射影与高中立体几何绘图的原理，方法，例题
射影定理高中难题
射影定理高中难题【原创版】目录1.射影定理的概述2.射影定理在高中数学中的应用3.射影定理的解题技巧4.高中难题的射影定理解法举例5.总结正文【提纲】1.射影定理的概述射影定理是几何学中的一个基本定理，它主要研究的是空间中直线与平面的位置关系。
射影定理的内容是：在一个射影空间中，一条直线和一个平面要么相交于一点，要么平行，要么重合。
这个定理在高中数学中被广泛应用，是解决许多几何问题的关键思想。
2.射影定理在高中数学中的应用射影定理在高中数学中的应用非常广泛，涉及到的知识点包括空间几何、解析几何等。
在解决一些复杂的几何问题时，射影定理往往能够提供一种全新的解题思路。
例如，在解决一些涉及空间直线和平面的位置关系的题目时，射影定理就能够提供非常有力的解题工具。
3.射影定理的解题技巧在应用射影定理解题时，有一些常用的技巧需要掌握。
首先，要熟练掌握射影定理的内容和公式，理解其在空间几何中的几何意义。
其次，要学会利用射影定理将复杂的几何问题转化为简单的代数问题，从而简化解题过程。
4.高中难题的射影定理解法举例例如，有一道高中数学难题：已知空间中有两个相交的平面，它们的交线为一条直线，现在有一条直线与这两个平面都相交，问这条直线与交线的位置关系。
这道题就可以利用射影定理来解决。
首先，根据射影定理，这条直线与交线要么相交于一点，要么平行，要么重合。
然后，通过构建适当的坐标系，利用代数方法求解出直线与交线的具体位置关系。
5.总结总的来说，射影定理是高中数学中非常重要的一个定理，它为我们解决许多复杂的几何问题提供了有力的工具。
射影问题 高二数学 立体几何
( 3 ) 若 P 点与三角形三个顶点的 那么 O 是 ABC — — 心 ( 4 ) 若 PA B PC ， 且 AB AC 那么 O 点 在 — — 线上
A 的角平分线
连线两两垂直
，
垂心
例2、PA垂直于矩形ABCD所在的平面，且 AB=3，AD=4，AP=
BD的距离
6 21 5
，求P到BC、CD、
PB
PD 34 5
3 109 5
PE 6
例 3、 直角 ABC 在平面 内 ， 点 P 在平面 外 ， 已知 P 到直角顶点 C 的距离是 24 ， 到两直角边的距离都是
6 10 ， 那么 P 点到面 的距离
12 _________
1、 若 ABC 为等腰三角形
练习:
1、一条直线在一个平面内的射影可能是（ D ） A 一个点 B一条线段 C 一条直线 D可能是一个点，能是一条直线 2、如果平面外的两条直线在平面内的射影是 一个点和不经过该点的一条直线，那么这两条 直线的位置关系（ A ） A 异面 B 平行 C 异面或平行 D异面或相交
立体几何中的射影定理
立体几何中的射影定理
射影定理：立体几何中的射影定理是指，如果两个相交的平面构成一个空间图形，那么它们之间的射线交点和其他空间点的必然关系。
射影定理是数学家们在研究立体几何时证明的重要定理。
它可以在许多立体几何的地方有用，特别是在几何学、机械工程、制图等方面，经常使用它。
立体几何中的射影定理是由孟加拉诞生的法国数学家卢瓦尔在17th世纪发现的，他发现了如果两个无限远的相交的平面有一个共同的点，他们之间的任何射线必定过这个点。
这就是射影定理，可以用来分解和分析复杂的立体几何图形。
射影定理有两个基本条件：一是在几何图形中，两个相交的平面构成一个空间图形，就是说，它们不能是重叠的；二是它们之间必须有一个共同的点。
这两个条件是射影定理的基本条件，如果一个空间内有多个平面和物体，那么射影定理就可以确定它们的交点，以及它们之间相对应的关系。
射影定理的主要用途是帮助研究人员和技术人员在建立体几何图形时寻找最佳图形，同时为科学研究和工程设计提供参考。
射影定理可以帮助分析各种复杂的空间设计，并为它们提供最佳的解决方案。
此外，射影定理还可以用来在几何中作出正确的计算，比如可以用它来计算空间图形的定位和大小。
射影定理可以指导技术人员如何将空间设计放置在位置的最佳地点，以及当传输速度发生变化时，如何计算传输材料的重量和尺寸。
从以上内容可以看出，立体几何中的射影定理是一个极其重要的定理，它可以在多个不同领域有很多应用，对于科学家和技术人员来说，这是一个重要的分析和计算工具。
立体几何中的射影定理可以帮助人们正确地处理复杂空间图形，可以有效地应用于机械制图、几何图形和空间设计。
空间几何中的射影问题
空间几何中的射影问题几何学是研究空间和形状的学科，而空间几何则是其中的一个分支。
在空间几何中，射影问题是一个重要的概念和研究方向。
射影问题旨在研究和描述点、线、平面在空间中的投影关系，它对于我们理解和分析复杂的几何结构具有重要意义。
一、射影的基本概念在空间几何中，射影是指一个点或者一个几何体在某个平面上的投影。
投影是几何体与平面之间的映射关系，通过这种映射，我们可以将三维的几何体投影到二维平面上，从而更好地研究和分析。
射影的基本思想是模拟人眼在看到物体时的投影效果，从而在平面上得到几何体的投影图形。
二、射影的应用领域射影在各个领域中有着广泛的应用。
在建筑设计中，通过射影可以得到建筑物在不同角度下的平面图和立体图，以便设计者更好地理解和规划。
在计算机图形学中，射影是生成逼真图像的基础，通过计算机算法可以将三维场景转化为二维图像。
在艺术绘画中，艺术家常常使用射影原理来创作逼真的画作。
射影还在无人驾驶、航天航空等领域有着重要的应用。
三、射影的数学模型射影问题是一个复杂的数学模型，需要运用线性代数、微分几何等多种数学工具进行研究和分析。
射影矩阵是射影问题中常用的工具，它可以将点、线或者几何体的坐标表示为齐次坐标表示形式，从而更方便地进行计算和推导。
同时，射影变换和透视投影也是射影问题中常见的数学概念，它们描述了点、线或者几何体在不同平面上的投影关系。
四、射影问题的应用举例为了更好地理解射影问题的应用，我们来看一个具体的例子。
假设我们要求解一个物体在平面上的阴影大小和位置问题。
通过射影的方法，我们可以根据物体的大小、位置和光照条件，计算出物体在平面上的投影，并确定阴影的大小和位置。
这就为设计师设计建筑物的阳光照明效果提供了重要的信息。
五、射影问题的发展前景射影问题作为空间几何中的一个重要研究方向，具有广阔的发展前景。
随着计算机技术和数学建模方法的不断进步，我们可以更加准确地描述和分析射影问题，从而在建筑、工程、艺术、科学等领域中得到更广泛的应用。
射影定理高中难题
射影定理高中难题射影定理是高中数学中的一个重要概念，它是几何与代数的结合，常常用于解决一些复杂的几何问题。
本文将通过举例和详细讲解，帮助读者更好地理解射影定理，并解决一道高中难题。
I. 什么是射影定理射影定理是几何学中的一条重要定理，它描述了平面上两条平行线与一条交于它们之间的第三条线的关系。
简而言之，射影定理表明，当一条直线与两条平行线相交时，这两条平行线上任意一点到交点的距离比例相等。
II. 射影定理的应用举例为了更好地理解射影定理，我们来看一个经典的应用案例：例题：在平面直角坐标系中，已知直线L1过点A（2，5）和B（8，1），直线L2过点C（5，7）和D（11，3）。
求证：L1与L2平行。
解析：首先，我们可以根据两点式求解直线L1和L2的方程。
直线L1的方程为：(x-2)/(8-2)=(y-5)/(1-5)整理得：4x-y+17=0直线L2的方程为：(x-5)/(11-5)=(y-7)/(3-7)整理得：4x-y+33=0我们可以观察到，L1和L2的方程中x的系数和y的系数相等，即两直线的斜率相等。
因此，根据斜率相等定理即可证明L1与L2平行。
III. 高中难题解析现在我们来解决一道实际的高中难题，利用射影定理来解决。
难题：在平面直角坐标系中，已知直线L1过点A（4，5），L2过点B（3，2）。
直线L与x轴和y轴的交点分别为C和D，且AC=BD。
求证：L1与L2平行。
解析：首先，我们可以根据已知条件得出点C的坐标为（a，0），点D的坐标为（0，b）。
根据射影定理，我们知道AC/BC=AD/BD。
而AC=BD已知，因此可以得出BC=AD。
我们可以利用两点式得出直线L1和L2的方程：直线L1的方程为：(x-4)/(a-4)=(y-5)/(0-5)整理得：5x-ay+20=0直线L2的方程为：(x-3)/(0-3)=(y-2)/(b-2)整理得：2x-by+6=0观察L1和L2的方程，我们可以发现两个方程中x的系数和y的系数均不相等。
射影定理模型(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
模型介绍1.射影定理定义①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．2.如图在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，有射影定理如下： 注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影定理！例题精讲【例1】．在矩形ABCD 中，BE ⊥AC 交AD 于点E ，G 为垂足．若CG ＝CD ＝1，则AC 的长是．①AD 2＝BD •DC ；②AB 2＝BD •BC ；AC 2＝CD •BC ．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，∠ABC＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AGB＝90°＝∠ABC，∵∠BAG＝∠CAB，∴△ABG∽△ACB，∴＝，∴AG•AC＝AB2（射影定理），即（AC﹣1）•AC＝12，解得：AC＝或AC＝（不合题意舍去），即AC的长为，故答案为：．【例2】．如图：二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣2解：设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），C（0，t），∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点C（0，t），∴t＝2；∵AC⊥BC，∴OC2＝OA•OB（射影定理），即4＝|x1x2|＝﹣x1x2，根据韦达定理知x1x2＝，∴a＝﹣．故选：A．【例3】．将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝5，则BC的长是（）A．3B．8C．D．2解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD＝∠CBA，∴AC＝CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD＝4，则AE＝DE＝2；∴BE＝BD+DE＝7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2＝BE•AB＝7×9＝63；故BC＝3．故选：A．变式训练【变式1】．如图，在△ABC中，若AB＝AC，BC＝2BD＝6，DE⊥AC，则AC•EC的值是9．解：如图，∵在△ABC中，若AB＝AC，BC＝2BD＝6，∴AD⊥BC，CD＝BD＝3．又DE⊥AC，∴∠CED＝∠CDA＝90°．∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD．∴＝，即AC•EC＝CD2＝9．（射影定理）故答案是：9．【变式2】．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC，BD交于O，且BE：ED＝1：3，AD＝6cm，则AE＝cm．解：设BE＝x，因为BE：ED＝1：3，故ED＝3x，根据射影定理，AD2＝3x（3x+x），即36＝12x2，x2＝3；由AE2＝BE•ED，AE2＝x•3x；即AE2＝3x2＝3×3＝9；AE＝3．【变式3】．如图，若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若∠OAC＝∠OCB．则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．D．解：设A（x1，0），B（x2，0），C（0，c），∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点C（0，c），∴OC＝c，∵∠OAC＝∠OCB，OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，∴，∴OC2＝OA•OB（即射影定理）即|x1•x2|＝c2＝﹣x1•x2，令ax2+bx+c＝0，根据根与系数的关系知x1•x2＝，∴，故ac＝﹣1，故选：A．【变式4】．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝5EF＝5，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG＝____________.解：连接CF、GF，如图：在正方形ABCD中，∠EAD＝∠ADC＝90°，AF⊥DE，∴△AFD∽△EAD，∴＝，又∵DF＝5EF＝5，∴AD＝＝＝＝CD，在Rt△AFD中，AF＝＝＝，∵∠CDF+∠ADF＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF＝180°，∵∠FGA+∠DGF＝180°，∴∠FGA＝∠FCD，∴△AFG∽△DFC，∴＝，∴＝，∴AG＝，∴DG＝AD﹣AG＝﹣【变式5】．如图，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，过点B作BG⊥AC 交⊙O于点E、H，连AD、ED、EC．若BD＝8，DC＝6，则CE的长为2．解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵BG⊥AC，∴∠BGC＝∠ADC＝90°，∵∠BCG＝∠ACD，∴△ADC∽△BGC，∴＝，∴CG•AC＝DC•BC＝6×14＝84，连接AE，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠EGC＝90°，∵∠ACE＝∠ECG，∴△CEG∽△CAE，∴＝，∴CE2＝CG•AC＝84，∴CE＝2．故答案为2．【变式6】．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交BC于点E，点F在实战演练BC 的延长线上，且CF ＝BE ，连接DF ．（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）连接AC ，若∠ACD ＝90°，AE ＝4，CF ＝2，求EC 和AC的长．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∵CF ＝BE ∴BE +CE ＝CF +CE ，即BC ＝EF ，∴AD ＝EF ，∵AD ∥EF ，∴四边形AEFD 是平行四边形，∵AE ⊥BC ，∴∠AEF ＝90°，∴平行四边形AEFD 是矩形；（2）解：如图，∵CF ＝BE ，CF ＝2，∴BE ＝2，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD ＝90°，∵AE ⊥BC ，∴AE 2＝BE •EC （射影定理），∴EC ＝＝＝8，∴AC ＝＝＝4．1．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，垂足为点E ．若sin ∠ADE ＝，AD ＝4，则AB 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4解：∵DE ⊥AC ，∴∠ADE+∠CAD＝90°，∵∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠ACD＝∠ADE，∵矩形ABCD的对边AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵sin∠ADE＝，BC＝AD＝4，∴＝，∴＝，∴AC＝5，由勾股定理得，AB＝＝3，故选：C．2．如图，在矩形ABCD中，BD＝2．对角线AC与BD相交于点O，过点D作AC的垂线，交AC于点E，AE＝3CE．则DE2的值为（）A．4B．2C．D．4解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝2，∵AE＝3CE，∴AE＝AC＝，CE＝AC＝，∵∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CED＝90°，∴∠ADE+∠DAC＝90°，∴∠ADE＝∠ACD，∴△ADE∽△DCE，∴＝，∴DE2＝AE•CE＝×＝，故选：C．3．如图，在正方形ABCD内，以D点为圆心，AD长为半径的弧与以BC为直径的半圆交于点P，延长CP、AP交AB、BC于点M、N．若AB＝2，则AP等于（）A．B．C．D．解：如图，设点S为BC的中点，连接DP，DS，DS与PC交于点W，作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F，∴DP＝CD＝2，PS＝CS＝1，即DS是PC的中垂线，∴△DCS≌△DPS，∴∠DPS＝∠DCB＝90°，∴DS＝＝＝，由三角形的面积公式可得PC＝，∵BC为直径，∴∠CPB＝90°，∴PB＝＝，∴PE＝FB＝＝，∴PF＝BE＝＝，∴AF＝AB﹣FB＝，∴AP＝＝故选：B．4．如图，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CD⊥AB，垂足为D，连接AC、BC、OC，那么下列结论中：①PC2＝PA•PB；②PC•OC＝OP•CD；③OA2＝OD•OP；④OA（CP﹣CD）＝AP•CD，正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．4解：①∵PC与⊙O相切于点C，∴∠PCB＝∠A，∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PC2＝PA•PB；②∵OC⊥PC，∴PC•OC＝OP•CD；③∵CD⊥AB，OC⊥PC，∴OC2＝OD•OP，∵OA＝OC，∴OA2＝OD•OP；④∵AP•CD＝OC•CP﹣OA•CD，OA＝OC，∴OA（CP﹣CD）＝AP•CD，所以正确的有①，②，③，④，共4个．故选：D．5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则CF长．解：作EH⊥BC于H，如图，∵∠A＝90°，AB＝AC＝8，∴BC＝AB＝16，∠C＝45°，∵点E为AC的中点，∴AE＝CE＝4，∵△CEH为等腰直角三角形，∴EH＝CH＝＝4，∴BH＝12在Rt△ABE中，BE＝＝4，在Rt△BEF中，∵EH⊥BF，∴BE2＝BH•BF，即BF＝＝，∴CF＝BC﹣BF＝16﹣＝．故答案为．6．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，把△ABE沿直线BE翻折，得到△GBE，BG 的延长线交CD于点F．F为CD的中点，连结CG，若点E，G，C在同一条直线上，FG＝1，则CD的长为2+2，cos∠DEC的值为﹣1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠BCD＝∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB＝∠EBC，∠BCG＝∠DEC，由折叠的性质得：BG＝BA，∠EGB＝∠A＝90°，∠GEB＝∠AEB，∴CD＝BG，∴∠EBC＝∠GEB，∴BC＝EC，∵点E，G，C在同一条直线上，∴∠CGF＝90°，∠CGB＝180°﹣∠EGB＝90°，∵F为CD的中点，∴CF＝DF，设CF＝DF＝x，则BG＝CD＝2x，∵∠CFG＝∠BFC，∴△CFG∽△BFC，∴＝，∴CF2＝FG•BF，即x2＝1×（1+2x），解得：x＝1+或x＝1﹣（舍去），∴CD＝2x＝2+2，∵∠DEC+∠ECD＝90°，∠GFC+∠ECD＝90°，∴∠DEC＝∠GFC，∴cos∠DEC＝cos∠GFC＝＝＝﹣1，故答案为：2+2，﹣1．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1分别交x轴，y轴于点A，B，过点B作BC ⊥AB交x轴于点C，过点C作CD⊥BC交y轴于点D，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，过点E作EF⊥DE交y轴于点F．已知点A恰好是线段EC的中点，那么线段EF的长是．解：因为AB的解析式为y＝kx+1，所以B点坐标为（0，1），A点坐标为（﹣，0），由于图象过一、二、三象限，故k＞0，又因为BC⊥AB，BO⊥AC，所以在Rt△ABC中，BO2＝AO•CO，代入数值为：1＝•CO，CO＝k，同理，在Rt△BCD中，CO2＝BO•DO，代入数值为：k2＝1•DO，DO＝k2又因为A恰好是线段EC的中点，所以B为FD的中点，OF＝1+1+k2，Rt△FED中，根据射影定理，EO2＝DO•OF，即（k++）2＝k2•（1+k2+1），整理得（k﹣）（k+）（k2+2）（k2+1）＝0，解得k＝．根据中位线定理，EF＝2GB＝2DC，DC＝＝，EF＝2．8．如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P'，点Q是AC上一动点，连接P'Q，DQ．若AE＝14，CE＝18，则DQ﹣P'Q的最大值为．解：如图，连接BD交AC于点O，过点D作DK⊥BC于点K，延长DE交AB于点R，连接EP′并延长，延长线交AB于点J，作EJ关于AC的对称线段EJ′，则点P′的对应点P″在线段EJ′上．当点P是定点时，DQ﹣QP′＝DQ﹣QP″，当D，P″，Q共线时，QD﹣QP′的值最大，最大值是线段DP″的长，当点P与B重合时，点P″与J′重合，此时DQ﹣QP′的值最大，最大值是线段DJ′的长，也就是线段BJ的长．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC，∵AE＝14．EC＝18，∴AC＝32，AO＝OC＝16，∴OE＝AO﹣AE＝16﹣14＝2，∵DE⊥CD，∴∠DOE＝∠EDC＝90°，∵∠DEO＝∠DEC，∴△EDO∽△ECD，∴DE2＝EO•EC＝36，∴DE＝EB＝EJ＝6，∴CD＝＝＝12，∴OD＝＝＝4，∴BD＝8，＝×OC×BD＝BC•DK，∵S△DCB∴DK＝＝，∵∠BER＝∠DCK，∴sin∠BER＝sin∠DCK＝＝＝，∴RB＝BE×＝，∵EJ＝EB，ER⊥BJ，∴JR＝BR＝，∴JB＝DJ′＝，∴DQ﹣P'Q的最大值为．解法二：DQ﹣P'Q＝BQ﹣P'Q≤BP'，显然P'的轨迹EJ，故最大值为BJ．勾股得CD，OD．△BDJ∽△BAD，BD2＝BJ*BA，可得BJ＝．故答案为：．9．在矩形ABCD中，点E为射线BC上一动点，连接AE．（1）当点E在BC边上时，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处，AE交BD于点G．①如图1，若BC＝AB，求∠AFD的度数；②如图2，当AB＝4，且EF＝EC时，求BC的长．（2）在②所得矩形ABCD中，将矩形ABCD沿AE进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，C'，D三点共线时，求BE的长．解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝90°，∵BC＝AB，∴AD＝AB，∴tan∠ABD＝＝，∴∠ABD＝60°，由折叠的性质得：AF＝AB，∴△ABF是等边三角形，∴∠AFB＝60°，∴∠AFD＝180°﹣∠AFB＝120°；②由折叠的性质得：BF⊥AE，EF＝EB，∵EF＝EC，∴EF＝EB＝EC，∴BC＝2BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD＝BC＝2BE，AD∥BC，∴△ADG∽△EBG，∴＝＝2，∴AG＝2EG，设EG＝x，则AG＝2x，∴AE＝3x，在△ABE中，BG⊥AE，∴AB2＝AG•AE（射影定理），即42＝2x•3x，解得：x＝（负值已舍去），∴AE＝3x＝2，∴BE＝＝＝2，∴BC＝2BE＝4，即BC的长为4；（2）当点E，C'，D三点共线时，如图3，由②可知，BC＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝4，AD∥BC，∴∠DCE＝90°，∠CED＝∠B'DA，由折叠的性质得：AB'＝AB＝4，∠B'＝∠ABC＝90°，∴∠DCE＝∠B'，DC＝AB'，∴△CDE≌△B'AD（AAS），∴DE＝AD＝4，∴CE＝＝＝4，∴BE＝BC+CE＝4+4．10．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M，将弧CD沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交弧BC于点F（F与B、C不重合）．问GE▪GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．解：（1）∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝，又∵∠CMP＝∠OMC＝90°，∴PC＝＝2，∵OC＝2，PO＝4，∴PC2+OC2＝PO2，∴∠PCO＝90°，∴PC与⊙O相切；（2）GE•GF为定值，理由如下：如图2，连接GA、AF、GB，∵点G为弧ADB的中点，∴，∴∠BAG＝∠AFG，∵∠AGE＝∠FGA，∴△AGE∽△FGA，∴，∴GE•GF＝AG2，∵AB为直径，AB＝4，∴∠BAG＝∠ABG＝45°，∴AG＝2，∴GE•GF＝AG2＝8．11．如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．（1）证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB+∠CBG＝90，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，∴∠FBA+∠CBG＝90，∴∠GCB＝∠FBA，∴△ABF≌△BCE（ASA）；（2）证明：如图2，过点D作DH⊥CE于H，设AB＝CD＝BC＝2a，∵点E是AB的中点，∴EA＝EB＝AB＝a，∴CE＝a，在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG•CE＝CB•EB，∴BG＝a，∴CG＝＝a，∵∠DCE+∠BCE＝90°，∠CBF+∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，∵CD＝BC，∠CHD＝∠CGB＝90°，∴△CHD≌△BGC（AAS），∴CH＝BG＝a，∴GH＝CG﹣CH＝a＝CH，∵DH＝DH，∠CHD＝∠GHD＝90°，∴△DGH≌△DCH（SAS），∴CD＝GD；（3）解：如图3，过点D作DQ⊥CE于Q，S△CDG＝•DQ•CG＝CH•DG，∴CH＝＝a，在Rt△CQD中，CD＝2a，∴DH＝＝a，∵∠MDH+∠HDC＝90°，∠HCD+∠HDC＝90°，∴∠MDH＝∠HCD，∴△CHD∽△DHM，∴＝，∴HM＝a，在Rt△CHG中，CG＝a，CH＝a，∴GH＝＝a，∵∠MGH+∠CGH＝90°，∠HCG+∠CGH＝90°，∴∠CGH＝∠CNG，∴△GHN∽△CHG，∴，∴HN＝＝a，∴MN＝HM﹣HN＝a，∴＝12．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．解：（1）令二次函数y＝ax2+bx+c，则，∴，∴过A，B，C三点的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2．（2）以AB为直径的圆的圆心坐标为O′（﹣，0），∴O′C＝，OO′＝；∵CD为⊙O′切线∴O′C⊥CD，∴∠O′CO+∠OCD＝90°，∠CO'O+∠O'CO＝90°，∴∠CO'O＝∠DCO，∴△O'CO∽△CDO，∴＝，即＝，∴OD＝，∴D坐标为（，0）．（3）存在，抛物线对称轴为x＝﹣，设满足条件的圆的半径为r，则E的坐标为（﹣+r，|r|）或F（﹣﹣r，|r|），而E点在抛物线y＝﹣x2﹣x+2上，∴|r|＝﹣（﹣+r）2﹣（﹣+r）+2；∴r1＝﹣1+，r2＝﹣1﹣（舍去），r3＝1+，r4＝1﹣（舍去）；故以EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为或1+．。
几何中的射影定理及其应用举例
几何中的射影定理及其应用举例几何学是一门研究空间形状和结构的学科，而射影定理则是几何学中的一个重要定理，它在解决空间中的投影问题时具有广泛的应用。
本文将介绍射影定理的基本概念和原理，并通过几个实际应用举例，展示射影定理在几何学中的重要性。
射影定理是指在几何空间中，一条直线与两个平行平面相交，那么这条直线在其中一个平面上的投影与另一个平面上的投影互相平行。
这个定理的证明可以通过几何推理或向量运算来完成，但无论采用哪种方法，都需要基于空间几何学的基础知识。
在实际应用中，射影定理可以用来解决许多与投影相关的问题。
例如，在建筑设计中，我们常常需要考虑阳光的投影对建筑物的影响。
通过应用射影定理，我们可以确定在不同时间和季节，太阳光的投影位置和角度，从而为建筑物的设计提供参考。
这样，我们可以合理安排建筑物的窗户和遮阳设施，以达到舒适和节能的效果。
另一个应用射影定理的例子是在计算机图形学中。
在三维建模和渲染过程中，射影定理被广泛用于计算物体在二维屏幕上的投影效果。
通过将三维物体投影到屏幕上的二维平面，我们可以实现逼真的图像渲染和交互体验。
这个过程中需要考虑光源、摄像机位置和角度等因素，而射影定理为这些计算提供了基本原理和方法。
除此之外，射影定理还可以应用于地理测量、天文学、航空航天等领域。
在地理测量中，通过测量物体在地球表面上的投影，我们可以计算出物体的实际大小和位置。
在天文学中，射影定理可以帮助我们确定天体在观测设备上的投影位置和运动轨迹。
而在航空航天领域，射影定理则可以用来计算卫星的轨道和通信信号的传播路径。
总之，射影定理是几何学中的一个重要定理，它在解决空间中的投影问题时具有广泛的应用。
通过应用射影定理，我们可以解决建筑设计、计算机图形学、地理测量、天文学和航空航天等领域中的实际问题。
射影定理的应用不仅可以提高我们对空间结构和形状的理解，还可以为相关领域的研究和实践提供有效的工具和方法。
因此，深入理解和应用射影定理对于几何学的学习和应用具有重要意义。
立体几何中的射影定理
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射影与高中立体几何绘图的原理，方法，例题
射影（投影）的一般概念
透过一个玻璃窗看一个真实物体：把玻璃窗当成一张纸，就相当于在玻璃上看到了一幅画，把玻璃窗当成一个相片，相当于看到了真实物体的影像。
虽然纸张和照片底片都是平面的，但人们可以在平面上分辨出原来物体的立体特征。
如图⒈所示。
图1。
透过一个玻璃窗看实物，一个绘画板图像
图2.摄像机拍摄实物
把摄像机或者人眼看做一个点，把画布，窗户，胶片看成一个平面，真实物体上的一个点在画面上的影像，可以看成由物体上的点发出的到人眼的光线穿过一个平面形成的交点，一个物体上的点在平面上的对应点被称为物体在平面上的投影点，人眼或者摄像机器就是中心点，一束束光线抽象成投影线，这个中心点被抽象成投影中心，画布胶片之类可以抽象成投影平面。
对射影问题或者投影问题的关注最早在意大利的文艺复兴时期。
建筑师雕塑师布鲁内莱斯基首先提出了直线投影与无影点等概念。
早期画家阿尔贝蒂，以及皮耶罗弗兰切斯卡写过有关投影几何方面的著作。
后来达芬奇等画家为了更生动逼真地绘画，对此作过非常深入的
研究，产生了科学的透视画法。
这种方法可以产生逼真的平面艺术效果，其机制与我们人眼对景物的光线接收方式几乎一模一样。
透视画法蕴含着的几何原理经过演变形成了画法几何学，射影几何学，广泛应用在机械建筑工程制图，美术，摄影，电影制作上。
原理也被人们用诸如群论，线性变换这样一些原来用于研究数论与方程解法的方法进行研究，推动了数与形的更深入结合。
随着计算机技术的发展，射影几何学广泛应用于计算机图形学，计算机辅助设计与制造，动漫与电子游戏设计，计算机模拟视觉，计算机智能识别等领域。
随着技术与原理的发展，人类面临着在未来的一个世纪用计算机显示的图形图像基本代替纸的历史转折。
对人眼关于景物的获取与识别机制的进一步深入研究，再与几何学，光学原理，色度学及计算技术的结合正在发展出全新的智能系统。
图像分析方法，深度学习机制的进一步应用将使得你们这一代人看到前人从来没见过的美妙图像，将科学的结果，自然的现象，甚至看似杂乱无章的社科数据更直观更深刻地展现出来。
这是一幅令人激动的未来画卷。
算法，图形，结构关联，逻辑内涵，以及智能这些词汇将构成未来数学的新地貌，绝不仅仅是所谓的数和形的问题。
在数学里习惯地认为法国人蒙日是画法几何的发明人，而蒙日的学生彭色列是影射几何学的发明人，大概后者主要关注的是投影的数学问题吧，而以前的人主要着重点是应用。
中心投影与平行投影
图4，中心投影
假设中心投影点离开实物足够远，这相当于通过平行光线将实际物体投影到投影平面上，这样的投影叫平行投影。
图5. 平行投影
虽然我们可以想象将平行投影到投影平面上去，可实际可以使用的画纸大小却是有限的，我们只能将图像再加以缩放才能比较合适地画在纸张上，这其实可以看成一种按比例进行的变换，也叫线性变换。
第一次的投影我们也叫做射影或者投影变换。
将图像变换成实际物体，在数学上也可以看成变换，这是投影变换的逆变换，这也是个图像研究领域。
学名叫：图像重构。
实体坐标与窗口坐标系统
空间坐标系
平面可以建立直角坐标系统，让一个平面上的点和一个数对建立起1-1对应的关系，对于空间上的点我们可以模仿平面的办法加以推广，那就是在平面坐标系统的原点再立起一条数轴来，这样形成一个三个互相垂直直线组成的坐标系统：X-Y-Z坐标系统。
我们发现，一共形成了三个平面坐标系统：分别是:X-O-Y,X-O-Z，Y-O-Z。
任何一个空间点的坐标可以这样定义，让其向三个平面X-O-Y,X-O-Z，Y-O-Z做垂直投影，获得这个点的三个影像点，X-O-Y上的影像点的X坐标必然和Y-O-Z的影像坐标相同，同样地X-O-Y的影像点的Y坐标与Y-O-Z的影像点Y坐标相同，还有在X-O-Z与Y-O-Z上
的影像点的Z坐标相同。
这三个相同的坐标值作为空间点P的坐标的话，那么空间的点P就与一个唯一的三元数组（ x,y,z）建立了1-1对应的关系。
这样我们就建立了空间坐标系统。
考虑一条空间直线。
假设这条直线过（x0,y0,z0）点，设想一个点P由(x0,y0,z0)开始做匀速运动，这个点在 x,y,z轴的三个速度分量为vx,vy,vz,那么有P点的坐标分别为
x=vxt+x0
y=vyt+y0
z=vzt+z0
(x-x0)/vx=(y-y0)/vy=(z-z0)/vz (1)
代表了两个三元一次方程，这两个三元一次方程形成了一条空间直线的方程。
空间坐标系统可以分为左手，右手坐标系统。
右手标系统：用右手握住拳头，拇指指向z轴的方向，握拳头的方向形成X轴到Y轴的旋转方向，这是数学中习惯的坐标系统。
将右手坐标系统定义中的右手换成左手，其余不变就形成了左手坐标系统，这适合自然的空间图形，如下图就是现实坐标。
图8
投影平面与实际物体之间建立坐标系统，如下图，黑框呈现的就类似于计算机屏幕呈现的画面。
图8
斜二测直观图
人们之所以在工程上广泛使用平行投影，是因为平行于投影面的线段，其投影长度不变。
不平行于投影平面的线段长度会发生变化。
对于用纸张或者计算机研究立体几何来说，需要找一个种合适的平行投影线的方向。
设想一个实体空间坐标系统，与x，y，z轴平行的线段投射的到射影平面上后，其像上的线段长度与实际线段长度保持最简单的比例。
如果xoy平面与投影平面平行，那么与之平行的线段的像与实物之间的长度比会保持为1：1.
垂直于摄影平面的直线就会与z轴平行，调整摄影线的方向，使投影线与ox，oy轴的夹角相等，且长度保持为原来的1/2.就是一种非常简单的比例关系，这叫做斜二测直观图，西方也称为木匠图，大概是其简单，适合做家具的展示吧。
这里不妨假设X-O-Y就是投影面，与投影面平行的线的轴向伸缩系数比为1：1,即保持与xoy平面平行的线段长度不变。
我们来研究一下什么方向的平行射影线可以使得垂直于投影面的直线轴向伸缩系数为2：1.首先做∠xoy的平分线OW，设B为OW上的任意一点在oz 轴上截取OA=2OB,则投影线方向与AB平行。
投影线与投影面的倾斜角度：θ=arctan(2)=63.430，垂直线投影与两个平行轴夹角相等的投影也叫二度投影。
图9
图10
斜二测直观图画法举例
下面是两个斜二测直观图的例子
例题1.画正方体。
让正方体的一个面与投影面平行，如前面ABB’A’。
则上顶面
AD与投影面垂直，先做正方形ABB’A’,做∠BAD=450,在AB上截取AD=1/2AB，过B做BC//AD，过D做DC//AB，相交于C,顶面完成，过C做CC’//BB’,过B’C’做B’C’//BC与CC’相交于C’，右侧面做完。
用虚线，过D做DD’//AA，过A’做A’D’//AD相交于D’，连接D’,C’。
则正立方体轮廓线的斜二测直观图完成。
例题2.画一个垂直于射影面的的正三角形。
先在正三角形ABC做高AD，做直线B’C’//BC，取A’B’中点D’做角∠AD’C=450,截取D’A’=1/2AD，连接A’,B’;A’,C’,即得所求作。