人教新课标版数学高一必修1作业设计-- 一次函数、二次函数的性质与图象
§2.2一次函数和二次函数2．2.1一次函数的性质与图象2．2.2二次函数的性质与图象课时目标 1.掌握一次函数的概念和性质.2.掌握二次函数的概念与性质，掌握二次函数的不同表示形式.3.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质．1．一次函数定义：函数______________叫做一次函数，它的定义域为________，值域为________．性质与图象：(1)一次函数__________的图象是______，简写为直线________，其中____叫做该直线的斜率，____叫做该直线在y轴上的截距，一次函数又叫________．(2)函数值的改变量Δy＝y2－y1与自变量的改变量Δx＝x2－x1的比值等于常数________．(3)当k>0时，一次函数是________；当k<0时，一次函数是________．(4)当______时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当______时，它既不是奇函数，也不是偶函数．(5)直线y＝kx＋b与x轴的交点为____________，与y轴的交点为______．2．二次函数函数____________叫做二次函数，它的定义域为_______________________________．性质与图象：对二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(其中h＝－b2a，k＝4ac－b24a)而言，(1)函数的图象是________，________的顶点坐标是________，抛物线的对称轴是直线______；特别地y＝ax2(a≠0)的图象是顶点为______，对称轴为____的抛物线；(2)当a>0时，抛物线开口______，函数在______处取最小值y min＝____＝______，在区间______上是减函数，在______上是增函数；(3)当a<0时，抛物线开口______，函数在______处取最大值y max＝____＝______，在区间______上是增函数，在______上是减函数；(4)当b＝0时，函数f(x)＝ax2＋c为偶函数；当b≠0时，它既不是奇函数，也不是偶函数．一、选择题1．两直线y1＝ax＋b与y2＝bx＋a在同一坐标系中的图象可能是()2．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (－2)<f (0)<f (2) B ．f (0)<f (－2)<f (2) C ．f (2)<f (0)<f (－2) D ．f (0)<f (2)<f (－2)3．函数y ＝ax 2＋bx ＋3在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数，则( ) A ．b >0且a <0 B ．b ＝2a <0C ．b ＝2a >0D ．a ，b 的符号不定 4．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0,2] C ．(－∞，2] D ．[1,2]5．设b >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列图之一，则a 的值为( )A ．1B ．－1 C.－1－52 D.－1＋526．已知m >2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图象上，则( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 1<y 3<y 2D ．y 2<y 1<y 3题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．当x ∈(0,1)时，不等式－ax ＋a －5<0恒成立，则实数a 的范围为________． 8．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3在区间[－2,3]上的最大值与最小值的和为________．9．若函数f (x )＝(m －1)x 2＋mx ＋3 (x ∈R )是偶函数，则f (x )的单调减区间是__________． 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．11．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.(1)求f (x )在区间[12，3]上的最大值和最小值；(2)若g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围．能力提升 12．对任意实数x ，设f (x )是y ＝x ＋2、y ＝－2x ＋4、y ＝4x ＋1三个函数中值最小的函数，那么f (x )的最大值是( ) A.13 B.73C ．3 D.8313．已知函数f (x )＝ax 2－|x |＋2a －1，其中a ≥0，a ∈R . (1)若a ＝1，作函数f (x )的图象；(2)设f (x )在区间[1,2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式．1．一次函数(1)表达式：y ＝kx ＋b ，其中k 满足k ≠0，b 为在y 轴上的截距． (2)单调性：当k >0时，在R 上是增函数；当k <0时，在R 上是减函数． (3)奇偶性：一次函数为奇函数的条件是b ＝0；当b ≠0时，为非奇非偶函数． 2．二次函数(1)二次函数的定义：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数． (2)二次函数的三种表示形式： ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； ③两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．§2.2 一次函数和二次函数 2．2.1 一次函数的性质与图象 2．2.2 二次函数的性质与图象知识梳理1．y ＝kx ＋b (k ≠0) R R (1)y ＝kx ＋b (k ≠0) 直线 y ＝kx ＋bk b 线性函数 (2)k (3)增函数 减函数 (4)b ＝0 b ≠0 (5)⎝⎛⎭⎫－bk ，0 (0，b ) 2.y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) R (1)抛物线抛物线 (h ，k ) x ＝h (0,0) y 轴 (2)向上 x ＝h k f (h )(－∞，h ] [h ，＋∞) (3)向下 x ＝h k f (h ) (－∞，h ] [h ，＋∞) 作业设计 1．A2．D [依题意，由f (1＋x )＝f (－x )知，二次函数的对称轴为x ＝12，因为f (x )＝x 2＋bx ＋c 开口向上，且f (0)＝f (1)，f (－2)＝f (3)，由函数f (x )的图象可知，[12，＋∞)为f (x )的增区间，所以f (1)<f (2)<f (3)，即f (0)<f (2)<f (－2)．] 3．B [由题意知，二次函数图象开口向下，且对称轴x ＝－b2a ＝－1，∴b ＝2a <0.]4．D [由y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2知， 当x ＝1时，y 的最小值为2，当y ＝3时，x 2－2x ＋3＝3，解得x ＝0或x ＝2.由y ＝x 2－2x ＋3的图象知，当m ∈[1,2]时，能保证y 的最大值为3，最小值为2.] 5．B [b >0可排除图象(1)(2)，由(3)(4)知f (0)＝0，∴a ＝±1，若a ＝1，对称轴x ＝－b2<0，不合题意；若a ＝－1，x ＝b2>0，图(3)适合，选B.]6．A [y ＝x 2－2x 在[1，＋∞)上是增函数且m －1，m ，m ＋1均在[1，＋∞)内． ∴y 1<y 2<y 3.] 7．(－∞，5]解析 设f (x )＝－ax ＋a －5.∵当x ∈(0,1)时，不等式－ax ＋a －5<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝a －5≤0，f (1)＝－5<0.解得a ≤5. ∴实数a 的范围为(－∞，5]． 8．－1解析 f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∵1∈[－2,3]，∴f (x )max ＝4，又∵1－(－2)>3－1，由f (x )图象的对称性可知，f (－2)的值为f (x )在[－2,3]上的最小值，即f (x )min ＝f (－2)＝－5，∴－5＋4＝－1. 9．[0，＋∞)解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴(m －1)x 2－mx ＋3＝(m －1)x 2＋mx ＋3， ∴m ＝0.这时f (x )＝－x 2＋3， ∴单调减区间为[0，＋∞).10．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， ∵x ∈[－5,5]，故当x ＝1时，f (x )的最小值为1. 当x ＝－5时，f (x )的最大值为37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2图象的对称轴为x ＝－a . ∵f (x )在[－5,5]上是单调的，故－a ≤－5，或－a ≥5. 即实数a 的取值范围是a ≤－5，或a ≥5.11．解 (1)∵f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[12，3]，∴f (x )的最小值是f (1)＝1，又f (12)＝54，f (3)＝5，所以，f (x )的最大值是f (3)＝5，即f (x )在区间[12，3]上的最大值是5，最小值是1.(2)∵g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－(m ＋2)x ＋2， ∴m ＋22≤2或m ＋22≥4，即m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．12．D [如图所示，根据题意，f (x )对应函数图象为折线A －B －C －D ，故f (x )的最大值为C 点纵坐标．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋4，y ＝x ＋2， 得C (23，83)．]13.解 (1)当a ＝1时， f (x )＝x 2－|x |＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1， x <0x 2－x ＋1， x ≥0.作图(如右所示)(2)当x ∈[1,2]时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1.若a ＝0，则f (x )＝－x －1在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝－3.若a >0，则f (x )＝a (x －12a )2＋2a －14a－1，f (x )图象的对称轴是直线x ＝12a.当0<12a <1，即a >12时，f (x )在区间[1,2]上是增函数，g (a )＝f (1)＝3a －2. 当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g (a )＝f (12a )＝2a －14a －1，当12a >2，即0<a <14时，f (x )在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝6a －3.综上可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧6a －3， 0≤a <142a －14a －1， 14≤a ≤123a －2， a >12.。
高中数学人教版必修一：第二单元 一次函数的性质与图象 pptx
解析 ∵C中y＝1＋2x为一次函数且一次项系数大于零， ∴y＝1＋2x在R上为增函数，故选C.
12345
解析 答案
2.一次函数y＝kx(k≠0)的图象上有一点坐标为(m，n)，当m＞0，n＜0时，
则直线经过
√A.第二、四象限
C.第二、三象限
B.第一、三象限 D.第一、四象限
解析 ∵点(m，n)的坐标中m＞0，n＜0，
解析 答案
反思与感悟
求一次函数的解析式的一般步骤 (1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b，其中k≠0. (2)根据题目中所给的条件(或隐含条件)列出实数k与b满足的方程组. (3)求出k与b的值，代入y＝kx＋b即可.
跟踪训练2 一次函数的图象经过y＝x＋1与y＝2x－3的交点A，并且与x轴交 于点B(－1,0)，求这个一次函数的解析式，并画出其图象.
解答
反思与感悟
解此种类型的题目，首先要正确理解正比例函数、一次函数的概念及 一次函数的性质，从概念和性质入手，问题便可迎刃而解.
跟踪训练1 设函数y＝(m－3)x m2－6m＋9 ＋m－2： (1)m为何值时，它是一次函数？ 解 由一次函数的表达式知，mm－ 2－36≠m0＋，9＝1.
解答
反思与感悟
(1)一次函数 f(x)＝kx＋b(k≠0)在[m，n]上恒为正⇔ffmn＞＞00.， (2)一次函数 f(x)＝kx＋b(k≠0)在[m，n]上恒为负⇔ffmn＜＜00.，
跟踪训练3 已知f(x)＝ax＋2在区间[1,3]上大于零恒成立，则a的取值范 围为_(_－__23_，__＋__∞__) _. 解析 ∵f(x)＝ax＋2在区间[1,3]上大于零恒成立， ∴ff31＞＞00，， 解之得 a＞－23.
解答
高中新课程数学(新课标人教B版)必修一《2.2.1 一次函数的性质与图像》课件
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(4)直线 y＝kx＋b 与 x 轴的交点为－bk，0，与 y 轴的交点 为 (0，b) ．
试一试：一次函数与一次方程，一次不等式有何联系？ 提示 一次函数 y＝kx＋b(k≠0)与 x 轴交点为(－bk，0)，一 次方程 kx＋b＝0 的解为 x＝－bk，为一次函数与 x 轴交点的横坐 标．且 x＝－bk是不等式 kx＋b＞0 或 kx＋b＜0 的分界点．
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规律方法 一次函数 y＝kx＋b(k≠0)当 k＞0 时，在 R 上是 增函数，k＜0 时，在 R 上是减函数，要使 f(x)＞0 在区间[m， n]上恒成立，只需端点值 f(m)＞0 与 f(n)＞0 都成立即可．
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【训练 2】 求函数 y＝－5x－1，x∈[1,4]的最小值． 解 ∵k＝－5＜0， ∴函数 y＝－5x－1 在 R 上是减函数． ∴函数 y＝－5x－1，x∈[1,4]， 所以最小值为 f(4)＝－21.
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想一想：一次函数 y＝kx＋b(k≠0)中，b 有何特征？
提示 一次函数中 b 指一次函数在 y 轴上的截距，b 不是 距离，可认为任意实数．
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名师点睛 1．一次函数图象与性质的理解 (1)一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，但是并非 任意一条直线都是一次函数的图象．例如：x＝1 的图象是一条 直线，但 x＝1 不是一次函数． (2)一次函数图象过定点(－bk，0)，(0，b)． (3)一次函数的单调性与其一次项系数 k 与 0 的大小有关． k＞0 时，一次函数单调递增， k＜0 时，函数单调递减，反之也成立．
人教版数学高一人教B版必修1作业第二章第17课时二次函数的性质与图象
第17课时 二次函数的性质与图象课时目标1.掌握二次函数的图象和性质，学会用配方法研究二次函数的性质．2．掌握作二次函数图象的一般方法，学会运用函数图象理解和研究函数的性质． 3．会用二次函数的图象和性质解决一些简单问题．识记强化1．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数，它的定义域是R .当b ＝c ＝0时，二次函数变为y ＝ax 2(a ≠0)，它的图象是一条顶点为原点的抛物线，a ＞0时，抛物线开口向上，a ＜0时，抛物线开口向下，这个函数是偶函数．2．二次函数f (x )＝a (x －h )2＋k 有如下性质：(1)函数的图象是一条抛物线，抛物线顶点的坐标是(h ，k )，对称轴是x ＝h ；(2)当a ＞0时，抛物线的开口向上，函数在x ＝h 处取最小值y min ＝k ＝f (h )，在区间(－∞，h ]上是减函数，在h ，＋∞)上是增函数；(3)当a ＜0时，抛物线开口向下，函数在x ＝h 处取最大值y max ＝k ＝f (h )，在区间(－∞，h ]上是增函数，在h ，＋∞)上是减函数．3．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)配方后为：y ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a.课时作业 (时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象的最高点是(－3,1)，则b ，c 的值是( ) A ．b ＝6，c ＝8 B ．b ＝6，c ＝－8 C ．b ＝－6，c ＝8 D ．b ＝－6，c ＝－8 答案：D解析：由题意，得⎩⎨⎧b2＝－3－4c －b 2－4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6c ＝－8.2．二次函数y ＝4x 2－mx ＋5的图象的对称轴为直线x ＝－2，则当x ＝1时，y 的值为( ) A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 答案：D解析：∵函数y ＝4x 2－mx ＋5的图象的对称轴为直线x ＝－2，∴m8＝－2，即m ＝－16，∴y ＝4x 2＋16x ＋5，∴当x ＝1时，y ＝25，故选D.3．在同一直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m 和函数y ＝－mx 2＋2x ＋2(m 是常数，且m ≠0)的图象可能是( )答案：D解析：当m ＞0时，函数y ＝mx ＋m 递增，且在y 轴上的截距为正，函数y ＝－mx 2＋2x ＋2的图象开口向下，对称轴在y 轴右侧．当m ＜0时，函数y ＝mx ＋m 递减，且在y 轴上的截距为负，函数y ＝－mx 2＋2x ＋2的图象开口向上，对称轴在y 轴左侧．满足上述条件的只有D 选项．4．若f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．－2，＋∞) C ．(－∞，2] D ．2，＋∞) 答案：A解析：∵对称轴为直线x ＝1－a 3，图象开口向上，在(－∞，1]上是减函数，∴1－a3≥1，∴a ≤－2.5．若函数f (x )＝－x 2＋2ax 在区间0,1]上是增函数，在区间3,4]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(1,3)C ．1,3]D ．0,4] 答案：C解析：函数f (x )＝－x 2＋2ax 的图象的对称轴为直线x ＝a ，由题意，知1≤a ≤3.6．对于每一个实数x ，f (x )是y ＝2－x 2和y ＝x 这两个函数值中的较小者，则f (x )的最大值是( )A ．1B ．2C ．0D ．－2 答案：A解析：由数形结合的思想，比较两函数图象在同一坐标系下的位置关系． 二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分) 7．函数y ＝x －x －1＋2的值域为________．答案：⎣⎡⎭⎫114，＋∞解析：函数y ＝x －x －1＋2定义域x ≥1，令x －1＝t (t ≥0)，则x ＝t 2＋1，∴y ＝t 2－t＋3＝⎝⎛⎭⎫t －122＋114，t ≥0，∴y ≥114. 8．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案：(－∞，0)解析：令f (x )＝－x 2＋2x .因为x ∈0,2]时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则a ＜f (x )min ，而f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，当x ∈0,2]时，f (x )∈0,1]，所以a ＜0.9．设二次函数的图象如图所示，则此函数的解析式为________．答案：y ＝23x 2＋43x －2解析：设函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，由题设知x ＝0时，y ＝c ＝－2.⎩⎨⎧－3＋1＝－ba (－3)·1＝－2a ⇒a ＝23，b ＝43.故解析式为y ＝23x 2＋43x －2.三、解答题(本大题共4小题，共45分) 10．(12分)已知二次函数y ＝2x 2－4x －6.(1)求此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出图象； (2)求x 为何值时，分别有y >0，y ＝0，y <0. 解：(1)配方，得y ＝2(x －1)2－8，∴函数图象开口向上，对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，－8)． 列表如下：x … －2 －10 1 2 3 … y … 10 0－6 －8 －6…描点并画图，得函数y ＝2x 2－4x －6的图象，如图所示．(2)当函数图象在x 轴上方，即x <－1或x >3时，y >0； x ＝－1或x ＝3时，y ＝0；－1<x <3时，y <0.11．(13分)设二次函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (2－x )，且f (x )＝0的两实根的平方和为10，图象过点(0,3)，求f (x )的解析式．解：由f (x ＋2)＝f (2－x )得f (x )的对称轴为x ＝2.设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，即－b2a＝2.∵图象过点(0,3)，∴c ＝3.又f (x )＝0的两实根的平方和为10，设两根分别为x 1，x 2，则x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2－2·ca＝10，将b ＝－4a ，c ＝3代入得： 16－2·3a＝10，∴a ＝1，b ＝－4，∴f (x )＝x 2－4x ＋3.能力提升12．(5分)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，那么( ) A ．f (2)＜f (1)＜f (4) B ．f (1)＜f (2)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1) D ．f (4)＜f (2)＜f (1) 答案：A解析：由f (2＋t )＝f (2－t )，知f (x )的对称轴为x ＝2，又f (x )的图象开口向上， ∴f (2)＜f (1)＜f (4)． 13．(15分)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋2在区间t ，t ＋2]上的最小值为g (t )，求g (t )的表达式． 解：∵f (x )＝x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2， ∴函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝2.当t ≥2时，函数f (x )在区间t ，t ＋2]上为增函数， ∴当x ＝t 时，f (x )取最小值t 2－4t ＋2；当t ＋2≤2，即t ≤0时，函数f (x )在区间t ，t ＋2]上为减函数， ∴当x ＝t ＋2时，f (x )取最小值(t ＋2)2－4(t ＋2)＋2＝t 2－2； 当0＜t ＜2时，函数f (x )取得最小值－2. ∴g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2，t ≤0－2，0＜t ＜2t 2－4t ＋2，t ≥2.。
人教版高中数学必修一学案：2.2.1一次函数的性质与图象
2.2.1一次函数的性质与图象一、自主学习（预习教材 ）1.一次函数的概念：函数 叫做一次函数，2.一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是 ，其中k 叫做该直线的 。
b 叫做该直线在y 轴上的 。
一次函数又叫做 。
3.一次函数的性质（1）k 的几何意义：函数值的改变量 与自变量的改变量12x x x -=∆的比值等于常数 。
（2）特殊点：直线(0)y kx b k =+≠与x 轴的交点为 ，与y 轴的交点为 。
二、典例示范例：画出函数21y x =+的图象，利用图象完成下述问题：三、快乐体验1、下列说法正确的是（ ）A 、函数b kx x f +=)(为一次函数B 、函数)0(,)(≠+=b b kx x f 的图像是一条是与x 轴相交的直线C 、函数b kx x f +=)(的图像是一条是与x 轴相交的直线D 、函数)0()(≠+=k b kx x f ，是一次函数（1） 求方程210x +=的根； （2） 求不等式210x +≥的解集； （3） 当0y ≤时，求x 的取值范围； (4) 当33x -≤≤时，求y 的取值范围； x y o2、直线270x y -+=，则其对应直线的斜率与在y 轴上的截距分别为（ ） A. 12, 72 B 1, 7- C 1, 72 D 17,22-3、若232)1(+--=m m x m y 是一次函数，则（ ）A 、1=mB 、2=mC 、1>mD 、1=m 或2=m4、若函数(23)(31)y m x n =-++的图象经过第一、二、三象限，则m 与n 的取值范围分别是（ ） A 31,23m n >>- B 3,3m n >>- C m<31,23n <- D 31,23m n >< 5、如果,0,0<>bc ab 那么一次函数0=++c by ax 的图象的大致形状是（ ）6、过点)2,1(-A 作直线l ，使它在x 轴，y 轴上的截距相等，则这样的直线有（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4五、能力提升：（选作）1、一次函数)32()1()(++-=m x m x f 在[]2,2-上总取正值，则m 的取值范围是 。
人教版高中必修1(B版)2.2.2二次函数的性质与图像课程设计
人教版高中必修1(B版)2.2.2二次函数的性质与图像课程设计一、教学目标1.了解二次函数的定义及其基本性质；2.掌握二次函数图像的基本特征，能识别二次函数图像；3.理解二次函数的解析式对其图像的影响。
二、教学重点和难点重点1.二次函数的解析式及其图像的基本特征；2.通过二次函数的解析式分析其图像的特征。
难点1.了解二次函数的根、极值、单调性等基本性质；2.掌握二次函数图像的绘制方法。
三、教学方法1.讲授法：通过讲解二次函数的定义、解析式及其图像的基本特征，帮助学生掌握二次函数的基本概念和性质。
2.实例分析法：通过实例演示，分析二次函数图像的具体特征和绘制方法；3.互动探究法：通过实验、探究等交互式学习方式，加深学生对二次函数的理解。
四、教学过程A. 导入设计一个小问题，让学生思考问“一个摆放在地上的小球，如果以一定的力度向上抛，那么小球将会做什么样的运动轨迹呢？”通过引起学生的兴趣，激发他们学习二次函数的动力。
B. 讲解1.二次函数的基本性质：了解二次函数的定义，以及其在坐标系上的表示形式，包括二次函数的对称轴、根、极值、单调性等基本性质。
2.二次函数图像的特征：以y=a(x−h)2+k的经典形式为例，详细讲解二次函数的图像特征，包括对称轴、顶点、开口方向等要素。
通过图像的演示，让学生理解和掌握二次函数图像的特征，并能够识别不同形态的二次函数图像。
3.二次函数式对图像的影响：深入探讨二次函数中各项系数对图像的影响，以及各项系数改变时曲线形态的变化。
C. 拓展和应用1.设计一个小实验，让学生通过观察小车运动的轨迹来理解二次函数的性质和图像特征；2.通过实例演示、练习习题等方式，让学生加深对二次函数的理解，并掌握二次函数的应用技能。
D. 归纳总结通过学生以前的学习过程，结合本次课堂讲授的知识点，总结出二次函数的主要性质，以及二次函数图像的特征和绘制方法。
五、作业布置1.完成本节课的练习题；2.找一些实际问题，通过建立二次函数模型来解决问题。
高中数学人教新课标必修一B版教案二次函数的图象和性质
“二次函数的图象与性质”教学设计（一）学习目标：1、知识目标：（1）使学生掌握研究二次函数的一般方法 配方法；（2）进一步掌握二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的顶点坐标、对称轴方程、单调区间和最值得求法。
2、能力目标：（1）培养学生的观察分析能力，引导学生学会用数形结合的方法研究问题；（2）培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力。
3、情感目标：（1）通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲；（2）通过合作学习，培养学生团结协作的思想品质。
（二）重点难点重点：使学生掌握研究二次函数的图象和性质的方法------ 配方法;难点: 通过”配方式”分析二次函数的图象和性质的特征。
（三）教学内容安排复习引入：提问：二次函数你能回忆起有关它的哪些知识？（教师通过多媒体展示问题，学生积极回忆初中有关内容）概念形成：1、要求一组在同一坐标系内要求作出222,2,3y x y x y x =-=-=-的图象；另一组作出2y x =，（ 222,3y x y x ==的图象。
教师再借助多媒体手段，展示函数图象随a 值变化的过程，然后学生填充绘制的性质表格。
2、研究二次函数()20y a x a =≠的图象和性质：（1）偶函数，图象关于y 轴对称（2）顶点坐标（0，0）；（3）当0a >时，开口向上，在(,0]-∞上是减函数，在[0,)+∞上是增函数，当x=0时有最小值0；（4）当0a <时，开口向下，在(,0]-∞上是增函数，在[0,)+∞上是减函数，当x=0时有最大值0；（5）a 越大开口越小3、研究一般的二次函数的性质和图象：教师问：若将函数()20y a x a =≠的图象进行平移，则函数的哪些性质将不发生变化？哪些性质将发生变化？引例1：研讨二次函数()212f x x =46x ++的性质与图象。
引例2：研讨二次函数()2f x x =-43x -+的性质与图象。
问题1：指出两个函数的开口方向，并说明哪个函数的开口较大？问题2：分别将二次函数()21462f x x x =++与()f x =243x x --+配方，然后分别求出两个函数的最值以及与x 轴的交点。
人教新课标版数学高一人教B版必修1学案 二次函数的性质与图像(第一课时)
二次函数的性质与图像（第1课时）一 学习目标： 1、 掌握二次函数的概念及性质；2、 能根据二次函数的性质作出简图；3、会用配方法研究二次函数的性质；学习重点：用配方法研究二次函数的性质与图像；学习难点：研究二次函数的性质与图像的一般方法；二 知识梳理：1 函数_______叫二次函数，二次函数2ax y =，它的图像是一条以______为顶点，_____为对称轴的抛物线，当0>a 时_______，当0<a 时______。
2 一般二次函数c bx ax y ++=2()0≠a 的图像与性质 先将c bx ax y ++=2()0≠a 配方，回答： ① 二次函数的图像是一条_______，抛物线定点坐标_________,对称轴_______；② 当0>a 时，抛物线开口______，函数在_______，处取得最小值_______，单调性情况_________________________；③ 当0<a 时，抛物线开口________，函数在_______处取得最大值_______，单调性情况_________________________。
三 典型例题：例 1：试述二次函数6421)(2++=x x x f 的性质，并作出图像 （1）配方，最值，顶点（2）求与x 轴的焦点（3）列表作图（4）指出对称轴，指出单调区间变式：研究二次函数34)(2+--=x x x f 的图像与性质思考证明：)2()2(h f h f --=+- )0(>h例 2：求函数1232++=x x y 的值域及对称轴，并描述单调性情况练习：求下列函数图像的定点坐标、函数的最大值或最小值、函数的值域：（1）1822+-=x x y ； （2）422++-=x x y ．变式：已知函数22--=x x y ，利用函数图像，求0≤y 时，x 的取值范围．例 3：已知二次函数)(x f 满足)(,1)1(,1)2(x f f f -=--=的最大值为８，求)(x f 的解析式．变式：已知一个二次函数图像的顶点坐标是（-1，-3）,与y 轴一个焦点坐标为（0，-5），求抛物线的解析式.四、 限时训练：1 函数3222--=x x y 的单调区间是 ( C )A .(∞-,1] B.(∞-,－1］ Ｃ.21,(-∞］ D.),21[+∞- 2 二次函数122++-=x x y 的图像与x 轴交点的个数为（ B ）A.3个B.2个C.1个D.0个3 二次函数422++-=x x y ，则函数（ C ）A.对称轴为x=1,最大值为3B.对称轴为x=－１,最大值为5C. 对称轴为x=1, 最大值为5D. 对称轴为x=－１,最小值为34 已知函数c bx ax y ++=2的图象如下图，那么此函数的解析式为（ A ）321212--=x xy B.321212+-=x x yC.321212-+-=x x y D.321212+--=x x y 5、 已知二次函数c bx ax y ++=2的图像顶点为（2，－１），与ｙ轴交点坐标为（０,11）,则( D )A.a=1,b=－４,ｃ＝－11B.a=3,b=12,c=11C.a=3,b=－6，c=－11D.a=3,b=－12,c=116、 已知,0,0<≠b a 一次函数是,b ax y +=二次函数是,2ax y =则下列图形中可以成立的是（ C ）7、函数)3(2x x y -=的图像可能是 （ B ）8 若32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则)(x f 在区间（－3，1）上（ C ）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增9 二次函数)(x f 满足),3()3(x f x f -=+且0)(=x f 的两实根为1x 、2x 则=+21x x ( C )D. A. B. A.B. C. D.A. 0B. 3C. 6D.不能确定10、 已知,0,0<<b a 那么抛物线22++=bx ax y 的顶点在（ B ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11、 用配方法将函数12212+-=x x y 写成k h x a y +-=2)(的形式是 （ A ） A.1)2(212--=x y B.1)1(212--=x y C.3)2(212--=x y D.3)1(212--=x y 12、已知二次函数的图像经过点（1,0），（2,0），（0,2），则该函数的解析式为 （ D 215322y x x =-+ ） A.222++=x x y B.232++=x x yC.322+-=x x yD.232+-=x x y13、 已知抛物线的顶点坐标为（3,－2），且与x 轴的两个焦点的距离为4.（1）求这个二次行数的解析式；（2）写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值；（3）x 为何值时，y 随x 的增大而减小？x 为何值时，y 随x 的增大而增大？（4）x 为何值时，y>0x 为何值时，y=0x 为何值时y<0？（5）当62≤≤x 时，求函数的最值. 215322y x x =-+。
人教版高中必修1(B版)2.2一次函数和二次函数教学设计
人教版高中必修1(B版)2.2一次函数和二次函数教学设计一、教学目标1.了解一次函数和二次函数的基本概念；2.掌握一次函数和二次函数的图像及其性质；3.能够根据实际问题建立函数模型，并求解问题；4.培养学生的数学思维和解决问题的能力。
二、教学重难点1.一次函数和二次函数的图像及其性质；2.建立函数模型并进行问题求解。
三、教学内容及教学步骤1. 一次函数概念：函数f(x)=kx+b(k eq0)称为一次函数。
性质：1.函数f(x)=kx+b(k eq0)的图像为一条不平行于y轴的直线；2.斜率k的正负决定了直线的方向；3.截距b决定了直线与y轴的位置。
教学步骤：1.引入导数的概念，回顾直线的斜率概念；2.解释一次函数的概念和性质；3.在坐标系上画出一次函数的图像，让学生自己判断它的斜率和截距；4.让学生自己设计实际问题，建立一次函数模型，并求解问题。
2. 二次函数概念：函数f(x)=ax2+bx+c(a eq0)称为二次函数。
性质：1.函数f(x)=ax2+bx+c(a eq0)的图像为开口朝上或开口朝下的抛物线；2.对称轴为$x=-\\dfrac{b}{2a}$，最值为$\\begin{cases}f(-\\dfrac{b}{2a}), & a>0\\\\f(x_{min}), & a<0\\end{cases}$；3.若D=b2−4ac>0，则有两个不同实根；若D=0，则有两个相等实根；若D<0，则有两个不同虚根。
教学步骤：1.回顾平方差公式和二次函数的定义；2.解释二次函数的图像和性质，让学生自己画出抛物线并判断相关性质；3.让学生自己设计实际问题，建立二次函数模型，并求解问题。
四、教学方法1.讲授结合实际问题；2.图像分析结合计算方法。
五、教学评价1.课堂练习；2.布置作业；3.考试测试。
人教B版数学高一版必修1学案2.2一次函数和二次函数
2.2 一次函数和二次函数1．一次函数的性质与图象 (1)一次函数的概念函数y ＝kx ＋b (k ≠0)叫做一次函数，又叫做线性函数；它的定义域为R ，值域为R . 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是直线，其中k 叫做该直线的斜率，b 叫做该直线在y 轴上的截距．对一次函数的概念要注意以下三点：①k ≠0.若k ＝0，则函数就成为常数函数．②x 的最高次项次数为1.否则，也不是一次函数． ③b 为任意常数． RRy RR在(－∞，＋∞)上递增在(－∞，＋∞)上递减b ＝0时为奇函数，b ≠时既不是奇函数也不是偶函数(3)图象的画法因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要描出两个点，再连成直线即可． (4)图象的特点①正比例函数y ＝kx 的图象是经过原点(0,0)的一条直线．②一次函数y ＝kx ＋b 的图象是经过y 轴上点(0，b )的一条直线． (5)画法技巧①画正比例函数y ＝kx 的图象，通常取(0,0)，(1，k )两点，然后连线．②画一次函数y ＝kx ＋b 的图象，通常取它与坐标轴的交点(0，b )，⎝⎛⎭⎫－b k ，0，然后连线．原因是上述两点在坐标轴上，描点较准确．但由于－bk多数情况下是分数，故在描点时，我们也可以取x 和y 都是整数的点．谈重点 对截距b 含义的理解(1)b的取值范围：b∈R.(2)b的几何意义：直线y＝kx＋b与y轴的交点的纵坐标．(3)点(0，b)是直线y＝kx＋b与y轴的交点．当b＞0时，此交点在y轴的正半轴上；当b＜0时，此交点在y轴的负半轴上；当b＝0时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数．(4)截距与距离是两个不同的概念．截距可正可负可以为零，但距离不可能为负．【例1－1】一次函数y＝kx－k，若y随x的增大而增大，则它的图象过()A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限解析：由题意知k＞0，所以－k＜0，故y＝kx－k的图象过第一、三、四象限．答案：B【例1－2】函数的解析式为x－2y＋7＝0，则其对应直线的斜率与纵截距分别为()A．17,22B．1，－7C．1，72D．17,22-解析：∵x－2y＋7＝0，∴17 =22y x+，∴斜率1=2k，纵截距7=2b，故选A.答案：A【例1－3】在同一直角坐标系内画出一次函数y＝2x＋1和y＝－2x＋1的图象．解：列表．描点(0,1)，(－0.5,0)，(0,1)，(0.5,0)．连线，即得y＝2x＋1和y＝－2x＋1的图象，如图．【例1－4】已知一次函数的图象经过A(3,5)和B(－4，－9)两点，求该一次函数的解析式．分析：一次函数的图象是一条直线，可设解析式为y＝kx＋b(k≠0)，又因为其图象过A，B两点，所以A，B两点的坐标适合方程，由此解出k和b.解：设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．∵当x＝3时，y＝5；当x＝－4时，y＝－9，∴3=5,4=9.k b k b +⎧⎨-+-⎩①②①－②，得7k ＝14，∴k ＝2. 把k ＝2代入①，得b ＝－1.∴这个一次函数的解析式为y ＝2x －1. 2．二次函数的定义函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数，它的定义域是R .特别地，当b ＝c ＝0，则函数变为y ＝ax 2(a ≠0)．点技巧 学习二次函数的定义应注意的两点(1)对二次函数的定义，要特别注意a ≠0这个条件．函数y ＝ax 2＋bx ＋c 只有在a ≠0的条件下才是二次函数，且x 的最高次数是2，b ，c 可取任意实数．(2)任何一个二次函数的解析式都可化成y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的形式，因此把y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数的一般形式．3．二次函数的图象变换及参数a ，b ，c ，h ，k 对其图象的影响 (1)函数y ＝x 2和y ＝ax 2(a ≠0)的图象之间的关系二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到，参数a 的取值不同，函数及其图象也有区别，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象开口向上，当a ＜0时，图象开口向下．而且，当a ＞0时，a 的值越大，函数y ＝ax 2的图象开口越小，a 的值越小，函数y ＝ax 2的图象开口越大；当a ＜0时，a 的值越小，函数y ＝ax 2的图象开口越小，a 的值越大，函数y ＝ax 2图象开口越大．也就是说，|a |越大，抛物线的开口越小；反之，|a |越小，抛物线的开口越大．(2)函数y ＝ax 2和y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图象之间的关系函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图象可以由函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象向左(h ＞0)或向右(h ＜0)平移|h |个单位长度，再向上(k ＞0)或向下(k ＜0)平移|k |个单位长度得到．h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．可简记为“左加右减，上加下减”．由于只进行了图象的平移变换，所以函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图象与函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象形状相同，只是位置不同．(3)函数y ＝ax 2和y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象之间的关系二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方可以得到其恒等形式y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，从而可以知道，由y ＝ax 2的图象如何平移就得到y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象．在二次函数y＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，即y ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a(a ≠0)中，二次项系数a 决定着函数图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小；b 和a 共同决定抛物线的对称轴的位置，抛物线的对称轴是直线x ＝－b2a，它是一条平行于y 轴或与y 轴重合的直线；a ，b ，c 共同决定抛物线顶点⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a 的位置，c 的大小决定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交点的位置，当c ＝0时，抛物线经过坐标原点，当c ＞0时，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，当c ＜0时，交点在y 轴的负半轴．【例3－1】(1)由y ＝－2x 2的图象，如何得到y ＝－2(x ＋1)2－3的图象？(2)把y ＝2x 2的图象，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，能得到哪个函数的图象？(3)将函数y ＝4x 2＋2x ＋1写成y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式，并说明它的图象是由y ＝4x 2的图象经过怎样的变换得到的？解：(1)把y ＝－2x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度就得到y ＝－2(x ＋1)2－3的图象．(2)把y ＝2x 2的图象，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，就得到函数y ＝2(x －3)2＋4，即y ＝2x 2－12x ＋22的图象．(3)y ＝4x 2＋2x ＋1＝21412x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ＝21114121616x x ⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭ ＝21141416x ⎡⎤⎛⎫+-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝213444x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.把y ＝4x 2的图象向左平移14个单位长度，再向上平移34个单位长度，就可得到函数y ＝4x 2＋2x ＋1的图象．【例3－2】(1)在同一坐标系中作出下列函数的图象： ①y ＝x 2；②y ＝x 2－2；③y ＝2x 2－4x .(2)分析如何把y ＝x 2的图象变换成y ＝2x 2－4x 的图象．分析：解答本题可就每个函数列表、描点连线，作出相应图象，然后利用图象以及二次函数的平移变换规律分析y ＝x 2与y ＝2x 2－4x 的图象之间的关系．描点、连线即得相应函数的图象，如图所示．(2)y ＝2x 2－4x ＝2(x 2－2x )＝2(x 2－2x ＋1－1) ＝2(x －1)2－2.由y ＝x 2到y ＝2x 2－4x 的变化过程如下．方法一：先把y ＝x 2的图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2x 2的图象，然后把y ＝2x 2的图象向下平移2个单位长度得到y ＝2x 2－2的图象，最后把y ＝2x 2－2的图象向右平移1个单位长度得到y ＝2(x －1)2－2，即y ＝2x 2－4x 的图象．方法二：先把y ＝x 2的图象向右平移1个单位长度得到y ＝(x －1)2的图象，然后把y ＝(x －1)2的图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2(x －1)2的图象，最后把y ＝2(x －1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y ＝2(x －1)2－2，即y ＝2x 2－4x 的图象．析规律 二次函数图象的变换规律所有二次函数的图象均可以由函数y ＝x 2的图象经过变换得到，变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式，再确定变换的步骤．常用的变换步骤如下：y ＝x 2------------------→横坐标不变纵坐标变为原来的a 倍y ＝ax 2----------------------→k >0，上移k 个单位长度k <0，下移|k |个单位长度y ＝ax 2＋k --------------------→h >0，左移h 个单位长度h <0，右移|h |个单位长度y ＝a (x ＋h )2＋k ，其中a 决定开口方向及开口大小(或纵坐标的拉伸)；h 决定左、右平移，k 决定上、下平移．【例3－3】已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与函数y ＝－2x 2＋3x 有相同的开口方向和大小，与函数y ＝x 2－12x ＋1有相同的对称轴，与函数y ＝4x 2－x －1在y 轴上有相同的交点． (1)求f (x )．(2)由y ＝x 2的图象能得到f (x )的图象吗？分析：(1)根据a ，b ，c 对f (x )的图象影响，由y ＝－2x 2＋3x 确定a ，由y ＝x 2－12x ＋1确定b ，由y ＝4x 2－x －1确定c ；(2)由y ＝x 2的图象得f (x )的图象要分步骤：y ＝x 2→y ＝ax 2→y ＝a (x ＋h )2→y ＝a (x ＋h )2＋k ，因此先将f (x )的解析式化为f (x )＝a (x ＋h )2＋k 的形式．解：(1)∵f (x )与y ＝－2x 2＋3x 有相同的开口方向和大小，∴a ＝－2.∵f (x )与函数y ＝x 2－12x ＋1有相同的对称轴1=4x ， ∴1=24b a -. 又∵a ＝－2，∴b ＝1.∵f (x )与函数y ＝4x 2－x －1在y 轴上有相同的交点(0，－1)， ∴c ＝－1.∴f (x )＝－2x 2＋x －1.(2)f (x )＝217248x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭.将函数y ＝x 2图象上点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的－2倍得到函数y ＝－2x 2的图象；将函数y ＝－2x 2的图象向右平移14个单位长度，再向下平移78个单位长度得到函数217=248y x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的图象，即函数y ＝－2x 2＋x －1的图象．析规律 二次函数的图象变换应先配方解决本题的关键是明确a ，b ，c 对函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的影响以及利用配方法将y ＝ax 2＋bx ＋c 化为y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式，这是一项基本要求，往往由于配方过程中出现错误导致后面解答全部错误．4．二次函数的性质二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 可以通过配方转化为f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a，结合图象观察得到其主要性质，如下表：二次函数≠0)抛物线开口向上，并向上无限延伸抛物线开口向下，并向下无限延伸对称轴是直线x ＝－b2a，顶点坐标是⎛⎫－b ，4ac －b 2对称轴是直线x ＝－b2a，顶点坐标是⎫－b 2由上表可以看出，函数的性质就是函数图象特征的具体描述，因此可借助于图象特征来理解记忆二次函数的主要性质．以上大部分性质在初中都已了解，新增加的是单调区间，所以，教科书首先通过图象观察得到函数的单调区间，然后利用单调性的定义进行了严格的证明，用定义证明函数单调性的方法和步骤在前面已经学过．【例4－1】分别指出下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴方程，写出函数的单调区间及最大值或最小值：(1)y ＝x 2－4x ＋9； (2)y ＝－2x 2＋4x －3.分析：首先将所给的二次函数解析式配方化成顶点式，然后利用图象研究其性质． 解：(1)y ＝x 2－4x ＋9＝(x －2)2＋5，由于x 2的系数是正数，所以函数图象开口向上； 顶点坐标为(2,5)；对称轴方程为x ＝2；函数在区间(－∞，2]上是减函数，在区间[2，＋∞)上是增函数；函数有最小值，没有最大值，函数的最小值是5.(2)y ＝－2x 2＋4x －3＝－2(x －1)2－1，由于x 2的系数是负数，所以函数图象开口向下； 顶点坐标为(1，－1)； 对称轴方程为x ＝1；函数在区间(－∞，1]上是增函数，在区间[1，＋∞)上是减函数； 函数有最大值，没有最小值，函数的最大值是－1. 谈重点 配方法的重要作用配方法是研究二次函数最值及对称性、顶点坐标等的基本方法，在探究出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴以后，其图象的对称性及其单调性可直观的反应在大脑中，解题中应注意多总结这些性质，以便拓展自己的思维空间．【例4－2】抛物线y ＝8x 2－(m ＋1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________.解析：因为抛物线y ＝8x 2－(m ＋1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，所以其顶点的纵坐标248(7)(1)=048m m ⨯⨯--+⨯，即m 2－30m ＋225＝0，所以(m －15)2＝0， 所以m ＝15. 答案：15点技巧 牢记二次函数的性质是关键抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a ，当顶点在x 轴上时，其纵坐标4ac －b 24a ＝0；当顶点在y 轴上时，其横坐标－b2a ＝0.【例4－3】若函数y ＝x 2＋2(a －1)x ＋2在(－∞，4]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] B ．[－3，＋∞) C ．(－∞，5] D ．[5，＋∞)解析：易知函数y ＝x 2＋2(a －1)x ＋2是二次函数，其图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1－a ，此函数在区间(－∞，1－a ]上是减函数，若函数在(－∞，4]上是减函数，则1－a ≥4，所以a ≤－3.答案：A5．二次函数解析式的求法求二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，用待定系数法求之．(1)当已知抛物线上任意三点时，通常设所求二次函数为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，然后列出三元一次方程组求解．(2)当已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y ＝a (x ＋h )2＋k (其顶点是(－h ，k )，a ≠0)．(3)当已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1,0)，(x 2,0)，则设所求二次函数为交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．【例5－1】如图，坐标系中抛物线是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则下列式子能成立的是( )A ．abc ＞0B ．b ＜a ＋cC ．a ＋b ＋c ＜0D ．2c ＜3b解析：图中出现的点(1,0)和(－1,0)要注意观察． A 中，∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵抛物线与y 轴的交点(0，c )在x 轴上方，∴c ＞0. 又∵=1>02ba-，∴b ＞0.∴abc ＜0.因此A 是错误的．B 中，∵当x ＝－1时，y ＜0(抛物线上横坐标为－1的点在x 轴下方)， ∴a －b ＋c ＜0(把x ＝－1代入函数得y ＝a (－1)2＋b (－1)＋c ＝a －b ＋c )， ∴b ＞a ＋c .因此B 是错误的．C 中，∵抛物线上横坐标为1的点在x 轴上方，即y ＞0， 又∵当x ＝1时，函数y ＝a ·12＋b ·1＋c ＝a ＋b ＋c ， ∴a ＋b ＋c ＞0.因此C 是错误的．D 中，由上得b ＞a ＋c .又∵=12b a -，∴1=2a b -. ∴2c ＜3b .因此D 正确．答案：D【例5－2】已知二次函数的图象的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P (2,0)，求这个函数的解析式．分析：本题已知图象上两点的坐标(1，－3)和(2,0)，若不考虑已知点的特点，设二次函数的一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)似乎差一个条件，但注意到点(1，－3)是抛物线的顶点，再利用对称轴方程，就可以列出关于a ，b ，c 的三元一次方程组，从而得解；根据顶点坐标是(1，－3)，也可设二次函数的顶点式y ＝a (x －1)2－3(a ≠0)，只需将点P (2,0)的坐标代入，即可求出a ；若看到P (2,0)点是图象与x 轴的交点，利用对称性即可求出图象与x 轴的另一个交点，设二次函数的交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)也能求解．解：(方法1)设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意，得=3,42=0,=1,2a b c a b c b a ⎧⎪++-⎪++⎨⎪⎪-⎩解得=3,=6,=0.a b c ⎧⎪-⎨⎪⎩∴所求函数的解析式为y ＝3x 2－6x .(方法2)设所求函数的解析式为y ＝a (x －1)2－3(a ≠0)， 由图象经过点P (2,0)，得a (2－1)2－3＝0，解得a ＝3. ∴所求函数的解析式为y ＝3(x －1)2－3，即y ＝3x 2－6x . (方法3)∵二次函数的图象的顶点坐标为(1，－3)， ∴其对称轴为直线x ＝1.又∵图象与x 轴的一个交点坐标为P (2,0)，∴由对称性可知，图象与x 轴的另一个交点坐标为(0,0)． ∴可设所求函数的解析式为y ＝a (x －0)(x －2)(a ≠0)． ∵图象的顶点坐标是(1，－3)， ∴a (1－0)(1－2)＝－3，解得a ＝3. ∴所求函数的解析式为y ＝3x (x －2)， 即y ＝3x 2－6x .析规律 由二次函数的图象与x 轴的交点求解析式若二次函数y ＝f (x )的图象与x 轴的两个交点坐标为(x 1,0)和(x 2,0)，则其对称轴方程为x ＝x 1＋x 22，由此可以看出，已知二次函数的对称轴及其与x 轴的一个交点坐标，即可求出另一个交点的坐标．6．二次函数图象的草图画法 画二次函数的图象时，重点体现抛物线的特征“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．根据这些特征，在坐标系中可快速画出抛物线的草图，使画图的操作更简便，使图象更精确．【例6】画出函数y ＝2x 2－4x －6的草图． 解：y ＝2x 2－4x －6 ＝2(x 2－2x )－6＝2(x 2－2x ＋1－1)－6 ＝2[(x －1)2－1]－6 ＝2(x －1)2－8.函数图象的开口向上，顶点坐标为(1，－8)，对称轴为直线x ＝1.令y ＝0，得2x 2－4x －6＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3，故函数图象与x 轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)．画法步骤：①描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－8)，(－1，0)，(3,0)，画出直线x ＝1； ②连线：用光滑的曲线连点(1，－8)，(－1，0)，(3,0)，在连线的过程中，要保持关于直线x ＝1对称，即得函数y ＝2x 2－4x －6的草图，如图所示．7．待定系数法一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．待定系数法求解析式的基本步骤如下： (1)设出含有待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出含待定系数的方程或方程组； (3)解方程或方程组求出待定系数，从而使问题得到解决．【例7】若f (x )为一次函数，且满足f [f (x )]＝1＋2x ，则f (x )的解析式为________． 解析：已知f (x )为一次函数，可以使用待定系数法． 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f [f (x )]＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ，利用对应系数相等即可求得=k -=1b 或k 1b .答案：()=1f x 或(1f x -8．给定区间上二次函数的最值或值域的求法求二次函数的最值或值域，基本的方法是配方法，当限定在某个闭区间上时，关键是确定函数图象的开口方向和对称轴与所给区间的相对位置，结合函数图象确定该函数的单调性、最大值或最小值是在端点处取得还是在顶点处取得．一般地，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在闭区间[p ，q ]上的最值有下列四种情况：(1)当－b2a＜p ，即对称轴在区间[p ，q ]的左边时，画出草图如图①，从图象上易得f (x )在[p ，q ]上是增函数，则f (x )min ＝f (p )，f (x )max ＝f (q )．(2)当p ≤－b 2a ≤p ＋q2，即对称轴在区间[p ，q ]的左端点与区间中点之间时，画出草图如图②.从图象上易得f (x )在[p ，q ]上的最值情况是f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝4ac －b 24a，f (x )max ＝f (q )．(3)当p ＋q 2＜－b 2a≤q ，即对称轴在区间[p ，q ]的中点与右端点之间时，画出草图如图③.从图象上易得f (x )在[p ，q ]上的最值情况是f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝4ac －b 24a，f (x )max ＝f (p )．(4)当－b2a＞q ，即对称轴在区间[p ，q ]的右边时，画出草图如图④.从图象上易得f (x )在[p ，q ]上是减函数，则f (x )min ＝f (q )，f (x )max ＝f (p )．【例8】已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值； (2)用a 表示出函数在[－5,5]上的最值；(3)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在[－5,5]上是单调函数．分析：f (x )＝x 2＋2ax ＋2＝(x ＋a )2＋2－a 2.(1)当a ＝－1时，由于对称轴x ＝1在区间[－5,5]内，则由图象知函数f (x )的最大值是f (－5)，最小值是f (1)；(2)中对称轴x ＝－a ，要根据对称轴与区间[－5,5]的相对位置来讨论最值，因此要对对称轴的位置分类讨论；(3)切入点是单调函数，结合图象可知对称轴不能在区间[－5,5]内部，因此也要讨论对称轴的位置．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， 当x ＝1时，f (x )取得最小值， 即f (x )min ＝f (1)＝1.当x ＝－5时，f (x )取得最大值，即f (x )max ＝f (－5)＝(－5－1)2＋1＝37. 所以函数f (x )的最大值为37，最小值为1.(2)函数y ＝f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2图象的对称轴为x ＝－a . 当－a ≤－5，即a ≥5时，函数在区间[－5,5]上是增函数， 所以f (x )max ＝f (5)＝27＋10a ， f (x )min ＝f (－5)＝27－10a ；当－5＜－a ≤0，即0≤a ＜5时， f (x )max ＝f (5)＝27＋10a ， f (x )min ＝f (－a )＝2－a 2；当0＜－a ≤5，即－5≤a ＜0时， f (x )max ＝f (－5)＝27－10a ， f (x )min ＝f (－a )＝2－a 2；当－a ＞5，即a ＜－5时，函数在区间[－5,5]上是减函数， 所以f (x )min ＝f (5)＝27＋10a ， f (x )max ＝f (－5)＝27－10a .故当a ≥5时，f (x )max ＝27＋10a ， f (x )min ＝27－10a ；当0≤a ＜5时，f (x )max ＝27＋10a ， f (x )min ＝2－a 2；当－5≤a ＜0时，f (x )max ＝27－10a ，f (x )min ＝2－a 2； 当a ＜－5时，f (x )max ＝27－10a ，f (x )min ＝27＋10a .(3)由(2)可知若函数f (x )在区间[－5,5]上是单调函数，则有a ≤－5或a ≥5. 释疑点 如何在给定区间求二次函数的最值或值域 当函数的解析式中含有参数或给定的区间不固定时，求二次函数在此区间上的最值，应按开口方向或对称轴与所给区间的相对位置进行正确合理的讨论，一要考虑二次函数的对称轴在区间的某侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大．9．一元二次方程与二次函数的关系一元二次方程与二次函数的关系是方程与函数关系的特例，是研究函数与方程关系的典范．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根就是相应的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为0时的自变量x 的值，从图象上看，就是抛物线与x 轴交点的横坐标．当一元二次方程的判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，此时对应的二次函数的图象与x 轴有两个不同的交点，其解析式又可写成两根式的形式：y ＝a (x －x 1)·(x －x 2)，抛物线与x 轴的两个交点间的距离|x 2－x 1|＝(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫－b a 2－4c a＝b 2－4ac|a |.当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，此时对应的二次函数的图象与x 轴只有一个公共点；当Δ＜0时，方程没有实数根，此时对应的二次函数的图象与x 轴没有交点．当a ＞0时，它们之间的关系如下图所示：Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0求解一元二次方程根的问题，一般使用求根公式或根与系数的关系，但有些问题用这种方法解决比较繁琐，甚至无法求解，此时若借助于二次函数，并借助于图象，则问题会转化为易于理解和表达的问题．例如，实数a 为何值时，关于x 的一元二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋2a ＝0有一根小于－1，另一根大于1?显然，如果使用根与系数的关系或求根公式求解非常困难，我们可以利用相应的二次函数的图象解决该问题．设f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋2a ，画出该函数的图象(如下图)，方程的两根中一根小于－1，另一根大于1，等价于函数的图象与x 轴的一个交点在－1的左侧，另一个交点在1的右侧，只需⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)<0，f (1)<0，由此可解得a ＜－23.通过上述实例，我们可以看到，用函数的思想解决一元二次方程根的分布问题，运用了数形结合的思想，使难以处理的问题转化的非常直观简单．一般情况下，用二次函数的图象处理一元二次方程根的分布问题，要从多个方面考虑使结论成立的等价条件，如判别式、对称轴、函数值的正负大小等．【例9－1】已知f (x )＝1－(x －a )(x －b )，并且m ，n 是方程f (x )＝0的两根，则实数a ，b ，m ，n 的大小关系可能是( )A ．m ＜a ＜b ＜nB ．a ＜m ＜n ＜bC ．a ＜m ＜b ＜nD ．m ＜a ＜n ＜b解析：由f (x )＝1－(x －a )(x －b )可知，二次函数f (x )的开口向下，且f (a )＝f (b )＝1＞0.∵m ，n 是方程f (x )＝0的两根， ∴f (m )＝f (n )＝0.由f (x )的图象可知，实数a ，b ，m ，n 的关系可能是m ＜a ＜b ＜n (如图所示)． 答案：A点技巧 由二次函数图象比较参数大小比较实数a ，b ，m ，n 的大小，可转化为比较四个函数值f (a )，f (b )，f (m )，f (n )的关系．根据条件可容易画出函数的图象并得到a ，b ，m ，n 四个变量在x 轴上的位置，从而写出a ，b ，m ，n 的大小关系．【例9－2】若方程x 2－32x ＝k 在(－1,1)上有实根，求k 的取值范围． 分析：显然利用求根公式求解不可取，我们可以利用相应二次函数的图象解决该问题，或将其转化为二次函数k ＝x 2－32x 在区间(－1,1)上的值域问题． 解：(方法1)设f (x )＝x 2－32x －k ，函数f (x )的图象开口向上，对称轴为直线3=4x . 若方程x 2－32x ＝k 在(－1,1)上有两个实根，则函数f (x )的图象如图甲所示， 故2223()40,23(1)110,23(1)(1)(1)0,2k f k f k ⎧∆=-+≥⎪⎪⎪=-⨯->⎨⎪⎪-=--⨯-->⎪⎩即9,161,25,2k k k ⎧≥-⎪⎪⎪<-⎨⎪⎪<⎪⎩∴91<162k -≤-.若方程x 2－32x ＝k 在(－1,1)上有一实根，则函数f (x )的图象如图乙、丙所示，故(1)0,(1)0,f f ->⎧⎨≤⎩即223(1)(1)0,23110,2k k ⎧--⨯-->⎪⎪⎨⎪-⨯-≤⎪⎩∴5,21,2k k ⎧<⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩ ∴15<22k -≤.综上所述，实数k 的取值范围是95,162⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.(方法2)方程23=2x x k -可以看作是k 关于x 的二次函数23=2k x x -， 配方得239=416k x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其对称轴方程为3=4x ，函数在区间31,4⎛⎤- ⎥⎝⎦上是减函数，在区间3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数(图象如图所示)．由函数的单调性可知，此函数在区间(－1,1)上的值域为3,(1)4f f⎡⎫⎛⎫-⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，∵233339==442416 f⎛⎫⎛⎫-⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，f(－1)＝(－1)2－32×(－1)＝52，∴实数k的取值范围是95,162⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.。
人教B版高中数学必修一学案二次函数的性质和图像
凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。
§27.2.2 《二次函数的图像和性质》学案定向·诱导 学习目标：1.会用描点法画出二次函数2ax y =,b ax y +=2的图像，比较这两个函数的图像和性质，说出两个图像之间的联系．2.能熟练说出给定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、升降性等性质.3.在“观察、猜想、探索、验证”的过程中，体会二次函数数形结合和由特殊到一般的思想方法.自学·探究1．利用学习机的数学画板工具画出函数2ax y =的图象，利用区间滑竿功能改变a 的取值，观察当a 取不同的数值时，图像的开口方向、对称轴和顶点坐标有什么样的变化？总结性质：函数2ax y =的图象是一条抛物线，这条抛物线： ①.关于 对称， ②.顶点坐标是（ ， ） ③.当0>a 时，开口方向 ，图像在对称轴的两侧呈左 右 （填升或降），顶点是它的最 值（填大或小）当0<a 时，开口方向 ，图像在对称轴的两侧呈左 右 ，顶点是它的最 值④.开口的幅度由|a|决定，|a|越大，开口的幅度 ，抛物线越靠近2．利用学习机的数学画板工具画出函数b ax y +=2的图象，固定一个a 的值（如a=21），利用区间滑竿功能改变b 的取值，观察当b 取不同的数值时，该图像与2ax y =图像的开口方向、对称轴和顶点坐标有什么样的变化关系？总结性质：函数b ax y +=2的图象：①.可看作是由2ax y =的图像 所得到的，b>0则图像 ，b<0则图像 即可得到b ax y +=2的图象.②.关于 对称， ③.顶点坐标是（ ， ） ④.当0>a 时，开口方向 ，图像在对称轴的两侧呈左 右 （填升或降），顶点是它的最 值（填大或小）当0<a 时，开口方向 ，图像在对称轴的两侧呈左 右 ，顶点是它的最 值⑤.开口的幅度由|a|决定，|a|越大，开口的幅度 ，抛物线越靠近 讨论·解疑你对学习机的操作过程或者函数的图像性质还有什么不明白的地方吗，请提出来，让小组内的同学一起帮你解决吧！反馈·总结1.抛物线25x y -=，当x=－2时，y= ，当y=－10时，x= ．2.抛物线9412-=x y 的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的．3. 已知函数1222)(--+=k kx k k y 是二次函数，它的图象开口 ，当x时，y 随x 的增大而增大．4.函数12--=x y 的图象可以看做是由12+-=x y 的图像向 平移 个单位得到的． 5．在同一直角坐标系中函数b ax y +=2与b ax y +=（ab ≠0）的图象的大致位置是( )，你可以用学习机上数学画板来验证它吗？。