动态规划经典问题大合集
动态规划练习题(含答案)
动态规划练习题USACO 2.2 Subset Sums题目如下：对于从1到N的连续整集合合，能划分成两个子集合，且保证每个集合的数字和是相等的。
举个例子，如果N=3，对于{1，2，3}能划分成两个子集合，他们每个的所有数字和是相等的：and {1,2}这是唯一一种分发（交换集合位置被认为是同一种划分方案，因此不会增加划分方案总数）如果N=7，有四种方法能划分集合{1，2，3，4，5，6，7}，每一种分发的子集合各数字和是相等的:{1,6,7} and {2,3,4,5} {注1+6+7=2+3+4+5}{2,5,7} and {1,3,4,6}{3,4,7} and {1,2,5,6}{1,2,4,7} and {3,5,6}给出N，你的程序应该输出划分方案总数，如果不存在这样的划分方案，则输出0。
程序不能预存结果直接输出。
PROGRAM NAME: subsetINPUT FORMAT输入文件只有一行，且只有一个整数NSAMPLE INPUT (file subset.in)7OUTPUT FORMAT输出划分方案总数，如果不存在则输出0。
SAMPLE OUTPUT (file subset.out)4参考程序如下：#include <fstream>using namespace std;const unsigned int MAX_SUM = 1024;int n;unsigned long long int dyn[MAX_SUM];ifstream fin ("subset.in");ofstream fout ("subset.out");int main() {fin >> n;fin.close();int s = n*(n+1);if (s % 4) {fout << 0 << endl;fout.close ();return ;}s /= 4;int i, j;dyn [0] = 1;for (i = 1; i <= n; i++)for (j = s; j >= i; j--)dyn[j] += dyn[j-i];fout << (dyn[s]/2) << endl;fout.close();return 0;}USACO 2.3 Longest Prefix题目如下：在生物学中，一些生物的结构是用包含其要素的大写字母序列来表示的。
动态规划-例题众多-详细讲解
步骤2：状态转移方程：
步骤3：以自底向上的方法来计算最优解
12
程序的实现
BuyTicks(T, R)
1 n ← length[T]
2 f[0] ← 0
3 f[1] ← T[1]
4 for i ← 2 to n do
5
f[i] ← f[i-2]+R[i-1]
6
if f[i] > f[i-1]+T[i] then
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
2
递归 vs 动态规划
递归版本:
F(n)
1 if n=0 or n=1 then
2
return 1
3 else
4
return F(n-1) + F(n-2)
太慢!
动态规划:
F(n)
1 A[0] = A[1] ← 1
这里是某支股票的价格清单： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 价格 68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87 最优秀的投资者可以购买最多4次股票，可行方案中的一种是： 日期 2 5 6 10 价格 69 68 64 62 输入 第1行: N (1 <= N <= 5000)，股票发行天数 第2行: N个数，是每天的股票价格。 输出 输出文件仅一行包含两个数:最大购买次数和拥有最大购买次数的方案数(<=231) 当二种方案“看起来一样”时（就是说它们构成的价格队列一样的时候）,这2种方 案被认为是相同的。
你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要 几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。
动态规划经典——最长公共子序列问题（LCS）和最长公共子串问题
动态规划经典——最长公共⼦序列问题（LCS）和最长公共⼦串问题⼀.最长公共⼦序列问题(LCS问题)给定两个字符串A和B，长度分别为m和n，要求找出它们最长的公共⼦序列，并返回其长度。
例如： A = "Hel lo W o rld" B = "loo p"则A与B的最长公共⼦序列为 "loo",返回的长度为3。
此处只给出动态规划的解法：定义⼦问题dp[i][j]为字符串A的第⼀个字符到第 i 个字符串和字符串B 的第⼀个字符到第 j 个字符的最长公共⼦序列，如A为“app”,B为“apple”，dp[2][3]表⽰ “ap” 和 “app” 的最长公共字串。
注意到代码中 dp 的⼤⼩为 (n + 1) x (m + 1) ，这多出来的⼀⾏和⼀列是第 0 ⾏和第 0 列，初始化为 0，表⽰空字符串和另⼀字符串的⼦串的最长公共⼦序列，例如dp[0][3]表⽰ "" 和“app” 的最长公共⼦串。
当我们要求dp[i][j]，我们要先判断A的第i个元素B的第j个元素是否相同即判断A[i - 1]和 B[j -1]是否相同，如果相同它就是dp[i-1][j-1]+ 1，相当于在两个字符串都去掉⼀个字符时的最长公共⼦序列再加 1；否则最长公共⼦序列取dp[i][j - 1] 和dp[i - 1][j]中⼤者。
所以整个问题的初始状态为：dp[i][0]=0,dp[0][j]=0相应的状态转移⽅程为：dp[i][j]=max{dp[i−1][j],dp[i][j−1]},A[i−1]!=B[j−1] dp[i−1][j−1]+1,A[i−1]==B[j−1]代码的实现如下：class LCS{public:int findLCS(string A, int n, string B, int m){if(n == 0 || m == 0)//特殊输⼊return 0;int dp[n + 1][m + 1];//定义状态数组for(int i = 0 ; i <= n; i++)//初始状态dp[i][0] = 0;for(int i = 0; i <= m; i++)dp[0][i] = 0;for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j<= m; j++){if(A[i - 1] == B[j - 1])//判断A的第i个字符和B的第j个字符是否相同dp[i][j] = dp[i -1][j - 1] + 1;elsedp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]);}return dp[n][m];//最终的返回结果就是dp[n][m]}};该算法的时间复杂度为O(n*m)，空间复杂度为O(n*m)。
动态规划问题常见解法
动态规划问题常见解法
动态规划是一种高效解决优化问题的方法。
它通常用于涉及最
优化问题和最短路径的计算中。
下面是一些常见的动态规划问题解法：
1. 背包问题
背包问题是动态规划中的经典问题之一。
其目标是在给定的背
包容量下，选择一些物品放入背包中，使得物品总价值最大。
解决
这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个二维数组来
记录每个物品放入背包时的最大价值，然后逐步计算出最终的结果。
2. 最长公共子序列问题
最长公共子序列问题是寻找两个字符串中最长的公共子序列的
问题。
解决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个
二维数组来记录两个字符串中每个位置的最长公共子序列的长度。
然后通过递推关系来计算出最终的结果。
3. 矩阵链乘法问题
矩阵链乘法问题是计算一系列矩阵相乘的最佳顺序的问题。
解
决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个二维数组
来记录每个矩阵相乘时的最小乘法次数，然后逐步计算出最终的结果。
4. 最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是寻找一个序列中最长的递增子序列的问题。
解决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个一
维数组来记录每个位置处的最长递增子序列的长度，然后通过递推
关系来计算出最终的结果。
以上是一些常见的动态规划问题解法。
通过灵活运用这些方法，我们可以更高效地解决优化问题和最短路径计算等相关任务。
动态规划试题
1． 某公司打算向它的三个营业区增设6个销售店，每个营业区至少增设1个。
各营业区每年增加的利润与增设的销售店个数有关，具体关系如表1所示。
试规划各营业区应增设销售店的个数，以使公司总利润增加额最大。
表1解：将问题按区分为三个阶段3,2,1=k ，设状态变量k S （3,2,1=k ）代表从第k 个区到第3个区的增设个数，决策变量k x 代表第k 个区的增设个数。
于是有状态转移率k k k x S S -=+1、允许决策集合}0|{)(k k k k k S x x S D ≤≤=和递推关系式：)}()({max )(10k k k k k S x k k x S f x g S f kk -+=+≤≤ )1,2,3(=k0)(44=S f当3=k 时：)}({max }0)({max )(330330333333x g x g S f S x S x ≤≤≤≤=+=于是有表7-2，表中*3x 表示第三个阶段的最优决策。
单位：百万元当2=k 时：)}()({max )(2232202222x S f x g S f S x -+=≤≤于是有表7-3。
表7-3 （单位：百万元）当1=k 时：)}()({max )(1121101111x S f x g S f S x -+=≤≤于是有表7-4。
故最优分配方案为：A 区建3个销售店，B 区建2个销售店，C 区建1个销售店， 总利润为490万元。
2． 某工厂有100台机器，拟分4个周期使用，在每一周期有两种生产任务，据经验把机器投入第一种生产任务，则在一个周期中将有六分之一的机器报废，投入第二种生产任务，则有十分之一的机器报废。
如果投入第一种生产任务每台机器可收益1万元，投入第二种生产任务每台机器可收益0.5万元。
问怎样分配机器在4个周期内的使用才能使总收益最大？ 解：阶段：将每个周期作为一个阶段，即k=1,2,3，4 状态变量：第k 阶段的状态变量k S 代表第k 个周期初拥有的完好机器数决策变量：决策变量k x 为第k 周期分配与第一种任务的机器数量，于是k k x S -该周期分配在第二种任务的机器数量。
NOI导刊资源背包动态规划
少。
剩下钱数最少的找零方案中的所需的最少 硬币数。
N<=500,T<=10000.
分析
设F[i]表示需要找的钱数为i时所需要的最少 钱币数。显然有：
F[i]=Min{F[ i - A[j] ] + 1} { i≤ T，1≤j≤N} 初始值：F[0]=0。 A[j]表示其中 第j种钱币的面值。 时间复杂度为O(N*T)。
动态规划
• 可以按每个物品进行规划，同样每种物品有选和 不选两种选择
• 设F(i,j)表示前i件物品载重为j的最大效益，则有
F(i 1, j w[i]) C[i],第i种物品装载 F(i, j) MaxF(i 1, j),第i种物品不装载
• 1<=i<=N, 0<=j<=N • 初值：F(0,j)=0 • F(N,M)即答案 • 显然时间复杂度为O(NM)
for j:=0 to m do
begin
if j>=w[i] then //背包容量够大
f[j]:=max(f[j-w[i]]+c[i],f[j])
end;
思考题1：机器分配
• M台设备，分给N个公司。 • 若公司i获得j台设备，则能产生Aij效益 • 问如何分配设备使得总效益最大？ • M<=15，N<=10。
else
//背包容量不足
f[i,j]:=f[i-1,j];
end;
满背包问题（01背包）
• 有N件物品; • 第i件物品Wi公斤; • 第i件物品价值Ci元; • 现有一辆载重M公斤的卡车; • 问选取装载哪些物品，使得卡车开车正
好装满时，运送的总价值最大？ 若无法装满卡车，则输出无解。
动态规划总结经典题目(经典中的经典)
动态规划总结——经典问题总结本文着重讨论状态是如何表示，以及方程是怎样表示的。
当然，还附上关键的，有可能作为模板的代码段。
但有的代码的实现是优化版的。
经典问题总结最长上升子序列（LIS）问题描述如下:设L=<a1,a2,…,an>是n个不同的实数的序列，L的递增子序列是这样一个子序列Lin=<aK1,ak2,…,akm>，其中k1<k2<…<km且aK1<ak2<…<akm。
求最大的m值。
这里采用的是逆向思维的方法，从最后一个开始想起，即先从A[N]（A数组是存放数据的数组，下同）开始，则只有长度为1的子序列，到A[N-1]时就有两种情况，如果a[n-1] < a[n] 则存在长度为2的不下降子序列a[n-1],a[n]；如果a[n-1] > a[n] 则存在长度为1的不下降子序列a[n-1]或者a[n]。
有了以上的思想，DP方程就呼之欲出了（这里是顺序推的，不是逆序的）：DP[I]=MAX（1,DP[J]+1）J=0,1,...,I-1但这样的想法实现起来是）O(n^2)的。
本题还有更好的解法，就是O(n*logn)。
利用了长升子序列的性质来优化，以下是优化版的代码：//最长不降子序const int SIZE=500001;int data[SIZE];int dp[SIZE];//返回值是最长不降子序列的最大长度,复杂度O(N*logN)int LCS(int n) { //N是DATA数组的长度,下标从1开始int len(1),low,high,mid,i;dp[1]=data[1];for(i=1;i<=n;++i) {low=1;high=len;while( low<=high ) { //二分mid=(low+high)/2;if( data[i]>dp[mid] ) {low=mid+1;}else {high=mid-1;}}dp[low]=data[i];if( low>len ) {++len;}}return len;}最长公共子序列（LCS）给出两个字符串a, b，求它们的最长、连续的公共字串。
动态规划习题
动态规划专题分类视图数轴动规题： (1)较复杂的数轴动规 (4)线性动规 (7)区域动规： (14)未知的动规： (20)数轴动规题：题1.2001年普及组第4题--装箱问题【问题描述】有一个箱子容量为V(正整数,0≤V≤20000),同时有n个物品(0<n≤30),每个物品有一个体积（正整数）。
要求从n个物品中,任取若干个装入箱内,使箱子的剩余空间为最小。
【输入格式】输入文件box.in有若干行。
第一行：一个整数，表示箱子容量V；第二行：一个整数，表示物品个数n；接下来n行，分别表示这n个物品的各自体积。
【输出格式】输出文件box.out只有一行数据，该行只有一个数，表示最小的箱子剩余空间。
【输入样例】2468312797【输出样例】题2.1996年提高组第4题--砝码秤重__数据加强版【问题描述】设有n种砝码,第k种砝码有C k个,每个重量均为W k,求：用这些砝码能秤出的不同重量的个数，但不包括一个砝码也不用的情况。
【输入格式】输入文件weight.in的第一行只有一个数n,表示不同的砝码的种类数.第2行至第n+1行,每行有两个整数.第k+1行的两个数分别表示第k种砝码的个数和重量.【输出格式】输出文件weight.out中只有一行数据:Total=N。
表示用这些砝码能秤出的不同重量数。
【输入样例】22 22 3【输出样例】Total=8【样例说明】重量2,3,4,5,6,7,8,10都能秤得【数据限制】对于100%的数据,砝码的种类n满足:1≤n≤100;对于30%的数据,砝码的总数量C满足:1≤C≤20;对于100%的数据,砝码的总数量C满足:1≤C≤100;对于所有的数据,砝码的总重量W满足:1≤W≤400000;题3.石子归并-szgb.pas【问题描述】有一堆石头质量分别为W1,W2,…,Wn.(Wi≤10000),将石头合并为两堆,使两堆质量的差最小。
【输入】输入文件szgb.in的第一行只有一个整数n(1≤n≤50),表示有n堆石子。
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动态规划经典教程引言：本人在做过一些题目后对DP有些感想，就写了这个总结：第一节动态规划基本概念一，动态规划三要素：阶段，状态，决策。
他们的概念到处都是，我就不多说了，我只说说我对他们的理解：如果把动态规划的求解过程看成一个工厂的生产线，阶段就是生产某个商品的不同的环节，状态就是工件当前的形态，决策就是对工件的操作。
显然不同阶段是对产品的一个前面各个状态的小结，有一个个的小结构成了最终的整个生产线。
每个状态间又有关联（下一个状态是由上一个状态做了某个决策后产生的）。
下面举个例子：要生产一批雪糕，在这个过程中要分好多环节：购买牛奶，对牛奶提纯处理，放入工厂加工，加工后的商品要包装，包装后就去销售……，这样每个环节就可以看做是一个阶段；产品在不同的时候有不同的状态，刚开始时只是白白的牛奶，进入生产后做成了各种造型，从冷冻库拿出来后就变成雪糕（由液态变成固态）。
每个形态就是一个状态，那从液态变成固态经过了冰冻这一操作，这个操作就是一个决策。
一个状态经过一个决策变成了另外一个状态，这个过程就是状态转移，用来描述状态转移的方程就是状态转移方程。
经过这个例子相信大家对动态规划有所了解了吧。
下面再说说我对动态规划的另外一个理解：用图论知识理解动态规划：把动态规划中的状态抽象成一个点，在有直接关联的状态间连一条有向边，状态转移的代价就是边上的权。
这样就形成了一个有向无环图AOE网（为什么无环呢？往下看）。
对这个图进行拓扑排序，删除一个边后同时出现入度为0的状态在同一阶段。
这样对图求最优路径就是动态规划问题的求解。
二，动态规划的适用范围动态规划用于解决多阶段决策最优化问题，但是不是所有的最优化问题都可以用动态规划解答呢？一般在题目中出现求最优解的问题就要考虑动态规划了，但是否可以用还要满足两个条件：最优子结构（最优化原理）无后效性最优化原理在下面的最短路径问题中有详细的解答；什么是无后效性呢？就是说在状态i求解时用到状态j而状态j求解又用到状态k…..状态N。
而求状态N时又用到了状态i这样求解状态的过程形成了环就没法用动态规划解答了，这也是上面用图论理解动态规划中形成的图无环的原因。
也就是说当前状态是前面状态的完美总结，现在与过去无关。
当然，要是换一个划分状态或阶段的方法就满足无后效性了，这样的问题仍然可以用动态规划解。
三，动态规划解决问题的一般思路。
拿到多阶段决策最优化问题后，第一步要判断这个问题是否可以用动态规划解决，如果不能就要考虑搜索或贪心了。
当确定问题可以用动态规划后，就要用下面介绍的方法解决问题了：（1）模型匹配法：最先考虑的就是这个方法了。
挖掘问题的本质，如果发现问题是自己熟悉的某个基本的模型，就直接套用，但要小心其中的一些小的变动，现在考题办都是基本模型的变形套用时要小心条件，三思而后行。
这些基本模型在后面的分类中将一一介绍。
（2）三要素法仔细分析问题尝试着确定动态规划的三要素，不同问题的确定方向不同：先确定阶段的问题：数塔问题，和走路问题（详见解题报告）先确定状态的问题：大多数都是先确定状态的。
先确定决策的问题：背包问题。
（详见解题报告）一般都是先从比较明显的地方入手，至于怎么知道哪个明显就是经验问题了，多做题就会发现。
（3）寻找规律法：这个方法很简单，耐心推几组数据后，看他们的规律，总结规律间的共性，有点贪心的意思。
（4）边界条件法找到问题的边界条件，然后考虑边界条件与它的领接状态之间的关系。
这个方法也很起效。
（5）放宽约束和增加约束这个思想是在陈启锋的论文里看到的，具体内容就是给问题增加一些条件或删除一些条件使问题变的清晰。
第二节动态规划分类讨论这里用状态维数对动态规划进行了分类：1.状态是一维的1．1下降/非降子序列问题：问题描述：{挖掘题目的本质，一但抽象成这样的描述就可以用这个方法解}在一个无序的序列a1,a2,a3,a4…an里，找到一个最长的序列满足：ai<=aj<=ak…<=am，且i<j<k…<m.（最长非降子序列）或ai>aj>ak…>am，且i>j>k…>m.（最长下降子序列）。
问题分析：如果前i-1个数中用到ak (ak>ai或ak<=ai)构成了一个最长的序列加上第i个数ai就是前i个数中用到i的最长的序列了。
那么求用到ak构成的最长的序列有要求前k-1个数中……从上面的分析可以看出这样划分问题满足最优子结构，那满足无后效性么？显然对于第i个数时只考虑前i-1个数，显然满足无后效性，可以用动态规划解。
分析到这里动态规划的三要素就不难得出了：如果按照序列编号划分阶段，设计一个状态opt[i] 表示前i个数中用到第i个数所构成的最优解。
那么决策就是在前i-1个状态中找到最大的opt[j]使得aj>ai(或aj<=ai)，opt[j]+1就是opt[i]的值；用方程表示为：{我习惯了这种写法，但不是状态转移方程的标准写法 } opt[i]=max(opt[j])+1 (0<=j<i 且aj<=ai) {最长非降子序列}opt[i]=max(opt[j])+1 (0<=j<i 且aj>ai) {最长下降子序列}实现求解的部分代码：opt[0]:=maxsize；{maxsize 为maxlongint或-maxlongint}for i:=1 to n dofor j:=0 to i-1 doif ( a[j]>a[i]) and (opt[j]+1>opt[i]) thenopt[i]:=opt[j]+1;ans:=-maxlongint;for i:=1 to n doif opt[i]>ans then ans:=opt[i]; {ans 为最终解}复杂度：从上面的实现不难看出时间复杂度为O（N2），空间复杂度O（N）；例题1 拦截导弹(missile.pas/c/cpp) 来源：NOIP1999(提高组) 第一题【问题描述】某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。
但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。
某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。
由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。
输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。
【输入文件】missile.in单独一行列出导弹依次飞来的高度。
【输出文件】missile.out两行，分别是最多能拦截的导弹数，要拦截所有导弹最少要配备的系统数【输入样例】389 207 155 300 299 170 158 65【输出样例】62【提交链接】/Problem_217.html【问题分析】有经验的选手不难看出这是一个求最长非升子序列问题，显然标准算法是动态规划。
以导弹依次飞来的顺序为阶段，设计状态opt[i]表示前i个导弹中拦截了导弹i可以拦截最多能拦截到的导弹的个数。
状态转移方程：opt[i]=max(opt[j])+1 (h[i]>=h[j]，0=<j<i) {h[i]存，第i个导弹的高度}最大的opt[i]就是最终的解。
这只解决了第一问，对于第二问最直观的方法就是求完一次opt[i]后把刚才要打的导弹去掉，再求一次opt[i]直到打完所有的导弹，但这样做就错了。
不难举出反例： 6 1 7 3 2错解： 6 3 2/1/7 正解：6 1/7 3 2其实认真分析一下题就会发现：每一个导弹最终的结果都是要被打的，如果它后面有一个比它高的导弹，那打它的这个装置无论如何也不能打那个导弹了，经过这么一分析，这个问题便抽象成在已知序列里找最长上升子序列的问题。
求最长上升序列和上面说的求最长非升序列是一样的，这里就不多说了。
复杂度：时间复杂度为O（N2），空间复杂度为O（N）。
【源代码】program missile;constfin='missile.in';fout='missile.out';maxn=10000;vara,opt:array[0..maxn] of longint;n,anslen,anstime:longint;procedure init;varx:longint;beginassign(input,fin);reset(input);assign(output,fout);rewrite(output);n:=0;repeatinc(n);read(a[n]); until seekeof;end;procedure main;vari,j:longint;beginfillchar(opt,sizeof(opt),0);a[0]:=maxlongint;for i:=1 to n dofor j:=i-1 downto 0 doif (a[j]>=a[i]) and(opt[j]+1>opt[i]) thenopt[i]:=opt[j]+1;anslen:=0;for i:=1 to n doif opt[i]>anslen thenanslen:=opt[i];fillchar(opt,sizeof(opt),0);a[0]:=-maxlongint;for i:=1 to n dofor j:=i-1 downto 0 doif (a[j]<a[i]) and (opt[j]+1>opt[i]) thenopt[i]:=opt[j]+1;anstime:=0;for i:=1 to n doif opt[i]>anstime thenanstime:=opt[i];end;procedure print;beginwriteln(anslen);writeln(anstime);close(input);close(output);end;begininit;main;print;end.例题2 合唱队形(chorus.pas/c/cpp) 来源：NOIP2004(提高组) 第一题N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。
合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK，则他们的身高满足T1<...<Ti>Ti+1>…>TK(1<=i<=K)。
你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。