7回归正交设计
第七章 响应面回归设计
二次回归正交设计
应用二次回归正交设计法，所得的 回归系数的估计之间相互独立，因 此删除某些因子时不会影响其它的 回归系数的估计，从而很容易写出 所有系数为显著的回归方程。 二次回归正交设计的试验点由正交 点、主轴点和中心点组成。
二次回归正交设计
两个变量的试验点组合方案
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 M n x1 1 1 −1 −1 x2 1 −1 1 −1 0 0 3 2 用 L 4 ( 2 ), m c = 2 = 4 星号点 , 2 p = 4 中心点 m 0
Ey H0： ： 假设： 假设： Ey H1： ： = β 0 + β 1 x1 + L + β p x p
≠ β 0 + β 1 x1 + L + β p x p
统计量： 统计量：
FLf =
S Lf / f Lf Se / fe
当拒绝H 需要寻找原因， 当拒绝 0时，需要寻找原因，改变模型 否则认为线性回归模型合适，可以将S 否则认为线性回归模型合适，可以将 e 合并作为S 检验方程是否显著。 与SLf合并作为 E检验方程是否显著。
回归设计
回归设计概述 回归模型 因素水平编码 Box－Benhken设计 － 设计 二次回归正交设计
概述
回归设计也称为响应面设计。 是一种通过少量试验，获得数据， 估计参数，有效地建立试验指标和 连续变量之间的定量关系的方法。 它是由英国统计学家G.Box在20世 纪50年代初真对化工生产提出的， 后来这一方法得到了广泛的应用。
(
)
Y —响应变量；xj —第j个自变量； ε—正态随机误差；β0 —回归截距； βj βjj’βjj —回归系数；
第七章 回归正交试验设计
个因素之间的函数关系。
因素水平编码表
自然变量xj 规范变量zj 1 -1 0 △j x1 700 300 500 200 x2 2400 1800 2100 300 x3 10 8 9 1
7.1.2一次回归方程的建立
设总的试验次数为N，其中原正交表所规定的二水平试验次数为 mc，零水平试验次数为m0，即有： N 建立回归方程
m
mc m0
ˆ a b j x j bkj xk x j，k 1,2,, m 1( j k ) y
j 1 k j
其系数的计算公式如下：
将被剔除变量的偏回归平方和、自由度并入到剩余平方和与自由度中，
然后再进行相关的方差分析计算。具体例子见书P126～129例8－1。
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
14
用石墨炉原子吸收分光光度计法测定食品中的铅，为提高吸光度，
对x1（灰化温度/℃）、x2（原子化温度/℃）和x3（灯电流/mA）三个
F0.05（1,6）=5.99 F0.01（1,6）=13.74
可见因素z2对指标影响高度显著，所建的回归方程高度显著：
y 0.50475 0.03375z2
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
N 1 SST Lyy ( yi y ) 2 yi2 ( yi ) 2 N i 1 i 1 i 1 N N
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
10
②一次项zj偏回归平方和
SS j m b ，j＝ 1 ， 2， ，m
正交设计
正交设计初步
• 1.1 正交设计简介
• 正交设计是一种科学的安排多因素试验的方法， 又叫正交试验法， 有时也称为正交法。它的工具 就是正交表――一种特制的表格。正交设计就是 利用正交表来安排试验， 利用正交表来计算和分 析试验的结果。
正交设计处理什么样的问题?
某建筑材料研究所为了提高砖的质量，需 要通过试验选择最好的生产工艺，考查的质量指 标是折断力。经初步分析， 主要有3个因素影响 折断力，它们是成型水分、碾压时间和一次碾压 的料重， 每个因素都考虑3个水平， 如下表所示：
6
7
振幅
振幅
试号 （ф ） 1 2 3 4 5 6 7 8 Ⅰ Ⅱ Ⅰ/4 1 1 1 1 2 2 2 2 498 461 124.5 4 4 4 4 5 5 5 5
（格） 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 8 10 2 21 6 17 3 25 6 13 7 24 5 19 3 23 5 15 5 24 4 18 3 23 8 22 3 19 3 16 2 20 4 18 5 22 4 20 2 25 7 25 4 18 2 17 3 23 3 18 4 19 2 18 3 21 5 20 4 24 2 18 3 20 6 22 2 25 4 17 2 20 4 22 3 22 3 17 3
序号 19 20 21 22 23 24 25 26 27
A 3 3 3 3 3 3 3 3 3
B 1 1 1 2 2 2 3 3 3
C 1 2 3 1 2 3 1 2 3
进行27次试验要花很多时间，耗费不少的人力、 物力，我们想减少试验次数，但又不能影响试验 的效果，这可通过正交实验设计来实现。选L9 （34）表3ຫໍສະໝຸດ 1 1 2 2 2 2 1 1
回归正交组合试验设计PPT课件
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3.2 一次回归正交设计及统计分析
表3-2 3元一次回归正交设计试验方案
试验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 … N
1 x1 (Z1)
1 (17) 1 (17) 1 (17) 1 (17) -1 (7) -1 (7) -1 (7) -1 (7) 0 (12)
… 0 (12)
2 x2 ( Z2 )
1 (22.6) 1 (22.6) -1 (9.4) -1 (9.4) 1 (22.6) 1 (22.6) -1 (9.4) -1 (9.4) 0 (16)
x1m1x1m
x2 m 1 x2 m
xNm 1 xNm
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3.2 一次回归正交设计及统计分析
记： Y=(y1,y2,…,yN)′ β=[β0,β1, β2,… , βm , β12 , β13 , …， β(m-1)m]′ ε=(ε1,ε2,…,εN )′
则(3-4)的矩阵形式为： Y = X β +ε
m
ya j xaj ij xaj xaj a
j 1
ij
(a＝1，2，…，N， i<j) (3-4)
其结构矩阵 X 为：
1 x11 x12 X 1 x21 x22
1 xN1 xN 2
x1m x11x12 x11x13 x2m x21x22 x21x23
xNm xN1xN 2 xN1xN 3
（3-2）
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2）对因素Zj的各水平进行编码
① 编码过程 即对Zj的各水平进行线性变换，其计算式为：
第七章-回归正交试验设计
例7-1：用石墨炉原子吸收分光光度计测定食品中 的铅，为提高测定灵敏度，希望吸光度(y)大。为 提高吸光度，讨论了x1(灰化温度/℃)， x2(原子化 温度/℃)和 x3 (灯电流/mA)三个因素对吸光度的影 响，并考虑交互作用x1x2 ， x1x3 。已知x1＝ 300~700℃， x2＝1800~2400℃，x3＝8~10mA。 试通过回归正交试验确定吸光度与三个因素之间
指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，xm之间的一次回归
方程：
m
yˆ a bj x j
bkjxk x j , k 1,2,..., m 1( j k)
j 1
k j
例：m＝3时，一次回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3
➢ 其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用 ➢ 若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程：
➢ 根据偏回归系数的正负，得到各因素对试验指标 的影响方向
(4)方差分析
SST
n i 1
yi2
1( n n i1
yi )2
2.049044
4.0382 8
0.010864
SS1 mcb12 8 0.009752 0.000761
SS2 mcb22 8 0.033752 0.009113
0.010741
SSe SST SSR 0.010864 0.010741 0.000123
(4)方差分析
dfT=n-1=8-1=7 df1=df2=df3=1 df12=df13=1 dfR=df1+df2+df3+df12+df13=1+1+1+1+1=5 dfe=dfT-dfR=7-5=2 MS1=SS1/df1=0.000761 MS2=SS2/df2=0.009113 MS3=SS3/df3=0.000265 MS12=SS12/df12=0.000181 MS13=SS13/df13=0.000421 MSR=SSR/dfR=0.010741/5=0.002148 MSe=SSe/dfe=0.000123/2=0.000062 F1=MS1/MSe=0.000761/0.000062=12.27 F2=MS2/MSe=0.009113/0.000062=146.98 F3=MS3/MSe=0.000265/0.000062=4.27 F12=MS12/MSe=0.000181/0.000062=2.92 F13=MS13/MSe=0.000421/0.000062=6.79 FR=MSR/MSe=0.002148/0.000062=34.65
正交设计、回归方程在混凝土配合比设计中的应用
１ 工 程概 况
长洲 水 利 枢 纽 三 线 四线 船 闸 工 程规 模 按 Ｉ级 船 闸设 计 和建 设 ， 最 大通过 船 舶 吨级为 ３ ０ ０ ０吨级 ，
表１
混凝 土粗 骨料 组合 比例 （ 质 量 比 ）％
年设计通过能力 ９ ６ ０ ０万吨（ 单向） ， 船 闸主体混凝
２ ）根 据三 因 素三 水 平 ， 本 次 试 验 的表 头 设 计
采用 Ｌ ｑ （ ３ ） 正交表 ， 试验因素与水平表见表 ４ ， 试 验方案见表 ５ ， 混凝土配合 比计算及正交试验结果
见表 ６ 。
表６
混凝土 配合 比计 算及正 交试 验 结果表
注 ：混凝 土 配合 比计 算方 法 采用 体积 法 ，粉煤 灰 按超 量取 代掺 用 。 ７ ８
２ ． １ 确 定 混凝 土 配制 强度
根据 Ｄ Ｌ ／ Ｔ ５ １ ４ ４ — ２ ０ ０ １ 《 水工 混 凝 土 施 工 规 范》
及设计要求 ， 强度保证率取 ９ ５ ％， 概率度 ｔ 按规范
表５ ． ０ ． ２选 用 ， 强 度 标 准 差 盯按 规 范 表 ５ ． ０ ． ５选
（ ３ ） 外加剂掺量
根 据厂 家推 荐掺 量 ， 用 水泥 标准 稠度 用水量 的
用。配制强度 ｆ ｃ ． 。 按下式计算 ：
＝
。
方法快速测定混凝土外加剂在推荐掺量下 的减水 率， 并用 同样 的方法得到不同掺量下 的减水率 ， 绘 制 曲线找出最佳掺量 。掺量选定为 １ ． ０ ％（ 占总胶 凝材料质量） ， 此时减水率为 ２ ３ ％。 ２ ． ３ 配 合 比计算 混凝 土配合 比按照有关设计规程采用质量法
（ ２ ） 原材 料 产地 、 规格 见表 ３ 。
实验设计与数据处理课后答案
《试验设计与数据处理》专业：机械工程班级：机械11级专硕学号：S110805035 姓名：赵龙第三章：统计推断3-13 解：取假设H0：u1-u2≤0和假设H1：u1-u2＞0用sas分析结果如下：Sample StatisticsGroup N Mean Std. Dev. Std. Error----------------------------------------------------x 8 0.231875 0.0146 0.0051y 10 0.2097 0.0097 0.0031Hypothesis TestNull hypothesis: Mean 1 - Mean 2 = 0Alternative: Mean 1 - Mean 2 ^= 0If Variances Are t statistic Df Pr > t----------------------------------------------------Equal 3.878 16 0.0013Not Equal 3.704 11.67 0.0032由此可见p值远小于0.05，可认为拒绝原假设，即认为2个作家所写的小品文中由3个字母组成的词的比例均值差异显著。
3-14 解：用sas分析如下：Hypothesis TestNull hypothesis: Variance 1 / Variance 2 = 1Alternative: Variance 1 / Variance 2 ^= 1- Degrees of Freedom -F Numer. Denom. Pr > F----------------------------------------------2.27 7 9 0.2501由p值为0.2501＞0.05（显著性水平），所以接受原假设，两方差无显著差异第四章：方差分析和协方差分析4-1 解：Sas分析结果如下：Dependent Variable: ySum ofSource DF Squares Mean Square F Value Pr > FModel 4 1480.823000 370.205750 40.88 <.0001Error 15 135.822500 9.054833Corrected Total 19 1616.645500R-Square Coeff Var Root MSE y Mean0.915985 13.12023 3.009125 22.93500Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > Fc 4 1480.823000 370.205750 40.88 <.0001由结果可知，p值小于0.001，故可认为在水平a=0.05下，这些百分比的均值有显著差异。
常用正交设计用表
常用正交表（1）二水平表L4(23)试验号列号1 2 31 2 3 4 112212121221［注］任意二列间的交互作用出现于另一列。
L8(27)试验号列号1 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 8 1112222122112212222112121212212212122112212212112L8(27)：二列间的交互作用表列号列号1 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 （1）（2） 1（3）67（4）761（5）4523（6）54321（7）L12(211)试验号列号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111 2 3 4 5 6 7 8 9101112 111111222222111222111222112122221211112212212121112221122112121122122121121212221112121221212211122112112212122121211122122211121221L16(215)试验号例号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151 2 3 4 5 6 7 8 910111213141516 111111112222222211112222111122221111222222221111112211221122112211221122221122111122221111222211112222112211112212121212121212121212121221212121121221211212212112122121212112121221122112211221122112212112211212212112122121121221211221121221L16(215)：二列间的交互作用表试验号例号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15(1) 3(2)21(3)567(4)4761(5)74523(6)654321(7)9101112131415(8)81110131215141(9)11891415121323(10)109815141312321(11)1314158910114567(12)12151498111054761(13)15121413121113101189674523(14)10987654321 L32（231）第1部分实验号列号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 23 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 14 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 25 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 16 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 27 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 18 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 29 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 110 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 211 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 112 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 213 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 114 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 215 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 116 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 217 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 118 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 219 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 120 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 221 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 122 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 223 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 124 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 225 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 126 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 227 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 128 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 229 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 130 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 231 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 132 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2L32（231）第2部分实验号列号1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 24 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 15 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 26 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 17 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 18 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 29 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 210 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 111 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 112 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 213 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 114 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 215 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 216 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 117 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 218 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 119 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 120 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 221 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 122 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 223 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 224 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 125 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 126 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 227 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 228 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 129 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 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1 3 2 3 2 4 1 4 120 1 4 1 4 1 3 2 3 221 2 1 4 2 3 4 1 3 222 2 2 3 1 4 3 2 4 123 2 3 2 4 1 2 3 1 424 2 4 1 3 2 1 4 2 325 3 1 3 3 1 2 4 4 226 3 2 4 4 2 1 3 3 127 3 3 1 1 3 4 2 2 428 3 4 2 2 4 3 1 1 329 4 1 3 4 2 4 2 1 330 4 2 4 3 1 3 1 2 431 4 3 1 2 4 2 4 3 132 4 4 2 1 3 1 3 4 2L64（421）试验号列号12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 211 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 34 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 45 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 46 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 4 4 4 3 3 3 37 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 1 1 1 1 2 2 2 28 1 2 2 2 2 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 19 1 3 3 3 3 1 1 1 1 3 3 3 3 4 4 4 4 2 2 2 210 1 3 3 3 3 2 2 2 2 4 4 4 4 3 3 3 3 1 1 1 111 1 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 412 1 3 3 3 3 4 4 4 4 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 3 313 1 4 4 4 4 1 1 1 1 4 4 4 4 2 2 2 2 3 3 3 314 1 4 4 4 4 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 4 4 4 415 1 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 116 1 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 217 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 418 2 1 2 3 4 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 319 2 1 2 3 4 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 220 2 1 2 3 4 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 121 2 2 1 4 3 1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 122 2 2 1 4 3 2 1 4 3 1 2 3 4 4 3 2 1 3 4 1 223 2 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1 1 2 3 4 2 1 4 324 2 2 1 4 3 4 3 2 1 3 4 1 2 2 1 4 3 1 2 3 425 2 3 4 1 2 1 2 3 4 3 4 1 2 4 3 2 1 2 1 4 326 2 3 4 1 2 2 1 4 3 4 3 2 1 3 4 1 2 1 2 3 427 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 2 1 4 3 4 3 2 128 2 3 4 1 2 4 3 2 1 2 1 4 3 1 2 3 4 3 4 1 229 2 4 3 2 1 1 2 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 3 4 1 230 2 4 3 2 1 2 1 4 3 3 4 1 2 1 2 3 4 4 3 2 131 2 4 3 2 1 3 4 1 2 2 1 4 3 4 3 2 1 1 1 3 432 2 4 3 2 1 4 3 2 1 1 2 3 4 3 4 1 2 2 2 4 333 3 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 234 3 1 3 4 2 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 135 3 1 3 4 2 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 436 3 1 3 4 2 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 337 3 2 4 3 1 1 3 4 2 2 4 3 1 3 1 2 4 4 2 1 338 3 2 4 3 1 2 4 3 1 1 3 4 2 4 2 1 3 3 1 2 439 3 2 4 3 1 3 1 2 4 4 2 1 3 1 3 4 2 2 4 3 140 3 2 4 3 1 4 2 1 3 3 1 2 4 2 4 3 1 1 3 4 241 3 3 1 2 4 1 3 4 2 3 1 2 4 4 2 1 3 2 4 3 142 3 3 1 2 4 2 4 3 1 4 2 1 3 3 1 2 4 1 3 4 243 3 3 1 2 4 3 1 2 4 1 3 4 2 2 4 3 1 4 2 1 344 3 3 1 2 4 4 2 1 3 2 4 3 1 1 3 4 2 3 1 2 445 3 4 2 1 3 1 3 4 2 4 2 1 3 2 4 3 1 3 1 2 446 3 4 2 1 3 2 4 3 1 3 1 2 4 1 3 4 2 4 2 1 347 3 4 2 1 3 3 1 2 4 2 4 3 1 4 2 1 3 1 3 4 248 3 4 2 1 3 4 2 1 3 1 3 4 2 3 1 2 4 2 4 3 149 4 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 350 4 1 4 2 3 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 1 451 4 1 4 2 3 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 152 4 1 4 2 3 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 253 4 2 3 1 4 1 4 2 3 2 3 1 4 3 2 4 1 4 1 3 254 4 2 3 1 4 2 3 1 4 1 4 2 3 4 1 3 2 3 2 4 155 4 2 3 1 4 3 2 4 1 4 1 3 2 1 4 2 3 2 3 1 456 4 2 3 1 4 4 1 3 2 3 2 4 1 2 3 1 4 1 4 2 357 4 3 2 4 1 1 4 2 3 3 2 4 1 4 1 3 2 2 3 1 458 4 3 2 4 1 2 3 1 4 4 1 3 2 3 2 4 1 1 4 2 359 4 3 2 4 1 3 2 4 1 1 4 2 3 2 3 1 4 4 1 3 260 4 3 2 4 1 4 1 3 2 2 3 1 4 1 4 2 3 3 2 4 161 4 4 1 3 2 1 4 2 3 4 1 3 2 2 3 1 4 3 2 4 162 4 4 1 3 2 2 3 1 4 3 2 4 1 1 4 2 3 4 1 3 263 4 4 1 3 2 3 2 4 1 2 3 1 4 4 1 3 2 1 4 2 364 4 4 1 3 2 4 1 3 2 1 4 2 3 3 2 4 1 2 3 1 4L64（421）二列间的交互作用表列号1 2 3 4 5 6 7 8 9 111 1213141516171819221(1)3452452352347896896796781112131121311113111121516171416171415171415161922118221181921181920 (2)145135134114181115191216213172161418715198162917216118711198122913216114711158121691317(3)125124111621117213141912151871726162191518814198131991218611217129121581314711761116(4)123121719131618115211114281521914261719716189112812171318612197131661217911148115(5)131521214211117181161991619817187142161527122161329119811188111791166131571214(6)18917917821418316214171951522118513231121412192114412175131531116(7)16916831722151951421416185122121119413183124131621115311751214(8)16741521517182162314193131941212122511185111731314212164115(951413121411315121315141121) 619 425187212218193212151614317(1 0) 1121311113111122618482159193722614591637174815(11)111311124922719362158185817271549143616(12)11115721391828246193915481728165714(13)3819562471829214716381456152917(14)116171151711516261381349115712(15)1141711416391227115613481(16)11415471359128123611(17)581146123712913(18)1221119211192(19)118211182(20)11819（4）五水平表L25（56）试验号列号1 2 3 4 5 61 1 1 1 1 1 12 1 2 2 2 2 23 1 3 3 3 3 34 1 4 4 4 4 45 1 5 5 5 5 56 2 1 2 3 4 57 2 2 3 4 5 18 2 3 4 5 1 29 2 4 5 1 2 310 2 5 1 2 3 411 3 1 3 5 2 412 3 2 4 1 3 513 3 3 5 2 4 114 3 4 1 3 5 215 3 5 2 4 1 316 4 1 4 2 5 917 4 2 5 3 1 418 4 3 1 4 2 519 4 4 2 5 3 120 4 5 3 1 4 221 5 1 5 4 3 222 5 2 1 5 4 323 5 3 2 1 5 424 5 4 3 2 1 525 5 5 4 3 2 1[注]任意二列间的交互作用出现于其他四列。
4、高级实验设计—回归的旋转设计(Regressional Rotary Design)
x
i，j =1，2„P；
待定参数
以上为 P 元二次回归旋转设计的旋转性条件。
此外，为了使旋转设计成为可能，还必须使信
息矩阵 A 不退化，为此，必须有不等式：
4 p 2 2 P 2
上式为 P 元二次回归的非退化条件。 已证明，只要使 N 个试验点不在同一个球面上， 就能满足非退化条件。或者说只要使 N 个试验点至少 分布于两个半径不等的球面上，就有可能获得旋转设
P 2 2 ˆ D y P 2 4 PN
4 1 2 P 1 4 P 1 4 1 2 2 4 P 2 4 4
（4.11） 由式（4.11）经研究表明，只有采用恰当的方法 确定 4 ，才能满足通用性的要求。如何确定 4 ？对 4 有什么要求呢？总的来说，它必须使上式中 i处的
ˆ 的 二次旋转组合设计具有同一球面预测值 y
方差相等的优点，但回归统计数的计算较繁琐，
若使它获得正交性就能简化计算手续。
在二次旋转组合计划中，一次项和交互项的 回归系数 bj ，bij 仍保持正交，但 b0 与 bjj 之间，
以及 bii 与 bjj 之间都存在相关，即不具正交性，
它们之间的相关矩分别为：
计方案。
为了获得 P 元二次旋转设计方案，就要求既要
满足非退化条件式，又要满足旋转性条件式。
如何才能满足这两方面的条件呢？这主要借助
于组合设计来实现，因为组合设计中 N 个试验点：
N mc m m0
分布在三个半径不相等的球面上：
mc 个点分布在半径为 P 的球面上； c m 个点分布在半径为 的球面上； m0 个点分布在半径为 0 0 的球面上；
一次回归正交设计、二次回归正交设计、二次回归旋转设计
一次回归正交设计某产品的产量与时间、温度、压力和溶液浓度有关。
实际生产中，时间控制在30~40min，温度控制在50~600C，压力控制在2*105~6*105Pa，溶液浓度控制在20%~40%，考察Z1~Z2的一级交互作用。
因素编码Z j (xj) Z1/min Z2/o C Z3/*105Pa Z4/%下水平Z1j（-1）30 50 2 20上水平Z2j（+1）40 60 6 40零水平Z0j（0）35 55 4 30 变化间距 5 5 2 10编码公式X1=（Z1-35）/5 X2=(Z2-55）/5 X3=(Z3-4)/2 X4=(Z4-30)/10选择L8（27)正交表因素x1,x1,x3,x4依次安排在第1、2、4、7列，交互项安排在第3列。
试验号X0 X1(Z1) X2(Z2) X3(Z3) X4(Z4) X1X2 Yi1 1 1 1 1 1 1 9.72 1 1 1 -1 -1 1 4.63 1 1 -1 1 -1 -1 10.04 1 1 -1 -1 1 -1 11.05 1 -1 1 1 -1 -1 9.06 1 -1 1 -1 1 -1 10.07 1 -1 -1 1 1 1 7.38 1 -1 -1 -1 -1 1 2.49 1 0 0 0 0 0 7.910 1 0 0 0 0 0 8.111 1 0 0 0 0 0 7.4 Bj=∑xjy87.4 6.6 2.6 8.0 12.0 -16.0aj=∑xj211 8 8 8 8 8bj = Bj/aj7.945 0.825 0.325 1.000 1.500 -2.00Qj = Bj2/aj393 5.445 0.845 8.000 18.000 32.000可建立如下的回归方程。
Y=7.945+0.825x1+0.325x2+x3+1.5x4-2x1x2显著性检验：1、回归系数检验回归关系的方差分析表变异来源SS 平方和 Df 自由度 MS 均方 F 显著水平x 1 5.445 1 5.445 76.25 0.01x 2 0.845 1 0.845 11.83 0.05x 3 8.000 1 8.000 112.04 0.01x4 18.000 1 18.000 252.10 0.01x1x2 32.000 1 32.000 448.18 0.01回归 64.29 5 12.858 180.08 0.01 剩余 0.357 5 0.0714 失拟0.09730.03230.25<1误差e 0.26 2 0.13总和 64.647 10经F 检验不显著的因素或交互作用直接从回归方程中剔掉，不必再重新进行回归分析。
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6
1
-1 1
-1 -1 1 -1
y6
7
1 -1 -1 1
1
-1 -1
y7
8
1
-1 -1 -1 1
11
y8
Bj
B0
B1
B2
B3
B12 B13 B23
dj
88
8
8
8
88
bj
b0
b1
b2
b3
b12
b13 b23
Qj
-
Q1
Q2
Q3
Q12 Q13 Q23
•表3 三因素一次回归正交设计结构矩阵与结果计算表
处理号 X0 X1
Qj
-
Q1
Q2
Q3
Q12 Q13 Q23
•表3 三因素一次回归正交设计结构矩阵与结果计算表
处理 X0 X1
X2
X3
X1X2 X1X3 X2X3 y
号
1
11
1
1
1
11
y1
2
1
1
1
-1 1
-1 -1
y2
3
11
-1 1
-1 1 -1
y3
4
11
-1 -1 -1 -1 1
y4
5
1 -1 1
1
-1 -1 1
y5
0
0
0
0
0
0
y10
11 1
0
0
0
0
0
0
y11
•(3) 失拟性检验 •表5 三因素一次正交回归设计（零水平试验点重复3次）与试验结果计算表
处理号 X0
X1
X2
X3
X1X2
X1X3
X2X3
y
1
1
1
1
1
1
1
1
y1
2
1
1
1
-1
1
-1
-1
y2
1
1
-1
1
-1
1
-1
y3
4
1
1
-1
-1
-1
-1
1
y4
5
1
-1
1
1
号
1
11
1
1
1
11
y1
2
1
1
1
-1 1
-1 -1
y2
3
11
-1 1
-1 1 -1
y3
4
11
-1 -1 -1 -1 1
y4
5
1 -1 1
1
-1 -1 1
y5
6
1
-1 1
-1 -1 1 -1
y6
7
1 -1 -1 1
1
-1 -1
y7
8
1
-1 -1 -1 1
11
y8
Bj
B0
B1
B2
B3
B12 B13 B23
•在一次回归正交设计下，由于偏回归系数两两相互独立， •回归平方和等于各偏回归平方和之 和 •回归自由度为各偏回归自由度之和
•剩余（误差）平方和 •剩余（误差）自由度
•(2) 回归方程及偏回归系数的显著性检验
•由上面的计算可知，各项偏回归平方和分别与 或 的平方成正比。这说 明在由回归正交设计所求得的回归方程中，偏回归系数绝对值的大小表示了 对应变量（因素或互作）作用的大小，其符号反映了这种作用的性质。
•互作项回归平方和
-1 -1 1 -1
y6
7
1 -1 -1 1 1 -1 -1 y7
8
•因1 素项与-1互作项自-1由度 -1 1
11
y8
B0 B1 B2 B3 B12 B13 B23
88 8 8 8 8 8
b0 b1 b2 b3 b12 b13 b23 - Q1 Q2 Q3 Q12 Q13 Q23
•下限
•（下水 平）
•上限
•（上水 平）
•2. 因素水平进行编码
•一次回归正交设计
•编码变换，就是对各因素每个水平的取值作无量纲的线性变换 。
•编码因子
水平 下水平 零水平 上水平
因子 Zj Z1j Z0j Z2j
编码因子 xj •-1
•0 •1
•Z
•Z2j •Z0j •Z1j
•x
•+1 •0 •-1
y2
3
11
-1 1
-1 1 -1
y3
4
11
-1 -1 -1 -1 1
y4
5
1 -1 1
1
-1 -1 1
y5
6
1
-1 1
-1 -1 1 -1
y6
7
1 -1 -1 1
1
-1 -1
y7
8
1
-1 -1 -1 1
11
y8
Bj
B0
B1
B2
B3
B12 B13 B23
dj
88
8
8
8
88
bj
b0
b1
b2
b3
b12
b13 b23
•在检验过程中，若某些因素或互作项的偏回归系数不显著，则这些因 素或互作项可以从回归方程中剔除，此时不影响其它回归系数的数值 。将被剔除项的偏回归平方和、自由度并入剩余平方和和与自由度， 然后再次进行相关的分析计算。
上述回归方程的检验，只相对于剩余平方和而言，变 量部分的影响是否显著。即使检验结果是显著的，也就 是一次回归方程在试验点上与试验结果拟合得很好，也 不能保证在被研究的整个回归区域内拟合得很好，即不 能保证采用一次回归模型是最好的。
7回归正交设计
•正交设计
•回
➢能够利用较少的处理安排较多的试验因素，以获得较佳的试验结果。
•归
•正
➢优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定试验范围内的最优方案
•交
。➢不能在一定的试验范围内根据数据样本去确定变量间的相关关系及相
•设
应的回归方程。
•计
•回归分析
➢可通过所建立的回归方程，对试验结果进行预测和优化。
为了分析经F检验结果为显著的一次回归方程在被研究 区域内的拟合情况，可通过在零水平试验点所安排的重 复试验值估计真正的试验误差，进而检验所建立的回归 方程的失拟性（亦称为拟合度检验）。
零水平试验点一般重复2-6次。
•表5 三因素一次正交回归设计（零水平试验点重复3次）与试验结果计算表
处理号 X0
X1
•二、步骤
•一次回归正交设计
•1 •确定试验因素及其下水平和上水平
•2 •因素水平进行编码
•3 •选择适当的正交表，列出编码因素的试验方 案
•4 •建立回归方程
•3个因素
试1 2 3 4 5 6 7 验 号
1 1111111
2 1112222
3 1221122
4 1222211
5 2121212
•二、步骤
•一次回归正交设计
•1 •确定试验因素及其下水平和上水平 •2 •因素水平进行编码 •3 •选择适当的正交表，列出编码因素的试验方案 •4 •建立回归方程
•1. 确定试验因素及其下水平和上水平
•一次回归正交设计
•Y
•Z1 •Z2 •… •Zj •… •Zm
•Z1j
•Z2j
•因子Zj的零水平 •因子Zj的变化区间
•回 可以在因素的试验范围内选择适当的试验点，
•归 •正
用较少的试验建立回归方程，
•交 •设
能解决试验优化问题
•计 不适合有非数量性因素的问题。
•回归正交设计兼容了正交试验设计与回归分析的优点。
•试验研究的变量与各自变量之间呈线性关系时
•一次回归正交设计
•一次回归正交设计
•一次回归正交设计
•（Orthogonal design by linear regression）： •是利用回归正交设计原理建立依变量y关于m个自变量Z1 、Z2、…、Zm的一次回归方程。
-1
-1
1
y5
6
1
-1
1
-1
-1
1
-1
y6
7
1
-1
-1
1
1
-1
-1
y7
8
1
-1
-1
-1
1
1
1
y8
9
1
0
0
0
0
0
0
y9
10 1
0
0
0
0
0
0
y10
11 1
0
0
0
0
0
0
y11
Bi
B0
B1
B2
B3
B12
B13
B23
di
11 8
8
8
8
8
8
bj
b0
b1
b2
b3
b12
b13
b23
Qj
-
Q1
Q2
Q3
Q12
Q13
Q23
➢只能被动地去处理由试验所得到的数据，而对试验的设计安排几乎不
能提出任何要求。
➢盲目增加了试验次数，而且由数据所分析出的结果还往往不能提供充
分的信息，造成在多因素试验的分析中，由于设计的缺陷而达不到预期 的试验目的。
•回归正交设计(Orthogonal regression design)
•将试验安排与数据的回归分析结合起来考虑，产生于20世纪50年代初。