动态规划法-经典兔子问题
斐波那契数列与黄金分割
答案是 6710。
4
这与“斐波那契数列”有关
若一个数列，前两项等于1，而从第三项 起，每一项是其前两项之和，则称该数 列为斐波那契数列。即：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …
5
一、兔子问题和斐波那契数列
1． 兔子问题 1） 问题 ——取自意大利数学家 斐波那契的《算盘书》 （1202年）
解：设跳到第n格的方法有 tn种。
由于他跳入第1格，只有一种方法；跳入 第2格，必须先跳入第1格，所以也只有一
种方法，从而 t1 t2 1
22
而能一次跳入第n格的，只有第 n 1
和第 n 2 两格，因此，跳入第 n 格的方法
数，是跳入第n 1格的方法数 tn1，加上跳入
第 n 2 格的方法数 tn2 之和。
2
再作
A(AE)交 AB于 C ，则
AC
AB
5 1 ，C 即
2
为 AB的黄金分割点。
D
5
E
1
A
C
B2Βιβλιοθήκη 38证：不妨令 BD 1 ，则 AB 2 ， AD 22 1 5 ， AE AD ED 5 1，
AC AE
AC 5 1,
5 1
AB 2
证完。
39
4. 黄金分割的美 黄金分割之所以称为“黄金”分割，是 比喻这一“分割”如黄金一样珍贵。黄金 比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术 门类中审美的因素之一。认为它表现了恰 到好处的“合谐”。 例如:
如果把该连分数从第 n 条分数线截住，即
把第n 1条分数线上、下的部分都删去，就
得到该连分数的第n 次近似值，记作 un 。
vn
信息学奥赛考察的知识与能力
培养学生如下几方面的能力：l 想象力与创造力；l 对问题的理解和分析能力；l 数学能力和逻辑思维能力；l 对客观问题和主观思维的口头和书面表达能力；l 人文精神：包括与人的沟通能力，团队精神与合作能力，恒心和毅力，审美能力等。
信息学奥赛考察的知识与能力一、计算机基本常识1．信息输入输出基本原理（信息交换环境、文字图形多媒体信息的输入输出方式）2．信息的表示与处理（信息编码、微处理部件MPU、内存储结构、指令，程序，和存储程序原理、程序的三种基本控制结构）3．信息的存储、组织与管理（存储介质、存储器结构、文件管理、数据库管理）4．信息系统组成及互连网的基本知识（计算机构成原理、槽和端口的部件间可扩展互连方式、层次式的互连结构、互联网络、TCP/IP协议、HTTP协议、WEB应用的主要方式和特点）5．人机交互界面的基本概念（窗口系统、人和计算机交流信息的途径（文本及交互操作））6．信息技术的新发展、新特点、新应用等。
二、程序设计基本知识（1）数据结构1．程序语言中基本数据类型(字符、整数、长整数、浮点)2. 浮点运算中的精度和数值比较3．一维数组（串）与线性表4．记录类型（PASCAL）/ 结构类型（C）5．指针类型6．多维数组7．单链表及循环链表8．二叉树9．文件操作（从文本文件中读入数据，并输出到文本文件中）2）程序设计语言（3）结构化程序设计的基本概念三、程序设计基本能力1．阅读理解程序的基本能力2．具有将简单问题抽象成适合计算机解决的模型的基本能力3．具有针对模型设计简单算法的基本能力4．程序流程描述（自然语言/伪码/NS图/其他）5．算法的实现能力6．程序调试基本能力7．设计测试数据的基本能力8．程序的时间复杂度和空间复杂度的估计四、程序设计基本算法1．初等算法（计数、统计、数学运算等）2．排序算法（冒泡法、插入排序、合并排序、快速排序）3．查找（顺序查找、二分法）5．离散数学知识的应用（如排列组合、简单图论、数理逻辑）6．分治思想7．模拟法8．贪心法9．简单搜索算法（深度优先广度优先）搜索中的剪枝10．动态规划的思想及基本算法一、全国信息学奥赛联赛全国信息学奥赛联赛全称是：全国青少年信息学奥林匹克竞赛联赛。
数学建模例题题
数学建模试题一、传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
要求：请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？二、线性规划模型—销售计划问题某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。
要求：若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建立数学模型，并用软件求解。
【注】线性规划在MATLAB的库函数为：linprog。
语法为：x = linprog(f,A,b)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)例如：线性规划目标函数的系数：f = [-5; -4; -6]约束方程的系数及右端项：A = [1 -1 13 2 43 2 0];b = [20; 42; 30];lb = zeros(3,1);调用线性规划程序linprog求解，得：[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb);x= 0.000015.00003.0000三、一阶常微分方程模型—人口模型与预测 下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（0=t ），1016540=N 万人，200000=m N 万人。
pre
背包问题（4）
• 现在有N种物品，每种物品有一个重量Mi和 一个价值Vi，每种物品有无限多件。 • 现在你有一个背包，背包体积不限但是所 能装的物品的重量上限为MX
• 在满足重量限制的前提下使得背包内物品 的总价值最大
背包问题（5）
• 现在有N种物品，每种物品有一个重量Mi和 一个价值Vi，每种物品有Ci件。 • 现在你有一个背包，背包体积不限但是所 能装的物品的重量上限为MX
最大矩形问题（2）
• 给定一个M行N列的图，图中的一些格子是 坏的，请找出最大的长方形矩阵，其中不 包含任何一个坏格子。
最大矩形问题（3）
• 给定一个M*N的网格，每个格子可以是黑色或 白色。
• 现在要求你按照如下方式从M*N的网格中剪出 围棋棋盘：围棋棋盘必须为黑白相间正方形棋 盘，每次从棋盘中剪出可能的最大棋盘，如果 有多个的话选择最上方的一个，如果还有多个 的话选择最左边的一个，直到把M*N的网格剪 完为止（最后你要cut out所有1*1的棋盘）。 • 输入每一个大小的棋盘各剪出了多少个。
xjepkx1JO&S=prefix
家谱个数
• 农民约翰准备购买一群新奶牛。 在这个新的奶牛群中, 每一个母亲奶 牛都生两小奶牛。这些奶牛间的关系可以用二叉树来表示。这些二叉 树总共有N个节点(3 <= N < 200)。这些二叉树有如下性质: • 每一个节点的度是0或2。度是这个节点的孩子的数目。 • 树的高度等于K(1 < K < 100)。高度是从根到最远的那个叶子所需要经 过的结点数; 叶子是指没有孩子的节点。
• 在满足重量限制的前提下使得背包内物品 的总价值最大
货币系统
• 母牛们不但创建了他们自己的政府而且选择了建立了自己的货 币系统。由于他们特殊的思考方式，他们对货币的数值感到好 奇。 • 传统地，一个货币系统是由1,5,10,20 或 25,50, 和 100的单位面 值组成的。 • 母牛想知道有多少种不同的方法来用货币系统中的货币来构造 一个确定的数值。
鸡兔同笼13种解题方法
鸡兔同笼13种解题方法鸡兔同笼问题是一类经典的数学问题，常见于初中数学题目中。
这个问题的基本思路是通过解方程组来求解鸡和兔子的数量。
在本文中，将介绍13种不同的解题方法，包括逆向思维、代数法、图形法等多种方法，帮助读者更好地理解和掌握这一问题。
一、逆向思维法逆向思维法是一种比较简单易懂的方法，其基本思路是先确定总数量，再确定其中一个物品的数量，最后计算出另一个物品的数量。
1. 假设笼子里有13只动物，则鸡和兔子的总数量为13。
2. 假设有x只鸡，则有13-x只兔子。
3. 根据题目所给条件“总腿数为32”，得到方程式2x+4(13-x)=32。
4. 解方程得到x=6，则笼子里有6只鸡和7只兔子。
二、代数法代数法是一种常用的解题方法，其基本思路是通过设定未知量来建立方程组，并通过求解方程组来得到答案。
1. 设鸡和兔子的数量分别为x和y，则有方程组：x+y=132x+4y=322. 通过求解方程组得到x=6，y=7，则笼子里有6只鸡和7只兔子。
三、图形法图形法是一种直观易懂的方法，其基本思路是通过画图来解决问题。
1. 在平面直角坐标系中，设鸡和兔子的数量分别为x和y，则可以用一条直线表示鸡和兔子的总数量为13。
2. 根据题目所给条件“总腿数为32”，可以得到另一条直线表示鸡和兔子的总腿数为32。
3. 通过求解两条直线的交点，即可得到笼子里有6只鸡和7只兔子。
四、枚举法枚举法是一种简单易行的方法，其基本思路是通过列举所有可能情况来找到符合条件的答案。
1. 从1到12枚举鸡的数量x。
2. 根据题目所给条件“总腿数为32”，计算出相应的兔子数量y。
3. 如果x+y=13，则找到符合条件的答案。
五、分段函数法分段函数法是一种利用函数性质解题的方法，其基本思路是将问题拆分成多个部分，并建立相应的函数关系式来求解问题。
1. 假设笼子里有x只鸡，则有13-x只兔子。
2. 根据题目所给条件“总腿数为32”，可以得到下列函数关系式： f(x)=2x+4(13-x)3. 通过求解f(x)=32的解，即可得到笼子里有6只鸡和7只兔子。
分治算法
65 97
13 76
38 49 65 97
13 27 76
13 27 38 49 65 76 97
黑盒划分典型问题—合并排序
合并排序算法改进
从分治过程入手，容易消除mergeSort算法中的递归 调用
49 38 65 97 76 13 27
38 49
65 97
13 76
27
38 49 65 97
题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
T(n)
=
n
递归的概念
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这 就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复 应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其 规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求 出其解。这自然导致递归过程的产生。
直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数 自身给出定义的函数称为递归函数。
黑盒划分典型问题—合并排序
【例5】合并排序
任务描述：任意给定一包含n个整数的集合，把n个整数按升序排列。 输入：每测试用例包括两行，第一行输入整数个数，第二行输入n个整 数，数与数之间用空格隔开。最后一行包含-1，表示输入结束。 输出：每组测试数据的结果输出占一行，输出按升序排列的n个整数。 样例输入：
13 27 76
13 27 38 49 65 76 97
黑盒划分典型问题—合并排序
黑盒划分典型问题—合并排序
合并排序算法改进
从分治过程入手，容易消除mergeSort算法中的递归调用 自然合并排序
49 38 65 97 76 13 27
49
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38 49 65 97
黑盒划分典型问题—逆序对问题
16个趣味数学小故事集锦
16个趣味数学小故事集锦因为他在使用电脑模拟天气预报时，发现微小的初始条件差异会导致预测结果的巨大不同。
这个概念不仅在气象学中有应用，还被广泛应用于其他领域，如经济学和生物学等。
5、趣味数学小故事——200字在一次数学课上，老师给学生们出了这样一道题：有一个正方形，边长为1，现在在正方形内随机取一点，求这个点到正方形某个角的距离的期望值。
学生们纷纷开始思考，但是没有一个人能够解决这个问题。
老师开始讲解，他告诉学生们，这个问题可以通过几何概型来解决，最终得出答案为√2-1.学生们惊叹不已，数学真是神奇。
6、趣味数学小故事——200字有一个人在沙漠中走迷了路，他需要到达沙漠的另一端，但是他只有一只马和一桶水。
他知道整个沙漠的面积，但是不知道该怎么走才能最快地到达目的地。
最后他想到了一个方法，将水倒在沙漠上，等水蒸发后，留下的盐分会形成一条直线，他只需要沿着这条直线走，就能够最快地到达目的地。
这个方法被称为“盐线法”，是一种优化路径的方法。
7、趣味数学小故事——200字在一个数学竞赛中，有一道题目是这样的：给定一个正整数n，求小于等于n的正整数中，每个数的二进制表示中1的个数的总和。
这个问题看起来非常复杂，但是有一个巧妙的解法，可以使用动态规划算法，在O(n)的时间复杂度内解决这个问题。
这个算法被称为“位计数”，是一种高效的计算二进制中1的个数的方法。
8、趣味数学小故事——200字在一个城市中，有一座桥，只能承受一定的重量。
一天，有三个人要过桥，他们的体重分别为60kg、80kg和120kg。
由于桥的限制，每次只能有两个人同时过桥，且必须有一个人留在桥的一端，用手电筒照明。
这三个人需要尽快地过桥，问最少需要多少时间？这个问题看起来很难，但是有一个巧妙的解法。
首先，60kg的人和80kg的人一起过桥，用时80秒。
然后，60kg的人回来，用时60秒。
接下来，120kg的人和80kg的人一起过桥，用时120秒。
信息学奥赛——动态规划法专题
信息学奥赛——动态规划法专题全国青少年信息学奥林匹克联赛动态规划算法一、动态规划的定义在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。
因此各个阶段决策的选取不能任意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。
当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线。
这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程(如图)就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策问题。
在多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有"动态"的含义，我们称这种解决多阶段决策最优化的过程为动态规划方法。
应指出，动态规划是考察求解多阶段决策问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。
不像线性规划那样，具有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规划。
因此我们在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。
二、动态规划最优化原理作为整个过程的最优策略具有这样的性质:即无论过去的状态和决策如何，对以前的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。
（无论过程的初始状态/初始决策是什么，其余决策活动必须相对于初始决策所产生的状态构成一个最优决策序列，才可能使整个决策活动构成最优决策序列。
）简单地说，一个整体过程的最优策略的子策略一定是最优策略。
利用这个原理，可以把多阶段决策问题的求解过程看成是一个连续的逆推过程。
由后向前逐步推算。
在求解时，各种状态前面的状态和决策，对后面的子问题，只不过相当于其初始条件而己，不影晌后面过程的最优策略。
原理的证明可用反证法。
在此把它略去。
三、动态规划的求解方法是先把问题分成多个子问题（一般地每个子问题是互相关联和影响的），再依次研究逐个问题的决策。
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组长：肖利 组员：李斯、李梦蝶、杨冰
自选题：
动态规划法——经典兔子问题
问题描述：
有一对兔子，从出生后第三个月起都生一对兔 子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子。 假如兔子都不死，问每个月的兔子对数是多少？
1,分析：
首先要明确题目的意思，是求每个月的兔子总 对数。将兔子分为三种：兔子出生后第一个月为小 兔子，第二个月为中兔子，第三个月和之后为老兔 子。那么，第一个月的兔子对数为：1、0、0，第 二个月兔子对数为：0、1、0，第三个月兔子对数 为：1、0、1，第四个月兔子对数为：1、1、1，第 五个月兔子对数为：2、1、2，第六个月兔子对数 为：3、2、3，第七个月兔子对数为：5、3、5，由 上可知，每个月兔子的总对数分别是：1、1、2、3、 5、8、13、.......
月份
1 2
总对数
小
中 小 中 小 中 小 老 老 小 中 小 老 小 老 小 中 老 老 老 小 老 1 1 2
3 4 5 6
7 8 小358源自老 13老 中 小
老 中
小 老 中 小
......
表示未成熟兔子 表示成熟兔子
仔细观察图解，兔子所求每月总对数用F(x) 表示，x表示月份数，可得出一下结论：
1
F(x) =
x=1 x=2 x>2
1
F(x-1)+F(x-2)
注：所求月份的兔子总对数是前两个月兔子总对数之和
算法流程：
输入：所求月份数x 输出：所求月份中兔子总对数F(x) 1.首先判断x是否为1或者2 1.1若是，则直接返回1 1.2否则，执行循环F(x)=F(x-1)+F(x-2) 2.得出结果，输出F(x)
算法实现，用C语言描述如下：
效果展示如下：