人教版初二数学上册过河造桥问题.4课题学习 最短路径导学案
【最新】人教版八年级数学上册导学案： 13.4课题学习 最短路径问题(第二课时 选学)
新人教版八年级数学上册导学案： 13.4课题学习最短路径问题（第二课时选学）一、设问导读如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）分析：由于河岸宽度是固定的，造的桥要与河垂直，因此路径AMNB中的MN的长度是固定的。
我们可以将点A沿与河垂直的方向平移MN的距离到A1，那么为了使AMNB最短，只需A1B最短。
根据两点之间距离最短，连接A1B，交河岸于点N，在此处造桥MN，所得路径AMNB就是最短路径。
如图2。
证明：如图3，如果在不同于MN的位置造桥M1N1。
由于M1N1=MN=AA1；又根据“两点之间，线段最短”。
可知，AN1+N1B ＞A1N+NB。
所以，路径AMNB要短于AM1N1B。
二、拓展应用拓展1：如图4，如果A、B两地之间有两条平行的河，我们要建的桥都是与河岸垂直的。
我们如何找到这个最短的距离呢？方法1：仿照上例，可以将点A沿与河垂直的方向平移两个河宽分别到到A1、A2，路径中两座桥的长度是固定的。
为了使路径最短，只要A2B最短。
连接A2B，交河流2河岸于N，在此处造桥MN；连接A1M，交河流1河岸于P，在此处造桥PQ。
所得路径AQP MNB最短。
方法2：如图6，将点A沿与第一条河流垂直的方向平移一个河宽到A1，将B沿与第二条河垂直的方向平移一个河宽到B1，连接A1B1，与两条河分别相交于N、P，在N、P两处，分别建桥MN、PQ，所得路径AQPMNB最短。
拓展2：如图7，如果A、B之间有三条平行的河流呢？方法1：仿照拓展二方法1，将点A沿与河垂直的方向平移S三个河宽分别到到A1、A2、A3，路径中三座桥的长度是固定的。
为了使路径最短，只要A3B最短。
连接A3B，交河流3于N，在此处造桥MN；连接A2N，交河流2于P，在此处造桥PQ；连接A1Q，交河流1于R，在此处造桥RS。
所得路径ASRQPMNB最短。
人教版八年级上册数学13.4课题学习《最短路径问题》教案设计
第十三章第四节的《课题学习一一最短路径问题》。
一、内容和内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短” 为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究 .本节课利用“河边饮马地点的选择”问题，开展对“最短路径问题” 的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题.二、目标和目标解析1.教学目标基于以上分析，本节课我确定的教学目标是：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识.本节课我确定的的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力.2.教学目标解析要求学生能将实际问题中的“地点”、“河流”抽象为数学中的“点”、“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.三、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手.对于直线异侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点.但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合）证明所连线段和大于所求作的线段和，学生可能想不到，不会用 .所以，本节课我确定的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.教学时，教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点” ：为学生搭建“脚手架”.在证明“最短”时，教师可以告诉学生，证明“最大”、“最小”这类问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明.由于另取的点具有任意性，所以结论对于直线上的每一点（所求作的点除外）都成立.四、教学过程设计1.创设问题情境引入：（课件展示行人践踏茵茵绿草穿越草坪）师：（1）同学们，生活中你见到过这样的现象吗？（2）他为什么选择走红色路线？（3）理由是什么？生：集体回答。
人教版八年级数学上册教案：13.4课题学习最短路径问题
今天我们在课堂上探讨了最短路径问题，这节课下来，我发现学生们对这个话题非常感兴趣，也提出了很多有深度的问题。他们在分组讨论和实验操作环节表现得积极主动，这让我感到很欣慰。
在讲授过程中，我注意到有些学生在理解线段连接法、射线连接法时还存在一定的困难。这让我意识到，对于这些难点知识，我需要通过更多的实例和讲解来帮助学生消化吸收。在今后的教学中，我会尽量用更直观、更生动的方式来进行讲解，让学生更好地理解这些概念。
2.教学难点
a.理解线段、射线、直线在实际问题中的运用，尤其是它们在不同情境下的适用性；
b.掌握求解最短路径的数学方法，特别是射线连接法的应用，学生容易在此处产生混淆；
c.将数学知识应用于实际问题的转化能力，如何将实际问题抽象成数学模型，进而求解；
d.学生在解决最短路径问题时，可能会忽略考虑所有可能的路径，导致无法找到最优解。
举例：讲解射线连接法时，难点在于如何确定射线的方向以及如何找到从一点出发经过其他点到达另一点的最短路径。此时，教师可以通过具体实例和图示，引导学生理解并掌握这一方法。
另外，针对难点c，教师可以设计一些实际案例，如地图上的最短路线、工程项目中的最短管道布置等，指导学生如何将问题抽象成数学模型，并运用所学知识求解。通过这种方法，帮助学生克服将实际问题转化为数学模型的难点。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调线段连接法、射线连接法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解如何在不同情况下选择合适的方法求解最短路径。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示线段连接法、射线连接法的基本原理。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径造桥选址实验教学探究优秀教学案例
4.鼓励学生积极参与评价，培养学生的评价能力和批判性思维。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过一个有趣的现实生活中的选址问题，如“如何在两个村庄之间建一座桥，使得两地之间的距离最短？”引起学生的兴趣。
2.学生尝试用自己的知识解决此问题，教师引导学生思考问题的方法论。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径造桥选址实验教学探究优秀教学案例
一、案例背景
人教版数学八年级上册13.4课题学习“最短路径造桥选址实验教学”探究优秀教学案例，是基于学生在学习了平面直角坐标系、一次函数和二次函数等知识的基础上，对“线性规划”的初步认识。此章节内容旨在让学生通过实验探究，掌握线性规划的基本方法，解决实际问题。
在教学过程中，我以“最短路径造桥选址”为例，让学生结合生活实际，探讨如何在一个城市中选择最佳的桥梁建设位置，以达到连接两个区域、节省路程、提高效率的目的。通过对问题的探究，引导学生运用所学的数学知识，解决实际问题，提高学生的实践能力和创新能力。
在教学设计上，我充分考虑了学生的认知规律和兴趣，将抽象的数学知识与具体的生活情境相结合，以实验教学为主线，让学生在动手操作、观察分析、合作交流的过程中，掌握线性规划的方法。同时，我注重引导学生进行思考，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。
4.全面提高学生的数学素养：通过对实际问题的解决，本节课不仅使学生掌握了线性规划的基本方法，还培养了学生的观察力、动手能力、思维能力、沟通能力和团队协作能力，全面提高了学生的数学素养。
5.教学策略灵活多样：教师根据学生的认知规律和兴趣，采用了情景创设、问题导向、小组合作等多种教学策略，使学生在轻松愉快的氛围中学习，提高了教学效果。
人教版八年级数学上精品导学案最短路径问题教案教师用教学案含答案解析学生用学案
最短路径问题（教师用）一、教学目标(一)知识与技能：通过对最短路径的探素，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质.(二)过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径的思想方法.(三)情感态度与价值观：在数学学习活动中，获得成功的体验，树立自信心.二、教学重点、难点重点：应用所学知识解决最短路径问题.难点：选择合理的方法解决问题.三、教学过程引言以前我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”及“造桥选址问题”.问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦. 有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地. 牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得点C到点A、点B的距离的和最短？连接AB，与直线l相交于一点，根据“两点之间，线段最短”可知这个交点即为所求.现在，要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？如图，作出点B关于l的对称点B'，利用轴对称的性质，可以得到CB'=CB. 这样，问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB'的和最小？在连接A，B'两点的线中，线段AB'最短. 因此，线段AB'与直线l的交点C的位置即为所求.你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′.∴ AC+BC=AC+B′C=AB′AC′+BC′=AC′+B′C′在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′∴ AC+BC＜AC′+BC′即AC+BC最短.问题2(造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要河上造一座桥MN. 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.)我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小. 这样问题就进一步转化为：当点N在直线b 的什么位置时，AM+NB最小？能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把右图的情况转化为左图的情况？如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB. 这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？在连接A′，B两点线中，线段A′B最短. 因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的.你能用所学的知识证明AM+MN+NB最短吗？为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N′，过N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B.证明：如图，由平移的性质可知：AM=A′N，AM′=A′N′，MN=M′N′在△A′BN′中，A′B＜A′N′+N′B∴ A′N+NB＜AM′+N′B∴ AM+NB＜AM′+N′B∴ AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B归纳在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思通过本节课进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值. 在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题. 体会在解决问题中与他人合作的重要性. 体会运用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生活中和其他学科中的问题，增强应用数学的意识.最短路径问题（学生用）一、教学目标(一)知识与技能：通过对最短路径的探素，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质.(二)过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径的思想方法.(三)情感态度与价值观：在数学学习活动中，获得成功的体验，树立自信心.二、教学重点、难点重点：应用所学知识解决最短路径问题.难点：选择合理的方法解决问题.三、教学过程引言以前我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”及“造桥选址问题”.问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦. 有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地. 牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得点C到点A、点B的距离的和最短？连接AB，与直线l相交于一点，根据可知这个交点即为所求.现在，要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？如图，作出点B关于l的对称点B'，利用轴对称的性质，可以得到CB'=CB. 这样，问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB'的和最小？你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？问题2(造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要河上造一座桥MN. 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.)我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？由于河岸宽度是固定的，因此时，AM+MN+NB最小. 这样问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把右图的情况转化为左图的情况？如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB. 这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？你能用所学的知识证明AM+MN+NB最短吗？为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N′，过N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B.归纳在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思通过本节课进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值. 在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题. 体会在解决问题中与他人合作的重要性. 体会运用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生活中和其他学科中的问题，增强应用数学的意识.。
人教版初中八年级上册数学《最短路径问题》导学案
13.4 课题学习 最短路径问题一、 学习目标①能利用轴对称解决简单的最短路径问题. ②体会图形的变化在解决最值问题中的作用； ③能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想 二、预习内容自学课本85页，完成下列问题：追问1：观察思考，抽象为数学问题 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 活动1：思考画图、得出数学问题将A ，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A ，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l 上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．B。
Al三、探究学习1、活动2：尝试解决数学问题问题2 ： 如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？追问1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B ′吗？ 师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充 （2）连接AB ′，与直线l 相交于点C ，则点C 即为所求四、巩固测评(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A ，B 分别是直线l 异侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时点C 是直线l 与AB 的交点．如果学生有困难，教师可作如下提示 作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B ′；（一）基础训练：1、最短路径问题BA lCl(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l 与AB′的交点．2.如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）（二）变式训练：.如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？（三）综合训练：茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a 图b五、学习心得。
2020年人教版八年级上册全册课时导学案：13-4课题学习
2020年人教版八年级上册全册课时导学案13.4课题学习 最短路径问题导学案【学习目标】1， 复习轴对称的知识，会画轴对称图形。
2， 能够利用轴对称的知识解决实际问题。
3， 培养同学们自学意思和探究能力。
学习重点：会画轴对称图形。
学习难点：会用轴对称知识解决实际问题。
一、复习导入：（1），同学们以前学过的线段最短问题有哪些？还记得吗？1、2、（2），如何做直线外一点关于这条直线的对称点？1、2、二、导入新课问题1 如图牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边L 饮马，然后到B 地。
牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？作点A 或B 关于直线L 的对称点B ′或A ′，再连接A B ′或B A ′与对称轴L 的交点即为所求。
（证明方法为：三角形两边之和大于第三边）问题2 如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，桥造成在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）分析引导：我们可以把河岸看成两条平行线，N 为直线b 上一个动点，MN 垂直于直线b ，交直线a 于点M,这样问题可以转化成：当点N 在直线b 的什么位置时AM+MN+NB 最小。
解：将AM 沿与河岸垂直的方向平移，点M 移动到点N ，点A 移动到点A ′,则AA ′=MN,AM+NB=A ′N+NB.连接A ′，B 两点的线中，线段A ′B 最短。
因此线段A ′B 与直线b 的交点N 的位置即为所求。
能力提升：你能证明为什么点N即为所求的点吗？课堂归纳：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
作业：课本93第15题。
学后反思：小结1.注重备课。
要结合课本和教参，完善每一节课的教学内容，对其重新进行审视，将其取舍、增补、校正、拓展，做到精通教材、驾奴教材，做最好的准备。
2.讲究方法。
根据不同班级学生的不同学习风格，采用不同的教学方法。
人教版初中数学课标版八年级上册第十三章13.4 课题学习 最短路径问题教学设计
人教版初中数学课标版八年级上册第十三章13.4 课题学习最短路径问题教学设计13.4.课题学习《最短路径》教学设计一、教材分析1、地位作用：数学来源于生活并服务于生活，更着眼于解决生活中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。
这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，使学生在不断地质疑中主动地获取知识，初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。
2、目标和目标解析：（1）目标：能利用直线位于两点之间结合轴对称地知识，转移到两点位于直线同侧的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；（2）目标解析：达成目标的标志是：学生能讲实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.3、教学重、难点教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题突破难点的方法：质疑和解决是不是所有的两点位于直线同侧的问题都可以用轴对称来解决二、教学准备：多媒体课件、导学案三、教学过程到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什A么位置时，AC与CB 的和最小（如图）强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”探究问题是不是所有的两点位于直线同侧的问题都可以用对称来解决，得到最短路径呢？如图，你能猜想在图中的直线L上有几个点距离A,B两点的距离之和是最短的？探究问题是不是所有的两点位于直线同侧的问题都可以用对称来解决，得到最短路径呢？如图，你能猜想在图中的直线L 上有几个点距离A,B 两点的距离之和是最短的？LA BA’C ED a bc a+22()c b a +-方案一：S=AE+BE=方案二：S’=AC+AB=设a=300，b=500，c=600设a=300，b=500，c =1000 最后得到我们选取的最短路径与C 的取值有关，不一定我们由轴对称得到的路径就是最短的，在这里就可以培养学生勇于质疑和敢于探索取得真理的学习品质。
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草
地
小河
A
13.4课题学习最短路径导学案
教学目标
1．了解牧人饮马及造桥选址两个常见类型．
2．会解答牧人饮马及造桥选址中的最短路径问题．
3．能初步应用牧人饮马及造桥选址两个常见类型完成类似题目．
教学重点难点
1．将实际问题抽象为数学问题．
2．解答最短路径问题．
基础知识回顾
(1)两点的所有连线中，。
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，。
(3)三角形的任意两边之和_________第三边，任意两边之差________第三边。
问题1、如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后
到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？（你能把
这个问题转化为数学问题吗？）
问题转化：求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小
·B
A·
l
联想：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小
A·
l
·B
思考：请用数学理论依据说明为什么选在C点作为饮马的地点。
·B
A·
l
问题2、如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥
MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行
的直线，桥要与河垂直.）
你能把这个问题转化为数学问题吗？
A ·
B·
思考下列问题：
问题3、如图：请找出直线上一点P，使得（1）|PA-PB|最小（2）|PA-PB|最大
A·A·
·B ·B
问题4、如图,A.B是直线a同侧的两定点,定长线段PQ在a 上平行移动,问PQ移动到什么位置
时,AP+PQ+QB的长最短？
问题5、如图，A为马厩，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，
然后回到马厩. 请你帮他确定这一天的最短路线.。