2018年上海市松江区中考数学一模试卷
【分析】根据比例设 a=k，b=3k，然后代入比例式进行计算即可得解． 【解答】解：∵ = ， ∴设 a=k，b=3k（k≠0） ， 则 = = ．
故选：C．
2． （4 分）下列函数中，属于二次函数的是（
）
A．y=x﹣3 B．y=x2﹣（x+1）2 C．y=x（x﹣1）﹣1 D． 【分析】 根据一次函数、 反比例函数、 二次函数的定义判断各选项即可得出答案． 【解答】解：A、是一次函数，故本选项错误； B、整理后是一次函数，故本选项错误； C、整理后是二次函数，故本选项正确； D、y 与 x2 是反比例函数关系，故本选项错误． 故选：C．
15． （4 分） 已知抛物线 y=f （x） 开口向下， 对称轴是直线 x=1， 那么 f （2） （4） ． （填“＞”或“＜”）
f
16． （4 分）把抛物线 y=x2 向下平移，如果平移后的抛物线经过点 A（2，3） ，那 么平移后的抛物线的表达式是 ．
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17． （4 分）我们定义：关于 x 的函数 y=ax2+bx 与 y=bx2+ax（其中 a≠b）叫做互 为交换函数．如 y=3x2+4x 与 y=4x2+3x 是互为交换函数．如果函数 y=2x2+bx 与它 的交换函数图象顶点关于 x 轴对称，那么 b= ．
20． （10 分）如图，已知△ABC 中，D、E、F 分别是边 AB、BC、CA 上的点，且 EF∥AB，
䯈t 䯈 tt =2． tt
（1）设 tt
（2）如果△ABC 的面积是 9，求四边形 ADEF 的面积．
，t = ．试用 、 表示t ；
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21． （10 分）如图，已知△ABC 中，AB=AC=
，
B．
，
C．
D．
5． （4 分）在△ABC 中，边 BC=6 ，高 AD=4，正方形 EFGH 的顶点 E 、 F 在边 BC 上，顶点 H、G 分别在边 AB 和 AC 上，那么这个正方形的边长等于（ ）
A．3
B．2.5 C．2.4 D．2
6． （4 分）如图，已知在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，AD： BD=2：1，点 F 在 AC 上，AF：FC=1：2，联结 BF，交 DE 于点 G，那么 DG：GE 等于（ ）
9． （4 分） 如果抛物线 y= （a+2） x2+x﹣1 的开口向下， 那么 a 的取值范围是 10． （4 分） 已知一个斜坡的坡度 i=1： ， 那么该斜坡的坡角的度数是 11． （4 分） 线段 AB=10， 点 P 是 AB 的黄金分割点， 且 AP＞BP， 则 AP= 根式表示） ．
12 ． （ 4 分）已知等腰△ ABC 中， AB=AC=5 ， BC=6 ， G 是△ ABC 的重心，那么 AG= ．
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，
∴这两地的实际距离是 300km． 故答案为：300．
9． （4 分）如果抛物线 y=（a+2）x2+x﹣1 的开口向下，那么 a 的取值范围是 ＜﹣2 ．
a
【分析】根据抛物线 y=（a+2）x2+x﹣1 的开口向下，可得 a+2＜0，从而可以得 到 a 的取值范围． 【解答】解：∵抛物线 y=（a+2）x2+x﹣1 的开口向下， ∴a+2＜0， 得 a＜﹣2， 故答案为：a＜﹣2．
A．y=x﹣3 B．y=x2﹣（x+1）2 C．y=x（x﹣1）﹣1 D． 3． （4 分）已知飞机离水平地面的高度为 5 千米，在飞机上测得该水平地面上某 观测目标 A 的俯角为α，那么这时飞机与目标 A 的距离为（ A．
th
）
B．5sinα
C．
D．5cosα 的是（ ）
4． （4 分）已知非零向量 、 、 ，在下列条件中，不能判定 A．
10． （4 分）已知一个斜坡的坡度 i=1： ，那么该斜坡的坡角的度数是 30 【分析】坡度=坡角的正切值，据此直接解答． 【解答】解：∵tanα=1： ∴坡角=30°． = ，
度．
11． （4 分） 线段 AB=10， 点 P 是 AB 的黄金分割点， 且 AP＞BP， 则 AP= （ （用根式表示） ． 【分析】 根据黄金分割点的定义和 AP＞BP 得出 AP=AB× 【解答】解：∵点 P 是 AB 的黄金分割点，AP＞BP， ∴AP=AB× ∵线段 AB=10， ∴AP=10× 故答案为：5 =5 ﹣5． ﹣5； ，
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A．1：2
B．1：3
C．2：3
D．2：5．
二、填空题： （本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答 题纸的相应位置上】 7． （4 分） 已知线段 a=4， b=1， 如果线段 c 是线段 a、 b 的比例中项， 那么 c= ．
8． （4 分）在比例尺是 1：15000000 的地图上，测得甲乙两地的距离是 2 厘米， 那么甲乙两地的实际距离是 千米． ． 度． （用
23． （12 分）已知四边形 ABCD 中，∠BAD=∠BDC=90°，BD2=AD•BC． （1）求证：AD∥BC； （2）过点 A 作 AE∥CD 交 BC 于点 E．请完善图形并求证：CD2=BE•BC．
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24． （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为直 线 x=1，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，且 AB=4，又 P 是 抛物线上位于第一象限的点，直线 AP 与 y 轴交于点 D，与对称轴交于点 E，设 点 P 的横坐标为 t． （1）求点 A 的坐标和抛物线的表达式； （2）当 AE：EP=1：2 时，求点 E 的坐标； （3）记抛物线的顶点为 M，与 y 轴的交点为 C，当四边形 CDEM 是等腰梯形时， 求 t 的值．
3． （4 分）已知飞机离水平地面的高度为 5 千米，在飞机上测得该水平地面上某 观测目标 A 的俯角为α，那么这时飞机与目标 A 的距离为（ A．
th
）
B．5sinα
C．
D．5cosα
【分析】已知直角三角形的一个锐角和锐角所对的直角边，求斜边，运用三角函
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数定义解答． 【解答】解：如图：BC 为飞机离地面的高度，
A．3
B．2.5 C．2.4 D．2
【分析】利用正方形的性质可知 EH∥BC，再利用平行线分线段成比例定理的推 论可得△AHE∽△ACB，利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可
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求正方形的边长 【解答】解：∵四边形 EFMN 是正方形， ∴EH∥BC，EH=EF， ∴△AEH∽△ABC， 又∵AD⊥BC， ∴AD⊥BC，EH=EF=MD， ∴
A．1：2
B．1：3
C．2：3
D．2：5．
t t
【分析】首先证明 AF=EF=EC，由题意 决问题； 【解答】解：∵DE∥BC， ∴
tt t = =2， tt
= ，
t
= ，设 GE=m，求出 DG 即可解
∴CE：CA=1：3， ∵AF：FC=1：2，
t t
=
tt = ， tt
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∴AF：AC=1：3， ∴AF=EF=EC， ∴EG：BC=1：2，设 EG=m，则 BC=2m， ∴DE= m，DG= m﹣m= m， ∴DG：GE= m：m=1：3， 故选：B．
13． （4 分）已知直线 a∥b∥c，直线 m，n 与直线 a，b，c 分别交于点 A，C，E， B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则 BF= ．
14． （4 分）已知平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，点 P 的坐标为（5，12） ， 那么 OP 与 x 轴正半轴所夹角的余弦值为 ．
所以在 Rt△ABC 中，∠BAC=α，BC=5， 则 AB=
th tt t
=
故选：A．
th
，
4． （4 分）已知非零向量 、 、 ，在下列条件中，不能判定 A．
的是（
）
，
B．
，
C．
D．
【分析】根据平面向量的性质即可判断． 【解答】解：A、∵ ∥ ， ∥ ，∴ B、∵ =2 ， =3 ，∴ C、∵ =﹣5 ，∴ ，故本选项，不符合题意；
2018 年上海市松江区中考数学一模试卷
一、选择题： （本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中， 有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位 置上】 1． （4 分）已知 A． B． C． ，那么 D． ） 的值为（ ）
2． （4 分）下列函数中，属于二次函数的是（
8． （4 分）在比例尺是 1：15000000 的地图上，测得甲乙两地的距离是 2 厘米， 那么甲乙两地的实际距离是 300 千米． 【分析】首先设这两地的实际距离是 xcm，然后根据比例尺的定义，即可得方程 = ，解此方程即可求得答案，注意统一单位．
【解答】解：设这两地的实际距离是 xcm， 根据题意得： = 解得：x=30000000， ∵30000000cm=300km，
tt = ， tt t
设 EH=x，则 AM=3﹣x， ∴ = ，
解得：x=2.4， ∴EH=2.4． 答：这个正方形的边长为 2.4． 故选：C．
6． （4 分）如图，已知在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，AD： BD=2：1，点 F 在 AC 上，AF：FC=1：2，联结 BF，交 DE 于点 G，那么 DG：GE 等于（ ）
二、填空题： （本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答 题纸的相应位置上】 7． （4 分） 已知线段 a=4， b=1， 如果线段 c 是线段 a、 b 的比例中项， 那么 c= 2 ．
上海2018初三数学一模各区压轴第24题二次函数
2018各区一模24普陀24．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图10，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋c （其中a 、c 为常数，且a ＜0）与x 轴交于点A ，它的坐标是(－3, 0)，与y 轴交于点B ，此抛物线顶点C 到x 轴的距离为4．（1）求该抛物线的表达式； （2）求∠CAB 的正切值；（3）如果点P 是抛物线上的一点，且∠ABP ＝∠CAO ，试直接写出点P 的坐标．图10静安24.在平面直角坐标系xoy 中（如图），已知抛物线352-+=bx ax y ，经过点)0,1(-A 、)0,5(B .（1）求此抛物线顶点C 的坐标；（2）联结AC 交y 轴于点D ，联结BD 、BC ，过点C 作BD CH ⊥，垂足为点H ，抛物线对称轴交x 轴于G ，联结HG ，求HG 的长。
奉贤24.（本题满分12分，每小题满分各4分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线238y x bx c =++与x 轴交于点A （-2,0）和点B ，与y 轴交于点C （0，-3），经过点A 的射线AM 与y 轴相交于点E ，与抛物线的另一个交点为F ，且13AE EF =. （1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴； （2）求∠FAB 的余切值；（3）点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，点P 是y 轴上一点，且∠AFP =∠DAB ，求点P 的坐标.虹口24．（12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴相交于点A （-2,0）、B （4,0），与y 轴交于点C （0，-4），BC 与抛物线的对称轴相交于点D ． （1）求该抛物线的表达式，并直接写出点D 的坐标； （2）过点A 作AE ⊥AC 交抛物线于点E ，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点F 在射线AE 上，若△ADF ∽△ABC ，求点F 的坐标．x F Ey B O D A C 第24题图宝山24．（本题共12分，每小题各4分）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x ≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函数y＝－x＋4，当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当1≤x≤3时，恒有1≤y≤3，所以说函数y＝－x ＋4是闭区间[1，3]上的“闭函数”，同理函数y＝x也是闭区间[1，3]上的“闭函数”．（1）反比例函数2018yx是闭区间[1，2018]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）如果已知二次函数y＝x2－4x＋k是闭区间[2，t]上的“闭函数”，求k和t的值；（3）如果（2）所述的二次函数的图像交y轴于C点，A为此二次函数图像的顶点，B 为直线x＝1上的一点，当△ABC为直角三角形时，写出点B的坐标．嘉定24．（本题满分12分，每小题4分）已知在平面直角坐标系xOy （如图）中，已知抛物线c bx x y ++=232点经过)0,1(A 、)2,0(B .（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的对称轴与x 轴的交点为C ， 第四象限内的点D 在该抛物线的对称轴上，如果 以点A 、C 、D 所组成的三角形与△AOB 相似， 求点D 的坐标；（3）设点E 在该抛物线的对称轴上，它的纵坐标是1， 联结AE 、BE ，求ABE ∠sin .闵行24．（本题共3题，每小题4分，满分12分）抛物线23(0)y ax bx a =++≠经过点A （1-，0），B （32，0且与y 轴相交于点C ．（1）求这条抛物线的表达式； （2）求∠ACB 的度数；（3）设点D 是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E 在线段AC 上，且DE ⊥AC ， 当△DCE 与△AOC 相似时，求点D 的坐标．（第24题图）杨浦24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H .（1）求顶点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH =∠AHO ，求m 的值.浦东24．（本题满分12分，每小题4分）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5与x 轴交于点A (1，0)和点B (5，0)，顶点为M ．点C 在x 轴的负半轴上，且AC ＝AB ，点D 的坐标为(0，3)，直线l 经过点C 、D ． （1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线l 在第三象限上的点，联结AP ，且线段CP 是线段CA 、CB 的比例中项，求tan ∠CPA 的值；（3）在（2）的条件下，联结AM 、BM ，在直线PM 上是否存在点E ，使得∠AEM =∠AMB .若存在，求出点E（第24题图）（第24题图）松江24．（本题满分12分，每小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线x =1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB =4，又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与对称轴交于点E ，设点P 的横坐标为t ． （1）求点A 的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE :EP =1:2时，求点E 的坐标；（3）记抛物线的顶点为M ，与y 轴的交点为C ，当四边形CDEM 是等腰梯形时，求t 的值．徐汇24（本题12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx （k ≠0）沿着y 轴向上平移3个单位长度后，与x 轴交于点B （3,0），与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c =++过点B 、C 且与x 轴的另一个交点为A ．（1）求直线BC 及该抛物线的表达式； （2）设该抛物线的顶点为D ，求△DBC 的面积；（3）如果点F 在y 轴上，且∠CDF =45°，求点F 的坐标．崇明24．（本题满分12分，每小题各4分）如图，抛物线24y x bx c=-++过点(3,0)A，(0,2)B．(,0)M m为线段OA上一个动点（点M N．（（（黄浦24．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x=1的抛物线28y ax bx=++过点（﹣2，0）.（1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（2）现将此抛物线沿y轴方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D，与y轴的交点为B，与x轴负半轴交于点A，过B作x轴的平行线交所得抛物线于点C，若AC∥BD，试求平移后所得抛物线的表达式.（第24题图）（备用图）y青浦24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分） 如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y axbx c a =++>与x 轴相交于点A （-1，0）和点B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线1x =．（1）求点C 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）联结AC 、BC ，若△ABC 的面积为6，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）小题的条件下，点Q 为x 轴正半轴上一点，点G 与点C ，点F 与点A 关于点Q 成中心对称，当△CGF 为直角三角形时，求点Q 的坐标．长宁24．（本题满分12分，每小题4分）在直角坐标平面内，直线221+=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、C . 抛物线c bx x y ++-=221经过点A 与点C ，且与x 轴的另一个交点为点B . 点D 在该抛物线上，且位于直线AC 的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC 、BD ，且BD 交AC 于点E ，如果∆ABE 的面积与∆ABC 的面积之比为4:5，求∠DBA 的余切值；（3）过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，联结CD . 若∆CFD 与∆AOC 相似，求点D 的坐标．图9备用图第24题图金山24．（本题满分12分，每小题4分）平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+bx+3与y轴相交于点C，与x轴正半轴相交于点A，OA=OC，与x轴的另一个交点为B，对称轴是直线x=1，顶点为P．（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点M，求∠PMC的正切值；（3）点Q在y轴上，且△BCQ与△CMP相似，求点Q的坐标．。
2018年-上海中考数学一模-23题合集
上海-初三数学一模-2018年-23题-分题合集1.（2018一模·奉贤）已知：如图，四边形ABCD，∠DCB＝90°，对角线BD⊥AD，点E是边AB的中点，CE与BD相交于点F，BD2＝AB•BC（1）求证：BD平分∠ABC；（2）求证：BE•CF＝BC•EF．2.（2018•金山区一模）如图，已知在R t△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是R t△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；（2）在AB上取一点G，如果AE•AC=AG•AD，求证：EG•CF=ED•DF．3.（2018•虹口区一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF•DF=BF•CF．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）当AB=12，AC=9，AE=8时，求BD的长与 △ △ 的值．4.（2018•松江区一模）已知四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，BD2=AD•BC．（1）求证：AD∥BC；（2）过点A作AE∥CD交BC于点E．请完善图形并求证：CD2=BE•BC．5.（2018•嘉定区一模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E在对角线AC上，且满足∠ADE=∠BAC．（1）求证：CD•AE=DE•BC；（2）以点A为圆心，AB长为半径画弧交边BC于点F，联结AF．求证：AF2=CE•CA．6.（2018•黄浦区一模）如图，BD是△ABC的角平分线，点E位于边BC上，已知BD是BA与BE的比例中项．（1）求证：∠CDE=12∠ABC；（2）求证：AD•CD=AB•CE．7.（2018•长宁区一模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB=∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2=DE•DF．（1）求证：△BFD∽△CAD；（2）求证：BF•DE=AB•AD．8.（2018•宝山区一模）如图，△ABC中，AB=AC，过点C作CF∥AB交△ABC的中位线DE的延长线于F，联结BF，交AC于点G．（1）求证： = ；（2）若AH平分∠BAC，交BF于H，求证：BH是HG和HF的比例中项．9.（2018•闵行区一模）如图，已知在△ABC中，∠BAC=2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E=∠C．（1）求证：AD2=AF•AB；（2）求证：AD•BE=DE•AB．10.（2018•崇明县一模）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．（1）求证：GD•AB=DF•BG；（2）联结CF，求证：∠CFB=45°．11.（2018•青浦区一模）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AC、BC上，线段BD与AE交于点F，且CD•CA=CE•CB．（1）求证：∠CAE=∠CBD；（2）若 = ，求证：AB•AD=AF•AE．12.（2018•杨浦区一模）已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC上，且∠BEF=∠BAC．（1）求证：△AED∽△CFE；（2）当EF∥DC时，求证：AE=DE．13.（2018•浦东新区一模）如图，已知，在锐角△ABC中，CE⊥AB于点E，点D在边AC上，联结BD交CE于点F，且EF•FC=FB•DF．（1）求证：BD⊥AC；（2）联结AF，求证：AF•BE=BC•EF．14.（2018•徐汇区一模）如图在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且∠ADE=∠B，∠ADF=∠C，线段EF交线段AD于点G．（1）求证：AE=AF；（2）若 = ，求证：四边形EBDF是平行四边形．15.（2018•静安区一模）已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BD，AD⊥DB，点E是腰AD上一点，作∠EBC=45°，联结CE，交DB于点F．（1）求证：△ABE∽△DBC；（2）如果 =56，求 △ △ 的值．16.（2018•普陀区一模）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD＝DC，DC2＝DE•DB，求证：（1）△BCE∽△ADE；（2）AB•BC＝BD•BE．。
中考数学第一次模试卷含答案解析
上海市松江区中考数学一模试卷一.选择题1．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是( )A．1：16B．1：4C．1：6D．1：22．下列函数中，属于二次函数的是( )A．y=2x+1B．y=（x﹣1）2﹣x2C．y=2x2﹣7D．3．在Rt△ABC中，△ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是( ) A．B．C．D．4．若四边形ABCD的对角线交于点O，且有，则以下结论正确的是( ) A．B．C．D．5．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么( )A．a＜0，b＞0，c＞0B．a＞0，b＜0，c＞0C．a＞0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜06．P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．Rt△ABC中，△C=90°，△A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？( )A．1条B．2条C．3条D．4条二.填空题7．若a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，则a+b﹣c=__________．8．已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为__________cm．9．二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为__________．10．在Rt△ABC中，△C=90°，如果AC=4，sinB=，那么AB=__________．11．一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为__________米．12．如图，直线AD△BE△CF，，DE=6，那么EF的值是__________．13．在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，则该斜坡坡度i=__________．14．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是__________（填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2）．15．将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是__________．16．如图，已知DE△BC，且DE经过△ABC的重心G，若BC=6cm，那么DE等于__________cm．17．已知二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，则该二次函数的图象对称轴为直线__________．18．已知在△ABC中，△C=90°，BC=3，AC=4，点D是AB边上一点，将△ABC沿着直线CD翻折，点A落在直线AB上的点A′处，则sin△A′CD=__________．三.解答题19．已知抛物线y=x2+bx+3经过点A（﹣1，8），顶点为M；（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线对称轴与x轴交于点B，连接AB、AM，求△ABM的面积．20．（16分）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设=，=；（1）求向量（用向量、表示）；（2）在图中求作向量在、方向上的分向量；（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5米，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B处测得M的仰角为31°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1米，求旗杆MN的高度；（结果保留两位小数）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）22．如图，已知△ABC中，△C=90°，tanA=，点D在边AB上，AD：DB=3：1，求cot△DCB的值．23．已知如图，在△ABC中，BD平分△ABC交AC于点D，点E在AB上，且BD2=BE•BC；（1）求证：△BDE=△C；（2）求证：AD2=AE•AB．24．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是（3，0），tan△OAC=3；（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P在x轴上方的抛物线上，且△PAB=△CAB，求点P的坐标；（3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐标．25．（18分）已知，等腰梯形ABCD中，AD△BC，△B=△BCD=45°，AD=3，BC=9，点P是对角线AC上的一个动点，且△APE=△B，PE分别交射线AD和射线CD于点E和点G；（1）如图1，当点E、D重合时，求AP的长；（1）如图2，当点E在AD的延长线上时，设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG=时，求AE的值．上海市松江区中考数学一模试卷一.选择题1．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是( )A．1：16B．1：4C．1：6D．1：2【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：△两个相似三角形的面积比是1：4，△两个相似三角形的相似比是1：2，△两个相似三角形的周长比是1：3，故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．2．下列函数中，属于二次函数的是( )A．y=2x+1B．y=（x﹣1）2﹣x2C．y=2x2﹣7D．【考点】二次函数的定义．【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．【解答】解：A、是一次函数，故本选项错误；B、整理后是一次函数，故本选项错误；C、y=2x2﹣7是二次函数，故本选项正确；D、y与x2s是反比例函数关系，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．3．在Rt△ABC中，△ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是( ) A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】首先利用勾股定理求得AC的长，然后利用三角函数的定义求解，即可作出判断．【解答】解：在直角△ABC中，AC===．则sinA==，故A错误；cosA==，故B正确；tanA===，故C错误；cotA===，故D错误．故选B．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4．若四边形ABCD的对角线交于点O，且有，则以下结论正确的是( ) A．B．C．D．【考点】*平面向量．【分析】首先根据题意画出图形，然后由，可得AB△CD，AB=2DC即可证得△OAB△△OCD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OA：OC=OB：OD=AB：CD=2：1，继而求得答案．【解答】解：A、△，△AB△CD，AB=2DC，△△OAB△△OCD，△OA：OC=AB：DC=2：1，△OA=2OC，△=2；故正确；B、||不一定等于||；故错误；C、≠，故错误；D、=；故错误．故选A．【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意掌握证得△AOB△△COD是解此题的关键．5．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么( )A．a＜0，b＞0，c＞0B．a＞0，b＜0，c＞0C．a＞0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜0【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】数形结合．【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．【解答】解：△抛物线开口向下，△a＜0，△抛物线的对称轴在y轴的右侧，△x=﹣＞0，△b＞0，△抛物线与y轴的交点在x轴上方，△c＞0．故选A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．6．P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．Rt△ABC中，△C=90°，△A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？( )A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】相似三角形的判定．【专题】新定义．【分析】根据相似三角形的判定方法分别利用平行线以及垂直平分线的性质得出对应角相等即可得出．【解答】解：如图所示：当PD△BC时，△APD△△ACB；当PE△AC时，△BPE△△BAC；当PF△AB时，△APD△△ABC故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法作出辅助线是解题关键．二.填空题7．若a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，则a+b﹣c=8．【考点】比例的性质．【分析】设a=k，则b=3k，c=2k，根据a+b+c=24即可代入求得k，然后代入求得所求代数式的值．【解答】解：△a：b：c=1：3：2，△设a=k，则b=3k，c=2k，又△a+b+c=24，△k+3k+2k=24，△k=4，△a+b﹣c=k+3k﹣2k=2k=2×4=8．故答案是：8．【点评】本题考查了比例的性质，根据a：b：c=1：3：2正确设出未知数是解决本题的关键．8．已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为4cm．【考点】比例线段．【分析】比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．设它们的比例中项是x，则x2=2×8，x=±4（线段是正数，负值舍去）．故答案为4．【点评】考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数．9．二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为（0，3）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把x=0代入即可求得．【解答】解：把x=0代入y=﹣2x2﹣x+3得，y=3，所以二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为（0，3），故答案为（0，3）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，y轴上的点的横坐标为0是解题的关键．10．在Rt△ABC中，△C=90°，如果AC=4，sinB=，那么AB=6．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解．【解答】解：△sinB=，△AB===6．故答案是：6．【点评】本题考查了正弦函数的定义，是所对的直角边与斜边的比，理解定义是关键．11．一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为3米．【考点】二次函数的应用．【分析】直接利用配方法求出二次函数最值即可．【解答】解：由题意可得：y=﹣=﹣（x2﹣8x）+=﹣（x﹣4）2+3，故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出最值是解题关键．12．如图，直线AD△BE△CF，，DE=6，那么EF的值是4．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，即可得出结果．【解答】解：△AD△BE△CF，，△=，即，解得：EF=4故答案为：4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．13．在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，则该斜坡坡度i=1：2．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】推理填空题．【分析】根据在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，可以计算出此时的水平距离，水平高度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答本题．【解答】解：设在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，此时水平距离为x米，根据勾股定理，得x2+12=52，解得，（舍去），故该斜坡坡度i=1：2．故答案为：1：2．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是明确什么是坡度．14．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是y1＜y2（填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】分别计算自变量为﹣2、3时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当x=﹣3时，y1=﹣2（x﹣1）2+3=﹣29；当x=0时，y2=﹣2（x﹣1）2+3=1；△﹣29＜1，△y1＜y2，故答案为：y1＜y2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．15．将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x﹣2）2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向右平移2个单位，所得函数解析式为：y=（x﹣2）2．故答案为：y=（x﹣2）2．【点评】本题考查的是函数图象平移的法则，根据“上加下减，左加右减”得出是解题关键．16．如图，已知DE△BC，且DE经过△ABC的重心G，若BC=6cm，那么DE等于4cm．【考点】三角形的重心．【分析】利用重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，进而求出答案．【解答】解：连接AG并延长到BC上一点N，△△ABC的重心G，DE△BC，△△ADG△△ABN，BN=CN，DG=GE，△==，△=，解得：DG=2，△DE=4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了重心的定义以及相似三角形的判定与性质，得出DG的长是解题关键．17．已知二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，则该二次函数的图象对称轴为直线x=2．【考点】二次函数的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据二次函数图象具有对称性，由二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，可以得到该二次函数的图象对称轴，从而可以解答本题．【解答】解：△二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，△该二次函数的图象对称轴为直线：x=，故答案为：x=2．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，二次函数的图象关于对称轴对称．18．已知在△ABC中，△C=90°，BC=3，AC=4，点D是AB边上一点，将△ABC沿着直线CD翻折，点A落在直线AB上的点A′处，则sin△A′CD=．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】点A落在直线AB上的点A′处，则CD△AB，D就是垂足，根据三角形的面积公式求得CD的长，然后在直角△ACD中利用勾股定理求得AD，再根据sin△A′CD=sin△ACD 求解．【解答】解：作CD△AB于点D．在直角△ABC中，AB===5，△S△ABC=AB•CD=BC•AC，△CD===，在直角△ACD中，AD==，△sin△A′CD=sin△ACD===．故答案是：．【点评】本题考查了图形的折叠以及勾股定理的应用，正确理解△ACD=△A′CD是关键．三.解答题19．已知抛物线y=x2+bx+3经过点A（﹣1，8），顶点为M；（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线对称轴与x轴交于点B，连接AB、AM，求△ABM的面积．【考点】待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，列出关于系数b的方程，通过解方程求得b 的值即可；（2）由（1）中函数解析式得到对称轴为x=2，然后结合三角形的面积公式进行解答即可．【解答】解：（1）△抛物线y=x2+bx+3经过点A（﹣1，8），△8=（﹣1）2﹣b+3，解得b=﹣4，△所求抛物线的表达式为y=x2﹣4x+3；（2）作AH△BM于点H，△由抛物线y=x2﹣4x+3解析式可得，点M的坐标为（2，﹣1），点B的坐标为（2，0），△BM=1，△对称轴为直线x=2，△AH=3，△△ABM的面积=．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点．解题的关键是正确求出抛物线的解析式．20．（16分）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设=，=；（1）求向量（用向量、表示）；（2）在图中求作向量在、方向上的分向量；（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【考点】*平面向量．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得，又由点M、N是边DC、BC的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得向量；（2）首先平移向量，然后利用平行四边形法则，即可求得答案．【解答】解：（1）方法一：△四边形ABCD是平行四边形，△AB△DC，AD△BC，AB=DC，AD=BC，△，，△，，△点M、N分别为DC、BC的中点，△，，△．方法二：△，，△，△点M、N分别为DC、BC的中点，△；（2）作图：结论：、是向量分别在、方向上的分向量．【点评】此题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及三角形的中位线的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．21．如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5米，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B处测得M的仰角为31°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1米，求旗杆MN的高度；（结果保留两位小数）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】过点M的水平线交直线AB于点H，设MH=x，则AH=x，结合等腰直角三角形的性质和解直角三角形ABH得到AB=AH﹣BH=x﹣0.60x=0.4x=3.5，由此求得MH的长度，则MN=AB+BH．【解答】解：过点M的水平线交直线AB于点H，由题意，得△AMH=△MAH=45°，△BMH=31°，AB=3.5，设MH=x，则AH=x，BH=xtan31°=0.60x，△AB=AH﹣BH=x﹣0.60x=0.4x=3.5，解得x=8.75，则旗杆高度MN=x+1=9.75（米）答：旗杆MN的高度度约为9.75米．【点评】本题考查了解直角三角形﹣﹣仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．22．如图，已知△ABC中，△C=90°，tanA=，点D在边AB上，AD：DB=3：1，求cot△DCB的值．【考点】解直角三角形．【专题】探究型．【分析】作辅助线DH△BC，根据，△C=90°，tanA=，点D在边AB上，AD：DB=3：1，可知△BDH△△BAC，从而可以得到各边之间的关系，从而可以得到cot△DCB的值．【解答】解：过D点作DH△BC于点H，如下图所示：△△ACB=90°，△DH△AC，△△BDH△△BAC，△△BDH=△A，△AD：DB=3：1，△BH：BC=BD：BA=1：4，设BH=x，则BC=4x，CH=3x，△△C=90°，，△BDH=△A，△DH=2x，△DH△BC，△cot△DCB=，即cot△DCB=．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是找出各边之间的关系，然后求出所求角的三角函数值．23．已知如图，在△ABC中，BD平分△ABC交AC于点D，点E在AB上，且BD2=BE•BC；（1）求证：△BDE=△C；（2）求证：AD2=AE•AB．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据角平分线的定义得到△ABD=△CBD，由BD2=BE•BC，得到，推出△EBD△△DBC，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）由△BDE=△C，推出△DBC=△ADE，等量代换得到△ABD=△ADE，证得△ADE△△ABD，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）△BD平分△ABC，△△ABD=△CBD，△BD2=BE•BC，△，△△EBD△△DBC，△△BDE=△C；（2）△△BDE=△C，△DBC+△C=△BDE+△ADE，△△DBC=△ADE，△△ABD=△CBD，△△ABD=△ADE，△△ADE△△ABD，△，即AD2=AE•AB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的性质即可得到结论．24．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是（3，0），tan△OAC=3；（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P在x轴上方的抛物线上，且△PAB=△CAB，求点P的坐标；（3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据正切函数，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据正切函数，可得P点坐标，根据图象上的点满足函数解析式，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得关于y的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解（1）△抛物线y=ax2+bx﹣3与y轴交于点C，△点C的坐标为（0，﹣3），△OC=3，△tan△OAC=3，△OA=1，即点A的坐标为（﹣1，0），又点B（3，0），△，解得，△抛物线的函数表达式是y=x2﹣2x﹣3；（2）△△PAB=△CAB，△tan△PAB=tan△CAB=3，△点P在x轴上方，设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为3（x+1），△3（x+1）=x2﹣2x﹣3，得x=﹣1（舍去）或x=6，当x=6时，y=21，△点P的坐标为（6，21）；（3）如图，设点D的坐标为（0，y），易得△ABC为△ABC=45°的锐角三角形，所以△DCB也是锐角三角形，△点D在点C的上方，△△DCB=45°，△△ABC=△DCB，△AB=4，BC=，DC=y+3，①如果=，则=，△y=1，即点D（0，1），②如果=则=，△y=，即点D1（0，）．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数求函数解析式；利用正切函数得出P 点坐标是解题关键，又利用图象上的点满足函数解析式得出P点坐标；利用两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得出关于y的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．25．（18分）已知，等腰梯形ABCD中，AD△BC，△B=△BCD=45°，AD=3，BC=9，点P是对角线AC上的一个动点，且△APE=△B，PE分别交射线AD和射线CD于点E和点G；（1）如图1，当点E、D重合时，求AP的长；（1）如图2，当点E在AD的延长线上时，设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG=时，求AE的值．【考点】相似形综合题．【专题】综合题；图形的相似．【分析】（1）作AH垂直于BC，垂足为H，如图1所示，由△B=△BCD=45°，得到三角形ABH为等腰直角三角形，由等腰梯形的两底之差的一半求出BH的长，即为AH的长，由BC﹣BH求出HC的长，利用勾股定理求出AC的长，由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由已知角相等，利用两角相等的三角形相似得到三角形ADP与三角形CAB相似，由相似得比例求出AP的长即可；（2）由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由已知角相等，利用两角相等的三角形相似得到三角形ADP与三角形CAB相似，由相似得比例列出y与x的函数解析式，并求出定义域即可；（3）分两种情况考虑：当点G在线段CD上时，作DM△EP交AC于点M，如图2所示，同理求出AM的长，进而求出MC的长，由CD﹣DG求出GC的长，根据GP与MD平行，由平行得比例求出PM的长，由DM与EP平行，根据平行得比例，求出DE的长，根据AD+DE求出AE的长；②当点G在CD的延长线上时，如图3所示，同理求出DE 的长，由AD﹣DE求出AE的长即可．【解答】解：（1）作AH△BC于点H，如图1所示：△△B=△BCD=45°，AD=3，BC=9，等腰梯形ABCD，AD=3，BC=9，△BH=AH=（BC﹣AD）=×（9﹣3）=3，△BH=AH=3，根据勾股定理得：AB==3，CH=BC﹣BH=9﹣3=6，△AC==3，△AD△BC，△△DAP=△ACB，又△APE=△B，△△ADP△△CAB，△=，即=，△AP=；（2）如图2所示，△AD△BC，△△DAP=△ACB，△△APE=△B，△△APE△△CBA，△=，即=，△y=x﹣3（＜x≤3）；（3）分两种情况考虑：①当点G在线段CD上时，作DM△EP交AC于点M，如图2所示，由（1），同理可得AM=，△CM=，△DG=，CD=AB=3，△CG=2，△GP△DM，△=，即=，△MP=，△DM△EP，△=，即=，解得：DE=，△AE=AD+DE=3+=；②当点G在CD的延长线上时，如图3所示，同①可得DE=，△AE=AD﹣DE=3﹣=．【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：平行线等分线段成比例，等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．第21页共21页。
一模参考答案与评分标准(松江2019.1)
松江区2018学年度第一学期期末质量监控试卷初三数学参考答案及评分说明一、选择题：1．A ； 2．D ； 3．B ； 4．D ； 5．C ； 6．C ．二、填空题： 7．31；8．6；9．10；10．15-；11．2x y -=等；12．>；13．50； 14．512；15．3+；16．23；17．53；18．332．三、解答题：19．解：()1222-+=x x y ……………………………………………………（1分）()121222--++=x x y ………………………………………………………（1分） ()3122-+=x y …………………………………………………………………（3分）开口方向：向上……………………………………………………………………（1分） 顶点坐标：（-1，-3）……………………………………………………………（2分） 对称轴：直线1-=x ……………………………………………………………（2分）20．解：过点B 作BD ⊥AC ，垂足为点D ………………………………………（1分）在Rt △ABD 中，ABADA =cos …………………………………………………（2分） ∵53cos =A ，AB=5，∴AD=AB ·cos A =5×53=3……………………………（2分）∴BD=4……………………………………………………………………………（2分） ∵AC=5，∴DC=2…………………………………………………………………（1分） ∴BC=52………………………………………………………………………（2分）∵FG ∥AB ，∴∠FGH =∠B ………………………………………………………（1分） ∴∠ADE =∠FGH …………………………………………………………………（1分） 同理：∠AED =∠FHG ……………………………………………………………（1分） ∴△ADE ∽△FGH ………………………………………………………………（1分）∴2⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆GH DE S S FGH ADE ……………………………………………………………（1分） ∵DE ∥BC ，FG ∥AB ，∴DF =BG ………………………………………………（1分） 同理：FE =HC ……………………………………………………………………（1分） ∵BG ︰GH ︰HC =2︰4︰3，∴设BG =2k ，GH =4k ，HC =3k∴DF =2k ，FE =3k ，∴DE =5k ……………………………………………………（1分）∴1625452=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆k k S S FGH ADE ……………………………………………………（1分）22．（1）在Rt △APN 中，∠NAP =45°，∴P A =PN ………………………………（1分） 在Rt △APM 中，APMPMAP =∠tan ……………………………………………（2分） 设P A =PN =x ，∵∠MAP =58°∴MAP AP MP ∠⋅=tan =1.6x …………………………………………………（1分） 在Rt △BPM 中，BPMPMBP =∠tan ……………………………………………（2分） ∵∠MBP =31°，AB =5 ∴xx+=56.16.0……………………………………………………………………（2分） ∴ x =3………………………………………………………………………………（1分） ∴MN=MP-NP =0.6x =1.8（米）…………………………………………………（1分） 答：广告牌的宽MN 的长为1.8米．∵AC ·CE=AD ·BC ，∴CEADBC AC =……………………………………………（2分） ∴△ACD ∽△CBE ………………………………………………………………（1分）∴∠DCA=∠EBC …………………………………………………………………（1分） （2）∵AD ∥BC ，∴∠AFB=∠EBC ……………………………………………（1分） ∵∠DCA=∠EBC ，∴∠AFB=∠DCA ……………………………………………（1分） ∵AD ∥BC ，AB=DC∴∠BAD=∠ADC ……………………………（2分） ∴△ABF ∽△DAC ………………（1分） ∴DCAFAD AB =………………………………（1分） ∵AB=DC ，∴AD AF AB ⋅=2…………（1分）24．解：（1）∵抛物线经过点A （﹣2，0），点B （0，4） ∴⎩⎨⎧==+--4022c c b …………（1分）， 解得14b c =⎧⎨=⎩………………………（1分）∴抛物线解析式为2142y x x =-++ …………………………………………（1分） （2）()2912142122+--=++-=x x x y …………………………………（1分）∴对称轴为直线x =1，过点P 作PG ⊥y 轴，垂足为G ∵∠PBO=∠BAO ，∴tan ∠PBO=tan ∠BAO ， ∴PG BO BG AO =……………………………………………（1分） ∴121BG =，∴12BG =…………………………………（1分）∴72OG =，∴P （1，27）………………………………（1分） （3）设新抛物线的表达式为2142y x x m =-++-…（1分）则()0,4D m -,()2,4E m -，DE =2……………………（1分） 过点F 作FH ⊥y 轴，垂足为H ，∵DE ∥FH ，EO=2OFF（第23题图）EDCBA∴2=1DE EO DO FH OF OH ==，∴FH=1……………………………………………（1分）① 点D 在y 轴的正半轴上，则51,2F m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴52OH m =- ∴42512DO m OH m -==-，∴m=3……………………………………………………（1分） ② 点D 在y 轴的负半轴上，则91,2F m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴92OH m =-∴42912DO m OH m -==-，∴m=5……………………………………………………（1分） ∴综上所述m 的值为3或5.25．解：（1）∵P 为AC 的中点，AC =8，∴CP =4……………………………（1分） ∵∠ACB =90°，BC =6，∴BP=（1分） ∵D 是边AB 的中点，P 为AC 的中点，∴点E 是△ABC 的重心……………（1分）∴23BE BP ==1分）（2）过点B 作BF ∥CA 交CD 的延长线于点F ………………………………（1分） ∴CABFDC FD DA BD ==………………………………（1分） ∵BD=DA ，∴FD=DC ，BF=AC …………………（1分） ∵CE=2，ED=3，则CD =5，∴EF =8∴4182===EF CE BF CP …………………………（1分） ∴41=CA CP ，∴13CP PA =，设CP=k ，则P A=3k ，∵PD ⊥AB ，D 是边AB 的中点，∴P A=PB=3k∴k BC 22=，∴k AB 62=，∵k AC 4=，∴cos A =…………（1分）PE （备用图1）AB C DF（3）∵∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，∴12CD BD AB ==∵222BP CD =，∴22BP CD CD BD AB =⋅=⋅……………（1分） ∵∠PBD=∠ABP ，∴△PBD ∽△ABP …………………………（1分） ∴∠BPD=∠A ……………………………………………………（1分） ∵∠A=∠DCA ，∴∠DPE=∠DCP ，∵∠PDE=∠CDP ，△DPE ∽△DCP ，∴DC DE PD ⋅=2…………………………（1分）∵DE=3,DC=5，∴15=PD …………………………………………………（1分）（备用图2）ABCDPE。
【最新】上海市松江区中考数学一模试卷及答案
上海市松江区中考数学一模试卷一.选择题1．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是( )A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：22．下列函数中，属于二次函数的是( )A．y=2x+1 B．y=（x﹣1）2﹣x2C．y=2x2﹣7 D．3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是( ) A．B．C．D．4．若四边形ABCD的对角线交于点O，且有，则以下结论正确的是( ) A．B．C．D．5．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么( )A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0 C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜06．P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？( ) A．1条B．2条C．3条D．4条二.填空题7．若a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，则a+b﹣c=__________．8．已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为__________cm．9．二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为__________．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=，那么AB=__________．11．一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为__________米．12．如图，直线AD∥BE∥CF，，DE=6，那么EF的值是__________．13．在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，则该斜坡坡度i=__________．14．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是__________（填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2）．15．将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是__________．16．如图，已知DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G，若BC=6cm，那么DE等于__________cm．17．已知二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，则该二次函数的图象对称轴为直线__________．18．已知在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点D是AB边上一点，将△ABC沿着直线CD翻折，点A落在直线AB上的点A′处，则sin∠A′CD=__________．三.解答题19．已知抛物线y=x2+bx+3经过点A（﹣1，8），顶点为M；（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线对称轴与x轴交于点B，连接AB、AM，求△ABM的面积．20．（16分）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设=，=；（1）求向量（用向量、表示）；（2）在图中求作向量在、方向上的分向量；（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5米，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B处测得M的仰角为31°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1米，求旗杆MN的高度；（结果保留两位小数）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）22．如图，已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，点D在边AB上，AD：DB=3：1，求cot∠DCB的值．23．已知如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在AB上，且BD2=BE•BC；（1）求证：∠BDE=∠C；（2）求证：AD2=AE•AB．24．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是（3，0），tan∠OAC=3；（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P在x轴上方的抛物线上，且∠PAB=∠CAB，求点P的坐标；（3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐标．25．（18分）已知，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，点P 是对角线AC上的一个动点，且∠APE=∠B，PE分别交射线AD和射线CD于点E和点G；（1）如图1，当点E、D重合时，求AP的长；（1）如图2，当点E在AD的延长线上时，设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG=时，求AE的值．上海市松江区中考数学一模试卷一.选择题1．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是( )A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴两个相似三角形的周长比是1：3，故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．2．下列函数中，属于二次函数的是( )A．y=2x+1 B．y=（x﹣1）2﹣x2C．y=2x2﹣7 D．【考点】二次函数的定义．【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．【解答】解：A、是一次函数，故本选项错误；B、整理后是一次函数，故本选项错误；C、y=2x2﹣7是二次函数，故本选项正确；D、y与x2s是反比例函数关系，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是( ) A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】首先利用勾股定理求得AC的长，然后利用三角函数的定义求解，即可作出判断．【解答】解：在直角△ABC中，AC===．则sinA==，故A错误；cosA==，故B正确；tanA===，故C错误；cotA===，故D错误．故选B．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4．若四边形ABCD的对角线交于点O，且有，则以下结论正确的是( ) A．B．C．D．【考点】*平面向量．【分析】首先根据题意画出图形，然后由，可得AB∥CD，AB=2DC即可证得△OAB∽△OCD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OA：OC=OB：OD=AB：CD=2：1，继而求得答案．【解答】解：A、∵，∴AB∥CD，AB=2DC，∴△OAB∽△OCD，∴OA：OC=AB：DC=2：1，∴OA=2OC，∴=2；故正确；B、||不一定等于||；故错误；C、≠，故错误；D、=；故错误．故选A．【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意掌握证得△AOB∽△COD是解此题的关键．5．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么( )A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0 C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0 【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】数形结合．【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0．故选A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab ＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．6．P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？( ) A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】相似三角形的判定．【专题】新定义．【分析】根据相似三角形的判定方法分别利用平行线以及垂直平分线的性质得出对应角相等即可得出．【解答】解：如图所示：当PD∥BC时，△APD∽△ACB；当PE∥AC时，△BPE∽△BAC；当PF⊥AB时，△APD∽△ABC故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法作出辅助线是解题关键．二.填空题7．若a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，则a+b﹣c=8．【考点】比例的性质．【分析】设a=k，则b=3k，c=2k，根据a+b+c=24即可代入求得k，然后代入求得所求代数式的值．【解答】解：∵a：b：c=1：3：2，∴设a=k，则b=3k，c=2k，又∵a+b+c=24，∴k+3k+2k=24，∴k=4，∴a+b﹣c=k+3k﹣2k=2k=2×4=8．故答案是：8．【点评】本题考查了比例的性质，根据a：b：c=1：3：2正确设出未知数是解决本题的关键．8．已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为4cm．【考点】比例线段．【分析】比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．设它们的比例中项是x，则x2=2×8，x=±4（线段是正数，负值舍去）．故答案为4．【点评】考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数．9．二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为（0，3）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把x=0代入即可求得．【解答】解：把x=0代入y=﹣2x2﹣x+3得，y=3，所以二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为（0，3），故答案为（0，3）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，y轴上的点的横坐标为0是解题的关键．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=，那么AB=6．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解．【解答】解：∵sinB=，∴AB===6．故答案是：6．【点评】本题考查了正弦函数的定义，是所对的直角边与斜边的比，理解定义是关键．11．一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为3米．【考点】二次函数的应用．【分析】直接利用配方法求出二次函数最值即可．【解答】解：由题意可得：y=﹣=﹣（x2﹣8x）+=﹣（x﹣4）2+3，故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出最值是解题关键．12．如图，直线AD∥BE∥CF，，DE=6，那么EF的值是4．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，即可得出结果．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，，∴=，即，解得：EF=4故答案为：4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．13．在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，则该斜坡坡度i=1：2．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】推理填空题．【分析】根据在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，可以计算出此时的水平距离，水平高度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答本题．【解答】解：设在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，此时水平距离为x米，根据勾股定理，得x2+12=52，解得，（舍去），故该斜坡坡度i=1：2．故答案为：1：2．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是明确什么是坡度．14．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是y1＜y2（填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】分别计算自变量为﹣2、3时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当x=﹣3时，y1=﹣2（x﹣1）2+3=﹣29；当x=0时，y2=﹣2（x﹣1）2+3=1；∵﹣29＜1，∴y1＜y2，故答案为：y1＜y2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．15．将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x﹣2）2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向右平移2个单位，所得函数解析式为：y=（x﹣2）2．故答案为：y=（x﹣2）2．【点评】本题考查的是函数图象平移的法则，根据“上加下减，左加右减”得出是解题关键．16．如图，已知DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G，若BC=6cm，那么DE等于4cm．【考点】三角形的重心．【分析】利用重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，进而求出答案．【解答】解：连接AG并延长到BC上一点N，∵△ABC的重心G，DE∥BC，∴△ADG∽△ABN，BN=CN，DG=GE，∴==，∴=，解得：DG=2，∴DE=4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了重心的定义以及相似三角形的判定与性质，得出DG的长是解题关键．17．已知二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，则该二次函数的图象对称轴为直线x=2．【考点】二次函数的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据二次函数图象具有对称性，由二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，可以得到该二次函数的图象对称轴，从而可以解答本题．【解答】解：∵二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，∴该二次函数的图象对称轴为直线：x=，故答案为：x=2．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，二次函数的图象关于对称轴对称．18．已知在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点D是AB边上一点，将△ABC沿着直线CD翻折，点A落在直线AB上的点A′处，则sin∠A′CD=．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】点A落在直线AB上的点A′处，则CD⊥AB，D就是垂足，根据三角形的面积公式求得CD的长，然后在直角△ACD中利用勾股定理求得AD，再根据sin∠A′CD=sin∠ACD 求解．【解答】解：作CD⊥AB于点D．在直角△ABC中，AB===5，∵S△ABC=AB•CD=BC•AC，∴CD===，在直角△ACD中，AD==，∴sin∠A′CD=sin∠ACD===．故答案是：．【点评】本题考查了图形的折叠以及勾股定理的应用，正确理解∠ACD=∠A′CD是关键．三.解答题19．已知抛物线y=x2+bx+3经过点A（﹣1，8），顶点为M；（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线对称轴与x轴交于点B，连接AB、AM，求△ABM的面积．【考点】待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，列出关于系数b的方程，通过解方程求得b 的值即可；（2）由（1）中函数解析式得到对称轴为x=2，然后结合三角形的面积公式进行解答即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+3经过点A（﹣1，8），∴8=（﹣1）2﹣b+3，解得b=﹣4，∴所求抛物线的表达式为y=x2﹣4x+3；（2）作AH⊥BM于点H，∵由抛物线y=x2﹣4x+3解析式可得，点M的坐标为（2，﹣1），点B的坐标为（2，0），∴BM=1，∵对称轴为直线x=2，∴AH=3，∴△ABM的面积=．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点．解题的关键是正确求出抛物线的解析式．20．（16分）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设=，=；（1）求向量（用向量、表示）；（2）在图中求作向量在、方向上的分向量；（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【考点】*平面向量．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得，又由点M、N是边DC、BC的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得向量；（2）首先平移向量，然后利用平行四边形法则，即可求得答案．【解答】解：（1）方法一：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，AB=DC，AD=BC，∵，，∴，，∵点M、N分别为DC、BC的中点，∴，，∴．方法二：∵，，∴，∵点M、N分别为DC、BC的中点，∴；（2）作图：结论：、是向量分别在、方向上的分向量．【点评】此题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及三角形的中位线的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．21．如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5米，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B处测得M的仰角为31°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1米，求旗杆MN的高度；（结果保留两位小数）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】过点M的水平线交直线AB于点H，设MH=x，则AH=x，结合等腰直角三角形的性质和解直角三角形ABH得到AB=AH﹣BH=x﹣0.60x=0.4x=3.5，由此求得MH的长度，则MN=AB+BH．【解答】解：过点M的水平线交直线AB于点H，由题意，得∠AMH=∠MAH=45°，∠BMH=31°，AB=3.5，设MH=x，则AH=x，BH=xtan31°=0.60x，∴AB=AH﹣BH=x﹣0.60x=0.4x=3.5，解得x=8.75，则旗杆高度MN=x+1=9.75（米）答：旗杆MN的高度度约为9.75米．【点评】本题考查了解直角三角形﹣﹣仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．22．如图，已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，点D在边AB上，AD：DB=3：1，求cot∠DCB 的值．【考点】解直角三角形．【专题】探究型．【分析】作辅助线DH⊥BC，根据，∠C=90°，tanA=，点D在边AB上，AD：DB=3：1，可知△BDH∽△BAC，从而可以得到各边之间的关系，从而可以得到cot∠DCB的值．【解答】解：过D点作DH⊥BC于点H，如下图所示：∵∠ACB=90°，∴DH∥AC，∴△BDH∽△BAC，∴∠BDH=∠A，∵AD：DB=3：1，∴BH：BC=BD：BA=1：4，设BH=x，则BC=4x，CH=3x，∵∠C=90°，，∠BDH=∠A，∴DH=2x，∵DH⊥BC，∴cot∠DCB=，即cot∠DCB=．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是找出各边之间的关系，然后求出所求角的三角函数值．23．已知如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在AB上，且BD2=BE•BC；（1）求证：∠BDE=∠C；（2）求证：AD2=AE•AB．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，由BD2=BE•BC，得到，推出△EBD∽△DBC，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）由∠BDE=∠C，推出∠DBC=∠ADE，等量代换得到∠ABD=∠ADE，证得△ADE∽△ABD，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵BD2=BE•BC，∴，∴△EBD∽△DBC，∴∠BDE=∠C；（2）∵∠BDE=∠C，∠DBC+∠C=∠BDE+∠ADE，∴∠DBC=∠ADE，∵∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ADE，∴△ADE∽△ABD，∴，即AD2=AE•AB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的性质即可得到结论．24．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是（3，0），tan∠OAC=3；（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P在x轴上方的抛物线上，且∠PAB=∠CAB，求点P的坐标；（3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据正切函数，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据正切函数，可得P点坐标，根据图象上的点满足函数解析式，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得关于y的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，﹣3），∴OC=3，∵tan∠OAC=3，∴OA=1，即点A的坐标为（﹣1，0），又点B（3，0），∴，解得，∴抛物线的函数表达式是y=x2﹣2x﹣3；（2）∵∠PAB=∠CAB，∴tan∠PAB=tan∠CAB=3，∵点P在x轴上方，设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为3（x+1），∴3（x+1）=x2﹣2x﹣3，得x=﹣1（舍去）或x=6，当x=6时，y=21，∴点P的坐标为（6，21）；（3）如图，设点D的坐标为（0，y），易得△ABC为∠ABC=45°的锐角三角形，所以△DCB也是锐角三角形，∴点D在点C的上方，∴∠DCB=45°，∴∠ABC=∠DCB，∵AB=4，BC=，DC=y+3，①如果=，则=，∴y=1，即点D（0，1），②如果=则=，∴y=，即点D1（0，）．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数求函数解析式；利用正切函数得出P点坐标是解题关键，又利用图象上的点满足函数解析式得出P点坐标；利用两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得出关于y的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．25．（18分）已知，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，点P 是对角线AC上的一个动点，且∠APE=∠B，PE分别交射线AD和射线CD于点E和点G；（1）如图1，当点E、D重合时，求AP的长；（1）如图2，当点E在AD的延长线上时，设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG=时，求AE的值．【考点】相似形综合题．【专题】综合题；图形的相似．【分析】（1）作AH垂直于BC，垂足为H，如图1所示，由∠B=∠BCD=45°，得到三角形ABH为等腰直角三角形，由等腰梯形的两底之差的一半求出BH的长，即为AH的长，由BC﹣BH求出HC的长，利用勾股定理求出AC的长，由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由已知角相等，利用两角相等的三角形相似得到三角形ADP与三角形CAB相似，由相似得比例求出AP的长即可；（2）由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由已知角相等，利用两角相等的三角形相似得到三角形ADP与三角形CAB相似，由相似得比例列出y与x的函数解析式，并求出定义域即可；（3）分两种情况考虑：当点G在线段CD上时，作DM∥EP交AC于点M，如图2所示，同理求出AM的长，进而求出MC的长，由CD﹣DG求出GC的长，根据GP与MD平行，由平行得比例求出PM的长，由DM与EP平行，根据平行得比例，求出DE的长，根据AD+DE 求出AE的长；②当点G在CD的延长线上时，如图3所示，同理求出DE的长，由AD﹣DE求出AE的长即可．【解答】解：（1）作AH⊥BC于点H，如图1所示：∵∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，等腰梯形ABCD，AD=3，BC=9，∴BH=AH=（BC﹣AD）=×（9﹣3）=3，∴BH=AH=3，根据勾股定理得：AB==3，CH=BC﹣BH=9﹣3=6，∴AC==3，∵AD∥BC，∴∠DAP=∠ACB，又∠APE=∠B，∴△ADP∽△CAB，∴=，即=，∴AP=；（2）如图2所示，∵AD∥BC，∴∠DAP=∠ACB，∵∠APE=∠B，∴△APE∽△CBA，∴=，即=，∴y=x﹣3（＜x≤3）；（3）分两种情况考虑：①当点G在线段CD上时，作DM∥EP交AC于点M，如图2所示，由（1），同理可得AM=，∴CM=，∵DG=，CD=AB=3，∴CG=2，∵GP∥DM，∴=，即=，∴MP=，∵DM∥EP，∴=，即=，解得：DE=，∴AE=AD+DE=3+=；②当点G在CD的延长线上时，如图3所示，同①可得DE=，∴AE=AD﹣DE=3﹣=．【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：平行线等分线段成比例，等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．精品资料。
上海-初三数学一模-2018年-24题-分题合集
上海-初三数学一模-2018年-24题-分题合集1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=38 2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），经过点A的射线AM与y 轴相交于点E，与抛物线的另一个交点为F，且 =13．（1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求∠FAB的余切值；（3）点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是y轴上一点，且∠AFP＝∠DAB，求点P的坐标．2.（2018•虹口区一模）如图，在平面直角坐标系x O y中，抛物线与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4），BC与抛物线的对称轴相交于点D．（1）求该抛物线的表达式，并直接写出点D的坐标；（2）过点A作AE⊥AC交抛物线于点E，求点E的坐标．3.（2018•金山区一模）平面直角坐标系x O y中（如图），已知抛物线y=ax2+bx+3与y轴相交于点C，与x轴正半轴相交于点A，OA=OC，与x轴的另一个交点为B，对称轴是直线x=1，顶点为P．（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点M，求∠PMC的正切值；（3）点Q在y轴上，且△BCQ与△CMP相似，求点Q的坐标．4.（2018•黄浦区一模）在平面直角坐标系x O y中，对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+8过点（﹣2，0）．（1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（2）现将此抛物线沿y轴方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D，与y轴的交点为B，与x轴负半轴交于点A，过B作x轴的平行线交所得抛物线于点C，若AC∥BD，试求平移后所得抛物线的表达式．5.（2018•深圳模拟）抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（32，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求∠ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．6.（2018•深圳模拟）在直角坐标平面内，直线y=12x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y=﹣12 2+bx+c经过点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的余切值；（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D的坐标．7.（2018•松江区一模）如图，在平面直角坐标系x O y中，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB=4，又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与对称轴交于点E，设点P的横坐标为t．（1）求点A的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE：EP=1：2时，求点E的坐标；（3）记抛物线的顶点为M，与y轴的交点为C，当四边形CDEM是等腰梯形时，求t的值．8.（2018•嘉定区一模）已知在平面直角坐标系x O y（如图）中，已知抛物线y=23 2+bx+c点经过A（1，0）、B（0，2）．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的对称轴与x轴的交点为C，第四象限内的点D在该抛物线的对称轴上，如果以点A、C、D所组成的三角形与△AOB相似，求点D 的坐标；（3）设点E在该抛物线的对称轴上，它的纵坐标是1，联结AE、BE，求sin∠ABE．9.（2018•宝山区一模）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函数y=﹣x+4，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当1≤x≤3时，恒有1≤y≤3，所以说函数y=﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”，同理函数y=x也是闭区间[1，3]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=2018 是闭区间[1，2018]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）如果已知二次函数y=x2﹣4x+k是闭区间[2，t]上的“闭函数”，求k 和t的值；（3）如果（2）所述的二次函数的图象交y轴于C点，A为此二次函数图象的顶点，B为直线x=1上的一点，当△ABC为直角三角形时，写出点B的坐标．10.（2018•马边县模拟）如图，抛物线y=﹣43 2+bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x 轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．11.（2018•徐汇区一模）如图，在平面直角坐标系x O y中，直线y=kx（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位长度后，与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c过点B、C且与x轴的另一个交点为A．（1）求直线BC及该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；（3）如果点F在y轴上，且∠CDF=45°，求点F的坐标．12.（2018•长春模拟）如图，在平面直角坐标系x O y中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1．（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；（2）联结AC、BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标．13.（2018•杨浦区一模）在平面直角坐标系x O y中，抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1交y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H．（1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，﹣2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线y=﹣x2+2x的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值．14.（2018•静安区一模）在平面直角坐标系x O y中（如图），已知抛物线y=ax2+bx ﹣53，经过点A（﹣1，0）、B（5，0）．（1）求此抛物线顶点C的坐标；（2）联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作CH⊥BD，垂足为点H，抛物线对称轴交x轴于G，联结HG，求HG的长．15.（2018•浦东新区一模）已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于点A（1，0）和点B（5，0），顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC=AB，点D的坐标为（0，3），直线l经过点C、D．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA的值；（3）在（2）的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM=∠AMB？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．16.（12分）（2018•普陀区一模）如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A，它的坐标是（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是抛物线上的一点，且∠ABP＝∠CAO，试直接写出点P 的坐标．。
上海松江区中考一模数学考试卷(解析版)(初三)中考模拟.doc
上海松江区中考一模数学考试卷（解析版）（初三）中考模拟姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，则AC的长为（）A．2sinα B．2cosα C．2tanα D．2cotα【答案】D【解析】试题分析：根据锐角三角函数的定义得出cotA=，代入求出即可．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴cotA=，∵BC=2，∠A=α，∴AC=2cotα，故选D．考点：锐角三角函数的定义．【题文】下列抛物线中，过原点的抛物线是（）A．y=x2﹣1 B．y=（x+1）2 C．y=x2+x D．y=x2﹣x﹣1【答案】C．【解析】试题分析：A、y=x2﹣1中，当x=0时，y=﹣1，不过原点；B、y=（x+1）2中，当x=0时，y=1，不过原点；C、y=x2+x中，当x=0时，y=0，过原点；D、y=x2﹣x﹣1中，当x=0时，y=﹣1，不过原点；故选：C．考点：二次函数图象上点的坐标特征．【题文】小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米 B．40米 C．90米 D．80米【答案】A．【解析】试题分析：∵在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，∴1.5：2=教学大楼的高度：60，解得教学大楼的高度为45米．故选A．考点：相似三角形的应用．【题文】已知非零向量，，，下列条件中，不能判定∥的是（）A．∥∥ B． C． =－2 D． =2，=【答案】B．【解析】试题分析：A、∥∥则、都与平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；B、表示两个向量的模的数量关系，方向不一定相同，故不一定平行，故本选项正确；C、 =－2，说明两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；D、 =2，=则、都与平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；故选：B．考点：平面向量．【题文】如图，在▱ABCD中，点E是边BA延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各式中，错误的是（）A． B． C．D．【答案】C．【解析】试题分析：∵AD∥BC∴，故A正确；∵CD∥BE，AB=CD，∴△CDF∽△EBC∴，故B正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△EBC∴，故D正确．∴C错误．故选C．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【题文】如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC 的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9【答案】B．【解析】试题分析：∵BE、CF分别是AC、AB边上的高，∴∠AEB=∠AFC=90°，∵∠A=∠A，∴△AEB∽△AFC，∴=，∴=，∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB，∵cosA==，∴∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB=1：3，故选B．考点：相似三角形的判定与性质．【题文】已知，则的值为．【答案】．【解析】试题分析：用a表示出b，然后代入比例式进行计算．∵，∴b=a，∴==．故答案为：．考点：比例的性质．【题文】计算：（﹣3）﹣（+2）=．【答案】．【解析】试题分析：根据平面向量的加法计算法则和向量数乘的结合律进行计算．本题考查了平面向量，熟记计算法则即可解题，属于基础题型．（﹣3）﹣（+2）=﹣3﹣﹣×2）=．故答案是：．考点：平面向量．【题文】已知抛物线y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，那么k的取值范围是．【答案】k＜1．【解析】试题分析：由开口向下可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围．∵y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，∴k﹣1＜0，解得k＜1，故答案为：k＜1．考点：二次函数的性质．【题文】把抛物线y=x2向右平移4个单位，所得抛物线的解析式为．【答案】y=（x﹣4）2．【解析】试题分析：直接根据“左加右减”的原则进行解答即可，将y=x2向右平移4个单位，所得函数解析式为：y=（x﹣4）2．故答案为：y=（x﹣4）2．考点：二次函数图象与几何变换．【题文】已知在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的长是．【答案】8．【解析】试题分析：利用锐角三角函数定义求出所求即可，∵在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，∴sinA=，即=，解得：AB=8．考点：解直角三角形．【题文】如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE=3：5，BF=9，那么DF=．【答案】．【解析】试题分析：根据平行线分线段成比例定理即可得到结论，∵AC：CE=3：5，∴AC：AE=3：8，∵AB∥CD∥EF，∴，∴BD=，∴DF=，考点：平行线分线段成比例．【题文】已知点A（2，y1）、B（5，y2）在抛物线y=﹣x2+1上，那么y1 y2．（填“＞”、“=”或“＜”）【答案】＞【解析】试题分析：分别计算自变量为2、5时的函数值，然后比较函数值的大小即可，当x=2时，y1=﹣x2+1=﹣3；当x=5时，y2=﹣x2+1=﹣24；∵﹣3＞﹣24，∴y1＞y2．考点：二次函数图象上点的坐标特征．【题文】已知抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线．【答案】x=2．【解析】试题分析：根据函数值相等的点到对称轴的距离相等可求得答案，∵抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，∴对称轴为x==2，考点：二次函数的性质．【题文】在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，垂足为D，BE是△ABC 的中线，AD与BE相交于点G，那么AG的长为．【答案】2．【解析】试题分析：先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AD，再判断点G为△ABC的重心，然后根据三角形重心的性质来求AG的长，∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴AD==3，∵中线BE与高AD相交于点G，∴点G为△ABC的重心，∴AG=3×=2．考点：三角形的重心；等腰三角形的性质；勾股定理．【题文】在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30°，旗杆顶部的仰角为45°，则该旗杆的高度为米．（结果保留根号）【答案】5+5．【解析】试题分析：作CF⊥AB于点F．根据题意可得：在△FBC中，有BF=CE=5米．在△AFC中，有AF=FC×tan30°=5米．则AB=AF+BF=5+5米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【题文】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为．【答案】．【解析】试题分析：设CE=x，连接AE，由线段垂直平分线的性质可知AE=BE=BC+CE，在Rt△ACE中，利用勾股定理即可求出CE的长度，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE=BC+CE=3+x，∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即（3+x）2=42+x2，解得x=．考点：线段垂直平分线的性质．【题文】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为．【答案】4．【解析】试题分析：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，∴BC=AB•cosB=9×=6，AC==3．∵把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，∴△ABC≌△EDC，BC=DC=6，AC=EC=3，∠BCD=∠ACE，∴∠B=∠CAE．作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，则∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，∴∠BCM=∠ACN．∵在△ANC中，∠ANC=90°，AC=3，cos∠CAN=cosB=，∴AN=AC•cos∠CAN=3×=2，∴AE=2AN=4．考点：旋转的性质；解直角三角形．【题文】计算：．【答案】．【解析】试题分析：直接将特殊角的三角函数值代入求出答案．试题解析：原式====．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【题文】如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，且BD=CD，设=， =．（1）求向量（用向量、表示）；（2）求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【答案】略【解析】试题分析：（1）在△ABD中，利用平面向量的三角形加法则进行计算；（2）根据向量加法的平行四边形法则，过向量的起点作BC的平行线，即可得出向量向量在、方向上的分向量．试题解析：（1）∵，∴∵，∴∵，且∴；（2）解：如图，所以，向量、即为所求的分向量．【考点】*平面向量．【题文】如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．（1）求EF的长；（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．【答案】（1）；（2）25．【解析】试题分析：（1）先根据S△BEF：S△EFC=2：3得出CF：BF的值，再由平行线分线段成比例定理即可得出结论；（2）先根据AC∥BD，EF∥BD得出EF∥AC，故△BEF∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出结论．试题解析：（1）∵AC∥BD，∴∵AC=6，BD=4，∴∵△BEF和△CEF同高，且S△BEF：S△CEF=2：3，∴，∴．∴EF∥BD，∴，∴，∴（2）∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC，∴△BEF∽△ABC，∴．∵，∴．∵S△BEF=4，∴，∴S△ABC=25．【考点】相似三角形的判定与性质．【题文】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB 所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米）（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE 段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【答案】（1）6.3；（2）6.2【解析】试题分析：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，在Rt△ABG中，利用已知条件求出AB的长即可；（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，在Rt△ACD中利用已知数据可求出CD的长，进而可求出台EF的长度．试题解析：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，则∠ABG=90°∵AB∥CD，∴∠BAG=∠ACD=20°，在Rt△ABG中，，∵BG=2.26，tan20°≈0.36，∴，∴AB≈6.3，答：A、B之间的距离至少要6.3米．（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，∵AE和FC的坡度为1：2，∴，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，∵EF∥DC，∴CQ=PD=8﹣x，∴FQ=2（8﹣x）=16﹣2x，在Rt△ACD中，，∵AD=8，∠ACD=20°，∴CD≈22.22∵PE+EF+FQ=CD，∴2x+EF+16﹣2x=22.22，∴EF=6.22≈6.2答：平台EF的长度约为6.2米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【题文】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CE•CB．（1）求证：AE⊥CD；（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB．【答案】略【解析】试题分析：（1）先根据题意得出△ACB∽△ECA，再由直角三角形的性质得出CD=AD，由∠CAD+∠ABC=90°可得出∠ACD+∠EAC=90°，进而可得出∠AFC=90°；（2）根据AE⊥CD可得出∠EFC=90°，∠ACE=∠EFC，故可得出△ECF∽△EAC，再由点E是BC的中点可知CE=BE，故，根据∠BEF=∠AEB得出△BEF∽△AEB，进而可得出结论．试题解析：（1）∵AC2=CE•CB，∴．又∵∠ACB=∠ECA=90°∴△ACB∽△ECA，∴∠ABC=∠EAC．∵点D是AB的中点，∴CD=AD，∴∠ACD=∠CAD∵∠CAD+∠ABC=90°，∴∠ACD+∠EAC=90°∴∠AFC=90°，∴AE⊥CD（2）∵AE⊥CD，∴∠EFC=90°，∴∠ACE=∠EFC又∵∠AEC=∠CEF，∴△ECF∽△EAC∴∵点E是BC的中点，∴CE=BE，∴∵∠BEF=∠AEB，∴△BEF∽△AEB∴∠EBF=∠EAB．【考点】相似三角形的判定与性质．【题文】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，（1，4）；（2）；（3）（1，）或（1，﹣2）．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据二次函数的性质解答即可；（2）过点E作EH⊥BC于点H，根据轴对称的性质求出点E的坐标，根据三角形的面积公式求出EH、BH，根据正切的定义计算即可；（3）分和两种情况，计算即可．试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（3，0）和点C（0，3）∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线顶点D的坐标为（1，4），（2）由（1）可知抛物线对称轴为直线x=1，∵点E与点C（0，3）关于直线x=1对称，∴点E（2，3），过点E作EH⊥BC于点H，∵OC=OB=3，∴BC=，∵，CE=2，∴，解得EH=，∵∠ECH=∠CBO=45°，∴CH=EH=，∴BH=2，∴在Rt△BEH中，；（3）当点M在点D的下方时设M（1，m），对称轴交x轴于点P，则P（1，0），∴BP=2，DP=4，∴，∵，∠CBE、∠BDP均为锐角，∴∠CBE=∠BDP，∵△DMB与△BEC相似，∴或，①，∵DM=4﹣m，，，∴，解得，，∴点M（1，）②，则，解得m=﹣2，∴点M（1，﹣2），当点M在点D的上方时，根据题意知点M不存在．综上所述，点M的坐标为（1，）或（1，﹣2）．【考点】二次函数综合题．【题文】如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB=，AB=16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．（1）求线段BD的长；（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．【答案】（1）20；（2），定义域为0＜x≤24；（3）20或24或．【解析】试题分析：（1）由矩形的性质和三角函数定义求出AD，由勾股定理求出BD即可；（2）证明△EDF∽△BDE，得出，求出CE=|x﹣12|，由勾股定理求出DE，即可得出结果；（3）当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，分情况讨论：①当BE=BD时；②当DE=DB时；③当EB=ED时；分别求出BE即可．试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在Rt△BAD中，，AB=16，∴AD=12∴；（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵∠DEF=∠ADB，∴∠DEF=∠DBC，∵∠EDF=∠BDE，∴△EDF∽△BDE，∴，∵BC=AD=12，BE=x，∴CE=|x﹣12|，∵CD=AB=16∴在Rt△CDE中，，∵，∴，∴，定义域为0＜x≤24（3）∵△EDF∽△BDE，∴当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，①当BE=BD时∵BD=20，∴BE=20②当DE=DB时，∵DC⊥BE，∴BC=CE=12，∴BE=24；③当EB=ED时，作EH⊥BD于H，则BH=，cos∠HBE=cos∠ADB，即∴，解得：BE=；综上所述，当△DEF时等腰三角形时，线段BE的长为20或24或．【考点】四边形综合题．。
上海市松江区2018年中考数学一模试卷及答案解析(Word版)
2018年上海市松江区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）已知，那么的值为（）A．B．C．D．2．（4分）下列函数中，属于二次函数的是（）A．y=x﹣3 B．y=x2﹣（x+1）2C．y=x（x﹣1）﹣1 D．3．（4分）已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为α，那么这时飞机与目标A的距离为（）A．B．5sinαC．D．5cosα4．（4分）已知非零向量，在下列条件中，不能判定的是（）A．B．C．D．5．（4分）在△ABC中，边BC=6，高AD=4，正方形EFGH的顶点E、F在边BC 上，顶点H、G分别在边AB和AC上，那么这个正方形的边长等于（）A．3 B．2.5 C．2.4 D．26．（4分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：BD=2：1，点F在AC上，AF：FC=1：2，联结BF，交DE于点G，那么DG：GE 等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）已知线段a=4，b=1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c=．8．（4分）在比例尺是1：15000000的地图上，测得甲乙两地的距离是2厘米，那么甲乙两地的实际距离是千米．9．（4分）如果抛物线y=（a+2）x2+x﹣1的开口向下，那么a的取值范围是．10．（4分）已知一个斜坡的坡度i=1：，那么该斜坡的坡角的度数是度．11．（4分）线段AB=10，点P是AB的黄金分割点，且AP＞BP，则AP=（用根式表示）．12．（4分）已知等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，G是△ABC的重心，那么AG=．13．（4分）已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=．14．（4分）已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为（5，12），那么OP与x轴正半轴所夹角的余弦值为．15．（4分）已知抛物线y=f（x）开口向下，对称轴是直线x=1，那么f（2）f （4）．（填“＞”或“＜”）16．（4分）把抛物线y=x2向下平移，如果平移后的抛物线经过点A（2，3），那么平移后的抛物线的表达式是．17．（4分）我们定义：关于x的函数y=ax2+bx与y=bx2+ax（其中a≠b）叫做互为交换函数．如y=3x2+4x与y=4x2+3x是互为交换函数．如果函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么b=．18．（4分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，将△ABC翻折，使得点A落在BC的中点A'处，折痕分别交边AB、AC于点D、点E，那么AD：AE的值为．三、解答题：（本大题共7题，满分80分）19．（10分）如图在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c 的图象经过点A（3，0）、点B（0，3），顶点为M．（1）求该二次函数的解析式；（2）求∠OBM的正切值．20．（10分）如图，已知△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的点，且EF∥AB，=2．（1）设=．试用表示；（2）如果△ABC的面积是9，求四边形ADEF的面积．21．（10分）如图，已知△ABC中，AB=AC=，BC=4．线段AB的垂直平分线DF分别交边AB、AC、BC所在的直线于点D、E、F．（1）求线段BF的长；（2）求AE：EC的值．22．（10分）某条道路上通行车辆的限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：≈1.7，≈1.4）．23．（12分）已知四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，B D2=AD•BC．（1）求证：AD∥BC；（2）过点A作AE∥CD交BC于点E．请完善图形并求证：CD2=BE•BC．24．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB=4，又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与对称轴交于点E，设点P的横坐标为t．（1）求点A的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE：EP=1：2时，求点E的坐标；（3）记抛物线的顶点为M，与y轴的交点为C，当四边形CDEM是等腰梯形时，求t的值．25．（14分）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交边AB与点D，P是射线CD上一点，联结AP．（1）求线段CD的长；（2）当点P在CD的延长线上，且∠PAB=45°时，求CP的长；（3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP 的长．2018年上海市松江区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）已知，那么的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵=，∴设a=k，b=3k（k≠0），则==．故选：C．2．（4分）下列函数中，属于二次函数的是（）A．y=x﹣3 B．y=x2﹣（x+1）2C．y=x（x﹣1）﹣1 D．【解答】解：A、是一次函数，故本选项错误；B、整理后是一次函数，故本选项错误；C、整理后是二次函数，故本选项正确；D、y与x2是反比例函数关系，故本选项错误．故选：C．3．（4分）已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为α，那么这时飞机与目标A的距离为（）A．B．5sinαC．D．5cosα【解答】解：如图：BC为飞机离地面的高度，所以在Rt△ABC中，∠B AC=α，BC=5，则AB==，故选：A．4．（4分）已知非零向量，在下列条件中，不能判定的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、∵∥，∥，∴，故本选项，不符合题意；B、∵=2，=3，∴，故本选项，不符合题意；C、∵=﹣5，∴，故本选项，不符合题意；D、∵||=2||，不能判断，故本选项，符合题意；故选：D．5．（4分）在△ABC中，边BC=6，高AD=4，正方形EFGH的顶点E、F在边BC 上，顶点H、G分别在边AB和AC上，那么这个正方形的边长等于（）A．3 B．2.5 C．2.4 D．2【解答】解：∵四边形EFMN是正方形，∴EH∥BC，EH=EF，∴△AEH∽△ABC，又∵AD⊥BC，∴AD⊥BC，EH=EF=MD，∴=，设EH=x，则AM=3﹣x，∴=，解得：x=2.4，∴EH=2.4．答：这个正方形的边长为2.4．故选：C．6．（4分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：BD=2：1，点F在AC上，AF：FC=1：2，联结BF，交DE于点G，那么DG：GE 等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5．【解答】解：∵DE∥BC，∴==2，∴CE：CA=1：3，==，∵AF：FC=1：2，∴AF：AC=1：3，∴AF=EF=EC，∴EG：BC=1：2，设EG=m，则BC=2m，∴DE=m，DG=m﹣m=m，∴DG：GE=m：m=1：3，故选：B．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）已知线段a=4，b=1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c=2．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．则c2=4×1，c=±2，（线段是正数，负值舍去），故c=2；故答案为2．8．（4分）在比例尺是1：15000000的地图上，测得甲乙两地的距离是2厘米，那么甲乙两地的实际距离是300千米．【解答】解：设这两地的实际距离是xcm，根据题意得：=，解得：x=30000000，∵30000000cm=300km，∴这两地的实际距离是300km．故答案为：300．9．（4分）如果抛物线y=（a+2）x2+x﹣1的开口向下，那么a的取值范围是a ＜﹣2．【解答】解：∵抛物线y=（a+2）x2+x﹣1的开口向下，∴a+2＜0，得a＜﹣2，故答案为：a＜﹣2．10．（4分）已知一个斜坡的坡度i=1：，那么该斜坡的坡角的度数是30度．【解答】解：∵tanα=1：=，∴坡角=30°．11．（4分）线段AB=10，点P是AB的黄金分割点，且AP＞BP，则AP=（）（用根式表示）．【解答】解：∵点P是AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP=AB×，∵线段AB=10，∴AP=10×=5﹣5；故答案为：5﹣5．12．（4分）已知等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，G是△ABC的重心，那么AG=．【解答】解：如图延长AG交BC于H．∵G是重心，∴BH=CH=3，∵AB=AC=5，∴AH⊥BC，∴AH==4，∴AG=AH=故答案为13．（4分）已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=7.5．【解答】解：∵a∥b∥c，∴=，即=，解得DF=4.5，∴BF=BD+DF=3+4.5=7.5，故答案为：7.5．14．（4分）已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为（5，12），那么OP与x轴正半轴所夹角的余弦值为．【解答】解：如图作PA⊥x轴，垂足为A，OP=cos∠POA=，故答案为15．（4分）已知抛物线y=f（x）开口向下，对称轴是直线x=1，那么f（2）＞f（4）．（填“＞”或“＜”）【解答】解：∵抛物线y=f（x）开口向下，对称轴是直线x=1，∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，∴f（2）＞f（4）．故答案为：＞．16．（4分）把抛物线y=x2向下平移，如果平移后的抛物线经过点A（2，3），那么平移后的抛物线的表达式是y=x2﹣1．【解答】解：设所求的函数解析式为y=x2+k，∵点A（2，3）在抛物线上，∴3=22+k解得：k=﹣1，∴平移后的抛物线的表达式是y=x2﹣1．故答案为：y=x2﹣1．17．（4分）我们定义：关于x的函数y=ax2+bx与y=bx2+ax（其中a≠b）叫做互为交换函数．如y=3x2+4x与y=4x2+3x是互为交换函数．如果函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么b=﹣2．【解答】解：∵由题意函数y=2x2+bx的交换函数为y=bx2+2x，∵函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，∴﹣=﹣，解得b=﹣2故答案为：﹣2．18．（4分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，将△ABC翻折，使得点A落在BC的中点A'处，折痕分别交边AB、AC于点D、点E，那么AD：AE的值为．【解答】解：连接AA′交DE于点M，过点A′作A′N⊥AB于点N，如图所示．∵AC=BC=4，∠C=90°，A′为线段BC的中点，∴A′C=A′B=2，AA′==2，AB=4，∴AM=AA′=，A′N=BN=，∴AN=AB﹣BN=3．∵∠EAM=∠A′AC，∠AME=∠C，∴△AEM∽△AA′C，∴=，∴AE=．同理：△ADM∽△AA′N，∴=，∴AD=，∴=．故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分80分）19．（10分）如图在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c 的图象经过点A（3，0）、点B（0，3），顶点为M．（1）求该二次函数的解析式；（2）求∠OBM的正切值．【解答】解：（1）把A（3，0）、B（0，3）代入y=x2+bx+c得，解得，所以y=x2﹣4x+3；（2）作MH⊥y轴于H，如图，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴M（2，﹣1），∵MH⊥y轴，∴H（0，﹣1），在Rt△BMH中，tan∠HBM==，即∠OBM的正切值为．20．（10分）如图，已知△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的点，且EF∥AB，=2．（1）设=．试用表示；（2）如果△ABC的面积是9，求四边形ADEF的面积．【解答】解：（1）∵EF∥AB，∴=，又∵=2，∴==2，∴==，∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC，∴∠BDE=∠A，∴DE∥AC，则四边形ADEF是平行四边形，∵=，∴==，==，则=+=+；（2）由（1）知=、=，∵EF∥AB，DE∥AC，∴△CFE∽△CAB，△BDE∽△BAC，∴=（）2=，=（）2=，=9，∵S△ABC∴S△CFE=4、S△BDE=1，则四边形ADEF的面积=S△ABC ﹣S△CFE﹣S△BDE=4．21．（10分）如图，已知△ABC中，AB=AC=，BC=4．线段AB的垂直平分线DF分别交边AB、AC、BC所在的直线于点D、E、F．（1）求线段BF的长；（2）求AE：EC的值．【解答】解：（1）作AH⊥BC于H，如图，∵AB=AC=，∴BH=CH=BC=2，在Rt△ABH中，AH==4，∵DF垂直平分AB，∴BD=，∠BDF=90°∵∠ABH=∠FBD，∴Rt△FBD∽Rt△ABH，∴==，即==，∴BF=5，DF=2；（2）作CG∥AB交DF于G，如图，∵BF=5，BC=4，∴CF=1，∵CG∥BD，∴==，∵CG∥AD，∴===5．22．（10分）某条道路上通行车辆的限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：≈1.7，≈1.4）．【解答】解：如图，由题意知∠CAB=75°、∠CAP=45°、∠PBD=60°，∴∠PAH=∠CAB﹣∠CAP=30°，∵∠PHA=∠PHB=90°，PH=50，∴AH===50，∵AC∥BD，∴∠ABD=180°﹣∠CAB=105°，∴∠PBH=∠ABD﹣∠PBD=45°，则PH=BH=50，∴AB=AH+BH=50+50，∵60千米/时=米/秒，∴时间t==3+3≈8.1（秒），即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．23．（12分）已知四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，BD2=AD•BC．（1）求证：AD∥BC；（2）过点A作AE∥CD交BC于点E．请完善图形并求证：CD2=BE•BC．【解答】（1）证明：∵∠BAD=∠BDC=90°，BD2=AD•BC，∴，∴△ADB∽△DBC，∴∠ADB=∠DBC，∴AD∥BC；（2）如右图所示，∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形ADEC是平行四边形，∠AEB=∠BCD，∴AE=DC，又∵∠BAD=∠BDC=90°，AD∥BC，∴∠BAD+∠ABE=180°，∴∠ABE=90°，∴∠ABE=∠BDC，∴△ABE∽△BDC，∴，∴AE•DC=BE•BC，∵AE=DC，∴CD2=BE•BC．24．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB=4，又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与对称轴交于点E，设点P的横坐标为t．（1）求点A的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE：EP=1：2时，求点E的坐标；（3）记抛物线的顶点为M，与y轴的交点为C，当四边形CDEM是等腰梯形时，求t的值．【解答】解：（1）∵AB=4，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴点A到对称轴的距离为2，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴y=（x+1）（x﹣3）整理得：y=x2﹣2x﹣3；（2）如下图所示：过点P作PF⊥x轴，垂足为F．∵EG∥PF，AE：EP=1：2，∴==．又∵AG=2，∴AF=6，∴F（5，0）．当x=5时，y=12，∴EG=4，∴E（1，4）．（3）∵CD∥EM，∴∠ADO=∠AEM．又∵四边形CDEM是等腰梯形，∴∠ADO=∠CME．∴∠ADO=∠CME．∵y=x2﹣2x﹣3，∴C（0，﹣3），M（1，﹣4）∴tan∠DAO=tan∠CME=1．∴OA=OD=1．∴直线AP的解析式为y=x+1．把y=x+1代入y=x2﹣2x﹣3得：x+1=x2﹣2x﹣3，解得：x=4或x=﹣1（舍去）∴点P的横坐标为4，即t=4．25．（14分）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交边AB与点D，P是射线CD上一点，联结AP．（1）求线段CD的长；（2）当点P在CD的延长线上，且∠PAB=45°时，求CP的长；（3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP 的长．【解答】解：（1）如图1，过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，∵DF平分∠ACB，∠ACB=90°，∴DE=DF，∵∠DEC=∠ACB=∠CFD=90°，∴四边形ECFD是正方形，设DF=x，则CF=x，BF=2﹣x，∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴，∴，∴x=，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD=；（2）如图2，∵∠PAB=∠PCB=45°，∴C、B、P、A四点共圆，∴∠ACB+∠APB=180°，∵∠ACB=90°，∴∠APB=90°，∴△APB是等腰直角三角形，∴AP=BP，过P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，连接PB，∵PM=PN，∴Rt△PMA≌Rt△PNB（HL），∴AM=BN，由（1）知：四边形MCNP是正方形，∴CM=CN，设AM=x，则PM=CM=x+1，CN=2﹣x，∴x+1=2﹣x，x=，∴CM=，∴CP=；（3）若△CMP是等腰三角形，存在三种情况：①当PM=CM时，如图3，同理作出辅助线，∵∠PCN=45°，∴△PCM是等腰直角三角形，∴CN=PN，同（2）得：CP=；②Rt△ACB中，AC=1，BC=2，∴AB=，∵M是AB的中点，∴CM=CP=AB=；③作CM的中垂线交CD于P，则CP=PM，过M作MH⊥CD于H，由①知：CG（就是CP=）=，CH=，∵△CPN∽△CMH，∴，∴=，CP=，综上所述，CP的长是或或．。
上海市16区2018届中考一模数学试卷分类汇编：三角函数综合运用
上海市16区2018届九年级上学期期末（一模）数学试卷分类汇编三角函数综合运用专题宝山区21．（本题满分10分）已知在港口A 的南偏东75°方向有一礁石B ，轮船从港口出发，沿正东北方向（北偏东45°方向）前行10里到达C 后测得礁石B 在其南偏西15°处，求轮船行驶过程中离礁石B 的最近距离．长宁区22．（本题满分10分）如图，一栋居民楼AB 的高为16米，远处有一栋商务楼CD ， 小明在居民楼的楼底A 处测得商务楼顶D 处的仰角为60°，又在商 务楼的楼顶D 处测得居民楼的楼顶B 处的俯角为45°．其中A 、C 两点分别位于B 、D 两点的正下方，且A 、C 两点在同一水平线上， 求商务楼CD 的高度．(参考数据：414.12≈，732.13≈.结果精确到0.1米)崇明区22．（本题满分10分）如图，港口B位于港口A的南偏东37︒方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km，到达E处，测得灯塔C在北偏东45︒方向上．这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin370.60,cos370.80,tan370.75︒≈︒≈︒≈）奉贤区22.（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图，为了将货物装入大型的集装箱卡车，需要利用传送带AB将货物从地面传送到高1.8米（即BD=1.8米）的操作平台BC上.已知传送带AB与地面所成斜坡的坡角∠BAD=37°. （1）求传送带AB的长度；（2）因实际需要，现在操作平台和传送带进行改造，如图中虚线所示，操作平台加高0.2米（即BF=0.2米），传送带与地面所成斜坡的坡度i=1:2.求改造后传送带EF的长度.（精确到0.1米）（参考数值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.751.41，2.24）虹口区如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）黄浦区22．（本题满分10分）如图，坡AB的坡比为1∶2.4，坡长AB=130米，坡AB的高为BT.在坡AB的正面有一栋建筑物CH，点H、A、T在同一条地平线MN上.（1）试问坡AB的高BT为多少米？（2）若某人在坡AB的坡脚A处和中点D处，观测到建筑物顶部C处的仰角分别为60°和30°，试求建筑物的高度CH.≈1.73≈1.41）嘉定区21.如图4，某湖心岛上有一亭子A ，在亭子A 的正东方向上的湖边有一颗树B ，在这个湖心岛的湖边C 处测得亭子A 在北偏西45o方向上。
(汇总3份试卷)2018年上海市松江区中考数学第一次阶段模拟试题
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．“一般的，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．——苏科版《数学》九年级（下册）P21”参考上述教材中的话，判断方程x2﹣2x=1x﹣2实数根的情况是（）A．有三个实数根B．有两个实数根C．有一个实数根D．无实数根【答案】C【解析】试题分析：由得，，即是判断函数与函数的图象的交点情况.因为函数与函数的图象只有一个交点所以方程只有一个实数根故选C.考点：函数的图象点评：函数的图象问题是初中数学的重点和难点，是中考常见题，在压轴题中比较常见，要特别注意. 2．如图，已知O的周长等于6cm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（）A 93B273C273D．3【答案】C【解析】过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，由⊙O的周长等于6πcm，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质可得∠AOB=60°，即可证明△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可求出OH的长，根据S正六边形ABCDEF=6S△OAB即可得出答案．【详解】过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，设⊙O的半径为r，∵⊙O的周长等于6πcm，∴2πr=6π，解得：r=3，∴⊙O的半径为3cm，即OA=3cm，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=16×360°=60°，OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=3cm，∵OH⊥AB，∴AH=12AB，∴AB=OA=3cm，∴AH=32cm，OH=22OA AH=33cm，∴S正六边形ABCDEF=6S△OAB=6×12×3×33=273（cm2）．故选C.【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．3．对于反比例函数y=kx（k≠0），下列所给的四个结论中，正确的是（）A．若点（3，6）在其图象上，则（﹣3，6）也在其图象上B．当k＞0时，y随x的增大而减小C．过图象上任一点P作x轴、y轴的线，垂足分别A、B，则矩形OAPB的面积为kD．反比例函数的图象关于直线y=﹣x成轴对称【答案】D【解析】分析：根据反比例函数的性质一一判断即可；详解：A．若点（3，6）在其图象上，则（﹣3，6）不在其图象上，故本选项不符合题意；B．当k＞0时，y随x的增大而减小，错误，应该是当k＞0时，在每个象限，y随x的增大而减小；故本选项不符合题意；C．错误，应该是过图象上任一点P作x轴、y轴的线，垂足分别A、B，则矩形OAPB的面积为|k|；故本选项不符合题意；D．正确，本选项符合题意．故选D．点睛：本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE 的度数为（）A．31°B．28°C．62°D．56°【答案】D【解析】先利用互余计算出∠FDB=28°，再根据平行线的性质得∠CBD=∠FDB=28°，接着根据折叠的性质得∠FBD=∠CBD=28°，然后利用三角形外角性质计算∠DFE的度数．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠ADC=90°，∵∠FDB=90°-∠BDC=90°-62°=28°，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠FDB=28°，∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，∴∠FBD=∠CBD=28°，∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28°+28°=56°．故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．6．关于x的正比例函数，y=（m+1）23mx 若y随x的增大而减小，则m的值为（）A．2 B．-2 C．±2 D．-1 2【答案】B【解析】根据正比例函数定义可得m2-3=1，再根据正比例函数的性质可得m+1＜0，再解即可．【详解】由题意得：m2-3=1，且m+1＜0，解得：m=-2，故选：B．【点睛】此题主要考查了正比例函数的性质和定义，关键是掌握正比例函数y=kx（k≠0）的自变量指数为1，当k ＜0时，y随x的增大而减小．7．某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（）A．10，15 B．13，15 C．13，20 D．15，15【答案】D【解析】将五个答题数，从小打到排列，5个数中间的就是中位数，出现次数最多的是众数.【详解】将这五个答题数排序为：10，13，15，15，20，由此可得中位数是15，众数是15，故选D. 【点睛】本题考查中位数和众数的概念，熟记概念即可快速解答.8．若直线y=kx+b图象如图所示，则直线y=−bx+k的图象大致是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】根据一次函数y=kx+b的图象可知k＞1，b＜1，再根据k，b的取值范围确定一次函数y=−bx+k图象在坐标平面内的位置关系，即可判断．【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象可知k＞1，b＜1，∴-b＞1，∴一次函数y=−bx+k的图象过一、二、三象限，与y轴的正半轴相交，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．函数值y随x的增大而减小⇔k＜1；函数值y随x的增大而增大⇔k＞1；一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b＞1，一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b ＜1，一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=1．9．如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）A．1 B 3C3D．3【答案】C【解析】连接AE，OD，OE．∵AB 是直径， ∴∠AEB=90°．又∵∠BED=120°，∴∠AED=30°．∴∠AOD=2∠AED=60°．∵OA=OD ．∴△AOD 是等边三角形．∴∠A=60°．又∵点E 为BC 的中点，∠AED=90°，∴AB=AC ．∴△ABC 是等边三角形，∴△EDC 是等边三角形，且边长是△ABC 边长的一半23．∴∠BOE=∠EOD=60°，∴BE 和弦BE 围成的部分的面积=DE 和弦DE 围成的部分的面积．∴阴影部分的面积=EDC 1S =23=32∆⋅C ． 10．在六张卡片上分别写有13，π，1.5，5，02六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ）A ．16B ．13C ．12D ．56【答案】B【解析】无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式：一是开方开不尽的数，二是圆周率π，三是构造的一些不循环的数，如1.010010001……（两个1之间0的个数一次多一个）.然后用无理数的个数除以所有书的个数，即可求出从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率.【详解】∵这组数中无理数有π2共2个，∴卡片上的数为无理数的概率是21=63. 故选B.【点睛】本题考查了无理数的定义及概率的计算.二、填空题（本题包括8个小题）11．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，y 与x 的部分对应值如下表所示： x …-1 0 1 2 3 4 … y… 6 1 -2 -3 -2 m …下面有四个论断：①抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(23)-，； ②240b ac -=；③关于x 的方程2=2ax bx c ++-的解为12=13x x =，；④=3m -．其中，正确的有___________________．【答案】①③．【解析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可.【详解】由二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0），y 与x 的部分对应值可知：该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-3）；与x 轴有两个交点，一个在0与1之间，另一个在3与4之间；当y=-2时，x=1或x=3；由抛物线的对称性可知，m=1；∴①抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的顶点为（2，-3），结论正确；②b 2﹣4ac ＝0，结论错误，应该是b 2﹣4ac>0；③关于x 的方程ax 2+bx+c ＝﹣2的解为x 1＝1，x 2＝3，结论正确；④m ＝﹣3，结论错误，∴其中，正确的有. ①③故答案为：①③【点睛】本题考查了二次函数的图像，结合图表信息是解题的关键.12．如图，四边形ACDF 是正方形，CEA ∠和ABF ∠都是直角，且点,,E A B 三点共线，4AB =，则阴影部分的面积是__________．【答案】8【解析】证明△AEC ≌△FBA ，根据全等三角形对应边相等可得EC=AB=4，然后再利用三角形面积公式进行求解即可.【详解】∵四边形ACDF 是正方形，∴AC=FA ，∠CAF=90°，∴∠CAE+∠FAB=90°，∵∠CEA=90°，∴∠CAE+∠ACE=90°，∴∠ACE=∠FAB ，又∵∠AEC=∠FBA=90°，∴△AEC ≌△FBA ，∴CE=AB=4，∴S 阴影=1·2AB CE =8， 故答案为8.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形面积等，求出CE=AB 是解题的关键.13．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD 的边均平行于坐标轴，A 点的坐标为（a ，a ）．如图，若曲线3(0)y x x=> 与此正方形的边有交点，则a 的取值范围是________．3－3【解析】根据题意得出C 点的坐标（a-1，a-1），然后分别把A 、C 的坐标代入求得a 的值，即可求得a 的取值范围．【详解】解:反比例函数经过点A 和点C ．当反比例函数经过点A 时，即2a =3，解得：3； 当反比例函数经过点C 时，即2(1)a -=3，解得：3，33故答案为:33 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数y=k x（k 为常数，k≠0）的图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．14．如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，点OAC 的中点，点D 在A 射线BO 上，连接OE ，EC ，若AB ＝4，则OE 的最小值为_____．【答案】1【解析】根据等边三角形的性质可得OC ＝12AC ，∠ABD ＝30°，根据“SAS”可证△ABD ≌△ACE ，可得∠ACE ＝30°＝∠ABD ，当OE ⊥EC 时，OE 的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE 的最小值．【详解】解：∵△ABC 的等边三角形，点O 是AC 的中点，∴OC ＝12AC ，∠ABD ＝30° ∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝60°，∴∠BAD ＝∠CAE ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）∴∠ACE ＝30°＝∠ABD当OE ⊥EC 时，OE 的长度最小，∵∠OEC ＝90°，∠ACE ＝30°∴OE 最小值＝12OC ＝14AB ＝1， 故答案为1【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 15．若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____．【答案】150【解析】利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的面积的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可【详解】∵圆锥的底面圆的周长是45cm ，∴圆锥的侧面扇形的弧长为5π cm ， 65180n ππ⨯∴=， 解得：150n =故答案为150．【点睛】此题考查弧长的计算，解题关键在于求得圆锥的侧面积16．已知，在同一平面内，∠ABC＝50°，AD∥BC，∠BAD的平分线交直线BC于点E，那么∠AEB的度数为__________．【答案】65°或25°【解析】首先根据角平分线的定义得出∠EAD=∠EAB，再分情况讨论计算即可．【详解】解：分情况讨论：(1)∵AE平分∠BAD，∴∠EAD=∠EAB，∵AD∥BC，∴∠EAD=∠AEB，∴∠BAD=∠AEB，∵∠ABC＝50°，∴∠AEB=12•（180°-50°）=65°．(2)∵AE平分∠BAD，∴∠EAD=∠EAB=12DAB ∠，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE=12DAB∠，∠DAB=∠ABC,∵∠ABC＝50°，∴∠AEB= 12×50°=25°．故答案为:65°或25°.【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．某市对九年级学生进行“综合素质”评价，评价结果分为A，B，C，D，E五个等级．现随机抽取了500名学生的评价结果作为样本进行分析，绘制了如图所示的统计图．已知图中从左到右的五个长方形的高之比为2：3：3：1：1，据此估算该市80000名九年级学生中“综合素质”评价结果为“A”的学生约为_____人．【答案】16000【解析】用毕业生总人数乘以“综合素质”等级为A 的学生所占的比即可求得结果．【详解】∵A ，B ，C ，D ，E 五个等级在统计图中的高之比为2：3：3：1：1，∴该市80000名九年级学生中“综合素质”评价结果为“A”的学生约为80000×223311++++=16000， 故答案为16000.【点睛】本题考查了条形统计图的应用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．18．分解因式：（2a+b ）2﹣（a+2b ）2= ．【答案】3（a+b ）（a ﹣b ）．【解析】（2a+b ）2﹣（a+2b ）2=4a 2+4ab+b 2-(a 2+4ab+4b 2)= 4a 2+4ab+b 2-a 2-4ab-4b 2=3a 2-3b 2=3(a 2-b 2)=3(a+b)(a-b)三、解答题（本题包括8个小题）19．为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有,A B 两种型号的挖掘机,已知3台A 型和5台B 型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A 型和7台B 型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A 型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台B 型挖掘机一小时的施工费用为180元．分别求每台A 型, B 型挖掘机一小时挖土多少立方米?若不同数量的A 型和B 型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元．问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元?【答案】（1）每台A 型挖掘机一小时挖土30立方米,每台B 型挖据机一小时挖土15立方米；（2）共有三种调配方案．方案一: A 型挖据机7台,B 型挖掘机5台；方案二: A 型挖掘机8台,B 型挖掘机4台；方案三: A 型挖掘机9台,B 型挖掘机3台．当A 型挖掘机7台, B 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．【解析】分析：（1）根据题意列出方程组即可；（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用．详解：(1)设每台A 型,B 型挖掘机一小时分别挖土x 立方米和y 立方米,根据题意,得 35165,47225,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得30,15.x y =⎧⎨=⎩ 所以,每台A 型挖掘机一小时挖土30立方米,每台B 型挖据机一小时挖土15立方米．(2)设A 型挖掘机有m 台,总费用为W 元,则B 型挖据机有()12m -台．根据题意,得43004180W m =⨯+⨯ ()124808640m m -=+，因为()()430415121080430041801212960m m m m ⎧⨯+⨯-≥⎪⎨⨯+⨯-≤⎪⎩，解得69m m ≥⎧⎨≤⎩， 又因为12m m ≠-,解得6m ≠,所以79m ≤≤．所以,共有三种调配方案．方案一:当7m =时,125m -= ,即A 型挖据机7台,B 型挖掘机5台；方案二:当8m =时,124m -= ,即A 型挖掘机8台,B 型挖掘机4台；方案三:当9m =时,123m -= ,即A 型挖掘机9台,B 型挖掘机3台．4800>,由一次函数的性质可知,W 随m 的减小而减小,当7m =时，=4807+8640=12000W ⨯最小，此时A 型挖掘机7台, B 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．点睛：本题考查了二元一次方程组和一次函数增减性，解答时先根据题意确定自变量取值范围，再应用一次函数性质解答问题．20．在“双十一”购物街中，某儿童品牌玩具专卖店购进了A B 、两种玩具，其中A 类玩具的金价比B 玩具的进价每个多3元.经调查发现：用900元购进A 类玩具的数量与用750元购进B 类玩具的数量相同.求A B 、的进价分别是每个多少元？该玩具店共购进A B 、了两类玩具共100个，若玩具店将每个A 类玩具定价为30元出售，每个B 类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得的利润不少于1080元，则该淘宝专卖店至少购进A 类玩具多少个？【答案】（1）A 的进价是18元，B 的进价是15元；（2）至少购进A 类玩具40个.【解析】（1）设B 的进价为x 元，则A 的进价为()3x +元，根据用900元购进A 类玩具的数量与用750元购进B 类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即可；（2）设A 玩具a 个，则B 玩具()100a -个，结合“玩具点将每个A 类玩具定价为30元出售，每个B 类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元”列出不等式并解答.【详解】解：（1）设B 的进价为x 元，则A 的进价为()3x +元 由题意得9007503x x=+， 解得15x =，经检验15x =是原方程的解.所以15318+=（元）答：A 的进价是18元，B 的进价是15元；（2）设A 玩具a 个，则B 玩具()100a -个由题意得：()12101001080a a +-≥解得40a ≥.答：至少购进A 类玩具40个.【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用.解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系，准确的解分式方程或不等式是需要掌握的基本计算能力.21．一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y （升）与行驶路程x （千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．求y 关于x 的函数关系式；（不需要写定义域）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？【答案】（1）该一次函数解析式为y=﹣x+1．（2）在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．【解析】（1）根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为8升时行驶的路程，即可求得答案.【详解】（1）设该一次函数解析式为y=kx+b ，将（150，45）、（0，1）代入y=kx+b 中，得 ，解得：，∴该一次函数解析式为y=﹣x+1；（2）当y=﹣x+1=8时，解得x=520，即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．530﹣520=10千米，油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米，∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，弄清题意是解题的关键.22．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝6x（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．求一次函数关系式；根据图象直接写出kx+b﹣6x＞0的x的取值范围；求△AOB的面积．【答案】（1）y＝－2x＋1 ；（2）1＜x＜2 ；（2）△AOB的面积为1 .【解析】试题分析：（1）首先根据A（m，6），B（2，n）两点在反比例函数y=6x（x＞0）的图象上，求出m，n的值各是多少；然后求出一次函数的解析式，再根据一元二次不等式的求法，求出x的取值范围即可．（2）由-2x+1-6x＜0，求出x的取值范围即可．（2）首先分别求出C点、D点的坐标的坐标各是多少；然后根据三角形的面积的求法，求出△AOB的面积是多少即可．试题解析：（1）∵A（m，6），B（2，n）两点在反比例函数y=6x（x＞0）的图象上，∴6=6m ，63n=，解得m=1，n=2，∴A（1，6），B（2，2），∵A（1，6），B（2，2）在一次函数y=kx+b的图象上，∴6{32 k bk b++＝＝，解得2 {8kb-＝＝，∴y=-2x+1．（2）由-2x+1-6x＜0，解得0＜x＜1或x＞2．（2）当x=0时，y=-2×0+1=1，∴C点的坐标是（0，1）；当y=0时，0=-2x+1，解得x=4，∴D点的坐标是（4，0）；∴S△AOB=12×4×1-12×1×1-12×4×2=16-4-4=1．23．某超市开展早市促销活动，为早到的顾客准备一份简易早餐，餐品为四样A：菜包、B：面包、C：鸡蛋、D：油条．超市约定：随机发放，早餐一人一份，一份两样，一样一个．按约定，“某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是事件（填“随机”、“必然”或“不可能”）；请用列表或画树状图的方法，求出某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率．【答案】（1）不可能；（2）1 6 .【解析】（1）利用确定事件和随机事件的定义进行判断；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】（1）某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是不可能事件；故答案为不可能；（2）画树状图：共有12种等可能的结果数，其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数为2，所以某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率=21 126=．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式mn计算事件A或事件B的概率．24．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方3C出发,沿斜面坡度3i=CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米.已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC,AB//DE.求旗杆AB的高度.（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34.计算结果保留根号）【答案】33+3.5【解析】延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，Rt△CDF中求得CF=CDcos∠DCF=23、DF=CD=2，作EG⊥AB，可得GE=BF=4、GB=EF=3.5，再求出AG=GEtan∠AEG=43•tan37°可得答案．【详解】如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，∵tan∠333，∴∠DCF=30°，∵CD=4，∴DF=12CD=2，CF=CDcos∠33∴333过点E作EG⊥AB于点G，则3，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，又∵∠AED=37°，∴AG=GEtan∠3，则33，故旗杆AB的高度为（3）米．考点：1、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2、解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题25．某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠.若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元.请问该学校九年级学生有多少人？【答案】1人【解析】解：设九年级学生有x 人，根据题意，列方程得： 19361936?0.8x x 88⋅=+，整理得0.8（x+88）=x ，解之得x=1． 经检验x=1是原方程的解．答：这个学校九年级学生有1人．设九年级学生有x 人，根据“给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元”可得每个文具包的花费是：1936x元，根据“若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元”可得每个文具包的花费是：1936?x 88+，根据题意可得方程19361936?0.8x x 88⋅=+，解方程即可． 26．如图，已知△ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且AE=CD ，AD 与BE 相交于点F ．求证：△ABE ≌△CAD ；求∠BFD 的度数.【答案】（1）证明见解析；（2）60BFD ∠=︒.【解析】试题分析：（1）根据等边三角形的性质根据SAS 即可证明△ABE ≌△CAD ；（2）由三角形全等可以得出∠ABE=∠CAD ，由外角与内角的关系就可以得出结论．试题解析：（1）∵△ABC 为等边三角形，∴AB=BC=AC ，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．在△ABE 和△CAD 中，AB=CA ， ∠BAC=∠C ，AE =CD ，∴△ABE ≌△CAD （SAS ），（2）∵△ABE ≌△CAD ，∴∠ABE=∠CAD ，∵∠BAD+∠CAD=60°，∴∠BAD+∠EBA=60°，∵∠BFD=∠ABE+∠BAD ，∴∠BFD=60°．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于（）A．8 B．4 C．12 D．16【答案】A【解析】∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，∴DA=DB，EA=EC，则△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8，故选A．2．下列运算正确的是（）A．﹣（a﹣1）＝﹣a﹣1 B．（2a3）2＝4a6C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．a3+a2＝2a5【答案】B【解析】根据去括号法则，积的乘方的性质，完全平方公式，合并同类项法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、因为﹣（a﹣1）=﹣a+1，故本选项错误；B、（﹣2a3）2=4a6，正确；C、因为（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故本选项错误；D、因为a3与a2不是同类项，而且是加法，不能运算，故本选项错误．故选B．【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，理清指数的变化是解题的关键．3．利用运算律简便计算52×（–999）+49×（–999）+999正确的是A．–999×（52+49）=–999×101=–100899B．–999×（52+49–1）=–999×100=–99900C．–999×（52+49+1）=–999×102=–101898D．–999×（52+49–99）=–999×2=–1998【答案】B【解析】根据乘法分配律和有理数的混合运算法则可以解答本题．【详解】原式=－999×（52+49-1）=－999×100=－1．故选B．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．4．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为()A．16 B．14 C．12 D．10【答案】B【解析】根据切线长定理进行求解即可.【详解】∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，∵BE+CE＝BC＝5，∴BD+CF＝BC＝5，∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，故选B．【点睛】本题考查了三角形的内切圆以及切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键.5．如图，数轴上有M、N、P、Q四个点，其中点P所表示的数为a，则数-3a所对应的点可能是( )A．M B．N C．P D．Q【答案】A【解析】解：∵点P所表示的数为a，点P在数轴的右边，∴-3a一定在原点的左边，且到原点的距离是点P到原点距离的3倍，∴数-3a所对应的点可能是M，故选A．点睛：本题考查了数轴，解决本题的关键是判断-3a一定在原点的左边，且到原点的距离是点P到原点距离的3倍．6．已知二次函数y=（x+m）2–n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=mnx的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题解析：观察二次函数图象可知： 00m n ，，∴一次函数y=mx+n 的图象经过第一、二、四象限,反比例函数mn y x的图象在第二、四象限. 故选D.7．如图所示的几何体是由4 个大小相同的小立方体搭成，其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：根据三视图的意义，可知俯视图为从上面往下看，因此可知共有三个正方形，在一条线上.故选C.考点：三视图8．如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B 的长为（ ）A ．2-2B 3C 3-1D ．1【答案】C【解析】延长BC′交AB′于D ，根据等边三角形的性质可得BD ⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB ，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD 、C′D ，然后根据BC′=BD -C′D 计算即可得解.【详解】解：延长BC′交AB′于D ，连接BB ＇，如图，在Rt △AC′B′中，AB′=2AC′=2， ∵BC′垂直平分AB′，∴C′D=12AB=1， ∵BD 为等边三角形△ABB′的高，∴BD=3AB′=3， ∴BC′=BD -C′D=3-1．故本题选择C.【点睛】熟练掌握勾股定理以及由旋转60°得到△ABB′是等边三角形是解本题的关键.9．如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过点（1，2）且与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，其中﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论：4a+2b+c ＜0，2a+b ＜0，b 2+8a ＞4ac ，a ＜﹣1，其中结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【解析】由抛物线的开口向下知a<0，与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，得c>0，对称轴为x=2b a<1，∵a<0，∴2a+b<0， 而抛物线与x 轴有两个交点,∴2b −4ac>0，当x=2时，y=4a+2b+c<0，当x=1时，a+b+c=2. ∵244ac b a- >2，∴4ac−2b <8a ，∴2b +8a>4ac ， ∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，②4a+2b+c <0，③a−b+c<0.由①，③得到2a+2c<2，由①，②得到2a−c<−4，4a−2c<−8，上面两个相加得到6a<−6，∴a<−1.故选D.点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠ 中，a 的符号由抛物线的开口方向决定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置决定；b 的符号由对称轴位置与a 的符号决定；抛物线与x 轴的交点个数决定根的判别式的符号，注意二次函数图象上特殊点的特点.10．如图，直线AB 与直线CD 相交于点O ，E 是∠COB 内一点，且OE ⊥AB ，∠AOC=35°，则∠EOD 的度数是（ ）A ．155°B ．145°C ．135°D ．125°【答案】D 【解析】解：∵35AOC ∠=，∴35BOD ∠=，∵EO ⊥AB ，∴90EOB ∠=，∴9035125EOD EOB BOD ∠=∠+∠=+=，故选D.二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，在正六边形ABCDEF 的上方作正方形AFGH ，联结GC ，那么GCD ∠的正切值为___．31【解析】延长GF 与CD 交于点D ，过点E 作EM DF ⊥交DF 于点M,设正方形的边长为a ，则,CD GF DE a ===解直角三角形可得DF ,根据正切的定义即可求得GCD ∠的正切值【详解】延长GF 与CD 交于点D ，过点E 作EM DF ⊥交DF 于点M,设正方形的边长为a ，则,CD GF DE a ===AF //CD ,90,CDG AFG ∴∠=∠=1209030,EDM ∠=-= 3cos30,2DM DE a =⋅= 23,DF DM a ∴==()331,DG GF FD a a a ∴=+=+=+ ()3131tan .a GD GCD CDa +∠===+故答案为：3 1.+【点睛】 考查正多边形的性质，锐角三角函数，构造直角三角形是解题的关键.12．如图，已知CD 是ABC △的高线，且CD 2cm =，30B ∠=︒，则BC =_________.【答案】4cm【解析】根据三角形的高线的定义得到90BDC ∠=︒，根据直角三角形的性质即可得到结论.【详解】解:∵CD 是ABC ∆的高线，∴90BDC ∠=︒，∵30B ∠=︒，2CD =，∴24BC CD cm ==.故答案为:4cm.【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，含30°角的直角三角形，熟练掌握直角三角形的性质是解题。