常用降维动态规划
几种降维思想方法总结
几种降维思想方法总结降维（Dimensionality Reduction）是机器学习与数据挖掘领域非常重要的一个技术，其主要目的是剔除无关信息，提取数据的本质特征，并将高维数据映射到低维空间进行处理。
降维方法主要有两大类：特征选择和特征提取。
在本文中，我们将总结几种常见的降维方法思想。
1. 主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）PCA是一种最常见的降维方法，其思想是将原始特征通过线性变换，得到一组新的互不相关的特征，这些新特征被称为主成分。
主成分的选择是根据方差来确定，保留方差多的特征，可以更好地保留数据的信息。
通过选择合适的主成分数目，我们可以将原本具有很高维度的数据映射到一个低维的空间中，从而达到降维的目的。
2. 因子分析（Factor Analysis）因子分析是另一种常用的降维方法，它假设观测数据是由一组潜在的因子（Latent Variables）决定的。
通过寻找这些潜在因子，我们可以在保留数据信息的前提下，将原始特征的维度降低。
因子分析可以用于探索数据之间的潜在关系，还可以用于处理带有缺失值的数据，通过估计缺失值进行降维。
3. 独立成分分析（Independent Component Analysis，ICA）ICA是一种基于统计独立性的降维方法，它假设观测数据是由相互独立的成分组成的。
与PCA不同，ICA并不追求数据的方差最大化，而是追求数据之间的独立性。
ICA可以将观测数据分解为多个互不相关的独立成分，从而实现数据的降维。
4. 线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，LDA）LDA是一种用于分类问题的降维方法，它通过将原始数据投影到低维空间中，从而最大限度地保留数据的类别信息。
LDA寻找一个最佳投影方向，使得同一类别的数据尽可能接近，不同类别的数据尽可能分开。
通过LDA降维，可以在不降低分类性能的情况下，减少数据的维度。
动态规划的基本原理和基本应用
动态规划的基本原理和基本应用动态规划（Dynamic Programming）是一种通过将一个问题分解为较小的子问题并存储子问题的解来解决复杂问题的方法。
动态规划的基本原理是通过记忆化或自底向上的迭代方式来求解问题，以减少不必要的重复计算。
它在计算机科学和数学中具有广泛的应用，尤其是在优化、组合数学和操作研究等领域。
1.确定最优子结构：将原问题分解为较小的子问题，并且子问题的最优解能够推导出原问题的最优解。
2.定义状态：确定存储子问题解的状态变量和状态方程。
3.确定边界条件：确定初始子问题的解，也称为边界状态。
4.递推计算：利用状态方程将子问题的解计算出来，并存储在状态变量中。
5.求解最优解：通过遍历状态变量找到最优解。
1.背包问题：背包问题是动态规划的经典应用之一、它有多种变体，其中最基本的是0/1背包问题，即在限定容量的背包中选择物品，使得所选物品的总价值最大。
可以使用动态规划的思想来解决背包问题，确定状态为背包容量和可选物品，递推计算每个状态下的最优解。
2. 最长递增子序列：最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）是一种常见的子序列问题。
给定一个序列，找到其中最长的递增子序列。
可以使用动态规划来解决这个问题，状态可以定义为以第i个元素为结尾的最长递增子序列的长度，并递推计算每个状态的解。
3.矩阵链乘法：矩阵链乘法是一种优化矩阵连乘计算的方法。
给定一系列矩阵，求解它们相乘的最小计算次数。
可以使用动态规划解决矩阵链乘法问题，状态可以定义为矩阵链的起始和结束位置，递推计算每个状态下最小计算次数。
4.最短路径问题：最短路径问题是在有向图或无向图中找到两个节点之间最短路径的问题。
可以使用动态规划解决最短路径问题，状态可以定义为起始节点到一些节点的最短距离，递推计算每个状态的最优解。
动态规划算法的详细原理及使用案例
动态规划算法的详细原理及使用案例一、引言动态规划是一种求解最优化问题的算法，它具有广泛的应用领域，如机器学习、图像处理、自然语言处理等。
本文将详细介绍动态规划算法的原理，并提供一些使用案例，以帮助读者理解和应用这一算法的具体过程。
二、动态规划的基本原理动态规划算法通过将问题分解为多个子问题，并利用已解决子问题的解来求解更大规模的问题。
其核心思想是利用存储技术来避免重复计算，从而大大提高计算效率。
具体来说，动态规划算法通常包含以下步骤：1. 定义子问题：将原问题分解为若干个子问题，这些子问题具有相同的结构，但规模更小。
这种分解可以通过递归的方式进行。
2. 定义状态：确定每个子问题的独立变量，即问题的状态。
状态具有明确的定义和可计算的表达式。
3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，建立状态之间的转移方程。
这个方程可以是简单的递推关系式、递归方程或其他形式的方程。
4. 解决问题：使用递推或其他方法，根据状态转移方程求解每个子问题，直到获得最终解。
三、动态规划的使用案例1. 背包问题背包问题是动态规划算法的经典案例之一。
假设有一个背包，它能容纳一定重量的物品，每个物品有对应的价值。
目的是在不超过背包总重量的前提下，选取最有价值的物品装入背包。
这个问题可以通过动态规划算法来求解。
具体步骤如下：（1）定义问题：在不超过背包容量的限制下，选取物品使得总价值最大化。
（2）定义状态：令dp[i][j]表示将前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
（3）状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i], dp[i-1][j])，其中w[i]为第i个物品的重量，v[i]为第i个物品的价值。
（4）解决问题：根据状态转移方程依次计算每个子问题的解，并记录最优解，直到获得最终答案。
2. 最长公共子序列最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一种经典的动态规划问题，它用于确定两个字符串中最长的共同子序列。
动态规划法
动态规划法动态规划法（Dynamic Programming）是一种常用的算法思想，主要用于解决具有重叠子问题性质和最优子结构性质的问题。
动态规划法通过把问题分解为更小的子问题，并将子问题的解存储起来，以避免重复计算，从而提高了算法的效率。
动态规划法有两个核心概念：状态和状态转移方程。
在动态规划过程中，我们需要定义状态，即问题的子问题解，以及状态之间的关系，即状态转移方程。
动态规划法的一般步骤如下：1. 定义问题的子问题：将问题划分为更小的子问题，并明确子问题的解是什么。
2. 定义状态：将问题的子问题解抽象为状态，即用一个变量或者数组表示子问题的解。
3. 定义状态转移方程：根据子问题的关系，定义状态之间的转移方程，即如何根据已知的子问题解计算出更大的问题的解。
4. 缓存子问题解：为了避免重复计算，我们需要将已经计算过的子问题解存储起来，以便后续使用。
5. 递推计算：通过状态转移方程和缓存的子问题解，逐步计算出更大的问题的解，直到计算出最终的问题解。
动态规划法的关键在于找到正确的状态转移方程和合理的存储子问题解的方式。
有些问题的状态转移方程比较容易找到，比如斐波那契数列，每个数都是前两个数的和；而有些问题的状态转移方程可能比较复杂，需要通过观察问题的特点和具体分析来确定。
动态规划法的时间复杂度通常为O(n)，其中n 表示问题规模。
由于利用了子问题的解，避免了重复计算，因此动态规划法相对于暴力求解法能够大大提高算法的效率。
但是，动态规划法的空间复杂度通常较高，需要存储大量的子问题解，因此在实际应用中需要权衡时间和空间的消耗。
总的来说，动态规划法是一种非常灵活且强大的算法思想，能够解决许多复杂的问题，特别适用于具有重叠子问题性质和最优子结构性质的问题。
通过正确定义状态和状态转移方程，并结合缓存子问题解和递推计算，我们可以高效地求解这类问题，提高算法的效率。
数据降维的常用方法
数据降维的常用方法
以下是 7 条关于数据降维的常用方法：
1. 主成分分析啊！这就像把一堆杂乱的拼图碎片整理出最关键的几块。
比如说，在分析一堆人的各种身体数据时，通过主成分分析，就能找出最能代表这些人特征的那几个关键指标，是不是超厉害！
2. 因子分析也不错呀！可以把复杂的关系变得简单明了。
就好比整理一个杂乱无章的房间，通过因子分析找到几个重要的类别，让房间瞬间清爽起来。
比如分析各种商品的销售数据，找出主要的影响因子。
3. 奇异值分解可别小瞧！它就像是在一座大宝藏中找到最闪亮的那些宝贝。
想象一下在大量的文档数据中，用奇异值分解提取出最核心的主题信息，哇，太酷了！
4. t-SNE 也值得一提呢！这就如同在茫茫人海中精准找到那些和你最
相似的人。
比如在分析图像特征时，t-SNE 能让相似的图像聚集在一起，多神奇！
5. 局部线性嵌入也很牛呀！它就像为数据开辟了一条捷径。
就好比在迷宫中找到最快到达终点的那条路一样。
像处理复杂的地理数据时，局部线性嵌入能发现隐藏的结构呢。
6. 拉普拉斯特征映射也好用呢！像是给数据穿上了一件合适的衣服，让它更合身。
比如在处理声音信号时，通过它来找到关键的特征。
7. 等距特征映射也不能忘啊！这简直就是给数据开了一道魔法之门。
想象一下在海量的交易数据中，它能迅速找到关键的模式，是不是很惊人！
总之，这些方法都各有各的神奇之处，掌握了它们，就能在数据的海洋中畅游啦！。
动态规划问题常见解法
动态规划问题常见解法
动态规划是一种高效解决优化问题的方法。
它通常用于涉及最
优化问题和最短路径的计算中。
下面是一些常见的动态规划问题解法：
1. 背包问题
背包问题是动态规划中的经典问题之一。
其目标是在给定的背
包容量下，选择一些物品放入背包中，使得物品总价值最大。
解决
这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个二维数组来
记录每个物品放入背包时的最大价值，然后逐步计算出最终的结果。
2. 最长公共子序列问题
最长公共子序列问题是寻找两个字符串中最长的公共子序列的
问题。
解决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个
二维数组来记录两个字符串中每个位置的最长公共子序列的长度。
然后通过递推关系来计算出最终的结果。
3. 矩阵链乘法问题
矩阵链乘法问题是计算一系列矩阵相乘的最佳顺序的问题。
解
决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个二维数组
来记录每个矩阵相乘时的最小乘法次数，然后逐步计算出最终的结果。
4. 最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是寻找一个序列中最长的递增子序列的问题。
解决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个一
维数组来记录每个位置处的最长递增子序列的长度，然后通过递推
关系来计算出最终的结果。
以上是一些常见的动态规划问题解法。
通过灵活运用这些方法，我们可以更高效地解决优化问题和最短路径计算等相关任务。
动态规划优化
2.1.2决策更新状态
当一个状态计算完毕，那么这个状态就 自然的成为了后面状态选择的一个决策， 于是我们可以在刚产生这个决策的时候 更新所有可能用到这个决策的状态。 可以说这是一个逆向行为的过程。 大多数时候正向方式和逆向方式是差不 多的，或者正向方式优于逆向方式，当 然也有例外，因此需要我们自己根据实 际情况灵活选择。
浅谈动态规划优化
2009曹文信息学奥林匹克夏令营 Author: Will
简介
动态规划优化的主要方法： 1、降维（优化状态） 2、优化转移 3、常数优化
1.降维
降维是一个通用的说法，其实质就是通 过改变动态规划的状态含义，或者抛弃 一些冗余状态环节，达到减少状态，加 速动态规划的目的
1.1.1.1思路一
按照基本的状态压缩动态规划模型进行 解答。 opt[K][S]表示已经放了前K行，并且每 一列是否有车的状态为S（S为一个0/1 的2进制序列，那一位为1则表示对应一 列已经放过了一个车）的合法方案的数 量。 比如opt[2][(101)2]即表示前2行放了车 且第1，3列有车的状态。
2.3.1.2优化
我们不妨换个思路，为什么要去纠结于 之前的状态呢？ 当我们做了一个决策之后，对后面的影 响我们是知道的，为什么不能把握这一 我们清楚的信息呢？ 道理很清楚：
2.3.1.2优化
每次决策后，我们将这一次移动对所有 我们还没有得到的小球产生的费用损失 都在决策时计算。 我们可以看作小球都没有动，只是在我 们每次决策是损失了一些价值。 假设当前移动花费了时间T，我们还没 有得到的小球的速度和是SV，那么损失 的代价就是T*SV/1000
2.4.1.2分析
简述降维法
降维法1. 引言降维法是在数据分析和机器学习领域中常用的一种技术，用于将高维数据转化为低维数据，从而降低数据的复杂性，便于后续的分析和处理。
在实际应用中，降维法可以帮助我们发现数据中的隐藏模式和结构，提高数据分析的效果和准确性。
本文将介绍降维法的原理和常用方法，以及它们在实际应用中的一些注意事项。
2. 降维原理在介绍降维法的具体方法之前，我们先来了解一下降维的原理。
高维数据通常包含大量冗余信息和噪声，这使得数据分析和处理变得复杂且计算开销较大。
而低维数据则包含了原始数据的关键信息，可以用较少的特征来表达。
因此，通过降维可以减少数据的复杂性，去除冗余信息和噪声，提高数据的表达能力和可解释性。
降维的关键问题就是如何选择合适的特征子集，使得低维数据能够尽可能地保留原始数据的信息。
不同的降维方法通过不同的策略来进行特征选择和变换，达到降维的目的。
下面我们将介绍几种常用的降维方法。
3. 主成分分析（PCA）主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种经典的降维方法。
它通过线性变换将高维数据投影到一个低维空间中，使得投影后的数据保留尽可能多的原始数据的方差。
PCA的基本思想是找到数据中方差最大的方向作为第一主成分，然后找出与第一主成分不相关且方差次大的方向作为第二主成分，依此类推。
PCA的具体算法步骤如下： 1. 对原始数据进行中心化处理，即将每个特征的均值减去去掉后的样本平均值。
2. 计算协方差矩阵。
3. 对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。
4. 按照特征值从大到小的顺序选择前k个特征向量，组成投影矩阵。
5. 将原始数据投影到低维空间中。
PCA的优点是简单易理解且计算效率高，但它假设数据的低维表示是线性的，对于非线性的数据结构表达可能效果较差。
4. 线性判别分析（LDA）线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，简称LDA）是一种经典的降维方法，特别适用于分类问题。
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常用降维动态规划
1 逐次逼近动态规划（DPSA）
逐次逼近动态规划是求解多维问题的有效方法之一，它的基本思想是把带有若干决策变量的问题分解成仅带有1个决策变量的若干个子问题，每个子问题比原来的总问题具有较少的状态变量，从而大大节省状态存储量及计算工作量，便于计算机求解。
对于多库联调优化问题，在确定初始可行调度线后采用DPSA求解的过程如下：
（1）先假定第2个到最后一个水库的调度过程全部固定，对第1个水库进行优化，这时相当于单库优化调度，可以通过常规动态规划找到第1个水库的最优调度过程，此时其它水库仅进行简单的水务计算即可。
计算完成后用最优结果替代初始解中第1个水库的调度过程。
（2）假定第1个，第3个到最后一个水库的调度过程全部固定，求第2个水库的最优过程，这也相当于单库优化调度，同样通过常规动态规划找到第2个水库的最优调度过程。
并将其最优结果替代初始解中第2个水库的调度过程。
（3）依次类推，直至最后一个水库计算完成。
此时初始可行解依次被各次的单库最优结果替代，一轮计算完成。
（4）以上一轮最优结果为基础，重新依次计算单个电站的最优过程，并替换总体最优结果，反复轮流优选，直至收敛。
DPSA的思想是通过减少每次参与计算的电站数目，达到降维效果，其搜索结果精度与初始状态序列有关，因此它不能保证在所有情况下都收敛到真正的总体最优解，求解过程中可以从多个不同的初始状态(库群初始调度过程)开始，求得多个最优值，然后选择最好的结果。
2 增量动态规划（DDDP）
DDDP是用逐次逼近方法寻优，每次寻优只在某个状态序列附近的小范围内，用动态规划法进行搜索。
其搜索流程是先根据一般经验或常规方法获得初始状态序列作为初始调度线，然后在该初始状态序列的上下各变动一个小范围，这个变动范围成为增量，形成一个带状“廊道”，接着在该廊道内用常规的动态规划寻优，可求得一条新的更接近于最优的状态序列。
这样就完成了一轮寻优，然后在
新的状态序列上下再变动一个增量，并进行寻优。
依此逐次进行迭代，直到逼近最优状态序列为止。
在迭代过程中，增量可由大变小;也可根据情况只在初始决策序列的一侧选增量;在各个阶段和上下两侧的增量个数也可以不同，而且增量值的大小也可以不一样。
DDDP的寻优过程如图3所示，各图中同一时段两个圈表示状态的间隔即为增量。
DDDP的思想是通过减少每次计算时的离散状态，达到降维的效果，与DPSA 一样不能保证所得的解是总体最优，有可能收敛到某一局部最优解。
因此可以采用从几个不同的初始状态开始，求出几个“最优解”，然后从中选择一个最好的解。
3 状态逐密动态规划
状态逐密动态规划是在状态空间内先以较低的精度要求，取较少的状态数目，在较稀的区间内寻找最优值。
然后以当前最优解为基础，在附近状态序列上下一定范围内，加密搜索状态以提高精度，再一次优选。
这样逐步加密状态，多次选优，直至满足精度要求。
4 逐步优化算法（POA）
加拿大学者Howson和Sancho N G R根据贝尔曼最优化原理的思想提出了逐步最优化原理：“最优路线具有这样的性质，每对决策集合相对于它的初始值和终止值来说是最优的”。
逐步优化算法便是根据这个原理设计的，主要用于求解
多维动态规划问题。
该算法将多阶段决策问题分解成若干个子问题，子问题之间由系统状态联系，每个子问题仅考虑单个时段的状态及相邻两时段的子目标值，逐个时段进行寻优，直到收敛。
假设对T个时段进行求解，其寻优过程如图3.2所示。
POA算法的每个子问题实际上是一个带约束的多维非线性规划问题，对于水库调度优化，如果电站数目较多计算过程仍然存在“维数灾”问题。
同时由于 POA 算法要逐时段求解大量非线性优化子问题，求解子问题算法的好坏、快慢对整个计算过程的时间和结果优劣影响很大。