13.4 课题学习 最短路径问题习题ppt课件
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13.4课题学习 最短路径问题 课件(共31张PPT) 初中数学人教版八年级上册
∙B A∙
l C
B′
【探究2】如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上 造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最 短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线 a 和 b，N 为直线 b上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M.当 点 N 在什么位置的时候，AM+MN+NB 的值最小？
P 地把河水引向 M、N 两地.下列四种方案中，最节省材料的是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短， 可得最节省材料的是：
故选：D.
练习 6 如图所示，某条护城河在 CC 处直角转弯，河宽均为 5m，
从 A 处到达 B 处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设 护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从 A 处到 B 处的路程最短？请确定两座桥的位置.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′.
A
即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. A′ ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′.
即AM+NB+MN的值最小.
M′
M
N′ N
B
a b
练习 1 如图所示，军官从军营 C 出发先到河边（河流用 AB 表示）饮马，再 去同侧的 D 地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将
A
点C，则点C 即为所求的位置， 可以使得 AC+BC 的值最小.
l C
B′
【探究2】如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上 造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最 短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线 a 和 b，N 为直线 b上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M.当 点 N 在什么位置的时候，AM+MN+NB 的值最小？
P 地把河水引向 M、N 两地.下列四种方案中，最节省材料的是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短， 可得最节省材料的是：
故选：D.
练习 6 如图所示，某条护城河在 CC 处直角转弯，河宽均为 5m，
从 A 处到达 B 处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设 护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从 A 处到 B 处的路程最短？请确定两座桥的位置.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′.
A
即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. A′ ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′.
即AM+NB+MN的值最小.
M′
M
N′ N
B
a b
练习 1 如图所示，军官从军营 C 出发先到河边（河流用 AB 表示）饮马，再 去同侧的 D 地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将
A
点C，则点C 即为所求的位置， 可以使得 AC+BC 的值最小.
《最短路径问题》PPT课件
13.4 课题学习 最短路径问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求． ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求． ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
最短路径问题4 课题学习 最短路径问题(育才)PPT课件
(4)如图，牧马人从A地出发,先到草地让马吃草，再到 分河析边：让1、马建喝模水：，两点然在后两回直到线B的处内，部请画出最短路径。
2、作对称点，连线
N
A′
P
G
B′
•A
M
•B
路径A-P-G-B是最短路径。
H
24
归纳小结
1、建立模型
A·
l
C
·B
(1)两点在直线异侧
(2)两点在直线同侧
(3)点在两直线内部
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路径最短？
精通数学、物 理学的海伦稍 加思索，利用 轴对称的知识 回答了这个问 题．
5
将军饮马问题
一题多变，引向深刻
(1)若A，B 两地在河的两侧时
求AC+CB的和最小
·
A·
• C
C
l
·B
•·B
两点之间
线段最短 6
将军饮马问题
一题多变，引向深刻
(2)若A，B 两地在河的同侧时
求AC+CB的和最小
·B A·
•
l
C
7
探索新知 将军饮马问题
联想问题1的解决方法
B
·
A
·
A·
l
l
C
C
·B
思考： 能把A、B 两点转化到直线l的两侧吗？
8
探索新知 将军饮马问题
分析：1、作点B 关于直线l 的对称点B′，连接CB′。
B
M
A
两点之间
N
线段最短
21
学以致用
4.如图，∠AOB内有一点P，在OA,OB上分别找点M,N，使 ΔPMN的周长最小？
2、作对称点，连线
N
A′
P
G
B′
•A
M
•B
路径A-P-G-B是最短路径。
H
24
归纳小结
1、建立模型
A·
l
C
·B
(1)两点在直线异侧
(2)两点在直线同侧
(3)点在两直线内部
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路径最短？
精通数学、物 理学的海伦稍 加思索，利用 轴对称的知识 回答了这个问 题．
5
将军饮马问题
一题多变，引向深刻
(1)若A，B 两地在河的两侧时
求AC+CB的和最小
·
A·
• C
C
l
·B
•·B
两点之间
线段最短 6
将军饮马问题
一题多变，引向深刻
(2)若A，B 两地在河的同侧时
求AC+CB的和最小
·B A·
•
l
C
7
探索新知 将军饮马问题
联想问题1的解决方法
B
·
A
·
A·
l
l
C
C
·B
思考： 能把A、B 两点转化到直线l的两侧吗？
8
探索新知 将军饮马问题
分析：1、作点B 关于直线l 的对称点B′，连接CB′。
B
M
A
两点之间
N
线段最短
21
学以致用
4.如图，∠AOB内有一点P，在OA,OB上分别找点M,N，使 ΔPMN的周长最小？
13.4 课题学习 最短路径问题 课件(共15张PPT)人教版初中数学八年级上册
迁移应用
3.如图，点P是∠AOB内任意一点，点M和点N分别是射线OB和射线OA 上的动点，当△PMN的周长为最小时，画出点M,N的位置.
B P'
M P
O
N
A
P''
解：如图所示，点 M,N 即为所求
B
M
P
O
A N
课后延伸
1.课本P93，第15题 2.收集最短路径的其他模型
人教版八年级数学第十三章《轴对称》
课题学习—最短路径问题
情境引入
古从军行 唐·李颀
经验唤醒
如图所示，请规划从A地到B地最近的路线？为什么 这条路线最近？
A
B
AB即为最短路线，因为两点之间，线段最短
探究一
问题情境1
图形
将军从烽火台到河边饮马 在这个情境中我们 再回到营地，饮马点在什么位 分别把烽火台，营 置，可使将军所走的路径最短？ 地，河流抽象成哪
种几何图形？
A. 点 B.线
A
l B
最短路径作法
直线异侧 “两定点”
连定点 得最短
A
l P
B
两点之间 线段最短
探究二
问题情境2
将军从烽火台到河边 饮马再回到营地，饮马点 在什么位置，可使将军所 走的路径最短？
图形
我们可以把情境 2抽象成怎样的几何 图形？
最短路径作法
直线同侧“两定点”
作对称 化折为直得最短
∴AＭ１+M１N１+BN１＝AA１+A１N１+BN１ 在△A１N１B中
因为A1N1+BN1＞A1B 因此AM１+M１N１+BN１＞ AM+MN+BN. ∴AM +MN+BN为最短路径.
人教版八年级数学上册1课题学习最短路径问题(第一课时)课件
P1
CC O
DD
A PC+CD+DP
思考：你能利用解决牧 马人饮马问题的办法， 解决本题吗？
P
= P1C+CD+DP2 利用轴对称(实现线段转移).
B
两点之间，线段最短．
P2
拓展提升
如图，分别在OA、OB上求作点C、D，使得
PC+CD+DP和最短．
P1
A 作法：
C
（1）过点P分别作关于OA、OB的对称点
依据：
两点之间，线段最短
解决问题二
例:如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
A
B
A l
C
l
A、B在直线l的同侧
B
A、B在直线l的异侧
思考2：能否通过图形的变换，把左边未知的问题 转化为我们右边研究过的问题呢？
解决问题二
例:如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
B
A l
C
问题转化为：
八年级—人教版—数学—第十三章
13.4课题学习 最短路径问题（第一课时）
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题．
2.能把实际问题抽象为数学问题，体会图形的变化
在解决最值问题中的作用，感悟转化和类比思想．
学习重点
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段 最短”问题．
情境引入
观察图片，生活中你通常如何选择路径，使所走路 径最短呢？
D
B
P2
思想方法：类比、转化
课堂小结
最短路径问题：
解决方法：利用轴对称实 现线段的转移，化折为直. 理论依据：两点之间，线 段最短. 思想方法：类比、转化.
13.4课题学习 最短路径问题 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册
A' M C
EA E'
【理由简要分析】
O F' F D N 图2 A''
如图2，在OM上任取一个异于E的点E′，在ON上任取一个异于F的点
F′，连接AE′，A′E′，E′F′，A″F′，AF′，则AE′＝A′E′，AF′＝A″F′，且
A′E′＋E′F′＋F′A″＞A′A″=A′E＋EF＋FA″= AE＋EF＋FA，所以△AEF
道最短的是（ D ）
Q
P l
Q
P
AM
l
、
Q
P
C
l
M
、
Q
P
B
l
M
、
Q
P
D
l
M
、
巩固练习
2、如图，在 RtABC 中，A 30, C 90 且BC=1，MN为AC的垂直平分线，设P为直
线MN上任一点，PB+PC的最小值为 2
M
B
P
1
P
A 30
C
N
巩固练习
3、如图，正方形ABCD边长为8，M在BC上， BM＝2，N为AC上的一动点，则BN+MN的最
13.4课题学习 最短路径问题
复习回顾
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
为什么？
①
②最短，因为两点之间，线段最短
②
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连
接的所有线段中，哪条最短？为什么？ P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小 的基本事实？
问题4. 如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩A牵出 马，先到草地边MN的某一处牧马，再到河边l 饮马，然后回到帐 篷B. 请你帮他确定马这一天行走的最短路线.
13.4 课题学习-最短路径问题 人教版八年级数学上册课件
1
2
3
1.如图,A,B两点都在直线m的同侧,画图,在直线m上取点P,使PA+PB 最小,则下列示意图正确的是( ).
关闭
D
答案
1
2
3
2.在直角坐标系中有A,B两点,要在y轴上找一点C,使得它到A,B两点 的距离之和最小,现有如下四种方案,其中正确的是( ).
关闭
C
答案
1
2
3
3.已知点A(-2,1),B(3,2),在x轴上求一点P,使AP+BP最小,下列作法正 确的是( ). A.使点P与O(0,0)重合 B.连接AB并延长交x轴于点P,点P即为所求 C.过点A作x轴的垂线,垂足为P,点P即为所求 D.作点A关于x轴的对称点A',连接A'B,交x轴于点P,点P即为所求
13.4 课题学习 最短路径问题
学前温故 新课早知
1.两点的所有连线中, 线段 最短. 2.连接直线外一点与直线上各点的所有连线中, 垂线段 最 短.
学前温故 新课早知
1.前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”“连接 直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我 们称它们为 最短路径 问题.
ห้องสมุดไป่ตู้A.3
B.4
C.5
D.6 分析根据三角形的面积公式得AD=6,由EF垂直平分AB,知点A,B 关于直线EF对称,于是得到AD的长度为PB+PD的最小值,即可得出 结论.
解析: ∵BC=5,S△ABC=15,AD⊥BC于点D, ∴AD=6. ∵EF垂直平分AB, ∴点A,B关于直线EF对称.
当点P为EF与AD的交点时, AD的长度即为PB+PD的最小值, 即PB+PD的最小值为6,故选D. 答案: D
13.4课题学习++最短路径问题-讲练课件-2023-2024学年+人教版+八年级数学上册
涂黑，且满足下列条件：
(1)涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
(2)涂黑部分成轴对称图形．如图2是一种涂法，请在图4－6中分别设计
出另外三种涂法．(在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一
种涂法，如图2与图3)
解：如图所示．(答案不唯一，合理即可)
数学活动
活动3 等腰三角形中相等的线段
例3 综合探究探索等腰三角形中相等的线段．
3．如图，点A，点B为直线MN外两点，且在MN异侧，点A，B到直
线MN的距离不相等，试求一点P，同时满足下面两个条件：
①点P在MN上；②PA＋PB最小．
解：如图所示，点P即为所求．
4．如图，铁路l的同侧有A，B两个工厂，要在路边建一个货物站C，
使A，B两厂到货物站C的距离之和最小，那么点C应该在l的哪里呢？画出
数学（RJ）版八年级上册
第十三章 轴对称
课题学习
最短路径问题
新课学习
单动点问题—— 两点在直线异侧
例1 如图，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的和最小．
解：如图，连接AB，AB与l的交点即为所求点P.
1.如图，高速公路l的两侧有M，N两个城镇，要在高速公路上建一个出
口P，使M，N两城镇到出口P的距离之和最短，请你找出点P的位置．
你找的点C．
解：如图所示，点C即为所求．
5．(2022·珠海市期末)在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标
为(4，2)，点B的坐标为(1，－3)，在y轴上有一点P使PA＋PB的值最小，
则点P的坐标为(
D
)
A．(2，0)
B．(－2，0)
C．(0，2)
D．(0，－2)
第5题图
6．如图，直线l1与l2交于点O，P为其平面内一定点，OP＝3，M，N
(1)涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
(2)涂黑部分成轴对称图形．如图2是一种涂法，请在图4－6中分别设计
出另外三种涂法．(在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一
种涂法，如图2与图3)
解：如图所示．(答案不唯一，合理即可)
数学活动
活动3 等腰三角形中相等的线段
例3 综合探究探索等腰三角形中相等的线段．
3．如图，点A，点B为直线MN外两点，且在MN异侧，点A，B到直
线MN的距离不相等，试求一点P，同时满足下面两个条件：
①点P在MN上；②PA＋PB最小．
解：如图所示，点P即为所求．
4．如图，铁路l的同侧有A，B两个工厂，要在路边建一个货物站C，
使A，B两厂到货物站C的距离之和最小，那么点C应该在l的哪里呢？画出
数学（RJ）版八年级上册
第十三章 轴对称
课题学习
最短路径问题
新课学习
单动点问题—— 两点在直线异侧
例1 如图，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的和最小．
解：如图，连接AB，AB与l的交点即为所求点P.
1.如图，高速公路l的两侧有M，N两个城镇，要在高速公路上建一个出
口P，使M，N两城镇到出口P的距离之和最短，请你找出点P的位置．
你找的点C．
解：如图所示，点C即为所求．
5．(2022·珠海市期末)在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标
为(4，2)，点B的坐标为(1，－3)，在y轴上有一点P使PA＋PB的值最小，
则点P的坐标为(
D
)
A．(2，0)
B．(－2，0)
C．(0，2)
D．(0，－2)
第5题图
6．如图，直线l1与l2交于点O，P为其平面内一定点，OP＝3，M，N
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2
3．如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵
站，分别向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的
管道，则所需管道最短的是( )
D
3
Байду номын сангаас
4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，
∠ADB＝∠C，若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为____． 4
5．如图，AD是等边△ABC的BC边上的高，AD＝6，M是AD上的动点，E是AC
边的中点，则EM＋CM的最小值为____．
6
4
6．(2015·遵义)如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E， F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为( )
D A．50° B．60° C．70° D．80°
解：分别作P关于AB，CD的对称P1，P2，连接P1P2交AB于M，交CD于 N，则最佳路线为PM－MN－NP
7
9．(问题2变式)如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行， 现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的 路程最近？
解：①过点A作AP⊥a，并在AP上向下截取AA′，使AA′＝河的宽度；②连接 A′B交b于点D；③过点D作DE∥AA′交a于点C；④连接AC，则CD即为桥的位 置．图略
5
7．如图，需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A，B两个城 市的距离之和最小，请作出机场的位置．
解：作点A关于公路的对称点A′，连接A′B交公路于点P，点P即为机场的位置
6
8．如图，P为马厩，AB为草地边缘(下方为草地)，CD为一河流，牧人欲从 马厩牵马先去草地吃草，然后到河边饮水，最后回到马厩．请你帮他确定 一条最佳行走路线．
8
方法技能： 解决最短路径问题的方法：借助轴对称或平移的知识，化折为直，利用“两点 之间，线段最短”或“垂线段最短”来求线段和的最小值． 易错提示： 混淆什么情况下用“两点之间，线段最短”，什么情况下用“垂线段最短”而 出错．
9
第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题
1
知识点：最短路线问题 1．如图，小明到小丽家有四条路，其中路程最短的是( A．① B．② C．③ D．④
)B
2．如图，某村计划挖一条水渠将不远处的河水引到农田(记作点O)，以便对农
田进行灌溉，现设计了四条路线，其中最短的是( )
B
A．OA B．OB C．OC D．OD