课题学习最短路径问题

已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上 求一点P，使得PA+PB最小。
A
为什么？
P B
l
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求
探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？
你能利用轴对称的有关 知识，找到上问中符合条件的 点B′吗？
·
A
·
B
l
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个 动点，当点C 在l 的什么位置时，与CB 的和最小？
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称 点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交 于点C． 则点C 即为所求．
M 当AB、BC和AC三条边的长度 恰好能够体现在一条直线上时， 三角形的周长最小
B A
O C
N
布置作业
教科书复习题13第15题．
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和； B ·
A· l
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）． B
l
证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
·
A
·
B
C′ C
l
B′
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借 助什么解决问题的？ B
A M A' M' N'
a
b B
N
将AM沿与河岸方向垂直的方向平移，点M移动 到点N，点A移动到点A'，则 AA'=MN,AM+NB=A'N+NB,这样问题就转化为： 当点N在直线b的什么位置时，A'N+NB最小？
A M A'
a
b
N B
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借 助什么解决问题的？
轴对称
·
A
·
C′ C
l
B′
（造桥选址问题）如图，A.B两地在一条河的两岸， 现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B 的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线， 桥要与河垂直）
A
M
N
B
我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b,N 为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b,交 直线a于点M，这样，上面的问题可以转化 为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时， AM+MN+NB最小？
·
A
·
B
C
l
B′
问题3
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
·
A
·
B
C
l
B′
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质知， B · BC =B′C，BC′=B′C′． A · ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′， C′ C AC′+BC′ = AC′+B′C′． 在△AB′C′中， B′ AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
A M b
a
N B
由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最 小时，AM+MN+NB最小。这样问题可转化 为：当点N在直线b的什么位置时， AM+NB最小。
A M
a
b N B
作法：1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AB交河对岸于点N, 则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 AM∥A'N 且AM=A'N, MN=M'N', 所以A.B两地的距离:AM+MN+BN=A'N+MN+NB=A'B+MN, 若桥的位置建在N'处，过N'作N'M'⊥a,垂足为M',连接AM'.A'N'.BN', 则AB两地的距离为： AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B, 在△A'N'B中，∵A'N'+N'B＞A'B, ∴A'N'+N'B+MN＞A'B+MN, 即AM'+M'N'+N'B ＞AM+MN+BN 所以在点N的位置建桥MN，AB两地的路径AMNB最短。
平移
勇攀高峰
练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径． C 山
Q
P
河岸
A
大桥
B
基本思路： 由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线 段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为 一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到 C 一点R，使PR与QR 的和最 Q 山 小”． 河岸 P A B 大桥
B
A l
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？
B
A
l
这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线． · A· l
B
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
小结
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称和平移在所研究问题中起什么作用？ 能利用轴对称和平移解决简单的最短路径问题，体 会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化 思想． 利用轴对称和平移将最短路径问题转化为“两点之 间，线段最短”问题．
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
A
C l
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一 个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
如何将B“移”到l 的另一 侧B′处，满足直线l 上的任意 一点C，都保持CB 与CB′的长 度相等？
·
A
·
B
l
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一 个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？
八年级
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13.4 课题学习 最短路径问题
蒲团中学
程 巍
温故知新
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选 走哪条路最近？你的理由是什么？
C A
①D ②
E B
③
两点之间,线段最短
F
要在河边修建一个泵站向张村引水，在何 处修建才能使所用引水管道最短？为什么？
张村
泵站
河流
垂线段最短
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问 题”．