或每增长，就每减少。

解决这类问题
的关键就是找到单价降低后
, 该商场每天的销售量。

“每每型” 试题都可以转化为二次函数最
值问题，利用二次函数的图像和性质加以解决
.
y
60
x
10
【答案】（ 1）
z (200 x) 60
x 1 x 2 40x 12000 （2）
10
10
w
(200 x) x
20 x
60
60
（3）
10
10
1 x
2 42 x 10800 1
( x 210)2 15210
10
10
当 x=210 时，
w
有最大值．
410 元时，
w
有最大值，且最大值是
此时， x+200=410，就是说，当每个房间的定价为每天 15210 元．
4. 【解析】我们可以先假设存在这样的抛物线，如果能够求出对应的值，则存在，如果求不出，则不存在 .
【答案】（ 1）∵ 平移
y
tx 2 的图象得到的抛物线 F 的顶点为 Q,
∴ 抛物线 F 对应的解析式为 :
y
t ( x t) 2 b .
∵ 抛物线与 x 轴有两个交点，∴
t b
0.
令 y 0 , 得 OB t
b
b t ， OC t
t ,
|OB| |OC| | (t
b
)(t
b ) t 2
OA 2
∴
t
t
即
t
2
b
t
2
所以当
b
2t 3
2
t
, 时 , 存在抛物线
F 使得 |OA| |OB| |OC |.
(2)
∵ AQ // BC , ∴ t
b
，得 F: y
t (x t) 2
t ,
解得
x
1
t 1, x 2 t 1
在 Rt AOB 中 ,
1) 当
t
0时, 由 |OB | |OC |, 得 B (t 1, 0 ) ,
当
t
1 0
时 ,
3 |OA| t
由 tan
ABO 2
|OB |
t 1 ,
解得
t
3,
此时 , 二次函数解析式为 y
3x 2
18x
24 ;
当
t
1
时 , 由
3 |OA |
t
3
解得
t
5 ,
tan ABO 2 =|OB |=
t 1 ,
y
3 x 2
18
48
此时，二次函数解析式为
5
+ 25 x + 125 .
3
2) 当
t
时 ,
由 |OB| |OC|, 将 t 代 t
,
可得
t
5 , t
3 ,
（也可由
x 代 x ，
y
代
y
得到）
3
18
48
3x 2
所以二次函数解析式为
y
5 x 2
+ 25
x – 125 或
y
18x 24 .。