基于TGM_ARMA模型的地铁隧道结构沉降预测分析

1） d（ （ t） x + a （ t） x （ 1） （ t） = u （ t） dt
（1）
为白噪声序列 。 式 （ 8 ） 表 示 一 个 n 阶 自 回 归 、 m m ） 模型［6 ］。 阶滑动平均模型，记为 ARMA （ n ， 1. 3 TGM （ 1 ， 1 ）-ARMA （ n ， m） 组合模型 建 模 及 预测步骤 （ 1 ） 对非平稳时间序列数据 x （ 0 ） （ t ） = （ x （ 0 ） （ 1 ） ， x （0） （ 2 ） ， … ， x （0） （ t ） ， … ） ， 建 立 时 变 参 1）。利用式 （6） 和式 （7） 数灰色模 型 TGM （ 1 ， ^ （0） （ t ） ， 并 求 出 残 差 序 提取序列中的趋 势 项 部 分 x （0） ^ （ 0 ） （ t ） （ t = 1 ，2 ， … ， n ） 。 （ t） － x 列 yt = x （ 2 ） 对残差序列进行平稳性检验， 若残差序列 仍然含有趋势项，则重复第一步 继 续 对 残 差 序 列 建 立 TGM 模型 提 取 残 差 中 的 趋 势 项， 直 到 残 差 序 列 满足平稳性 。 （ 3 ） 对平稳的残 差 序 列 y t 建 立 ARMA （ n ， m） 。 AIC n m 模型 利用 准则确定模型的阶数，即 和 的 值，并根据最 小 二 乘 原 则 求 解 自 回 归 参 数 φ i （ i = 1 ，2 ， … ， n ） 和 滑 动 平 均 参 数 θ j （ j = 1 ， 2 ， … ， m ） ［7 ］。 （ 4 ） 对 建 立 的 ARMA （ n ， m ） 模 型 进 行 检 验，
（0）
将 A 代入 （ 3 ） 式并 进 行 离 散 化， 得 到 观 测 序 列 的
[
1 u + 2 0
∑[ ∑u j ] e
i i j=1 i=0
t －1
q
ω
+ （6）
[ ∑ ui ti ] eη
i=0
+ x （1） （ 1 ） e － η
p
]
其中，η =
1 ）-ARMA （ n ， m） 组合模 时变参 数 的 TGM （ 1 ，
基于 TGM-ARMA 模型的地铁隧道结构沉降预测分析
程 丕 ， 黄 腾 ， 李桂华
（ 河海大学 地球科学与工程学院，南京 210098 ）
摘要 ： 地铁隧道结构沉降主要受 土 层 状 况 、 地 下 水 位 、 轨 道 荷 载 及 周 边 环 境 等 诸 多 因 素 影 响 ， 机
理复杂 ， 随机性强 ， 而且 随 时 间 不 断 变 化 ， 难 以 用 固 定 的 数 学 模 型 表 示 ， 是 一 个 非 平 稳 的 过 程 。 1 ） 模 型 和 以 时 间 序 列 为 基 础 的 ARMA （ n ， m） 模 据此 ， 结合以灰色系统理论 为 基 础 的 TGM （ 1 ， 1 ）-ARMA （ n ， m） ，并对地铁隧道主体结构沉 型各自的特点 ， 建立了时变参 数 灰 序 模 型 TGM （ 1 ， 降进行了分析与预报 ， 结果表明时变 参 数 灰 序 模 型 预 测 精 度 较 高 ， 且 适 用 于 中 长 期 预 测 。 因 此 ， 该组合模型在地铁隧道结构沉降预测分析中有较强的适用性 ， 具有一定的应用价值 。 1 ） 模型 ； ARMA （ n ， m ） 模型 ； TGM-ARMA 模型 ； 变形预测 关键词 ： 地铁隧道 ； TGM （ 1 ，
= （x
（0）
（1） ， x
（0）
（2） ， …， x
（0）
（ n） ） 为 已
m ） 模型 时间序列的 ARMA （ n ， 对于 平 稳 、 正 态 、 零 均 值 的 时 间 序 列 ｛ y t ｝ ，
知的非负序 列， 一 次 累 加 （ 1 － AGO ） 生 成 序 列 为 x （1） = （ x （1） （ 1 ） ， x （1） （ 2 ） ， …， x （1） （ n） ） ， 其 中
a i ti +1 ， ω = ∑ i=0 i + 1
a i ji +1 ^ （ 1 ） （ t ） 作累减 ， 对x ∑ i=0 i + 1 （7）
可得到还原数据： 生成（ IAGO ） ， ^ （ 0） （ t） = x ^ （1） （ t + 1 ） － x ^ （ 1） （ t） x 1. 2
k
若 yt 的 取 值 不 仅 与 其 前 面 n 步 的 各 个 取 值 yt － 1 ， y t － 2 ， … y t － n 有 关， 而 且 还 与 前 m 步 的 各 个 干 扰 a t － 1 ， a t － 2 ， … a t － m 有 关 （ n ， m = 1 ，2 ， … ） ， 按 多 元线性回归的思想，可得到最一般的 ARMA 模型： y t = φ1 y t － 1 + φ2 y t － 2 + … + φ n y t － n － θ1 ε t － 1 － θ2 ε t － 2 －
0
引言 为了确保地 铁 隧 道 主 体 结 构 和 周 边 环 境 安 全，
地铁隧道结构在施工期和整个运营 中 都 必 须 进 行 变 形监测，更重要的是应利用地铁 隧 道 结 构 变 形 监 测 的数据对未来的变形状况进行 预 测 预 报，分 析 隧 道 结构 变 形 趋 势， 提 前 采 取 措 施， 防 止 事 故 的 发 ［ 1］ m） 生 。 灰色预测 模 型 和 时 间 序 列 的 ARMA （ n ， 模型是变形监测分析预报中应用比 较 广 泛 的 两 种 数 学分析模型，二者都有各自 的 优 点 和 局 限 性 。 传 统 1 ） 灰 色 预 测 模 型， 一 旦 模 型 建 立， 模 的 GM （ 1 ， 型中的参数就保持恒定不 变 。 而 在 实 际 中， 变 形 量 是受到各种因素的影响和制约 的，预 测 模 型 的 参 数
0
]
（3）
66 工程勘察 Geotechnical Investigation ＆ Surveying
0609 收稿日期 ： 2010基金项目 ： 2009 年江 苏 省 研 究 生 科 研 创 新 计 划 （ CX09B _ 166Z ） . 作者简介 ： 程 丕 （ 1983 － ） ， 男 （ 汉 族 ） ， 湖 北 孝 感 人， 硕 士. 2010 年第 12 期
2 … － θm εt － m + εt ； εt ～ N（0 ， （8） σ0 ） 式 （ 8 ） 中， φ i （ i = 1 ， 2 ， … ， n ） 称 为 自 回 归 参 数， θ j （ j = 1 ，2 … ， m ） 称为滑动平 均 参 数， ｛ ε t ｝
x （1） （ k） =
测精度低
； 由于变形体的变形通常是非平稳序 m） 列，通常 包 括 趋 势 项 和 随 机 项 。 而 ARMA （ n ，
［ 4， 5］
由此可解的待定系数为 A = （ Q T Q） －1 Q T Y 预测值为： ^ （ 1） （ t） = x 1 2
p q
（5）
模型要求时序数据平稳，传统的 方 法 是 通 过 对 原 始 数据进行差分预处理使序列平 稳，此 种 方 式 有 时 候 预测效果不是很理想 。 因此 综 上 考 虑，本 文 建 立 了 1 ）-ARMA （ n ， m）。 时变参数 的 灰 序 模 型 TGM （ 1 ， 利用时变参数的 TGM （ 1 ，1 ） 模型提取趋 势 项，残 m ） 模 型 进 行 拟 合，组 合 模 差部分建立 ARMA （ n ， 型克服了单一模型的不足，提高了预测精度 。 1 型 1. 1 1 ） 模型 时变参数 TGM （ 1 ， 设x
Abstract ： The structure settlement of metro tunnel is mainly affected by status of the soil ，groundwater level ，track load ，surrounding environment and many other factors. Their complicated mechanism ，strong randomness ， time-related variation all make it hard to describe by one fixed mathematical model ， therefore ，the structure settlement of metro tunnel is a non-stationary process. Accordingly ，combining the characteristics of TGM （ 1 ， 1 ） model based on grey system theory and ARMA （ n ， m ） model based on time 1 ）-ARMA （ n ， m ） was established. The series analysis ，a time-varying parameter gray model of TGM （ 1 ， application of the model to analysis and predict of the main structure settlement of metro tunnel shows that the prediction precision is high and the model is suitable for middle long-term prediction. Therefore ，the combined model has relatively strong applicability in analyzing the structure settlement of metro tunnel. Key words ： metro tunnel ； TGM （ 1 ， 1 ） model ； ARMA （ n ， m ） model ； deformation prediction 实际上是各种影响因素的综合 反 映，并 不 是 恒 定 不 1） 变的，而是随时间 变 化 的， 因 而 传 统 的 GM （ 1 ， ［ 2， 3］ ； 灰 预测模型并 不 能 反 映 变 形 的 实 际 物 理 意 义 色预测模型实质是一个指数函 数，其 预 测 的 几 何 图 形是一条平滑的曲线，要么 单 调 递 增，要 么 单 调 递 减 。 进行长期预测时，预 测 值 往 往 偏 高 或 偏 低，因 而对随机波动性较大的时间序 列 数 据 拟 合 较 差，预