【学霸优课】高考数学(理)一轮复习课时练：12-1古典概型与几何概型(含答案解析)
2021年高考数学大一轮总复习 12.2 古典概型与几何概型高效作业 理 新人教A版
2021年高考数学大一轮总复习 12.2 古典概型与几何概型高效作业 理新人教A 版一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·苏、锡、常、镇四市第二次情况调查)一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( )A.132 B.164 C.332D.364解析：有放回地取2次，共有64种结果，其中不小于15的有(7,8)、(8,7)、(8,8)共3种情况．故P ＝364.故选D.答案：D2．(xx·江苏苏北四市第一次调研)在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( )A.14 B.12 C.34D.23解析：如图，当BM ＝14BA 时，△MBC 的面积为S4，而当P 在M 、A 之间运动时，△PBC 的面积大于S 4，而MA ＝34AB ，则△PBC 的面积大于S 4的概率P ＝34AB AB ＝34.故选C.答案：C3．(xx·北京模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤20≤y ≤2，表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4解析：如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4.答案：D4．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则 点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的概率是( )A.13B.14C.16D.112解析：由题意(m ，n )的取值情况共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)共有36种情况，而满足点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)共3种情况，故所求概率为336＝112.答案：D5．若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，则使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2有公共点的概率为( )A.25B.25C.35D.3210解析：若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a |2＝|a －1|2≤2，解得－1≤a ≤3.又a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝25，故选B.答案：B6．(xx·四川资阳高三模拟)已知实数x ∈[－1,1]，y ∈[0,2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为( )A.316B.38C.34D.12解析：如图所示，(x ，y )在矩形ABCD 内取值，不等式组所表示的区域为△AEF ，由几何概型的概率公式，得所求概率为38，故选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________．解析：点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所求概率为26＝13，故填13.答案：138．在分别写着1,2,3,4的四张卡片中随机取出两张，则取出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是________．解析：∵从四张卡片中随机取出两张有6种情况，分别为：1与2,1与3,1与4,2与3,2与4,3与4，而取出的两张卡片上的数字之和为奇数的有4种情况，分别为：1与2,1与4,2与3,3与4，∴取出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率P ＝46＝23.答案：239．(xx·安徽皖南八校第二次联考)两根相距9m 的电线杆扯一根电线，并在电线上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于3m 的概率为________．解析：灯挂在电线上的每一个位置都是一个基本事件，即整个区域的几何度量为μΩ＝9m ，记“灯与两端距离都大于3m”为事件A ，则把电线三等分，当灯挂在中间一段上时，事件A 发生，即μA ＝3m ，∴P (A )＝μA μΩ＝39＝13. 答案：1310．(xx·北京西城抽样测试)已知函数f (x )＝2ax 2－bx ＋1，若a 是从区间[0,2]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，则此函数在[1，＋∞)上递增的概率为________．解析：令t ＝ax 2－bx ＋1，函数f (x )在[1，＋∞)上递增，根据复合函数单调性的判断方法，则t ＝ax 2－bx ＋1须在[1，＋∞)上递增，∴－－b 2a ≤1，即2a ≥b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤20≤b ≤2，2a ≥b，画出图示得阴影部分面积．∴概率为P ＝2×2－12×2×12×2＝34.答案：34三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．(xx·潍坊市模拟)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n ≥m ＋2的概率．解：(1)从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3两个，因此，所求事件的概率是13.(2)先从袋中取出一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能结果(m ，n )有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个． 所以，所求概率为316.12．(基础题，易)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．解：以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.在如图所示平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得：P (A )＝S A S ＝602－452602＝3 600－2 0253 600＝716. 所以，两人能会面的概率是716. 13．(xx·天津十二区县重点中学第一次联考)设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34. (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，故所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.33847 8437 萷•40629 9EB5 麵21067 524B 剋33123 8163 腣27318 6AB6 檶7b37950 943E 鐾%23831 5D17 崗38396 95FC 闼•23746 5CC2 峂h。
【学霸优课】高考数学(理)一轮复习对点训练：12-1-2古典概型(含答案解析)
1.袋中共有15 个除了颜色外完整同样的球，此中有10个白球， 5 个红球．从袋中任取2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球， 1 个红球的概率为 ()510A. 21B.2111C.21D． 1答案B分析由题意得基本领件的总数为C152，恰有 1 个白球与 1 个红球的基本领件个数为 C1011P＝C101C5110.应选 B.C5，所以所求概率 2 ＝21C152．从正方形四个极点及此中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为()12A. 5B.534C.5D.5答案C分析从 5 个点取 2 个共有 C52＝ 10 种取法，而不小于正方形边长的只有4条边与 2条对角线，共 6 种，所以 P＝6＝3. 1053．有一个奇数列， 1,3,5,7,9，，此刻进行以下分组，第一组有 1 个数为 1，第二组有2 个数为3、5，第三组有 3个数为7、 9、 11，，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为 3的倍数的概率为 ()13A. 10B.1013C.5D.5答案B分析将数列 1,3,5,7,9记为 {a n} ，则前九组共有1＋ 2＋ 3＋＋ 9＝45个奇数，故第十组中第一个数字为a46＝ 2×46 － 1 ＝ 91 ，第十组共有10个奇数，分别是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109 这 10 个数字，此中为 3 的倍数的数有93,99,105 三个，故3所求概率为P＝10.4．从正方体的8 个极点的随意两个所确立的全部直线中拿出两条，则这两条直线是异面直线的概率是()2929 A.189 B.63 344 C.63 D.7答案B分析从 8 个极点中任选 2 个共确立直线 28 条，从中任取两条直线，共有C282种取法；考察异面直线有多少对，能够考虑8 个极点共构成多少个三棱锥：上、下底面各取两点，共面的情况有10 个．进而三棱锥共2C41C43＋ C42C42－ 10＝ 58 个，每个三棱锥有三对异面直线，58×329故 P＝C282＝63.5．从分别写有1,2,3,4,5 的五张卡片中任取两张，假定每张卡片被取到的概率相等，且每张卡片上只有一个数字，则取到的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为() 416A. 5B.25132C.25D.5答案D分析解法一： (列举法 )从分别写有1,2,3,4,5 的五张卡片中任取两张，总的状况为：(1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (2,1)， (2,3) ， (2,4)， (2,5)，(3,1) ， (3,2)，(3,4) ， (3,5) ，(4,1) ，(4,2)，(4,3)， (4,5) ，(5,1) ，(5,2)， (5,3)， (5,4) 共 20 种状况．两张卡片上的数字之和为偶数的有：(1,3)，(1,5)，(2,4) ，(3,1)，(3,5)，(4,2)，(5,1) ，(5,3)共 8种状况．∴从分别写有1,2,3,4,5 的五张卡片中任取两张，这两张卡片上的数字之和为偶数的概率 P＝8＝2.应选 D. 205解法二： ( 组合法 )由题意知此题是一个古典概率模型，试验发生包括的事件是从 5 张中随机地抽 2 张，共 C52＝ 10 种结果．知足条件的事件分两种状况，一种为从 1,3,5 中任取两张，有 C2＝ 3 种结果，另一种为从2,4 中任取两张，有 C2＝ 1 种，所以取到的两张卡片上的数字324 2之和为偶数共有 3＋1＝ 4 种结果，∴ P＝10＝5.应选 D.6．从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不一样的数，则这七个数的中位数是 6 的概率为________ ．答案1 6分析从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不一样的数，共有C107种不一样的取法．当这七个数的中位数是 6 时，应当有 3 个比 6 小的数，还有 3 个比 6 大的数，所以一共有C63·C33种不一样的取法，故所求概率 P＝C63·C33201.7 ＝120＝C1067.从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是________ ．答案1 3分析从 1,2,3,6 这 4 个数中随机地取2 个数，不一样的取法为 {1,2} ，{1,3} ，{1,6} ，{2,3} ，{2,6} ，{3,6}共 6 个基本领件，此中乘积为 6 的有 {1,6} ，{2,3} 两个基本领件，所以所求事件2 1的概率为 P＝6＝3.8．从n 个正整数1,2，，n 中随意拿出两个不一样的数，若拿出的两数之和等于 5 的概率为1 ，则n＝ ________.14答案8分析由于5＝1＋ 4＝ 2＋ 3，所以22＝C n1 ，即14n(n－ 1)＝ 56，解得n＝8 或n＝－ 7(舍 )．。
高考数学第一轮复习_古典概型提升(例题解析含答案)
古典概型和几何概型方法1：列举法方法2：求和法【例2】球或黑球或白球的概率．解取一球为红球的记为事件A，取一球为黑球的记为事件B，取一球为白球的记为事件C，取一球为绿球的记为事件D，那么取出一球是红球或黑球或白球，即为事件A∪B∪C，由于事件A、事件B、事件C彼此互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝512＋412＋212＝1112.方法3：正难则反法【例3】►加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个是一等品的概率．解(1)设A、B、C分别为“甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品”的事件．由题设条件，知⎩⎪⎨⎪⎧ P (A )·[1－P (B )]＝14，P (B )·[1－P (C )]＝112，P (A )·P (C )＝29， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧ P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝23.即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.(2)记D 为“从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个是一等品”的事件，则P (D )＝1－P (D )＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－23×34×13＝56，故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个是一等品的概率为56.方法运用训练41．已知函数y ＝x －1，令x ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4，可得函数图象上的九个点，在这九个点中随机取出两个点P 1，P 2，则P 1，P 2两点在同一反比例函数图象上的概率是( )．A.19B.118C.536D.112解析 所有基本事件的总数为36；其中(2,1)，(－1，－2)在反比例函数y ＝2x 的图象上；(3,2)，(－2，－3)在反比例函数y ＝6x 的图象上；(4,3)，(－3，－4)在反比例函数y ＝12x 的图象上；因此，概率为P ＝336＝112.几何概型基础梳理1．几何概型事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．2．几何概型中，事件A 的概率计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积). 3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．一条规律对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )．A.12B.13C.14 D ．1解析 点坐标小于1的区间长度为1，故所求其概率为13.答案 B2．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )．A.15B.25C.35D.45解析 以时间的长短进行度量，故P ＝3075＝25.3．(2012·衡阳模拟)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )．解析 P (A)＝38，P (B)＝28，P (C)＝26，P (D)＝13，∴P (A)＞P (C)＝P (D)＞P (B)．答案 A4.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的边界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为( )．A.π3B.334πC.34 D ．以上全错解析 设正三角形边长为a ，则外接圆半径r ＝32a ×23＝33a ，∴所求概率P ＝34a 2π⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝334π.答案 B 5．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为________．解析 如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P ＝|CD ||AB |＝13.考向一 与长度有关的几何概型【例1】►点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．解析如右图，设A 、M 、N 为圆周的三等分点，当B 点取在优弧MAN 上时，对劣弧AB 来说，其长度小于1，故其概率为23. 答案 23▲▲▲考向二 与面积有关的几何概型【例2】►(2012·华东师大附中模拟)设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．[审题视点] (1)为古典概型，利用列举法求概率．(2)建立ab 平面直角坐标系，将问题转化为与面积有关的几何概型．解 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.【训练2】 (2011·福建)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )． A.14 B.13 C.12 D.23解析 S △ABE ＝12|AB |·|AD |，S 矩形ABCD ＝|AB ||AD |.故所求概率P ＝S △ABE S 矩形ABCD ＝12. ★★规范解答21——如何解决概率与函数的综合问题【示例】► (本题满分12分)(2011·潍坊模拟)已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎨⎧ x ＋y －8≤0，x ＞0，y ＞0内的一点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率[解答示范] (1)∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为直线x ＝2b a ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a ＞0且2b a ≤1，即2b ≤a .(2分)若a ＝1，则b ＝－1；若a ＝2，则b ＝－1或1；若a ＝3，则b ＝－1或1.∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5.(5分)∴所求事件的概率为515＝13.(6分)(2)由(1)，知当且仅当2b ≤a 且a ＞0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，(8分)依条件可知事件的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(a ，b )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎨⎧ a ＋b －8≤0，a ＞0，b ＞0，构成所求事件的区域为三角形部分． 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫163，83，(10分) ∴所求事件的概率为P ＝12 ×8×8312×8×8＝13.(12分)【试一试】已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.(1)若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；(2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求方程没有实根的概率．[尝试解答](1)基本事件(a，b)共有36个，方程有正根等价于a－2＞0,16－b2＞0，Δ≥0，即a＞2，－4＜b＜4，(a－2)2＋b2≥16.设“方程有两个正根”为事件A，则事件A包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)，共4个，故所求的概率为P(A)＝436＝19.(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}，其面积为S(Ω)＝16，设“方程无实根”为事件B，则构成事件B的区域为B＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b2＜16}，其面积为S(B)＝14×π×42＝4π，故所求的概率为P(B)＝4π16＝π4。
高考数学一轮复习学案：12.2 古典概型(含答案)
高考数学一轮复习学案：12.2 古典概型（含答案）12.2古典概型古典概型最新考纲考情考向分析1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.全国对古典概型每年都会考查，主要考查实际背景的可能事件，通常与互斥事件.对立事件一起考查在高考中单独命题时，通常以选择题.填空题形式出现，属于中低档题；与统计等知识结合在一起考查时，以解答题形式出现，属中档题.1基本事件的特点1任何两个基本事件是互斥的；2任何事件除不可能事件都可以表示成基本事件的和2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型1试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2每个基本事件出现的可能性相等3如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率PAmn.4古典概型的概率公式PAA包含的基本事件的个数基本事件的总数.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”2掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件3从市场上出售的标准为5005g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型4有3个兴趣小组，甲.乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.5从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.6在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为nm.题组二教材改编2P127例3一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是A.14B.13C.12D.23答案D解析抽取两张卡片的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6种，和为奇数的事件有1,2，1,4，2,3，3,4，共4种所求概率为4623.3P145A组T5袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为A.25B.415C.35D.23答案A解析从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P61525.4P134A组T6已知5件产品中有2件次品，其余为合格品现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________答案0.6解析从5件产品中任取2件共有C2510种取法，恰有一件次品的取法有C12C136种，所以恰有一件次品的概率为6100.6.题组三易错自纠5将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为A.12B.13C.23D.56答案C解析设两本不同的数学书为a1，a2,1本语文书为b，则在书架上的摆放方法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6种，其中数学书相邻的有4种因此2本数学书相邻的概率P4623.6xx合肥检测已知函数fx2x24ax2b2，若a4,6,8，b3,5,7，则该函数有两个零点的概率为________答案23解析要使函数fx2x24ax2b2有两个零点，即方程x22axb20有两个实根，则4a24b20，又a4,6,8，b3,5,7，即ab，而a，b的取法共有339种，其中满足ab的取法有4,3，6,3，6,5，8,3，8,5，8,7，共6种，所以所求的概率为6923.题型一题型一基本事件与古典概型的判断基本事件与古典概型的判断1下列试验中，古典概型的个数为向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；在线段0,5上任取一点，求此点小于2的概率A0B1C2D3答案B解析中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型；的基本事件都不是有限个，不是古典概型；符合古典概型的特点，是古典概型2xx沈阳模拟有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验用x，y表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具出现的点数，y表示第2个正四面体玩具出现的点数试写出1试验的基本事件；2事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；3事件“出现点数相等”包含的基本事件解1这个试验的基本事件为1,1，1,2，1,3，1,4，2,1，2,2，2,3，2,4，3,1，3,2，3,3，3,4，4,1，4,2，4,3，4,42事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为1,3，1,4，2,2，2,3，2,4，3,1，3,2，3,3，3,4，4,1，4,2，4,3，4,43事件“出现点数相等”包含的基本事件为1,1，2,2，3,3，4,43袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号_________，从中摸出一个球1有多少种不同的摸法如果把每个球的编号_________看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型2若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型解1由于共有11个球，且每个球有不同的编号_________，故共有11种不同的摸法又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号_________为基本事件的概率模型为古典概型2由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A“摸到白球”，B“摸到黑球”，C“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为511，同理可知摸到黑球.红球的可能性均为311，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型思维升华一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型题型二题型二古典概型的求法古典概型的求法典例1xx全国从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110B.15C.310D.25答案D解析从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，所求概率P102525.2袋中有形状.大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为________答案56解析基本事件共有C246种，设取出两个球颜色不同为事件A.A包含的基本事件有C12C12C11C115种故PA56.3我国古代“五行”学说认为“物质分金.木.土.水.火五种属性，金克木.木克土.土克水.水克火.火克金”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A发生的概率为________答案112解析五种不同属性的物质任意排成一列的所有基本事件数为A55120，满足事件A“排列中属性相克的两种物质不相邻”的基本事件可以按如下方法进行考虑从左至右，当第一个位置的属性确定后，例如金，第二个位置除去金本身只能排土或水属性，当第二个位置的属性确定后，其他三个位置的属性也确定，故共有C15C1210种可能，所以事件A出现的概率为10120112.引申探究1本例2中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2，3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率解基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为1,2，1,4，2,3，3,4，共4种，所以PA4623.2本例2中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率解基本事件数为C14C1416，颜色相同的事件数为C12C11C12C126，故所求概率P61638.思维升华求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法.列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择跟踪训练xx山东某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游1若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；2若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率解1由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共15个所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有A1，A2，A1，A3，A2，A3，共3个，则所求事件的概率为P31515.2从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共9个包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有A1，B2，A1，B3，共2个，则所求事件的概率为P29.题型三题型三古典概型与统计的综合应用古典概型与统计的综合应用典例某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额单位万元的茎叶图如图所示，其中茎为位数，叶为个位数1根据茎叶图计算样本数据的平均数；2若网购金额单位万元不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；3从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率解1由题意知，样本数据的平均数x4612121820612.2样本中优秀服务网点有2个，概率为2613，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有901330个3样本中优秀服务网点有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务网点有4个，分别记为b1，b2，b3，b4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有a1，a2，a1，b1，a1，b2，a1，b3，a1，b4，a2，b1，a2，b2，a2，b3，a2，b4，b1，b2，b1，b3，b1，b4，b2，b3，b2，b4，b3，b4，共15种，记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M，则事件M包含的可能情况有a1，b1，a1，b2，a1，b3，a1，b4，a2，b1，a2，b2，a2，b3，a2，b4，共8种，故所求概率PM815.思维升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表.频率分布直方图.茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键跟踪训练从某学校xx届高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组第一组155,160，第二组160,165，，第八组190,195，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同1求第六组.第七组的频率并补充完整频率分布直方图；2若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为x，y，求|xy|5的概率解1由频率分布直方图知，前五组的频率为0.0080.0160.040.040.0650.82，所以后三组的频率为10.820.18，人数为0.18509，由频率分布直方图得第八组的频率为0.00850.04，人数为0.04502，设第六组人数为m，则第七组人数为m1，又mm129，所以m4，即第六组人数为4，第七组人数为3，频率分别为0.08,0.06，频率除以组距分别等于0.016,0.012，则完整的频率分布直方图如图所示2由1知身高在180,185内的男生有四名，设为a，b，c，d，身高在190,195的男生有两名，设为A，B.若x，y180,185，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种情况；若x，y190,195，只有AB1种情况；若x，y分别在180,185，190,195内，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况，所以基本事件的总数为68115，事件|xy|5包含的基本事件的个数为617，故所求概率为715.六审细节更完善典例12分一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号_________分别为1,2,3,4.1从袋中随机取两个球，求取出的球的编号_________之和不大于4的概率；2先从袋中随机取一个球，该球的编号_________为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号_________为n，求nm2的概率1基本事件为取两个球两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示把取两个球的所有结果列举出来1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4两球编号_________之和不大于4注意和不大于4，应为小于4或等于41,2，1,3利用古典概型概率公式求解P26132两球分两次取，且有放回两球的编号_________记录是有次序的，用坐标的形式表示基本事件的总数可用列举法表示1,1，1,2，1,3，1,4，2,1，2,2，2,3，2,4，3,1，3,2，3,3，3,4，4,1，4,2，4,3，4,4注意细节，m是第1个球的编号_________，n是第2个球的编号_________nm2的情况较多，计算复杂将复杂问题转化为简单问题计算nm2的概率nm2的所有情况为1,3，1,4，2,4P1316注意细节，P1316是nm2的概率，需转化为其对立事件的概率nm2的概率为1P11316.规范解答解1从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6个从袋中取出的球的编号_________之和不大于4的事件有1,2，1,3，共2个因此所求事件的概率P2613.4分2先从袋中随机取一个球，记下编号_________为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号_________为n，其一切可能的结果有1,1，1,2，1,3，1,4，2,1，2,2，2,3，2,4，3,1，3,2，3,3，3,4，4,1，4,2，4,3，4,4，共16个6分又满足条件nm2的事件为1,3，1,4，2,4，共3个，所以满足条件nm2的事件的概率P1316.10分故满足条件nm2的事件的概率为1P113161316.12分第 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2020版高考人教A版理科数学一轮复习文档：第十章 第五节 古典概型与几何概型 Word版含答案
姓名，年级：时间：第五节古典概型与几何概型2019考纲考题考情1．古典概型(1）基本事件的特点①任何两个基本事件是互斥的。
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.（2）古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。
(3）古典概型的概率公式P(A)＝错误!。
2．几何概型(1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积）成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.(2)几何概型的两个基本特点（3）几何概型的概率公式P（A)＝错误!.1．古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法。
2．概率的一般加法公式P(A∪B）＝P（A）＋P（B)－P（A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时,P(A ∪B)＝P（A)＋P(B），此时P（A∩B)＝0。
3．几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的,前者概率的计算与基本事件的区域长度（面积或体积）的大小有关，而与形状和位置无关。
4．几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果。
一、走进教材1．(必修3P 127例3改编)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于( ）A.错误! B 。
错误! C 。
错误! D 。
错误!解析 所有基本事件的个数为6×6＝36,点数之和为5的基本事件有(1，4)，（2,3），（3,2），(4，1）共4个。
故所求概率为P ＝错误!＝错误!。
故选B 。
答案 B2．(必修3P 140练习T 1改编)有四个游戏盘,将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是( )解析 如题干选项中各图,各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P （A )＝38,P （B )＝28，P (C ）＝错误!，P (D )＝错误!.故选A 。
高考数学总复习第十二章概率12.2古典概型与几何概型市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
2.直线与圆有公共点,即圆心到直线距离小于或等于半径,由此得
出a≤b,则满足a≤b基本事件个数就能求出来,从而转化成与概率
基本事件相关问题.
3.f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数可转化成开口向上二次函数f(x)图
象对称轴与x轴交点横坐标大于或等于-1,从而得出b≤a,从而不难
得出b≤a包含基本事件数.所以也转化成了与概率基本事件相关问
②等可能性:每个结果发生含有等可能性.
(3)公式:
构成事件的区域长度(面积或体积)
P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
.
4.随机模拟方法
使用计算机或者其它方式进行模拟试验,方便经过这个试验求出
随机事件概率近似值方法就是随机模拟方法.
3/36
-4知识梳理
考点自测
1.任一随机事件概率都等于组成它每一个基本事件概率和.
C 35 C 13 C 25 C 23
3 (C 1 C 3 A(2)B
2
1 2 2
C(1)D
5 3 5 2 +C 3 C 5 C 3 )
C 25 C 23
C 23
5
D.7
关闭
3
= C 3 A 2 +C 2 C 2 = A 2 +C 2 = 5.
5 2
5 3
2
3
解析
答案
12/36
-13考点1
考点2
考点3
与圆(x-2)2+y2=2有公共点概率为
.
思索怎样把直线与圆有公共点问题转化成与概率基本事件相关
问题?
关闭
依题意,将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a,b)有
(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),共 36 种,其中满足直线 ax+by=0 与圆
高三数学一轮复习 第十二章 计数原理、概率、随机变量及其分布第五节 古典概型、几何概型课件
解析：甲站在中间的情况有两种，而基本事件为 6 种， 1 所以 P＝ . 3
答案：C
nπ 3．在集合{x|x＝ ，n＝1,2,3，…，10}中任取一个元素， 6 1 所取元素恰好满足方程 cosx＝ 的概率是________． 2 π 5π 解析： 基本事件的个数为 10， 其中只有 x＝ 和 x＝ 时， 3 3 1 2 1 cosx＝ ，故其概率为 ＝ . 2 10 5
【思路导引】
求x的值 → 求y＋z的值 →
求初三年级应抽取的人数 → 求基本事件总数 → 求所求事件包含的基本事件数 → 计算所求概率 x 【解析】 (1)因为 ＝0.19，所以 x＝380. 2 000
(2)初三年级人数为 y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500. 500 应在初三年级抽取的人数为 48× ＝12. 2 000
(3)设初三年级女生比男生多的事件为 A，初三年级女 生、男生数记为(y，z)，由(2)知 y＋z＝500，且 y、z 为正整 数． 基本事件有(245,255)， (246,254)， (247,253)， …， (255,245) 共 11 个，事件 A 包含的基本事件有(251,249)，(252,248)， 5 (253,247)，(254,246)，(255,245)共 5 个，所以 P(A)＝ . 11
1 答案： 5
•4．在区间[1,3]上任取一数，则这个数不大 于1.5的概率为( ) •A．0.25 B．0.5 •C．0.6 D．0.75
解析：在[1,3]内任取一数，这个数不大于 1.5 的概率 P 区间[1，1.5]的长度 0.5 ＝ ＝ ＝0.25. 2 区间[1，3]的长度
•答案：A
•5 ．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为 30 秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40 秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概 率 各 是 (1) 红 灯 ________ ； (2) 黄 灯 __________；(3)不是红灯________． •解析：在75秒内，每一时刻到达路口的时候 是等可能的，属于与长度有关的几何概型．
2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课件：12.2 古典概型与几何概型
随堂巩固
知识梳理
考点自诊
-8-
4.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内 切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正 方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( B )
A.
1 4
B.
π 8
C.
1 2
D.
π 4
随堂巩固
知识梳理
考点自诊
-9-
解析:不妨设正方形边长为 2,则圆半径为 1,正方形的面积为 2×2=4, 圆的面积为 π×12=π.由图形的对称性,可知图中黑色部分的面积为
随堂巩固
知识梳理
考点自诊
-5-
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)在一次试验中,其基本事件的发生一定是等可能的.( × ) (2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形 .( √ ) (3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( × )
(4)在古典概型中,每个基本事件的概率都是 ;如果某个事件 A 包 括的结果有 m 个,则 P(A)= . ( √ ) ������
1 p=7. ������ ������ 3 8
-16考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
考点6
古典概型的交汇问题(多考向) 考向1 古典概型与平面向量的交汇
例 2 连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n,记向量 a=(m,n)与 π 向量 b=(1,-1)的夹角为 θ,则 θ∈ 0, 的概率是( C )
构成事件������的区域长度(面积或体积)
(3)公式:P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) . 4.随机模拟方法 使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求 出随机事件的概率的近似值的方法就是随机模拟方法.
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………………………………………………………………………………………………时间：50分钟基础组1.[2016·枣强中学预测]4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )A.12B.13C.23D.34答案 B解析 因为从4张卡片中任取出2张共有6种情况，其中2张卡片上数字之和为偶数的共有2种情况，所以2张数字之和为偶数的概率为13.2．[2016·冀州中学一轮检测]将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m ，n ，则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是( ) A.12 B.56 C.34 D.23 答案 B解析 ∵y ＝23mx 3－nx ＋1，∴y′＝2mx 2－n.令y′＝0得x ＝± n2m， ∴x 1＝ n2m ，x 2＝－ n2m是函数的两个极值点， ∴函数在⎣⎡⎭⎫n 2m ，＋∞上是增函数，则 n2m≤1， 即n≤2m.通过建立关于m ，n 的坐标系可得出满足n≤2m 的有30个，由古典概型公式可得函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是P ＝3036＝56.故选B.3. [2016·武邑中学一轮检测]设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是( )A.34B.12C.13D.35答案 B解析 作等腰直角三角形AOC 和AMC ，B 为圆上任一点，则当点B 在MmC ︵上运动时，弦长|AB|>2R ，∴P ＝MmC ︵圆的周长＝12.故选B.4．[2016·武邑中学月考]ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点．在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4C.π8 D ．1－π8答案 B解析 如图，根据几何概型概率公式得所求概率为P ＝阴影部分面积S 长方形ABCD＝2－12π·122＝1－π4.故选B.5．[2016·衡水中学热身]如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复．则填入A 方格的数字大于B 方格的数字的概率为( )A.12B.14C.34D.38答案 D解析 只考虑A ，B 两个方格的排法．不考虑大小，A ，B 两个方格有4×4＝16(种)排法．要使填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则从1,2,3,4中选2个数字，大的放入A 格，小的放入B 格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共6种，故填入A 方格的数字大于B 方格的数字的概率为616＝38，选D.6．[2016·冀州中学期末]设p 在[0,5]上随机地取值，则方程x 2＋px ＋p 4＋12＝0有实数根的概率为________．答案 35解析 一元二次方程有实数根即Δ＝p 2－4⎝⎛⎭⎫p 4＋12＝(p ＋1)(p －2)≥0，解得p≤－1或p≥2，故所求概率为5－25＝35.7．[2016·衡水中学预测]从分别写有0,1,2,3,4的五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是________．答案 15解析 从0,1,2,3,4五张卡片中取出两张卡片的结果有25种，数字之和恰好等于4的结果有(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，所以数字和恰好等于4的概率是P ＝15.8．[2016·枣强中学热身]现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为________．答案 23解析 从甲、乙、丙3人中随机选派2人，共有甲乙、甲丙、乙丙三种选法，其中甲被选中有甲乙、甲丙两种选法，所以甲被选中的概率为23.9．[2016·衡水中学猜题]某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C.求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 解 (1)P(A)＝11000，P(B)＝101000＝1100，P(C)＝501000＝120. (2)因为事件A ，B ，C 两两互斥，所以P(A ∪B ∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝11000＋1100＋120＝611000. 故1张奖券的中奖概率为611000. (3)P(A ∪B )＝1－P(A ＋B)＝1－⎝⎛⎭⎫11000＋1100＝9891000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.10．[2016·衡水中学一轮检测]某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率) 解 (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A 表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2，A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P(A 1)＝15100＝320，P(A 2)＝30100＝310，P(A 3)＝25100＝14. 因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件，所以P(A)＝P(A 1∪A 2∪A 3)＝P(A 1)＋P(A 2)＋P(A 3)＝320＋310＋14＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.11．[2016·冀州中学模拟]某学校为了增强学生对数学史的了解，提高学生学习数学的积极性，举行了一次数学史知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4名数学家与他们所著的4本著作一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得－2分．某参赛者随机用4条线把数学家与著作一对一全部连接起来．(1)求该参赛者恰好连对一条的概率； (2)求该参赛者得分不低于6分的概率．解 4名数学家和他们所著的4本书一对一连线，所有的连线情况有C 14C 13C 12＝24(种)，其中恰好连对1条的情况有C 14C 12＝8(种)，恰好连对2条的情况有C 24＝6(种)．全部连对的情况有1种．(1)恰好连对1条的概率为824＝13.(2)得分不低于6分，说明参赛者连对2条或全部连对，所以概率为6＋124＝724.12.[2016·衡水二中周测]设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a≥b.(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P(A)＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}， 构成事件A 的区域为{(a ，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，如图． 所以所求的概率为P(A)＝3×2－12×223×2＝23.能力组13.[2016·枣强中学仿真]现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位学生发录取通知书，若这四名学生都愿意进入这四所大学的任意一所就读，则仅有两名学生被录取到同一所大学的概率为( )A.12 B.916 C.1116 D.724答案 B解析 所求概率P ＝C 24·A 3444＝916.14．[2016·衡水二中月考]在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，则所作弦的长度超过3的概率是( )A.15B.14C.13D.12答案 B解析 如图，C 是弦AB 的中点，在直角三角形AOC 中，AC ＝12AB ＝32，OA ＝1，所以OC ＝12，所以符合条件的点必须在半径为12的圆内．则所作弦的长度超过3的概率是P ＝S 小圆S 大圆＝⎝⎛⎭⎫122ππ＝14.15．[2016·武邑中学热身]某次知识竞赛规则如下：主办方预设3个问题，选手能正确回答出这3个问题，即可晋级下一轮．假设某选手回答正确的个数为0,1,2的概率分别是0.1,0.2,0.3.则该选手晋级下一轮的概率为________．答案 0.4解析 记“答对0个问题”为事件A ，“答对1个问题”为事件B ，“答对2个问题”为事件C ，这3个事件彼此互斥，“答对3个问题(即晋级下一轮)”为事件D ，则“不能晋级下一轮”为事件D 的对立事件D －，显然P(D －)＝P(A ∪B ∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，故P(D)＝1－P(D －)＝1－0.6＝0.4.16.[2016·衡水二中期中]已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y)．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；由a·b ＝－1，有－2x ＋y ＝－1，所以满足a·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；故满足a·b ＝－1的概率为336＝112. (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}； 满足a·b<0的基本事件的结果为 A ＝{(x ，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x ＋y<0}； 画出图形如图，正方形的面积为S 正＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a·b<0的概率为2125.。