函数单调性的判定方法(高中数学)
函数单调性的判定方法学生： 日期; 课时： 教师：1.判断具体函数单调性的方法定义法一般地，设f 为定义在D 上的函数。
若对任何1x 、D x ∈2，当21x x <时，总有(1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数；(2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。
利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； （2）作差)()(21x f x f -；（3）变形（普遍是因式分解和配方）；（4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）；（5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。
例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。
证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则).)(()()()(212221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=-由于043)2(22221212221>++=++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(2122211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在()+∞∞-,上是减函数。
例2.用定义证明函数xkx x f +=)( )0(>k 在),0(+∞上的单调性。
证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则)()()()(221121x kx x k x x f x f +-+=-)()(2121x k x k x x -+-=)()(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((212121x x kx x x x --=， 又210x x << 所以021<-x x ，021>x x ，当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ⇒0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数； 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ⇒0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。
综上函数xkx x f +=)( )0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。
此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。
用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当21x x <时，容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。
在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。
函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。
函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。
对于一些常见的简单函数的单调性如下表：函数函数表达式单调区间特殊函数图像一次函数)0(≠+=k b kx y当0>k 时，y 在R 上是增函数；当0<k 时，y 在R 上是减函数。
二次函数cbx ax y ++=2),,,0(R c b a a ∈≠ 当0>a 时，abx 2-<时y 单调减, abx 2->时y 单调增； 当0<a 时，abx 2-<时y 单调增，abx 2->时y 单调减。
反比例函数xk y =R k ∈(且0≠k )当0>k 时,y 在0<x 时单调减，在0>x 时单调减；当0<k 时,y 在0<x 时单调增，在0>x 时单调增。
指数函数x a y =)1,0(≠>a a当1>a 时，y 在R 上是增函数；当10<<a ，时y 在R 上是减函数。
对数函数xy a log =)1,0(≠>a a当1>a 时，y 在),0(+∞上是增函数；当10<<a 时，y 在),0(+∞上是减函数。
一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论： ⑴．)(x f 与)(x f +C 单调性相同。
（C 为常数）⑵．当0>k 时，)(x f 与)(x kf 具有相同的单调性；当0<k 时， )(x f 与)(x kf 具有相反的单调性。
⑶．当)(x f 恒不等于零时，)(x f 与)(1x f 具有相反的单调性。
⑷．当)(x f 、)(x g 在D 上都是增（减）函数时，则)(x f ＋)(x g 在D 上是增（减）函数。
⑸．当)(x f 、)(x g 在D 上都是增（减）函数且两者都恒大于0时，)(x f )(x g 在D 上是增（减）函数；当)(x f 、)(x g 在D 上都是增（减）函数且两者都恒小于0时，)(x f )(x g 在D 上是减（增）函数。
⑹．设)(x f y =,D x ∈为严格增（减）函数，则f 必有反函数1-f，且1-f在其定义域)(D f 上也是严格增（减）函数。
例3.判断5)1(2log )(21323+++++=+x x x x x f x 的单调性。
解:函数)(x f 的定义域为),0(+∞，由简单函数的单调性知在此定义域内323log ,,x x x 均为增函数，因为021>+x ,012>+x 由性质⑸可得)1(221++x x 也是增函数；由单调函数的性质⑷知x x x 23log ++为增函数，再由性质⑴知函数)1(2log )(21323++++=+x x x x x f x +5在),0(+∞为单调递增函数。
例4.设函数)0()(>>++=b a b x ax x f ，判断)(x f 在其定义域上的单调性。
解:函数bx ax x f ++=)(的定义域为),(),(+∞-⋃--∞b b .先判断)(x f 在),(+∞-b 内的单调性，由题可把bx ax x f ++=)(转化为b x b a x f +-+=1)(，又0>>b a 故0>-b a 由性质⑶可得b x +1为减函数；由性质⑵可得b x b a +-为减函数；再由性质⑴可得bx ba x f +-+=1)(在),(+∞-b 内是减函数。
同理可判断)(x f 在),(b --∞内也是减函数。
故函数bx ax x f ++=)(在),(),(+∞-⋃--∞b b 内是减函数。
函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四则混合运算的形式，然后利用函数单调性的性质去判断，但有些函数不能化成简单单调函数四则混合运算形式就不能采用这种方法。
图像法用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。
根据单调函数的图像特征，若函数)(x f 的图像在区间I 上从左往右逐渐上升则函数)(x f 在区间I 上是增函数；若函数)(x f 图像在区间I 上从左往右逐渐下降则函数)(x f 在区间I 上是减函数。
、例5. 如图1-1是定义在闭区间[-5,5]上的函数)(x f y =的图像，试判断其单调性。
解：由图像可知：函数)(x f y =的单调区间有[-5,-2），[-2,1），[1,3），[3,5）.其中函数)(x f y =在区间[-5,-2），[1,3）上的图像是从左往右逐渐下降的，则函数)(x f y =在区间[-5,-2），[1,3）为减函数；函数)(x f y =在区间[-2,1），[3,5]上的图像是从往右逐渐上升的，则函数)(x f y =在区间[-2,1），[3,5]上是增函数。
例6.利用函数图像判断函数1)(+=x x f ；x x g 2)(=；12)(++=x x h x 在[-3,3]上的单调性。
分析：观察三个函数，易见)()()(x g x f x h +=，作图一般步骤为列表、描点、作图。
首先作出1)(+=x x f 和x x g 2)(=的图像，再利用物理学上波的叠加就可以大致作出12)(++=x x h x的图像，最后利用图像判断函数12)(++=x x h x的单调性。
解:作图像1-2如下所示：由以上函数图像得知函数1)(+=x x f 在闭区间[-3,3]上是单调增函数；x x g 2)(=在闭区间[-3,3]上是单调增函数；利用物理上波的叠加可以直接大致作出12)(++=x x h x在闭区间[-3,3]上图像，即12)(++=x x h x 在闭区间[-3,3]上是单调增函数。
事实上本题中的三个函数也可以直接用函数性质法判断其单调性。
用函数图像法判断函数单调性比较直观，函数图像能够形象的表示出随着自变量的增加，相应的函数值的变化趋势，但作图通常较烦。
对于较容易作出图像的函数用图像法比较简单直观，可以类似物理上波的叠加来大致画出图像。
而对于不易作图的函数就不太适用了。
但如果我们借助于相关的数学软件去作函数的图像，那么用图像法判断函数单调性是非常简单方便的。
复合函数单调性判断法定理1：若函数)(u f y =在U 内单调，)g(x u =在X 内单调，且集合{u ︳)g(x u =，X x ∈}U ⊂ （1）若)(u f y =是增函数，)g(x u =是增（减）函数，则)]([x g f y =是增（减）函数。
（2）若)(u f y =是减函数，)g(x u =是增（减）函数，则)]([x g f y =是减（增）函数。
归纳此定理，可得口诀：同则增，异则减（同增异减）复合函数单调性的四种情形可列表如下：显然对于大于2次的复合函数此法也成立。
推论：若函数)(x f y =是K(K ≥2),N K ∈)个单调函数复合而成其中有K m ≤个减函数： ① 是减函数时，则当)(12x f y k m =+=； ② 是增函数时，则当)(2x f y k m ==。
判断复合函数)]([x g f y =的单调性的一般步骤： ⑴合理地分解成两个基本初等函数)(),(x g u u f y ==； ⑵分别解出两个基本初等函数的定义域； ⑶分别确定单调区间；⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则)]([x g f y =为增函数，若为一增一减，则)]([x g f y =为减函数（同增异减）；⑸求出相应区间的交集，既是复合函数)]([x g f y =的单调区间。
高中数学 函数的单调性
2.3 函数的单调性学习目标：1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．重点难点：函数单调性的应用一、知识点梳理1．函数单调性定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D,当x 1<x 2时，都有f(x 1) <f(x 2)，则称f(x)是区间D 上的增函数，D 叫f(x)单调递增区间．当x 1<x 2时，都有f(x 1)> f(x 2)，则称f(x)是区间D 上的减函数，D 叫f(x)单调递减区间．2．函数单调性的判断方法：（1）定义法．步骤是：①任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2②作差f(x 1)－ f(x 2)或作商()()()()0112≠x f x f x f ，并变形， ③判定f(x 1)－ f(x 2)的符号，或比较()()12x f x f 与1的大小， ④根据定义作出结论．（2）图象法；借助图象直观判断．（3）复合函数单调性判断方法：设()()[][],,,,,y f u u g x x a b u m n ==∈∈若内外两函数的单调性相同，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 内单调递增，若内外两函数的单调性相反时，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 内单调递减．3．常见结论若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数 ；若f(x)>0（或<0）且为增函数，则函数)(1x f 在其定义域内为减函数．二、例题精讲题型1：单调性的判断1．写出下列函数的单调区间（1）,b kx y += （2）x ky =， （3）c bx ax y ++=2．2．求函数22||3y x x =-++的单调区间．３．判断函数f （x ）＝1x 2－4x 的增减情况．题型2：用定义法证明单调性1.证明函数y=2x+5的单调性5．判断函数f （x ）＝x x 1+在（1,2）上的增减情况．题型3：单调性的应用：1．已知2()(34)21f x k k x k =-+++-在R 上是增函数,则k 的取值范围 ．2．函数2()(1)2f x x m x =+-+在(,4]-∞上是减函数,则求m 的取值范围 ．3．已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-上是单调函数，a 的取值范围是 ． 4．函数f （x ）是R 上的减函数,求f （a 2－a ＋1）与f （34）的大小关系 ．题型4：抽象函数的单调性及其应用：1.已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m 的取值范围是 ．2．设f （x ）定义在R +上，对于任意a 、b ∈R +，有f （ab ）＝f （a ）＋f （b ）求证：（1）f （1）＝0；（2）f （ 1x）＝－f （x ）； （3）若x ∈（1，+∞）时，f （x ）＜0，则f （x ）在（1，+∞）上是减函数．三、巩固练习1．函数2y x=-的单调递_____区间是______________________． 2．函数221y x x =+-的单调递增区间为_______________________．3．已知()(21)f x k x b =++在R 上是增函数，则k 的取值范围是______________．4．下列说法中，正确命题的个数是______________．①函数2y x =在R 上为增函数； ②函数1y x=-在定义域内为增函数； ③若()f x 为R 上的增函数且12()()f x f x >，则12x x >； ④函数1y x=的单调减区间为(,0)(0,)-∞⋃+∞． 5．函数()1f x x =+的增区间为 ．6．函数1()1f x x =+的单调减区间为 ． 7．函数14)(2+-=mx x x f 在]2,(--∞上递减，在),2[+∞-上递增，则实数m ＝ ．8．已知函数)y f x =（在R 上是增函数，且f (m 2)＞f (-m )，则m 的取值范围是: __________．9．函数()f x =的单调减区间 ．10．若函数2()45f x x mx m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，则实数m 的取值范为 ；11．函数1||22+-=x x y 的单调增区间为 ．12．求证函数1()f x x x=-在()0,+∞是单调增函数．。
高考数学总复习之函数的单调性
高考数学总复习之函数的单调性一、知识梳理1.增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数f （x ），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2）〔或都有f （x 1）＞f （x 2）〕，那么就说f （x ）在这个区间上是增函数（或减函数）.如果函数y =f （x ）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f （x ）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f （x ）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间. 2.函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f （x ），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f （x ），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.（3）定量刻画，即定义.上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径. 3. 函数单调性的判定方法：（1）定义法；设元→作差→变形→判断符号→给出结论； （2）图象法；（3）利用已知函数的单调性；①增（或减）函数)(x f 的倒数)(1x f 是减（或增）函数； ②增（或减）函数)(x f 的相反数)(x f -是减（或增）函数；③增（或减）函数)(x f 、)(x g 的和是)()(x g x f +是增（或减）函数；④增（或减）函数)(x f 与减（或增）函数)(x g 的差)()(x g x f -是增（或减）函数； ⑤若0>c ，则增（或减）函数)(x f 与c 的积)(x cf 是增（或减）函数； 若0<c ，则增（或减）函数)(x f 与c 的积)(x cf 是减（或增）函数；； （4）复合函数的单调性：即“同增异减”法。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：
例1.判断函数 在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝ －
＝
＝
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，
根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．
∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），
∴函数f（x）在R上单调递减．
（二）、运算性质法.
函数
函数表达式
单调区间
特殊函数图像
一次函数
当 时， 在R上是增函数；
当 时， 在R上是减函数。
二次函数
当 时， 时 单调减,
⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则 为增函数，若为一增一减，则 为减函数（同增异减）；
⑸求出相应区间的交集，既是复合函数 的单调区间。
以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。
例7.求 （ 且 ）的单调区间。
减函数的区间
函数
表达式
单调性
解：列表如下
由表知 是减函数的区间 ， 。
所以函数的单调增区间为
减区间为 .
（四）、同增异减法（复合函数法）.
定理1：若函数 在 内单调， 在 内单调，且集合{ ︳ ， }
（1）若 是增函数， 是增（减）函数，则 是增（减）函数。（2）若 是减函数， 是增（减）函数，则 是减（增）函数。
高中数学课件-函数的单调性(示范课课件)
思考4：如何用数学符号语言定义函 数的单调性？
y
图象在区间D逐渐上升
区间D内随着x的增大，y也增大
22
1
0 12
x
方案A：在区间（0,＋∞ )上取自变量1，2,∵1<2, f(1)<f(2) ∴f(x)在 (0,+∞ )上, 图象逐渐 上升
方案B：
函数f (x)在区间(a,b)上有无数个自变量x， 使得当a x1 x2 b时，有f (a) f (x1) f (x2) f (b), 由此能否说明该函数f (x)在(a,b)上的图象一直保持上升趋势？ 请你说明理由（举例或者画图）
说明:1.区间端点处若有定义写开写闭均可.无定义只能写开区间；
2.图象法判断函数的单调性：从左向右看图象的升降情况
练习1 根据下图说出函数的单调区间，以及在每 一单调区间上，函数是增函数还是减函数.
y 4 3
2
1
-1 O
2 4 5x
解:函数y=f(x)的单调区间有[－1,0）,[0,2) ，[2，4), [4，5]
（1） 函数单调性是针对某个区间D而言的，显然D是定义域 I的一部分，因此单调性是函数局部性质;
x1、x2的三大特征： （2）（（11））任x1、意x性2同属于一个单调区间
（2）x1、x2不相等，通常取 x1＜x2
（3）不是所有的函数都有单调性;
例1. 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y = f(x)的
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 ) ， 当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 ) ，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调
证明函数单调性的方法总结
证明函数单调性的方法总结导读：1、定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1 ②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．2、导数法:设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) 注意：(补充)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则为减(增）函数，为增（减）函数3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的'单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用(1)求某些函数的值域或最值．(2)比较函数值或自变量值的大小．(3)解、证不等式．(4)求参数的取值范围或值．(5)作函数图象．【证明函数单调性的方法总结】1.函数单调性的说课稿2.高中数学函数的单调性的教学设计3.导数与函数的单调性的教学反思4.高中函数单调性的教学设计5.《函数的单调性》的说课稿6.函数单调性教案练习题7.函数单调性说课课件8.《函数的单调性》教学设计上文是关于证明函数单调性的方法总结，感谢您的阅读，希望对您有帮助，谢谢。
高中数学函数单调性的判断方法
高中数学函数单调性的判断方法单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。
那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x（1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数；（2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。
例如：根据函数单调性的定义，证明：函数在 上是减函数。
要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。
方法二：性质法除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有：1. f(x)与c•f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性；2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数；3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。
这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。
方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题）对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（3）如果f(x)在区间D 上是增（减）函数，那么f(x)在D 的任一子区间上也是增（减）函数。
高中数学函数的单调性知识点总结
高中数学函数的单调性知识点总结函数的单调性，指的是函数的在其定义域或某区间上的增减性。
包括单调增和单调减两种情况。
1.增函数和单调递增区间一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆：如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就称函数()f x 在区间D 上单调递增。
特别地，当函数()f x 在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数。
图象特点：在区间D 上，沿x 轴正向从左向右看图象呈上升趋势。
2.减函数和单调递减区间一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆：如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就称函数()f x 在区间D 上单调递减。
特别地，当函数()f x 在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数。
图象特点：在区间D 上，沿x 轴正向从左向右看图象呈下降趋势。
3.定义法判断或证明函数单调性的步骤，可以归纳为：取值定大小，作差和变形，定号给结论，3个关键步骤。
4.复合函数的单调性复合函数()()y f u x =的单调性，遵循“同增异减”的原则.其中()y f u =是外层函数，()u u x =是内层函数,有以下几种情况：①()y f u = ，()u u x = ，则()()y f u x = ；②()y f u = ，()u u x = ，则()()y f u x = ；③()y f u = ，()u u x = ，则()()y f u x = ；④()y f u = ，()u u x = ，则()()y f u x = ；【小结】内外层函数单调性相同时为增函数，单调性相反时为减函数。
例题：判断下列复合函数在()0,1x ∈上的单调性。
（1）y =解：()0,1x ∈时,()20,1u x =∈。
外层函数:y =()0,1u ∈上单调增，内层函数:2u x =在()0,1x ∈上单调减。
【高中数学考点精讲】考点一 函数的单调性的判断
考点08 函数单调性与最值1、函数单调性的判断方法（1）定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。
（2）性质法：若函数为增函数，为增函数，为减函数，为减函数，则有①为增函数，②为增函数，③为减函数，④为减函数。
（3）图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。
由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．（4）复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.增函数减函数增函数减函数增函数减函数减函数增函数随着的增大而增大随着的增大而增大随着的增大而减小随着的增大而减小增函数增函数减函数减函数2、函数单调性的应用（1）比较大小．比大小常用的方法是①利用单调性比大小；②搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；③数形结合比大小。
注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像判断大小。
（2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．解抽象函数不等式问题（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．（3）利用函数单调性求参数的取值范围．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。
函数单调性的判定方法(高中数学)
函数单调性的剖断办法学生：日期;课时：教师： 具体函数单调性的办法 1.1 界说法一般地,设f 为界说在D 上的函数.若对任何1x .D x ∈2,当21x x <时,总有(1))()(21x f x f ≤,则称f 为D 上的增函数,特别当成立严厉不等)()(21x f x f <时,称f为D 上的严厉增函数;(2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数,特别当成立严厉不等式)()(21x f x f >时,称f 为D 上的严厉减函数.运用界说来证实函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步调： （1）设元,任取1x ,D x ∈2且21x x <; （2）作差)()(21x f x f -;（3）变形（广泛是因式分化和配方）;（4）断号（即断定)()(21x f x f -差与0的大小）;（5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）. 例1.用界说证实)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数.证实：设1x ,),(2+∞-∞∈x ,且21x x <,则因为043)2(22221212221>++=++x x x x x x x ,012>-x x 则0))(()()(2122211221>++-=-x x x x x x x f x f ,即)()(21x f x f >,所以)(x f 在()+∞∞-,上是减函数.例2.用界说证实函数xkx x f +=)()0(>k 在),0(+∞上的单调性.证实：设1x .),0(2+∞∈x ,且21x x <,则)()(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((212121x x kx x x x --=, 又210x x <<所以021<-x x ,021>x x ,当1x .],0(2k x ∈时021≤-k x x ⇒0)()(21≥-x f x f ,此时函数)(x f 为减函数; 当1x .),(2+∞∈k x 时021>-k x x ⇒0)()(21<-x f x f ,此时函数)(x f 为增函数. 综上函数xkx x f +=)()0(>k 在区间],0(k 内为减函数;在区间),(+∞k 内为增函数. 此题函数)(x f 是一种特别函数（对号函数）,用界说法证实时平日须要进行因式分化,因为k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明白的,是以要分段评论辩论. 用界说法剖断函数单调性比较实用于那种对于界说域内随意率性两个数21,x x 当21x x <时,轻易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数.在解决问题时,界说法是最直接的办法,也是我们起首斟酌的办法,虽说这种办法思绪比较清楚,但平日进程比较繁琐. 函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来断定函数单调性的办法.函数性质法平日与我们罕有的简略函数的单调性联合起来运用.对于一些罕有的简略函数的单调性如下表：函数函数表达式单调区间特别函数图像一次函数)0(≠+=k b kx y当0>k 时,y 在R 上是增函数;当0<k 时,y 在R 上是减函数.二次函数cbx ax y ++=2),,,0(R c b a a ∈≠当0>a 时,a b x 2-<时y 单调减,abx 2->时y 单调增; 当0<a 时,abx 2-<时y 单调增,abx 2->时y 单调减.反比例函数xk y =R k ∈(且0≠k )当0>k 时,y 在0<x 时单调减,在0>x 时单调减;当0<k 时,y 在0<x 时单调增,在0>x 时单调增.指数函数x a y =)1,0(≠>a a当1>a 时,y 在R 上是增函数; 当10<<a ,时y 在R 上是减函数.对数函数x y a log =)1,0(≠>a a当1>a 时,y 在),0(+∞上是增函数; 当10<<a 时,y 在),0(+∞上是减函数.一些经常运用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论： ⑴．)(x f 与)(x f +C 单调性雷同.（C 为常数）⑵．当0>k 时,)(x f 与)(x kf 具有雷同的单调性;当0<k 时, )(x f 与)(x kf 具有相反的单调性.⑶．当)(x f 恒不等于零时,)(x f 与)(1x f 具有相反的单调性. ⑷．当)(x f .)(x g 在D 上都是增（减）函数时,则)(x f ＋)(x g 在D 上是增（减）函数. ⑸．当)(x f .)(x g 在D 上都是增（减）函数且两者都恒大于0时,)(x f )(x g 在D 上是增（减）函数;当)(x f .)(x g 在D 上都是增（减）函数且两者都恒小于0时,)(x f )(x g 在D 上是减（增）函数.⑹．设)(x f y =,D x ∈为严厉增（减）函数,则f 必有反函数1-f ,且1-f 在其界说域)(D f 上也是严厉增（减）函数.例3.断定5)1(2log )(21323+++++=+x x x x x f x 的单调性.解:函数)(x f 的界说域为),0(+∞,由简略函数的单调性知在此界说域内323log ,,x x x 均为增函数,因为021>+x ,012>+x 由性质⑸可得)1(221++x x 也是增函数;由单调函数的性质⑷知x x x 23log ++为增函数,再由性质⑴知函数)1(2log )(21323++++=+x x x x x f x +5在),0(+∞为单调递增函数.例4.设函数)0()(>>++=b a b x ax x f ,断定)(x f 在其界说域上的单调性. 解:函数bx ax x f ++=)(的界说域为),(),(+∞-⋃--∞b b .先断定)(x f 在),(+∞-b 内的单调性,由题可把bx ax x f ++=)(转化为b x b a x f +-+=1)(,又0>>b a 故0>-b a 由性质⑶可得b x +1为减函数;由性质⑵可得bx ba +-为减函数;再由性质⑴可得bx ba x f +-+=1)(在),(+∞-b 内是减函数.同理可断定)(x f 在),(b --∞内也是减函数.故函数bx ax x f ++=)(在),(),(+∞-⋃--∞b b 内是减函数.函数性质法只能借助于我们熟习的单调函数去断定一些函数的单调性,是以起首把函数等价地转化成我们熟习的单调函数的四则混杂运算的情势,然后运用函数单调性的性质去断定,但有些函数不克不及化成简略单调函数四则混杂运算情势就不克不及采取这种办法.1.3 图像法用函数图像来断定函数单调性的办法叫图像法.依据单调函数的图像特点,若函数)(x f 的图像在区间I 上从左往右逐渐上升则函数)(x f 在区间I 上是增函数;若函数)(x f 图像在区间I上从左往右逐渐降低则函数)(x f 在区间I 上是减函数..例 5.如图1-1是界说在闭区间[-5,5]上的函数)(x f y =的图像,试断定其单调性.解：由图像可知：函数)(x f y =的单调区间有[-5,-2）,[-2,1）,[1,3）,[3,5）.个中函数)(x f y =在区间[-5,-2）,[1,3）上的图像是从左往右逐渐降低的,则函数)(x f y =在区间[-5,-2）,[1,3）为减函数;函数)(x f y =在区间[-2,1）,[3,5]上的图像是从往右逐渐上升的,则函数)(x f y =在区间[-2,1）,[3,5]上是增函数.例6.运用函数图像断定函数①1)(+=x x f ;②xx g 2)(=;③12)(++=x x h x 在[-3,3]上的单调性.剖析：不雅察三个函数,易见)()()(x g x f x h +=,作图一般步调为列表.描点.作图.起首作出1)(+=x x f 和x x g 2)(=的图像,再运用物理学上波的叠加就可以大致作出12)(++=x x h x 的图像,最后运用图像断定函数12)(++=x x h x 的单调性.解:作图像1-2如下所示：由以上函数图像得知函数①1)(+=x x f 在闭区间[-3,3]上是单调增函数;②xx g 2)(=在闭区间[-3,3]上是单调增函数;运用物理上波的叠加可以直接大致作出③12)(++=x x h x在闭区间[-3,3]上图像,即③12)(++=x x h x在闭区间[-3,3]上是单调增函数.事实上本题中的三个函数也可以直接用函数性质法断定其单调性.用函数图像法断定函数单调性比较直不雅,函数图像可以或许形象的暗示出跟着自变量的增长,响应的函数值的变更趋向,但作图平日较烦.对于较轻易作出图像的函数用图像法比较简略直不雅,可以相似物理上波的叠加来大致画出图像.而对于不轻易作图的函数就不太实用了.但假如我们借助于相干的数学软件去作函数的图像,那么用图像法断定函数单调性是异常简略便利的. 1.4复合函数单调性断定法定理1：若函数)(u f y =在U 内单调,)g(x u =在X 内单调,且聚集{u ︳)g(x u =,X x ∈}U ⊂ （1）若)(u f y =是增函数,)g(x u =是增（减）函数,则)]([x g f y =是增（减）函数.（2）若)(u f y =是减函数,)g(x u =是增（减）函数,则)]([x g f y =是减（增）函数. 归纳此定理,可得口诀：同则增,异则减（同增异减） 复合函数单调性的四种情况可列表如下：情况函数 单调性 第①种情况第②种情况第③种情况第④种情况内层函数)(x g u = ↑ ↓ ↑ ↓ 外层函数)(u f y = ↑ ↓ ↓ ↑ 复合函数)]([x g f y =↑↑↓↓显然对于大于2次的复合函数此法也成立.推论：若函数)(x f y =是K(K ≥2),N K ∈)个单调函数复合而成个中有K m ≤个减函数： ① 是减函数时，则当)(12x f y k m =+=; ② 是增函数时，则当)(2x f y k m ==.断定复合函数)]([x g f y =的单调性的一般步调： ⑴合理地分化成两个根本初等函数)(),(x g u u f y ==; ⑵分离解出两个根本初等函数的界说域; ⑶分离肯定单调区间;⑷若两个根本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减,则)]([x g f y =为增函数,若为一增一减,则)]([x g f y =为减函数（同增异减）;⑸求出响应区间的交集,既是复合函数)]([x g f y =的单调区间.以上步调可以用八个字简记“一分”,“二求”,“三定”,“四交”.运用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题.例7.求)253(log )(2-+=x x x f a （0>a 且1≠a ）的单调区间.解：由题可得函数)253(log )(2-+=x x x f a 是由外函数u y a log =和内函数2532-+=x x u 相符而成.由题知函数)(x f 的界说域是),31()2,(+∞--∞ .内函数2532-+=x x u 在),31(+∞内为增函数,在)2,(--∞内为减函数.①若1>a ,外函数u y a log =为增函数,由同增异减轨则,故函数)(x f 在),31(+∞上是增函数;函数)(x f 在()2,-∞-上是减函数.②若10<<a ,外函数u y a log =为减函数,由同增异减轨则,故函数)(x f 在),31(+∞上是减函数;函数)(x f 在()2,-∞-上是增函数.2．断定抽象函数单调性的办法假如一个函数没有给出具体解析式,那么如许的的函数叫做抽象函数.抽象函数没有具体的解析式,需充分提取标题前提给出的信息. 2.1 界说法经由过程作差(或者作商),依据标题提出的信息进行变形,然后与0（或者1）比较大小关系来断定其函数单调性.平日有以下几种办法： 凑差法依据单调函数的界说,设法从标题中“凑出”“)()(21x f x f -”的情势,然后比较)()(21x f x f -与0的大小关系.例11.已知函数)(x f 对随意率性实数m .n 均有)()()(n f m f n m f +=+,且当0>m 时,0)(>m f ,试评论辩论函数)(x f 的单调性.解：由题得)()()(n f m f n m f =-+, 令m x n m x =+=21,,且21x x >,021>-=x x n又由题意当0>m 时,0)(>m f 0)()()(21>=-⇒n f x f x f ,所以函数)(x f 为增函数. 添项法弄清标题中的构造特色,采取加减添项或乘除添项,以达到能断定“)()(12x f x f -”与0大小关系的目标.例12.（同例11）解:任取2121,,x x R x x <∈,则012>-x x ,)()(12x f x f -)(])[(1112x f x x x f -+-= 由题意函数)(x f 对随意率性实数m .n 均有)()()(n f m f n m f +=+,且当0>m 时,0)(>m f 0)()()(1212>-=-⇒x x f x f x f ,所以函数)(x f 为增函数.增量法由单调性的界说动身,任取2121,,x x R x x <∈设)0(12>+=δδx x ,然后接洽标题提取的信息给出解答. 例13.（同例11）解：任取2121,,x x R x x <∈设)0(12>+=δδx x 由题意函数)(x f 对随意率性实数m .n 均有)()()(n f m f n m f +=+,)()()()()(1112δδf x f x f x f x f =-+=-⇒,又由题当0>m 时, 0)(>m f )0(0)()()(12>>=-⇒δδf x f x f ,所以函数)(x f 为增函数.放缩法运用放缩法,断定)(1x f 与)(2x f 的大小关系,从而得)(x f 在其界说域内的单调性. 例14.已知函数)(x f 的界说域为（0,+∞）,对随意率性正实数m .n 均有)()()(n f m f mn f =,且当1>m 时1)(0<<m f ,断定函数)(x f 的单调性.解：设210x x <<,则112>x x 又当1>m 时1)(0<<m f ,故1)(012<<x x f 再由)()()(n f m f mn f =中令1>m ,1=n 得1)1(=f 当10<<x 时,11>x ,由)1()()1(xf x f f =易知此时1)(>x f ,故0)(>x f 恒成立. 是以)()(1)()()()(111121122x f x f x f x xf x x x f x f =⨯<=⋅=)()(12x f x f <⇒ 即)(x f 在（0,+∞）上为单调递减函数.对于抽象函数,因为抽象函数没有具体的解析式,是以需充分提取标题前提给出的信息,不雅察构造特色.用界说法剖断抽象函数单调性比较实用于那种对于界说域内随意率性两个数21,x x 当21x x <时,轻易得出)(1x f -)(2x f 与0大小关系的函数.界说法是最直接的办法,思绪也比较清楚,在解题中灵巧选择凑差法.添项法.增量法.放缩法等适当的办法,可使解题进程加倍简略便利. 2.2 列表法对于比较庞杂的复合函数,除了用复合函数单调性断定法外,还可以用列表,将各个函数的单调性都列出来,然后再断定复合函数单调性.例15.已知)(x f y =在R 上是偶函数,且在[0,+∞）上是增函数,求)2(2x f -是减函数的区间解：列表如下 )2(2x f -是减由表知函数的区间)2,(--∞,)2,0[.运用列表法比较直不雅,准确.易懂.量与量之间的关系又很明白.列表法在现实生涯当中运用也是比较广泛的.但是列表法也有其局限性：在于实用题型狭小,求解规模小,大部分是跟探寻纪律或反应纪律有关.函数单调性是函数的一个异常主要的性质,本文从单调性的界说入手,总结了断定单调性的罕有办法.本文把函数分为具体函数和抽象函数两大类进行评论辩论,对于每类函数都给出了剖断单调性的若干办法.对于具体的函数,我们可以用多种办法去断定其单调性,特别地导数法是广泛实用的,若借助于盘算机,那么图像法也是最简略最直不雅的.对于抽象函数的单调性问题,我们给出了用界说法及列表法.这种题型不但抽象,并且分解性较强,对学生的思维才能有很高的请求,学生往往很难发明数学符号与数学说话之间的内涵关系.是以在断定函数单调性的问题上,应灵巧选择适当的办法,从而使解题进程最简略.函数 表达式单调性)2,(--∞ )0,2[-)2,0[ ),2[+∞22x y -= ↑ ↑ ↓↓ )(u f y =↓ ↑↑↓)2(2x f y -= ↓↑↓↑。
函数的单调性
函数的单调性一、 函数单调性的的判断方法除了用差分法（又称定义法）判断函数的单调性外，常用的方法还是有以下几种：1.直接法直接法就是利用我们熟知的正比例函数、一次函数、反比例函数的单调性，直接判断函数的单调性，并写出它们的单调区间，熟记以下几种函数的单调性：(1)正比例函数(0)y kx k =≠：○1当0k >时，函数y kx =在定义域R 上是增函数；○2当0k <时，函数y kx =在定义域R 上是减函数.(2)反比例函数(0)k y k x=≠： ○1当0k >时，函数k y x=的单调递减区间是(,0),(0,)-∞+∞，不存在单调递增区间；○2当0k <时，函数k y x=的单调递增区间是(,0),(0,)-∞+∞，不存在单调递增区间.(3)一次函数(0)y kx b k =+≠：○1当0k >时，函数y kx b =+在定义域R 上是增函数；○2当0k <时，函数y kx b =+在定义域R 上是减函数.（4）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠：○1当0a >时，函数2y ax bx c =++的图像开口向上，单调递减区间是(,]2b a -∞-，单调递增区间是[,)2b a-+∞；○2当0a <时，函数2y ax bx c =++的图像开口向下，单调递增区间是(,]2b a -∞-，单调递减区间是[,)2b a-+∞.注意：3()y f x x ==在定义域R 上是增函数，其图像如右图：2.图像法画出函数图象，根据其图像的上升或下降趋势判断函数的单调性.3.运算性质法（1）函数()()f x af x 与，当0a >时有相同的单调性，当0a <时有相反的单调性；如函数()f x x =与3()3f x x -=-的单调性相反，函数()f x x =与3()3f x x =的单调性相同；（2）当函数()f x 恒为正（或恒为负）时()f x 与1()f x 有相反的单调性，如：函数1()0f x x =->((,0))x ∈-∞是递增函数，则111()x f x x==--在区间(,0)-∞是递减函数；（3）若()0f x ≥，则()f x与如：函数2()234f x x x =++，在定义域R 上，()0f x >，且()f x 是3(,]4-∞-上的递减函数，是3[,)4-+∞上的递增函数，所以函数=3(,]4-∞-上的递减函数，是3[,)4-+∞上的递增函数；（4）若()f x ，()g x 的单调性相同，则()()f x g x +的单调性与()f x ，()g x 的单调性相同.如211()x F x x x x -+==-+，令1(),()f x x g x x=-=，即 ()()()F x f x g x =+，因为函数()f x 在R 上单调递减，()g x 的单调递减区间是(,0),(0,-∞+∞），所以函数211()x F x x x x-+==-+的单调递减区间是 (,0),-∞(0,+∞）； (5) 若()f x ，()g x 的单调性相反，则()()f x g x -的单调性与()f x 的相同.因为()g x -与()f x 的单调性相同，所以()()f x g x -的单调性与()f x 的相同.二、抽象函数单调性的判定没有具体函数解析式的函数，我们称为抽象函数，判断抽象函数单调性是一类重要的题型，其解法采用差分法.实例1 已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 对任意,(0,)x y ∈+∞，恒有()()()f xy f x f y =+，且当01x <<时()0f x >，判断()f x 在(0,)+∞上的单调性. 解 设,(0,),0x x h h +∈+∞>，则()()()[()]x f x h f x f x h f x h x h+-=+-⋅++ ()[()()]()x x f x h f f x h f x h x h =+-++=-++.01,()0,()0x x x f f x h x h x h<<∴>∴-<+++，()()0f x h f x ∴+-<，所以函数 ()f x 在(0,)+∞上的单调递减.二、 复合函数单调性的判定方法求复合函数(())y f g x =的单调性的步骤：（1） 求出函数的定义域；（2） 明确构成复合函数的简单函数（所谓简单函数即我们熟知其单调性的函数）:(),()y f u u g x ==;（3） 确定简单函数的单调性；（4） 若这两个函数同增或同减（单调性相同），则(())y f g x =为增函数；若这两个函数一增一减（单调性相异）则(())y f g x =为减函数简记为“同增异减”.实例2 求函数()f x =解：由解析式得2340x x +-≥，即函数的定义域为{|41}x x x ≤-≥或.令234t x x =+-，则y =y t =是增函数，而234t x x =+-在(,4]-∞上是减函数，在[1,)+∞上是增函数，∴函数()f x =[1,)+∞，递减区间为(,4]-∞.三、 单调性的应用1. 用函数的单调性比较大小利用函数的单调性及自变量的大小可以比较两个函数值的大小，即已知函数()y f x =在定义域的某个区间上为增函数，若对区间内的任意两个值12,x x 且 12x x <，则12()()f x f x <.减函数也有类似的性质.示例3 已知函数()y f x =在[0,)+∞上是减函数，试比较3()4f 与2(1)f a a -+的大小.解：221331()244a a a -+=-+≥，34∴与21a a -+都在区间[0,)+∞内.又()y f x =在区间[0,)+∞上是减函数，23()(1).4f f a a ∴≥-+ 注意：解答这类型的题目首先要判断函数的自变量是否在所给区间内.示例4 已知()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，且(1)(13)f x f x -<-，求x 的取值范围.解()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，且(1)(13)f x f x -<-，∴可得不等式组111,1131,113,x x x x -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-<-⎩即02,20,31.2x x x ⎧⎪≤≤⎪⎪≤≤⎨⎪⎪<⎪⎩解得102x ≤<，所以所求1[0,)2x ∈. 2. 用函数的单调性求最值在利用单调性求最值或值域时要注意以下结论：（1） 若()f x 在定义域[,]a b 是增函数，则当x a =时，()f x 取得最小值()f a 当x b =，()f x 取得最大值()f b 如图2.（2） 若()f x 在定义域[,]a b 是减函数，则当x a =时，()f x 取得最大值()f a ，当x b =，()f x 取得最小值()f b 如图3.（3）已知函数(),[,],y f x x a b a c b =∈<<，如果()f x 在[,]a c 上是单调递增（减）函数，在[,]c b 上是单调递减（增）函数，则()f x 在x c =时取得最大（小）值，在x a =或x b =时取得最小（大）值，如下图4,5.示例5 求函数32y x =--.解：令()32f x x =-，()g x =()()y f x g x =-.由题意得函数的定义域为(,2]-∞.()32f x x =-在(,2]-∞上递增，()g x =在(,2]-∞上递减，但()g x -=(,2]-∞上递增，∴32y x =-(,2]-∞上为递增函数，∴当2x =时，y 有最大值4.注意：研究函数最值时，先求定义域，再判断其单调性.3.利用单调性求参数的取值举例应用：课本40页例34.解含“f ”的不等式根据函数()y f x =在某区间上的单调性及函数值的大小，可以求自变量的取值范围即已知函数()y f x =在定义域内的某个区间上为增函数，若12()(),f x f x <则12x x <；若已知函数()y f x =在定义域内的某个区间上为减函数，若12()(),f x f x <则12x x >，就是增（减）函数定义的逆应用.示例6 已知函数()y f x =是R 上的减函数，且(23)(56)f x f x ->-，求实数x 的取值范围. 解：函数()y f x =是R 上的减函数，且(23)(56)f x f x ->-，2356x x ∴-<+，(3,)x ∴∈-+∞.函数的定义域和值域一、复合函数的定义域复合函数(())y f g x =的定义域，是函数()g x 的定义域中，使中间变量()u g x =属于函数()f u的定义域全体.示例1若函数()f x的定义域为[1,4]，求函数(4)f x+的定义域.解：函数()f x的定义域为[1,4]，∴使得(4)f x+有意义的条件是144x≤+≤,即30x-≤≤，则(4)f x+的定义域为[3,0]-.注意：这类型的题目简记为“对应法则相同，括号内的取值范围相同”.示例2已知f的定义域为[0,3]，求函数()f x的定义域.解题分析：函数f和()f x中的x并不是同一个量，若设u=，则f变成()f u，那么u的取值范围才是函数()f x的定义域，即“对应法则相同，括号内的取值范围相同”.解：f的定义域为[0,3]，03x∴≤≤，则≤≤函数()f x的定义域为.二、求函数值域的常用方法1.公式法：适用于初中所学的一次函数、二次函数、反比例函数及以后学习的基本初等函数，形如ax bycx d+=+（0c≠且分式不可约）的值域为{|}ay yc≠.示例3求函数311xyx-=+的值域解：函数311xyx-=+，∴331y≠≠，∴311xyx-=+的值域为{|3}y y≠.2.图像法：适用于能画出图像的函数.如225((,2])y x x x=--∈-∞的图像如右图所示，所以值域为[6,)-+∞.3.不等式性质法（包括配方法、分离常数法、有界性法）适用于解析式只含“一个”x或通过变形能化成只出现“一个”x的函数，如1||,y x=-由||0x≥，则1||1x-≤，可得(,1]y∈-∞；又如2211172()24yx x x==-+-+，因为2177()244x-+≥，所以2140177()24x <≤-+，所以4(0,]7y ∈. 示例4求函数23()(221)1x f x x x x -=-≤≤≠-+且的值域 解：232(1)55()2111x x f x x x x -+-===-+++，由221x x -≤≤≠-且，得 11310x x -≤+≤+≠且.令1t x =+，则130t t -≤≤≠且.结合反比例函数5y t=-的图像可知，当 130t t -≤≤≠且，即[1,0)(0,3]t ∈-时，55553t t-≤--≥或. ∴5555131x x -≤--≥++或.515()2()27131f x f x x x =-≤=-≥++或. ∴23()(221)1x f x x x x -=-≤≤≠-+且的值域为1-][7,)3∞+∞（，. 4.换元法：适用于无理式中含自变量的函. 示例5求函数y x =+.解：函数的定义域是{|1}x x ≤.t =，则[0,)t ∈+∞，2+1x t =-， 22212(21)2(1)2y t t t t t ∴=-++=--++=--+，0t ≥，结合二次函数的图像2y ∴≤，∴原函数的值域为∞（-，2].注意：解这类型的题目要注意函数的定义域,在利用换元法求函数值域时，一定要注意新变量t 的取值范围，若忽视了这点，就容易造成错误.5.判别式法：适用于形如22(,)ax bx c y a d dx ex f++=++不全为零且分式不可约的函数. 示例6 求函数2224723x x y x x +-=++的值域.解：由2224723x x y x x +-=++得2(2)2(2)370y x y x y -+-++=，当2y =时，方程无解；当2y ≠时，要使关于x 的方程有解，必须24(2)4(2)(37)0y y y ∆=---+≥， 解得9 2.2y -≤< ∴原函数的值域为92[-，2). 6.方程思想（包括判别式法、反解法）适用于可解出x 的解析式的函数.示例7 求函数2211x y x -=+的值域解：由2211x y x-=+得2(1)10y x y ++-=，当1y =-时，方程无解：当1y ≠-时，要使关于x 的方程有解，必须04(1)(1)0y y ∆=-+-≥，解得11y -≤≤.∴原函数的值域为[-1，1].示例7：求函数311x y x -=+的值域. 解：由311x y x -=+得1(1)31(3)103y y x x y x y x y ++=-⇒-++=⇒=--， 只要30,3y y -≠≠即，就有13y x y +=--.∴原函数的值域为{y |3}y ≠.。