江苏省启东中学2013届高三数学综合训练(2)

启东中学2013届高三数学（综合）训练二一、填空题1．若)1cos 2(12sin ++-θθi 是纯虚数，则θ的值为___________2． 在满足),(100y x x y y x 的点⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤π所表示的平面区域内任取一个点，则该点落在曲线y x t +=2的取值范围_______3．已知()f x 为奇函数,()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 4．如果x x x x f cos sin 5sin )(tan 2-=， 那么(5)f = ．5．函数(cos sin )cos y a x b x x =+有最大值2，最小值1-，则实数2)ab （的值为___________． 6．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是________．7．若,,a b c 均为单位向量，且0a b ⋅= ，()()0a c b c +⋅+≤ ，则||a b c +-的最小值为____ 8．已知平面向量,()αβαβ≠ 满足2α= ，且α 与 βα-的夹角为120°，则(1)t t αβ-+ （t R ∈）的最小值是___ ．9．设定义域为R 的函数,0,20|,lg |)(2⎩⎨⎧≤-->=x x x x x x f 若关于x 的方程01)(2)(22=++x bf x f 有8个不同的实数根，则实数b 的取值范围是 ．10．已知函数⎩⎨⎧+∞∈∈=),1(,log ]1,0[,sin )(2011x x x x x f π，若满足)()()(c f b f a f ==,(c b a ,,互不相等)，则c b a ++的取值范围是_____________.11．已知函数22652,,()2ln ,x x e e x e f x x x x e⎧-++--≤=⎨->⎩（其中e 为自然对数的底数，且2.718e ≈），若2(6)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是12．某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线24()13f x x =-的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点,M N ，交曲线于点P ，则OMN ∆（O 为坐标原点）的面积的最小值为 ▲ .13．已知抛物线)0(22>=p px y ，过定点（p,0）作两条互相垂直的直线121,,l l l 与抛物线交于P 、Q 两点，l 2与抛物线交于M 、N 两点，l 1斜率为k.某同学已正确求得弦PQ 的中点坐标为（k p p kp ,2+），请你写出弦MN 的中点坐标： .14.已知动点()y x P ,满足11=-+-a y x ，O 为坐标原点，的最大值的取值范围为,17,217⎥⎦⎤⎢⎣⎡则实数a 的取值范围是 二、解答题：15.已知向量cos ,1)m x x =-u r ，1(cos ,)2n x =r ，若()f x m n =⋅r r ．(1) 求函数)(x f 的最小正周期；(2) 已知ABC ∆的三内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()212C c f =+=π（C 为锐角），2sin sin A B =，求C 、a b 、的值．16.如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面D E F G ，⊥AD 平面D E F G ，AC AB ⊥,DG ED ⊥,EF ∥DG ，且1==EF AC , 2====DG DE AD AB ．（1）求证：平面⊥BEF 平面DEFG ； （2）求证：BF ∥平面ACGD ； （3）求三棱锥A BCF -的体积．17．在边长为a 的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？18.如图，曲线1C 是以原点O 为中心、12,F F 为焦点的椭圆的一部分，曲线2C 是以O 为顶点、2F 为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线1C 和2C 的交点且21AF F ∠为钝角，若172AF =，252AF = ， （Ⅰ）求曲线1C 和2C 所在的椭圆和抛物线方程；（Ⅱ）过2F 作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线12C C 、依次交于B 、C 、D 、E 四点，若G 为CD 中点、H 为BE 中点，问22BE GF CD HF ⋅⋅是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．19.已知数列{}n a 中，,11=a 且点()()*+∈N n a a P n n 1,在直线01=+-y x 上. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若函数(),2,321)(321≥∈++++++++=n N n a n na n a n a n n f n且 求函数)(n f 的最小值； （3）设n nn S a b ,1=表示数列{}n b 的前项和。

试问：是否存在关于n 的整式()n g ，使得 ()()n g S S S S S n n ⋅-=++++-11321 对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出()n g 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。

20.已知函数0)ln()(2=--+=x x x a x x f 在处取得极值。

（1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程b x x f +-=25)(在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围；（3）证明：对任意正整数n ，不等式211ln nn n n +<+都成立。

数学II （附加题）21.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知曲线错误！未找到引用源。

,现将曲线错误！未找到引用源。

绕坐标原点逆时针旋转错误！未找到引用源。

,求所得曲线错误！未找到引用源。

的方程.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中,已知圆错误！未找到引用源。

的圆心坐标为错误！未找到引用源。

,半径为错误！未找到引用源。

,试写出圆错误！未找到引用源。

的极坐标方程.22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,1)A -，P 是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足k OP +k OA =k PA ．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ OA λ=，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P 使得△PQA 和△P AM 的面积满足2PQA PSM S S ∆∆=?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．23．（本小题满分10分）把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i 行共有12i -个正整数，设(),*ij a i j N ∈表示位于这个数表中从上往下数第i 行，从左往右第j 个数． （1）求69a 的值； （2）用,i j 表示ij a ；（3）记()112233*n nn A a a a a n N =++++∈ ，求证：当4n ≥时，3.n n A n C >+参考答案 一、填空题： 1.42ππ+k ， 21252--ππ，3，6,4，0_，5 .86．221-+n _ 7. _5_ 8.3_ 9,。

)2,23(-10.（2，2012） 11. （-3,2）12．32，13),(2pk p pk -+ 14. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3,2121,3 三、解答题15.解 ：(1)21()cos cos 2f x m n x x x =⋅=-+r r1cos 21222x x +=-+ 12cos 22x x =-sin(2)6x π=-∴ ()f x 的最小正周期为π.（2）∵ ()sin 0,21223C f C C C πππ+==<<∴= ∵ 2sin sin A B =．由正弦定理得2,b a =① ∵ 3c =，由余弦定理，得2292cos3a b ab π=+-， ② 解①②组成的方程组，得a b ⎧=⎨=⎩16．解:（1）∵平面ABC ∥平面DEFG ，平面ABC 平面AB ADEB =, 平面DEFG 平面DE ADEB =DE AB //∴.AB DE =Q DE AB = ,∴ADEB 为平行四边形，AD BE //.⊥AD 平面DEFG ,⊥∴BE 平面DEFG ，⊂BE 平面BEF ,∴平面⊥BEF 平面DEFG .（2）取DG 的中点为M ，连接AM 、FM ，则由已知条件易证四边形DEFM 是平行四边形，∴FM DE //，又∵DE AB //， ∴FM AB // ∴四边形ABFM 是平行四边形，即AM BF //，又BF ⊄平面ACGD 故 BF∥平面ACGD . （3） 平面ABC ∥平面DEFG ，则F 到面ABC 的距离为AD.13A BCF F ABC ABC V V S AD --==⋅⋅ ＝112(12)2323⋅⋅⋅⋅=.17. 解：设箱底边长为x ，则箱高为)0(233a x xa h <<-⨯=， 箱子的容积为)0(818160sin 21)(3202a x x ax h x x V <<-=⨯⨯=． 由08341)(2'=-=x ax x V 解得01=x （舍），a x 322=， 且当)32,0(a x ∈时，0)('>x V ；当),32(a a x ∈时，0)('<x V ，所以函数)(x V 在a x 32=处取得极大值， 这个极大值就是函数)(x V 的最大值：332541)32(81)32(81)32(a a a a a V =⨯-⨯=． 答：当箱子底边长为a 32时，箱子容积最大，最大值为3541a ．18．解：（Ⅰ）设椭圆方程为12222=+b y a x ，则=a 26252721=+=+AF AF ，得3=a 设)0,(),0,(),,(21c F c F y x A -，则222)27()(=++y c x ，222)25()(=+-y c x ，两式相减得23=xc ，由抛物线定义可知252=+=c x AF ，则23,1==x c 或23,1==c x （舍去）所以椭圆方程为18922=+y x ，抛物线方程为x y 42=。

另解：过1F 作垂直于x 轴的直线c x -=，即抛物线的准线，作AH 垂直于该准线，作x AM ⊥轴于M ，则由抛物线的定义得AHAF =2，所以2212121AHAF MF AF AM -=-=62527222221=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=AF AF2162522=-⎪⎭⎫⎝⎛=M F ，得2212521=-=F F ，所以c ＝1，8222=-=c a b所以椭圆方程为18922=+y x ，抛物线方程为x y 42=。