高中数学第三章导数应用2_2最大值最小值问题教学案北师大版选修2_2
高中数学：3.2.2 最大值、最小值问题(二) 教案 (北师大选修2-2)
3.2.2 最大值、最小值问题教学过程：教学环节教学内容设计意图一、创设情境，铺垫导入1．问题情境：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值．如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm且不大于20cm．设长方体的高为xcm,体积为V cm3．问x为多大时,V最大?并求这个最大值．解：由长方体的高为xcm，可知其底面两边长分别是（80－2x）cm，（60－2x）cm,(10≤x≤20).所以体积V与高x有以下函数关系V=（80－2x）（60－2x）x=4（40－x）（30－x）x.2．引出课题：分析函数关系可以看出，以前学过的方法在这个问题中较难凑效，这节课我们将学习一种很重要的方法，来求某些函数的最值．以实例引发思考，有利于学生感受到数学来源于现实生活，培养学生用数学的意识，同时营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围，在新旧知识的矛盾冲突中，激发起学生的探究热情．通过运用几何画板演示,增强直观性,帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系．提出问题后,引导学生发现,所列函数的最大值是以前学习过的方法所不能解决的,由此引出新课,使学生深感继续学习新知识的必要性,为进一步的研究作好铺垫.二、合作学习，探索新知1．我们知道，在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．问题1：如果是在开区间（a，b）上情况如何？问题2：如果[a，b]上不连续一定还成立吗？2．如图，在闭区间[a，b]上函数f(x)有哪些极植点？在闭区间[a，b]上函数f(x)的最大值、最小值分别是什么？分别在何处取得？3．以上分析，说明求函数f(x)在闭区间[a，b]上最值的关键是什么？归纳：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f (x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f (x)在(a,b)内的极值；（2）将f (x)的各极值与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．通过对已有相关知识的回顾和深入分析，引领学生来到新知识的生成场景中．学生在合作交流的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述，体验到成功的喜悦，学会学习、学会合作．在整个新知形成过程中，教师的身份始终是启发者、鼓励者和指导者，以提高学生抽象概括、分析归纳及语言表述等基本的数学思维能力．深化对概念意义的理解：极值反映函数的一种局部性质，最值则反映函数的一种整体性质．教学环节教学内容设计意图三、指导应用，鼓励创新例2如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm不大于20cm,设长方体的高为xcm,体积为V cm3．问x为多大时,V最大?并求这个最大值．分析：建立V与x的函数的关系后，问题相当于求x为何值时，V最小，可用本节课学习的导数法加以解决．“问起于疑，疑源于思”，思考题的研究，旨在培养学生的探究意识及创新精神，提高学生分析和解决问题的能力．例题2则让学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息．四、归纳小结，反馈回授课堂小结：1．在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值;2．求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤;3．利用导数求函数最值的关键是对可导函数使导数为零的点的判定.作业布置：P1391、2、3通过课堂小结，深化对知识理解，完善认识结构，领悟思想方法，强化情感体验，提高认识能力．课外作业有利于教师发现教学中的不足，及时调控．教学环节教学内容设计意图。
高中数学选修2-2北师大版教案：3.1.3函数的最大值与最小值
课时教案科目：数学授课时间：第周星期年月日一、复习引入：1.概念；极大值：极小值： 3.极大值与极小值统称为极值注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点二、讲解新课：1.函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⒉利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值三、讲解范例：例4，见课本 例5.设213a <<,函数323()(11)2f x x ax b x =-+-≤≤为1,最小值为2-,求常数a,b 四、课堂练习：见课本67页五、小结 ： ⑴函数在闭区间上最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；⑵函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；⑶闭区间[]b a ,上的连续函数一定有最值；开区间),(b a 内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.六、作业 课本69页2题 3题精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学选修2-2 北师大版 最大值与最小值问题 教案
最大值与最小值问题教学目标：知识与技能：会求函数的最大值与最小值过程与方法：通过具体实例的分析，会利用导数求函数的最值情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法教学重点：函数最大值与最小值的求法教学难点：函数最大值与最小值的求法教学过程：函数最值与极值的区别与联系：⑴函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念；⑵函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值；⑶在求可导函数最值的过程中，无需对各导数为零的点讨论其是否为极值点，而直接将导数为零的点与端点处的函数值进行比较，这是与求可导函数的极值有所区别的；⑷函数极值点与最值点没有必然联系，极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得。
根据课程标准的规定和高考的要求，有关函数最大值与最小值的实际问题只涉及单峰函数，因而只有一个极值点，这个极值就是问题中所指的最值，因此在求有关实际问题的最值时，没有考虑端点的函数值。
一、复习回忆极值求法单调性判定二、实际问题中导数定义：（P85-87） 例2：tt f t t f 105)(',10)(==三、最值①对于)(x f y =在],[b a 上任意一个自变量x ，总存在],[0b a x ∈ 若)()(0x f x f ≤总成立，则0x 是],[b a 上最大值是 若)()(0x f x f ≥总成立，则0x 是],[b a 上最小值是 ②最值与极值区别与联系1）最值是整体概念，极值是局部性概念2）函数在定义域区间上最大值，最小值最多只有一个而极值则可能不止一个，也可能没有3）极值点不一定为最值点，最值点也不一定为极值点，极值在区间内取，最值可能在端点处取得4）闭区间连续一定有最值，],[b a 不一定，有最大无最小等 ③最值的求法：连续)(x f y =在],[b a 上最值 1）求)(x f 在],[b a 上的极值2）将)(x f 的各极值与)(),(b f a f 比较，其中最大的一个是最大值，最小一个为最小值说明：当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时，可考虑用求导方法求解例1：课本P88例4求：52)(23+-==x x x f y 在区间]2,2[-上最值解：x x x f 43)('2-= 令0)('=x f 01=x 342=x01=∴x 函数最大值5 342=x 极小为27103 5)0(=∴f 27103)34(=f 11)2(-=-f 5)2(=f比较4个值 ]2,2[-上最大5 最小11- （下节） 例2：(P89 例5)解：①x x V ⋅-=2)248( ∴248>>-x x 240<<∴x②x x x x x x x f 22322484844)484448(0('+⨯-=⨯-+= 2248484212)('+⨯⨯-=x x x f )8)(24(12--=x x 令 0)('=x f 81=x 242=x8=∴x 为)(x V 极大值 8192)8(=f 在)24,0(上 V j 了大 8192)8(=f 例3：（产量与利润）P90该企业生产成本y （单位：万元）和生产收入z 都是产量x 函数，分别为10632423++-=x x x y x z 18=①10452423--+-=-=x x x y z W ②45483'2-+-=x x W0)('=x W 11=∴x 152=x15=x 函数极大 1340)15(=W 10)0(-=W。
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数与函数的最大(小)值 课件
x
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎 样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？
在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条 连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.
f(x3)
f(b)
f(x1)
y
g
a x1
g
f(a)
x2
0
x4 x3 b x
f(x2)
新课讲授 一.最值的概念(最大值与最小值)
[2,2] 上的最大值与
最小值． y 4 x 3 4 x 解： y 0 ，有 4 x 3 4 x 0 ，解得 x 1,0,1 令 当x 变化时，y, y 的变化情况如下表： x y -2 (-2,-1) — 13 -1 0 4 (-1,0) + 0 0 5 (0,1) — 1 0 4 (1,2) + 2 13
如果在函数定义域I内存在x0,使得 对任意的x∈I,总有f(x) ≤f(x0), 则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的 最大值. 最值是相对函数定义域整体而言的.
a, b
f (x)
注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一; 2.最大值一定比最小值大.
二.如何求函数的最值?
1.利用函数的单调性;
练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最
f ( x) p2 x(1 x) p1[2 (2 p) x]. 解: 2 令 f ( x ) 0,解得 x1 0, x2 1, x3 2 p . 2 p 2 p 在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, f ( 2 p ) 4( 2 p ) , p ) 2 p . 故所求最大值是 4( 2 p
高中数学北师大版选修2-2《函数的最大值与最小值》word导学案
第3课时函数的最大值与最小值1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系.2.掌握求在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的最大值和最小值的方法和步骤.如图,设铁路线AB=50 km,点C处与B之间的距离为10 km,现将货物从A运往C,已知1 km铁路费用为2元,1 km公路费用为4元,在AB上M处修筑公路至C,使运费由A到C最省,求M的具体位置.问题1:函数的最值函数的最值分为函数的最大值与最小值,函数的最大值和最小值是一个整体性概念,必须是整个区间上所有函数值中的最大者,必须是整个区间上的所有函数值中的最小者.问题2:函数的最值与极值的区别(1)函数的最大值、最小值是比较整个定义域内的函数值得出的,极大值、极小值是比较附近的函数值得出的;(2)函数的极值可以有多个,但最值只能有个;(3)极值只能在区间内取得,最值可以在处取得;(4)有极值未必有最值,有最值也未必有极值;(5)极值有可能成为最值,最值只要不在端点处取得,那么最值必定是.问题3:求函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤:(1)求f(x)在开区间(a,b)内所有使的点.(2)计算函数f(x)在区间内使f'(x)=0的所有点及的函数值,其中最大的一个为,最小的一个为.问题4:利用导数可以解决以下类型的问题:(1)恒成立问题;(2)函数的即方程根的问题;(3)不等式的证明问题;(4)求参数的取值范围问题.1.下列说法正确的是().A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2.函数f(x)在区间[a,b]上的最大值是M,最小值是m,若M=m,则f'(x)().A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能3.函数y=x·e-x在x∈[2,4]上的最小值为.4.设f(x)=ax3-6ax2+b在区间[-1,2]上的最大值为3,最小值为-29,且a>0,求a,b的值.利用导数求函数的最值求函数f(x)=x3-4x+4在[0,3]上的最大值与最小值.利用函数的最值求参数的范围函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是().A.0≤a<1B.0<a<1C.-1<a<1D.0<a<利用导数解决恒成立问题已知函数f(x)=x3+2x2+x-4,g(x)=ax2+x-8.(1)求函数f(x)的极值;(2)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)≥g(x),求实数a的取值范围.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最小值-37.(1)求实数a的值;(2)求函数f(x)在[-2,2]上的最大值.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax(a>),当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于.设f(x)=x3-x2-2x+5.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当x∈[-1,2]时,f(x)<m恒成立,求实数m的取值范围.1.下列命题中正确的是().A.一个函数的极大值总是比极小值大B.函数的导数为0时对应的点不一定是极值点C.一个函数的极大值总比最大值小D.一个函数的最大值可以比最小值小2.函数f(x)=x3-x2-x+1在[-1,1]上的最大值为().A. B. C. D.3.如果函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上的最大值为3,那么函数在此区间上的最小值为.4.已知f(x)=x3-x2-2x+a,对任意x∈[-1,2]有f(x)<3a2,求a的取值范围.(20XX年·重庆卷)已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16.(1)求a,b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值.考题变式(我来改编):答案第3课时函数的最大值与最小值知识体系梳理问题1:最大值最小值问题2:(1)极值点(2)一(3)端点(5)极值问题3:(1)f'(x)=0(2)端点最大值最小值问题4:零点基础学习交流1.D最值是极值与闭区间端点处的函数值比较之后得到的.2.A由题意知函数在闭区间上所有函数值相等,故其导数为0.3.y'==,当x∈[2,4]时,y'<0,即函数y=x·e-x在x∈[2,4]上单调递减,故当x=4时,函数有最小值为.4.解:f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f'(x)=0,得x=0或x=4,则函数f(x)在[-1,2]∴f(0)=b=3.又∵f(-1)=-a-6a+3=-7a+3,f(2)=8a-24a+3=-16a+3<f(-1),∴f(2)=-16a+3=-29,∴a=2.重点难点探究探究一:【解析】f'(x)=x2-4,令f'(x)=0,即x2-4=0,因为f'(x)>0时,x<-2或x>2,f'(x)<0时,-2<x<2,所以在[0,3]上,当x=2时,f(x)取极小值,极小值为f(2)=-.又由于f(0)=4,f(3)=1,因此,函数f(x)=x3-4x+4在[0,3]上的最大值是4,最小值是-.【小结】设函数f(x)在[a,b]上连续,即在(a,b)内可导,则求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤为:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在[a,b]上的最值.探究二:【解析】f'(x)=3x2-3a,∵在开区间(0,1)内有最小值,∴最小值点一定不是端点,且在(0,1)内,∴在(0,1)上f(x)有极值,即f'(x)=0有根,∴f'(0)·f'(1)<0.即(-3a)·(3-3a)<0,得0<a<1.[问题]上述求解过程正确吗?[结论]结果正确,但过程不正确,因为上述过程不能体现在区间(0,1)内f(x)有极大值还是极小值,也就是f(x)有最大值,还是最小值,正解如下:由题意f'(x)=3x2-3a的图像在(0,1)内与x轴有交点,且函数图像由下到上与x轴相交.∴得0<a<1.【答案】B【小结】本题解答关键是通过导数得到原函数的极值、单调性等性质,障碍在于如何将题意进行等价转化,同时要注意结合函数零点存在性定理.探究三:【解析】(1)f'(x)=3x2+4x+1,令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=-.当x变化时,f'(x)、f-)--∴当x=-1时,f(x)取得极大值为-4;当x=-时,f(x)取得极小值为-.(2)设F(x)=f(x)-g(x)=x3+(2-a)x2+4,F(x)≥0在[0,+∞)上恒成立⇔F(x)min≥0,x∈[0,+∞).若2-a≥0,即a≤2,显然F(x)min=4>0.若2-a<0,即a>2,f'(x)=3x2+(4-2a)x,令f'(x)=0,解得x=0或x=.当0<x<时,f'(x)<0;当x>时,f'(x)>0,∴当x∈(0,+∞)时,F(x)min=F()≥0,即()3+(2-a)()2+4≥0,解不等式得a≤5,∴2<a≤5.当x=0时,F(x)=4满足题意.综上所述,a的取值范围为(-∞,5].【小结】本题的关键是构造新函数,将问题转化为函数的最小值不小于0,再求参数范围.思维拓展应用应用一:(1)f'(x)=6x2-12x,令f'(x)=0,解得x=0或x=2.当0<x<2时,f'(x)<0,函数递减;当-2<x<0时,f'(x)>0,函数递增.又f(-2)=-40+a,f(0)=a,f(2)=-8+a,所以f(x)min=f(-2)=-40+a,由已知得-40+a=-37,解得a=3.(2)由(1)知函数f(x)在[-2,2]上的最大值为f(0)=a=3.应用二:1∵f(x)是奇函数,∴f(x)在(0,2)上的最大值为-1,当x∈(0,2)时,f'(x)=-a,令f'(x)=0得x=,又a>,∴0<<2.令f'(x)>0,则x<,∴f(x)在(0,)上递增;令f'(x)<0,则x>,∴f(x)在(,2)上递减,∴f(x)max=f()=ln-a·=-1,∴ln=0,得a=1.应用三:(1)由已知得f'(x)=3x2-x-2,令f'(x)=0,即3x2-x-2=0,解得x=1或x=-,∴当x∈(-∞,-)时,f'(x)>0,f(x)为增函数,当x∈(-,1)时,f'(x)<0,f(x)为减函数,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数,∴f(x)的递增区间为(-∞,-)和(1,+∞),递减区间为(-,1).(2)当x∈[-1,2]时,f(x)<m恒成立,只需使f(x)在[-1,2]上的最大值小于m即可.由(1)知f(x)极大值=f(-)=5+,f(x)极小值=f(1)=,又∵f(-1)=,f(2)=7,∴f(x)在[-1,2]上的最大值为f(2)=7,∴m>7,即m的取值范围为(7,+∞).基础智能检测1.B2.D令f'(x)=3x2-2x-1=0得x=1或x=-,因为f(1)=f(-1)=0,f(-)=,所以函数在[-1,1]上的最大值为.3.-37f'(x)=6x2-12x,令f'(x)=0,得x=0或x=2,列表得:故当x=0时,f(x)max=m=3,当x=-2时,f(x)min=3-40=-37.4.解:对任意x∈[-1,2]有f(x)<3a2成立,转化为f(x)max<3a2,f'(x)=3x2-x-2,令f'(x)=0,解得x=1或x=-,--,+a+a当x=2时,f(x)max=2+a,即a+2<3a2,解得a<-或a>1.全新视角拓展解:(1)因f(x)=ax3+bx+c,故f'(x)=3ax2+b.由于f(x)在点x=2处取得极值c-16.故有即化简得解得a=1,b=-12.(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c,f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).令f'(x)=0,得x1=-2,x2=2.当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)上为增函数;当x∈(-2,2)时,f'(x)<0,故f(x)在(-2,2)上为减函数;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(2,+∞)上为增函数.由此可知f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x)在x2=2处取得极小值f(2)=c-16.由题设条件知16+c=28得c=12.且f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4,因此f(x)在[-3,3]上的最小值为f(2)=-4.。
北师版数学高二-选修2-2教案第1课时函数的最大值、最小值的求法
2.2最大值、最小值问题第1课时函数的最大值、最小值的求法学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．知识点函数的最值点与最值如图为y＝f(x)，x∈的图像．思考1观察上函数y＝f(x)的图像，试找出它的极大值、极小值．思考2结合图像判断，函数y＝f(x)在区间上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？思考3函数y＝f(x)在上的最大(小)值一定是某极值吗？思考4怎样确定函数f(x)在上的最小值和最大值？梳理(1)最值点①最大值点：函数y＝f(x)在区间上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都________f(x0)．②最小值点：函数y＝f(x)在区间上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都________f(x0)．(2)最值函数的________与________统称为最值．(3)求函数y＝f(x)在上的最大值与最小值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的________；②将函数y＝f(x)的________与________处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是________，最小的一个是________．类型一求函数的最值命题角度1不含参数的函数求最值例1已知函数f(x)＝x3－3x，x∈R.(1)求f(x)的单调区间；(2)当x∈时，求f(x)的最大值与最小值．反思与感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．跟踪训练1 已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x ，若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈时的最值．命题角度2 含参数的函数求最值例2 已知a 为常数，求函数f (x )＝－x 3＋3ax (0≤x ≤1)的最大值．反思与感悟 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 跟踪训练2 已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋b (x ∈R )．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝6x －8，求a ，b 的值； (2)若a >0，b ＝2，当x ∈时，求f (x )的最小值．类型二由函数的最值求参数例3已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．反思与感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．跟踪训练3已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a>0，求a的值．类型三与最值有关的恒成立问题例4已知2x ln x≥－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)恒成立，求a的取值范围．反思与感悟分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练4 设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值．(2)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立．1．函数f (x )＝x 3－3x (x <1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，最小值 C ．无最大值，最小值 D ．无最大值，有最小值2．函数f (x )＝x 2·e x ＋1，x ∈的最大值为( ) A ．4e －1 B ．1 C ．e 2D ．3e 23．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m 的值为( ) A ．16 B ．12 C ．32D ．64．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间上的值域为__________．5．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在上有最小值－37，求a 的值，并求f (x )在上的最大值．1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．答案精析问题导学 知识点思考1 极大值为f (x 1)，f (x 3)，极小值为f (x 2)，f (x 4)． 思考2 存在，f (x )min ＝f (a )，f (x )max ＝f (x 3)． 思考3 不一定，也可能是区间端点的函数值．思考4 比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．梳理 (1)①不超过 ②不小于 (2)最大值 最小值 (3)①极值 ②各极值 端点 最大值 最小值 题型探究例1 解 (1)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0，所以f (x )的递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，递减区间为(－1,1)． (2)由(1)可知，x ∈时，f (x )的极大值为f (－1)＝2，f (x )的极小值为f (1)＝－2， 又f (－3)＝0，f (3)＝18，所以当x ∈时，f (x )的最大值为18，f (x )的最小值为－2. 跟踪训练1 解 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3， 由题意知，f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0， 解得a ＝5，∴f ′(x )＝3x 2－10x ＋3.令f ′(x )＝0，即3x 2－10x ＋3＝0， 解得x ＝3或x ＝13(舍去)．∵f (3)＝－9，f (1)＝－1，f (5)＝15，∴当x ∈时，f (x )的最小值为－9，最大值为15. 例2 解 f ′(x )＝－3x 2＋3a ＝－3(x 2－a )． 若a ≤0，则f ′(x )≤0，函数f (x )在上是减少的，所以当x ＝0时，f (x )有最大值f (0)＝0； 若a >0，则令f ′(x )＝0，解得x ＝±a . 由x ∈，则只考虑x ＝a 的情况． ①当0<a <1，即0<a <1时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗f (x )max ＝f (a )＝2a a .②当a ≥1，即a ≥1时，f ′(x )≥0，函数f (x )在上是增加的，当x ＝1时，f (x )有最大值，f (1)＝3a －1.综上，当a ≤0，x ＝0时，f (x )有最大值0； 当0<a <1，x ＝a 时，f (x )有最大值2a a ； 当a ≥1，x ＝1时，f (x )有最大值3a －1.跟踪训练2 解 (1)f ′(x )＝3ax 2－3x ，由f ′(2)＝6，得a ＝1. 由切线方程为y ＝6x －8，得f (2)＝4. 又f (2)＝8a －6＋b ＝b ＋2，所以b ＝2， 所以a ＝1，b ＝2.(2)f ′(x )＝3ax 2－3x ＝3x (ax －1)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a ，分以下两种情况讨论：①若1a >1，即0<a <1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗ ↘f (－1)＝－a －32＋2，f (1)＝a －32＋2，所以f (x )min ＝f (－1)＝12－a .②若0<1a <1，即a >1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗f (－1)＝12－a ，f (1a )＝2－12a2.而f (1a )－f (－1)＝2－12a 2－(12－a )＝32＋a －12a 2>0，所以f (x )min ＝f (－1)＝12－a .综合①和②知，f (x )min ＝f (－1)＝12－a .例3 解 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾．求导得f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．①当a >0，且当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘由表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，也就是函数在上的最大值， ∴f (0)＝b ＝3.又f (－1)＝－7a ＋3， f (2)＝－16a ＋3<f (－1)，∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.②当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值b ，也就是函数在上的最小值，∴f (0)＝b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29， f (2)＝－16a －29>f (－1)，∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2， b ＝－29.跟踪训练3 解 f (x )的定义域为(－a ，＋∞)， f ′(x )＝1－1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a .由f ′(x )＝0，解得x ＝1－a >－a .当－a <x <1－a 时，f ′(x )<0，f (x )在(－a,1－a )上是减少的；当x >1－a 时，f ′(x )>0，f (x )在(1－a ，＋∞)上是增加的．因此，f (x )在x ＝1－a 处取得最小值， 由题意知，f (1－a )＝1－a ＝0，故a ＝1. 例4 解 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 得a ≤2ln x ＋x ＋3x.设h (x )＝2ln x ＋3x ＋x (x >0)．则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )是减少的， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )是增加的． ∴h (x )min ＝h (1)＝4.∴a ≤h (x )min ＝4.跟踪训练4 解 (1)由题设知，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1x， 所以g ′(x )＝x －1x 2. 令g ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的递减区间；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的递增区间．因此，x ＝1是g (x )在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立， 即ln a <g (x )对任意x >0成立．由(1)知，g (x )的最小值为1，所以ln a <1，解得0<a <e.当堂训练1．A 2.C 3.C 4.π211,e 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．解 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)．由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗ ↘所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3.所以当x＝0时，f(x)取到最大值3.。
高中数学 第三章《 导数应用》教案 北师大版选修2-2
北师大版高中数学选修2-2第三章《 导数应用》全部教案§1 函数的单调性与极值第一课时 导数与函数的单调性（一）一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数单调性的概念；⑵会判断函数的单调性，会求函数的单调区间。
2、过程与方法：⑴通过具体实例的分析，经历对函数平均变化率和瞬时变化率的探索过程；⑵通过分析具体实例，经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程。
3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。
二、教学重点：函数单调性的判定 教学难点：函数单调区间的求法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． （二）．新课探究1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动 中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图 像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入 水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<． 2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增； 在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减． 结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．（三）．典例探析例1、已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >； 当4x >，或1x <时，'()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减； 当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+解：（1）因为3()3f x x x =+，所以，'22()333(1)0f x x x =+=+> 因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增； 当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减； 函数2()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-< 因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生练例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”，在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”． 例4、求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤：（1）求导函数()'fx ；（2）判断()'f x 在(),a b 内的符号；（3）做出结论：()'0f x >为增函数，()'0f x <为减函数． （四）．课堂练习：课本P59页练习1（1）；2（五）．回顾总结：（1）函数的单调性与导数的关系；（2）求解函数()y f x =单调区间；（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性（六）．布置作业：课本P62页习题3-1A 组1、2 五、教后反思：第二课时 导数与函数的单调性（二）一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数单调性的概念；⑵会判断函数的单调性，会求函数的单调区间。
高中数学：3.2.2 最大值、最小值问题(二) 教案 (北师大选修2-2)
3.2.2 最大值、最小值问题教学过程:一、创设情境，铺垫导入1．问题情境：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题,这往往可以归结为求函数的最大值与最小值．如图，有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm且不大于20cm．设长方体的高为xcm，体积为V cm3．问x为多大时,V最大？并求这个最大值．解:由长方体的高为xcm,可知其底面两边长分别是（80－2x）cm，（60－2x）cm,(10≤x≤20）.所以体积V与高x有以下函数关系V=（80－2x）（60－2x)x=4（40－x）（30－x）x。
2．引出课题：分析函数关系可以看以实例引发思考，有利于学生感受到数学来源于现实生活，培养学生用数学的意识,同时营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围，在新旧知识的矛盾冲突中，激发起学生的探究热情．通过运用几何画板演示，增强直观性,帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系．提出问题后,引导学生发现,所列函数的最大值是以前学习过三、指导应用，鼓励创新例2如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求，长方体的高不小于10cm不大于20cm，设长方体的高为xcm，体积为V cm3．问x为多大时，V最大?并求这个最大值．分析:建立V与x的函数的关系后,问题相当于求x为何值时，V最小，可用本节课学习的导数法加以解决．“问起于疑,疑源于思"，思考题的研究，旨在培养学生的探究意识及创新精神，提高学生分析和解决问题的能力．例题2则让学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息．教学环节教学内容设计意图。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2．2 最大值、最小值问题[对应学生用书P33]1．问题：如何确定你班哪位同学最高？提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．2．如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．问题1：试说明y＝f(x)的极值．提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．问题2：你能说出y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？提示：函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的．问题3：根据问题2回答函数y＝f(x)，x∈[a，b]的最值可能在哪些点取得．提示：在极值点或端点中．1．最值点(1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．(2)最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0)．2．最值函数的最大值与最小值统称为最值．(1)一般地，连续函数f(x)在[a，b]上有最大值与最小值．(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大、最小值必须是整个区间上所有函数值中的最大、最小值．(3)函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个．[对应学生用书P34][例1] (1)求函数f (x )＝x 3－2x 2－2x ＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；(2)求函数f (x )＝12x ＋sin x 在区间[0,2π]上的最大值与最小值．[思路点拨] 先利用导数求极值，然后与端点处的函数值比较得最值． [精解详析] (1)因为f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，所以f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－23，x 2＝1.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝15727，f (1)＝72，f (－2)＝－1，f (2)＝7，所以函数f (x )在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1. (2)因为f (x )＝12x ＋sin x ，所以f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝2π3，x 2＝4π3.因为f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝π3＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2π3－32，f (2π)＝π， 所以函数f (x )在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0. [一点通] 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数的导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的全部实根x 0；(3)将f (x 0)的各个值与f (a )，f (b )进行比较，确定f (x )的最大值与最小值．1．函数f (x )＝x 3－3x 2＋6x －10在区间[－1,1]上的最大值为________． 解析：因为f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x －1)2＋3>0， ∴函数f (x )在区间[－1,1]上单调递增， ∴当x ＝1时，函数f (x )取得最大值f (1)＝－6. 答案：－62．求函数f (x )＝sin 2x －x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值和最小值． 解：f ′(x )＝2cos 2x －1.令f ′(x )＝0，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， 解得x ＝－π6或x ＝π6.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π6－32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32－π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2， 所以函数f (x )的最大值为π2，最小值为－π2.3．已知函数f (x )＝1－x ax ＋ln x ，当a ＝12时，求f (x )在[1，e]上的最大值和最小值．解：当a ＝12时，f (x )＝－xx＋ln x ，f ′(x )＝x －2x2，令f ′(x )＝0，得x ＝2.当x ∈[1,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在[1,2)上是减少的；当x ∈(2，e]时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，e]上是增加的．∴f (x )在区间(1，e]上有唯一的极小值点，故f (x )min ＝f (x )极小值＝f (2)＝ln 2－1.∵f (1)＝0，f (e)＝2－ee <0，∴f (x )在区间[1，e]上的最大值为0.[例2] 已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，是否存在实数a ，b ，使f (x )在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．[思路点拨] 利用导数求出f (x )的最值(用a ，b 表示)，列方程求a ，b 的值． [精解详析] 显然a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．①当a >0时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：∴当x ＝0时，f (x )取得最大值．∴b ＝3.又∵f (2)＝－16a ＋3，f (－1)＝－7a ＋3，f (－1)>f (2)，∴当x ＝2时，f (x )取得最小值，即－16a ＋3＝－29，即a ＝2.②当a <0时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：∴当x ＝0时，f (x )取得最小值． ∴b ＝－29.又∵f (2)＝－16a －29，f (－1)＝－7a －29，f (2)>f (－1)，∴当x ＝2时，f (x )取得最大值，即－16a －29＝3，即a ＝－2.综上所述，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.[一点通] 由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而得出参数的值，这也是方程思想的应用．4．如果函数f (x )＝x 3－32x 2＋a 在[－1,1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1,1]上的最小值是________．解析：f ′(x )＝3x 2－3x ＝3x (x －1)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝1.当－1<x <0时，f ′(x )>0，则f (x )为增函数； 当0<x <1时，f ′(x )<0，则f (x )为减函数． ∴当x ＝0时，f (x )取得最大值为a ， ∴a ＝2，∴f (－1)＝－1－32＋2＝－12，f (1)＝1－32＋2＝32.∴在x ∈[－1,1]上，f (x )的最小值为－12.答案：－125．已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )的最小值为0，其中a >0.求a 的值． 解：f (x )的定义域为(－a ，＋∞)． f ′(x )＝1－1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a .由f ′(x )＝0，解得x ＝1－a >－a .当－a <x <1－a 时，f ′(x )<0，f (x )在(－a,1－a )上是减少的；当x >1－a 时，f ′(x )>0，f (x )在(1－a ，＋∞)上是增加的．因此f (x )在x ＝1－a 处取得最小值， 由题意知f (1－a )＝1－a ＝0，故a ＝1. 6．设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．解：函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x －x ，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)．(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx －x＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增．故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.[例3] 某种商品每件的成本为9元，当售价为30元时，每星期可卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期可多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？[精解详析] (1)设商品降价x 元，则多卖的商品数为kx 2，若记商品在一个星期里的获利为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)，又由已知条件，24＝k ×22，于是有k ＝6.所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,21]．(2)根据(1)，f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)． 令f ′(x )＝0，即－18(x －2)(x －12)＝0，得x 1＝2，x 2＝12. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )如下表：因为f (0)＝9 072<f (12)＝11 664，所以x ＝12时，f (x )取得最大值， 即当定价为30－12＝18(元)时，能使一个星期的商品销售利润最大． [一点通] 利用导数解决优化问题的一般步骤如下： (1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式y ＝f (x )．(2)求函数f (x )的导数f ′(x )，并解方程f ′(x )＝0，即求函数可能的极值点． (3)比较函数f (x )在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f (x )的最大值或最小值．(4)根据实际问题的意义给出答案．7．做一个容积为256 dm 3的方底无盖水箱，它的高为________dm 时最省材料．解析：设水箱底面边长为x dm ，则高为256x 2 dm ，用料总面积S ＝x 2＋4·256x2·x ＝x 2＋256×4x，S ′＝2x －256×4x2，令S ′＝0得x ＝8， 当0＜x ＜8时，S ′＜0，当x ＞8时，S ′＞0， ∴当x ＝8时，S 取得最小值，则高为4 dm. 答案：48．某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m 元(m 为常数，且2≤m ≤3)，设每个水杯的出厂价为x 元(35≤x ≤41)，根据市场调查，水杯的日销售量与e x(e 为自然对数的底数)成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个．(1)求该工厂的日利润y (元)与每个水杯的出厂价x (元)的函数关系式；(2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大？并求日利润的最大值． 解：(1)设日销售量为s ，则s ＝k e x ，因为x ＝40时，s ＝10，故10＝ke 40，则k ＝10e 40，所以s ＝10e 40e x ，故y ＝10e40e x (x －30－m )(35≤x ≤41)．(2)y ′＝10e 40×e x －x －30－mxx 2＝10e 40×31＋m －x ex. 令y ′＝10e 40×31＋m －x ex＝0，则x ＝31＋m . 当2≤m ≤3时，y ′<0，所以y 在35≤x ≤41上为减函数， 所以x ＝35时，日利润取得最大值，且最大值为10e 5(5－m )元．1．函数的最大值与最小值：在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值；但在开区间(a ，b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值．例如：函数f (x )＝1x在(0，＋∞)上连续，但没有最大值与最小值．2．解决优化问题的基本思路[对应课时跟踪训练十三1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D.以上都有可能答案：A2．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a 在区间[0,2]上的最大值是3，则a 的值为( ) A ．2 B ．1 C ．－2D.－1解析：f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13(舍去)或x ＝1，又f (0)＝a ，f (1)＝a －1，f (2)＝a ＋2，则f (2)最大，即a ＋2＝3，所以a ＝1. 答案：B3．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )C ．[1， D.(1，解析：f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e xcos x ，当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数．∴f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12ef (x )的最小值为f (0)＝12.答案：A4.如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k >0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为( )A.d3 B.d2 C.33d D.22d 解析：设断面高为h ，则h 2＝d 2－x 2.设横梁的强度函数为f (x )，则f (x )＝k ·xh 2＝k ·x (d 2－x 2)，0<x <d .令f ′(x )＝k (d 2－3x 2)＝0，解得x ＝±33d (舍去负值)．当0<x <33d 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当33d <x <d 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以函数f (x )在定义域(0，d )内只有一个极大值点x ＝33d .所以x ＝33d 时，f (x )有最大值，故选C. 答案：C5．设x 0是函数f (x )＝12(e x ＋e －x)的最小值点，则曲线上点(x 0，f (x 0))处的切线方程是________．解析：f ′(x )＝12(e x －e －x)，令f ′(x )＝0，∴x ＝0，可知x 0＝0为最小值点．切点为(0,1)，f ′(0)＝0为切线斜率，∴切线方程为y ＝1. 答案：y ＝16．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析：令f ′(x )＝3x 2－12＝0，解得x ＝±2.计算f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，所以M ＝24，m ＝－8，故M －m ＝32.答案：327．求函数f (x )＝e x (3－x 2)在区间[2,5]上的最值．解：∵f (x )＝3e x －e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x x )＝－e x (x 2＋2x －3)＝－e x(x ＋3)(x －1)，∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x(x ＋3)(x －1)<0，即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.8．(江苏高考)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问：x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问：x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)． 由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30. (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.。