新高考数学一轮复习幂函数与二次函数重难点题型精练(含答案)

幂函数与二次函数-重难点题型精练【新高考地区专用】考试时间：90分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2021•日照模拟）已知幂函数y ＝x a 的图象经过点（2，4），则f （﹣3）＝（ ） A ．﹣9B ．9C ．3D ．﹣32．（5分）（2021•皇姑区校级模拟）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）x m 2−2在（0，+∞）上为增函数，则实数m 的值是（ ） A ．﹣1B ．3C ．﹣1或3D ．1或﹣33．（5分）（2021•3月份模拟）若函数f （x ）＝x 2在区间[a ，b ]上的值域为[t ，t +1]（t ∈R ），则b ﹣a （ ） A ．有最大值，但无最小值 B ．既有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值4．（5分）（2020•舒城县校级模拟）已知幂函数y =x pq （p ，q ∈Z 且p ，q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（ ）A ．p ，q 均为奇数，且pq ＞0B ．q 为偶数，p 为奇数，且pq＜0C ．q 为奇数，p 为偶数，且pq＞0D ．q 为奇数，p 为偶数，且pq＜05．（5分）（2021•安阳三模）已知幂函数f （x ）＝x a 满足2f （2）＝f （16），若a ＝f （log 42），b ＝f （ln 2），c ＝f （5−12），则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a6．（5分）（2020•福田区校级模拟）已知幂函数g （x ）＝（2a ﹣1）x a +1的图象过函数f （x ）＝m x ﹣b −12（m ＞0，且m ≠1）的图象所经过的定点，则b 的值等于（ ） A ．±12B ．±√22C ．2D ．±27．（5分）（2020•红河州一模）函数f （x ）＝x 2﹣bx +c 满足f （x +1）＝f （1﹣x ），且f （0）＝3，则f （b x ）与f （c x ）的大小关系是（ ） A ．与x 有关，不确定 B ．f （b x ）≥f （c x ） C ．f （b x ）＞f （c x ）D ．f （b x ）≤f （c x ）8．（5分）（2021•石景山区一模）已知f(x)={x 2−2，x ≤03x −2，x ＞0，若|f （x ）|≥ax 在x ∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞﹣1]∪[0，+∞） B ．[﹣1，0]C ．[0，1]D ．[﹣1，0）二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2021春•衢州月考）已知幂函数f(x)=(m +95)x m ，则下列结论正确的有（ ） A ．f(−32)=116B ．f （x ）的定义域是RC ．f （x ）是偶函数D ．不等式f （x ﹣1）≥f （2）的解集是[﹣1，1）∪（1，3]10．（5分）（2020秋•荆州期末）已知函数f （x ）＝ax 2+2ax +4（a ＞0），若x 1＜x 2，则（ ） A ．当x 1+x 2＞﹣2时，f （x 1）＜f （x 2） B ．当x 1+x 2＝﹣2时，f （x 1）＝f （x 2） C ．当x 1+x 2＞﹣2时，f （x 1）＞f （x 2）D ．f （x 1）与f （x 2）的大小与a 有关11．（5分）（2020秋•双塔区校级月考）已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，满足f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．若a ，b ∈R ，且f （a ）+f （b ）的值为负值，则下列结论可能成立的有（ ） A ．a +b ＞0，ab ＜0B ．a +b ＜0，ab ＞0C ．a +b ＜0，ab ＜0D ．a +b ＞0，ab ＞012．（5分）（2020秋•湖南期中）已知函数f （x ）＝2x 2﹣mx ﹣m 2，则下列命题正确的有（ ） A ．当m ≠0时，f （x ）＜0的解集为{x|−m2＜x ＜m}B ．当m ＝1时，∀x 1，x 2∈[1，+∞）时，（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0C ．∀x 1，x 2∈(−∞，14m]且x 1≠x 2时，f(x 1)+f(x 2)2＞f(x 1+x 22)D ．当m ＜0时，若0＜x 1＜x 2，则x 2f （x 1）＞x 1f （x 2） 三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2020•襄城区校级模拟）函数y ＝log a （2x ﹣3）+√2的图象恒过定点P ，P 在幂函数f （x ）＝x α的图象上，则f （9）＝ ．14．（5分）（2020•镇海区校级模拟）设m ＞﹣1，函数f （x ）＝x 2﹣3mx +2m 2+1（x ＜m ），若存在θ≠π4+k π，使得f （sin θ）＝f （cos θ），则m 的取值范围是 ．15．（5分）（2020•江苏一模）已知函数f （x ）＝（m ﹣2）x 2+（m ﹣8）x （m ∈R ）是奇函数，若对于任意的x ∈R ，关于x 的不等式f （x 2+1）＜f （a ）恒成立，则实数a 的取值范围是 ．16．（5分）（2020•吉林模拟）M(94，32)是幂函数f （x ）＝x n 图象上的点，将f （x ）的图象向右平移2个单位长度，再向上平移32个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，若点T n （n ，m ）（n ∈N *，且n ≥2）在g （x ）的图象上，则|MT 2|+|MT 3|+…+|MT 9|＝ 四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2019秋•浦东新区期末）已知m 是整数，幂函数f （x ）＝x ﹣m 2+m +2在[0，+∞）上是单调递增函数．（1）求幂函数f （x ）的解析式；（2）作出函数g （x ）＝|f （x ）﹣1|的大致图象；（3）写出g （x ）的单调区间，并用定义法证明g （x ）在区间[1，+∞）上的单调性．18．（12分）（2020秋•兰州期末）已知幂函数g（x）＝（m2﹣3）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，且对数函数f（x）满足f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=1 2（1）求g（x）、f（x）的解析式（2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），求实数a的取值范围．19．（12分）（2020秋•高安市校级期末）已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f(x)=g(x) x．（1）求a，b的值；（2）若不等式f（log2x）﹣2k log2x≥0在x∈[2，8]上有解，求实数k的取值范围．20．（12分）（2021春•让胡路区校级月考）已知二次函数f（x）＝x2﹣2ax+3．（1）若f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，求实数a的最小值；（2）存在x∈[﹣4，﹣2]，使得f（x）≥a有解，求实数a的取值范围．21．（12分）（2020秋•虹口区校级期中）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）若b＝1，且f（x）在[﹣2，2]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）若对任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣2，3]使f（x）＞0，求实数b的取值范围．22．（12分）（2021春•吴兴区校级月考）已知幂函数f(x)=(m2−2m−2)x m2−4m+2在（0，+∞）上单调递减．（1）求m的值并写出f（x）的解析式；（2）试判断是否存在a＞0，使得函数g(x)=(2a−1)x−af(x)+1在（0，2]上的值域为（1，11]？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．幂函数与二次函数-重难点题型精练参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2021•日照模拟）已知幂函数y＝x a的图象经过点（2，4），则f（﹣3）＝（）A．﹣9B．9C．3D．﹣3【解题思路】根据幂函数的图象过点（2，4）求出函数解析式，再计算所求的函数值．【解答过程】解：因为幂函数y＝x a的图象过点（2，4），所以2a＝4，a＝2，y＝f（x）＝x2，所以f（﹣3）＝（﹣3）2＝9．故选：B．2．（5分）（2021•皇姑区校级模拟）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x m2−2在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值是（）A．﹣1B．3C．﹣1或3D．1或﹣3【解题思路】由题意利用幂函数的定义和性质，可得m2﹣2m﹣2＝1，且m2﹣2＞0，由此求得m的值．【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x m2−2在（0，+∞）上为增函数，∴m2﹣2m﹣2＝1，且m2﹣2＞0，求得m＝3，故选：B．3．（5分）（2021•3月份模拟）若函数f（x）＝x2在区间[a，b]上的值域为[t，t+1]（t∈R），则b﹣a（）A．有最大值，但无最小值B．既有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值【解题思路】根据二次函数的对称轴与a，b的位置关系，可知对ab进行分类讨论，进而确定函数在[a，b]上取得的值域，进而确定b﹣a的范围．【解答过程】解：由题意知a＜b．当ab≤0时，t＝0，则b2≤1，a2≤1，即b≤1，a≥﹣1，所以0＜b﹣a≤2，则b﹣a有最大值；当ab＞0时，不妨设0＜a＜b，则b2﹣a2＝1，所以b−a=1a+b，显然b﹣a有最大值无最小值，故选：A ．4．（5分）（2020•舒城县校级模拟）已知幂函数y =x pq （p ，q ∈Z 且p ，q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（ ）A ．p ，q 均为奇数，且pq ＞0B ．q 为偶数，p 为奇数，且p q ＜0C ．q 为奇数，p 为偶数，且pq＞0 D ．q 为奇数，p 为偶数，且pq ＜0【解题思路】通过研究函数的图象与性质，得出p 、q 的取值情况即可． 【解答过程】解：因为函数为偶函数，所以p 为偶数， 且由图象形状判定pq ＜0．又因p 、q 互质，所以q 为奇数．所以选D ． 故选：D ．5．（5分）（2021•安阳三模）已知幂函数f （x ）＝x a 满足2f （2）＝f （16），若a ＝f （log 42），b ＝f （ln 2），c ＝f （5−12），则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a【解题思路】根据题意求出幂函数f （x ）的解析式，判断f （x ）是定义域上的单调增函数，再比较log 42、ln 2和5−12的大小，即可得出结论．【解答过程】解：幂函数f （x ）＝x a 中，2f （2）＝f （16）， 所以2×2a ＝16a ，即2a +1＝24a ， 所以a +1＝4a ，解得a =13，所以f （x ）=x 13，所以f （x ）是定义域为R 上的单调增函数； 又a ＝f （log 42），b ＝f （ln 2），c ＝f （5−12）， 且log 42=12，ln 2＞ln √e =12，5−12=1√512， 所以5−12＜log 42＜ln 2，即f （5−12）＜f （log 42）＜f （ln 2）， 所以b ＞a ＞c ． 故选：C ．6．（5分）（2020•福田区校级模拟）已知幂函数g （x ）＝（2a ﹣1）x a +1的图象过函数f （x ）＝m x ﹣b −12（m＞0，且m ≠1）的图象所经过的定点，则b 的值等于（ ） A ．±12B ．±√22C ．2D ．±2【解题思路】根据函数g （x ）是幂函数求出a 的值，再写出指数函数f （x ）图象所过的定点，代入g （x ）中求得b 的值．【解答过程】解：函数g （x ）＝（2a ﹣1）x a +1是幂函数， ∴2a ﹣1＝1，解得a ＝1， ∴g （x ）＝x 2；令x ﹣b ＝0，解得x ＝b ，∴函数f （x ）＝m x ﹣b −12的图象经过定点（b ，12），∴b 2=12，解得b ＝±√22． 故选：B ．7．（5分）（2020•红河州一模）函数f （x ）＝x 2﹣bx +c 满足f （x +1）＝f （1﹣x ），且f （0）＝3，则f （b x ）与f （c x ）的大小关系是（ ） A ．与x 有关，不确定 B ．f （b x ）≥f （c x ） C ．f （b x ）＞f （c x ）D ．f （b x ）≤f （c x ）【解题思路】根据题意，由二次函数的性质分析可得b 、c 的值，则有b x ＝2x ，c x ＝3x ，由指数的性质分情况讨论x 的值，比较f （b x ）和f （c x ）的大小，综合即可得答案．【解答过程】解：根据题意，函数f （x ）＝x 2﹣bx +c 满足f （x +1）＝f （1﹣x ），则有b2=1，即b ＝2，又由f （0）＝3，则c ＝3， b x ＝2x ，c x ＝3x ，若x ＜0，则有c x ＜b x ＜1，而f （x ）在（﹣∞，1）上为减函数，此时有f （b x ）＜f （c x ）， 若x ＝0，则有c x ＝b x ＝1，此时有f （b x ）＝f （c x ），若x ＞0，则有1＜b x ＜c x ，而f （x ）在（1，+∞）上为增函数，此时有f （b x ）＜f （c x ）， 综合可得f （b x ）≤f （c x ）， 故选：D ．8．（5分）（2021•石景山区一模）已知f(x)={x 2−2，x ≤03x −2，x ＞0，若|f （x ）|≥ax 在x ∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞﹣1]∪[0，+∞） B ．[﹣1，0]C ．[0，1]D ．[﹣1，0）【解题思路】先画出函数f(x)={x 2−2，x ≤03x −2，x ＞0和|f （x ）|的图象；利用图象再结合答案即可解决本题．【解答过程】解：函数f(x)={x 2−2，x ≤03x −2，x ＞0的图象如图：|f（x）|的图象如图：因为|f（x）|≥ax在x∈[﹣1，1]上恒成立，所以y＝ax的图象应在y＝|f（x）|的图象的下方，故须斜率为负，或为0．当斜率为负时，排除答案A，C；当a＝0，y＝0满足要求，排除D．故选：B．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2021春•衢州月考）已知幂函数f(x)=(m+95)x m，则下列结论正确的有（）A．f(−32)=1 16B．f（x）的定义域是RC．f（x）是偶函数D．不等式f（x﹣1）≥f（2）的解集是[﹣1，1）∪（1，3]【解题思路】先利用幂函数的定义求出m的值，得到函数f（x）的解析式，可判定选项A，B的正确，利用偶函数的定义判定选项C的正误，利用函数f（x）的奇偶性和单调性解选项D的不等式．【解答过程】解：幂函数f(x)=(m+95)x m，∴m+95=1，∴m=−4 5，∴f（x）=x−45，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故选项B错误，∵f （﹣32）=(−32)−45=116， ∴选项A 正确， f （x ）=x−45=1√x 5，定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，又∵f （﹣x ）=1√(−x)45=1√x 5=f （x ），∴f （x ）是偶函数，选项C 正确， ∵f （x ）=x−45，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0）上单调递增， 不等式f （x ﹣1）≥f （2）等价于f （|x ﹣1|）≥f （2）， ∴{x −1≠0|x −1|≤2解得：﹣1≤x ＜1，或1＜x ≤3， 故选项D 正确， 故选：ACD ．10．（5分）（2020秋•荆州期末）已知函数f （x ）＝ax 2+2ax +4（a ＞0），若x 1＜x 2，则（ ） A ．当x 1+x 2＞﹣2时，f （x 1）＜f （x 2） B ．当x 1+x 2＝﹣2时，f （x 1）＝f （x 2） C ．当x 1+x 2＞﹣2时，f （x 1）＞f （x 2）D ．f （x 1）与f （x 2）的大小与a 有关【解题思路】根据二次函数的图象及二次函数的对称轴，即可判断出每个选项的正误． 【解答过程】解：二次函数f （x ）＝ax 2+2ax +4（a ＞0）的图象开口向上，对称轴为x ＝﹣1， 当x 1+x 2＝﹣2时，x 1，x 2关于x ＝﹣1对称，此时f （x 1）＝f （x 2），选项B 正确； 当x 1+x 2＞﹣2时，x 1与x 2的中点大于﹣1，又x 1＜x 2， ∴点x 2到对称轴的距离大于点x 1到对称轴的距离， ∴f （x 1）＜f （x 2），选项A 正确，C 错误；显然当a ＞0时，f （x 1）与f （x 2）的大小与a 无关，选项D 错误． 故选：AB ．11．（5分）（2020秋•双塔区校级月考）已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，满足f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．若a ，b ∈R ，且f （a ）+f （b ）的值为负值，则下列结论可能成立的有（ ） A ．a +b ＞0，ab ＜0B ．a +b ＜0，ab ＞0C ．a +b ＜0，ab ＜0D ．a +b ＞0，ab ＞0【解题思路】利用幂函数的性质推导出f （x ）＝x 3，从而求得 f （a ）+f （b ）＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2），然后检验各个选项是否正确．【解答过程】解：∵函数f(x)=(m 2−m −1)x m 2+m−3是幂函数，∴m 2﹣m ﹣1＝1，求得m ＝2 或m ＝﹣1．对任意x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，满足f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，故f （x ）在（0，+∞）上是增函数，∴m 2+m ﹣3＞0，∴m ＝2，f （x ）＝x 3．若a ，b ∈R ，且f （a ）+f （b ）＝a 3+b 3＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2） 的值为负值． 若A 成立，则 f （a ）+f （b ）＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＞0，不满足题意；若B 成立，则 f （a ）+f （b ）＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝（a +b ）[(a −b 2)2+3b24]＜0，满足题意；若C 成立，则 f （a ）+f （b ）＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＜0，满足题意；若D 成立，则 f （a ）+f （b ）＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝（a +b ）[(a −b 2)2+3b24]＞0，不满足题意，故选：BC ．12．（5分）（2020秋•湖南期中）已知函数f （x ）＝2x 2﹣mx ﹣m 2，则下列命题正确的有（ ） A ．当m ≠0时，f （x ）＜0的解集为{x|−m2＜x ＜m}B ．当m ＝1时，∀x 1，x 2∈[1，+∞）时，（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0C ．∀x 1，x 2∈(−∞，14m]且x 1≠x 2时，f(x 1)+f(x 2)2＞f(x 1+x 22)D ．当m ＜0时，若0＜x 1＜x 2，则x 2f （x 1）＞x 1f （x 2） 【解题思路】对于A ，分m ＞0和m ＜0时求解不等式； 对于B ，根据函数的单调性判断即可；对于C ，根据函数的单调性，任取两点，根据数形结合的方式判断即可；对于D ，构造函数g （x ）=f(x)x （x ＞0），看作y ＝f （x ）在y 轴右侧图象上的点与原点所在的直线的斜率，数形结合可判断单调性．【解答过程】解：对于A ：由2x 2﹣mx ﹣m 2＜0，当m ＞0时，原不等式的解集为{x |−m2＜x ＜m }， 当m ＜0时，原不等式的解集为{x |m ＜x ＜−m2}，故AC 错误； 对于B ：m ＝1时，f （x ）＝2x 2﹣x ﹣1＝2(x −14)2−98在[1，+∞）递增， 则（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0，故B 正确；对于C ：f （x ）在（﹣∞，14m ]递减，当x 1，x 2∈（﹣∞，14m ]时，设A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），则AB 的中点C （x 1+x 22，f(x 1)+f(x 2)2），设D （x 1+x 22，f(x 1+x 22)），数形结合得：点D 位于点C 的下方， 即f(x 1)+f(x 2)2＞f(x 1+x 22)，故C 正确；对于D ：设g （x ）=f(x)x（x ＞0），则g （x ）表示y ＝f （x ）在y 轴右侧图象上的点与原点所在的直线的斜率， 数形结合可知：g （x ）是增函数，当0＜x 1＜x 2时，g （x 1）＜g （x 2）， 则f(x 1)x 1＜f(x 2)x 2，即x 2f （x 1）＜x 1f （x 2），故D 错误；故选：BC ．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2020•襄城区校级模拟）函数y ＝log a （2x ﹣3）+√2的图象恒过定点P ，P 在幂函数f （x ）＝x α的图象上，则f （9）＝ 3 ．【解题思路】令2x ﹣3＝1求出x ，代入解析式求出y ，即求出定点P 的坐标，再代入幂函数f （x ）＝x α求出α的值，即可求出f （9）．【解答过程】解：由题意得，2x ﹣3＝1，解得x ＝2，此时y ＝log a （2x ﹣3）+√2=√2， 则定点P 的坐标是（2，√2），又P 在幂函数f （x ）＝x α的图象上，则2α=√2=212，得α=12， 所以f(x)=x 12，则f(9)=912=3， 故答案为：3．14．（5分）（2020•镇海区校级模拟）设m ＞﹣1，函数f （x ）＝x 2﹣3mx +2m 2+1（x ＜m ），若存在θ≠π4+k π，使得f （sin θ）＝f （cos θ），则m 的取值范围是 −√23＜m ＜0 ．【解题思路】由f （sin θ）＝f （cos θ）可知sin θ与cos θ关于二次函数的轴对称，解出m 与θ的关系，进而求出m 的取值范围即可．【解答过程】解；由题意可知{32m ＜m3m =cosθ+sinθ，因为θ≠π4+kπ(k ∈Z)，{m ＜0m =√23cos(θ+π4)，解得−√23＜m ＜0，故答案为：−√23＜m ＜0．15．（5分）（2020•江苏一模）已知函数f （x ）＝（m ﹣2）x 2+（m ﹣8）x （m ∈R ）是奇函数，若对于任意的x ∈R ，关于x 的不等式f （x 2+1）＜f （a ）恒成立，则实数a 的取值范围是 （﹣∞，1） ． 【解题思路】由已知结合奇函数的定义可求m ，然后结合不等式的恒成立与最值的相互关系及二次函数的性质可求．【解答过程】解：由奇函数的性质可得，f （﹣x ）＝﹣f （x ）恒成立， 即（m ﹣2）x 2﹣（m ﹣8）x ＝﹣（m ﹣2）x 2﹣（m ﹣8）x ， 故m ﹣2＝0即m ＝2，此时f （x ）＝﹣6x 单调递减的奇函数， 由不等式f （x 2+1）＜f （a ）恒成立，可得x 2+1＞a 恒成立， 结合二次函数的性质可知，x 2+1≥1， 所以a ＜1．故答案为：（﹣∞，1）16．（5分）（2020•吉林模拟）M(94，32)是幂函数f （x ）＝x n 图象上的点，将f （x ）的图象向右平移2个单位长度，再向上平移32个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，若点T n （n ，m ）（n ∈N *，且n ≥2）在g （x ）的图象上，则|MT 2|+|MT 3|+…+|MT 9|＝ 30【解题思路】由32=(94)n ，解得n =12．可得f （x ）=√x ．可得：g （x ）=√x −2+32，根据点T n （n ，m ）（n ∈N *，且n ≥2）在g （x ）的图象上，可得：(m −32)2=n ﹣2，（m ≥32）．利用抛物线的定义及其性质即可得出．【解答过程】解：由32=(94)n ，解得n =12．∴f （x ）=√x ．可得：g （x ）=√x −2+32，∵点T n （n ，m ）（n ∈N *，且n ≥2）在g （x ）的图象上， ∴m =√n −2+32．(m −32)2=n ﹣2，（m ≥32）．抛物线(y −32)2=x ﹣2的焦点M （94，32），准线方程为x ＝2−14=74．根据抛物线的性质可得：|MT n|＝n−7 4，则|MT2|+|MT3|+…+|MT9|＝2−74+3−74+⋯⋯+9−74=(2+9)×82−8×74=30．故答案为：30．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2019秋•浦东新区期末）已知m是整数，幂函数f（x）＝x﹣m2+m+2在[0，+∞）上是单调递增函数．（1）求幂函数f（x）的解析式；（2）作出函数g（x）＝|f（x）﹣1|的大致图象；（3）写出g（x）的单调区间，并用定义法证明g（x）在区间[1，+∞）上的单调性．【解题思路】（1）求幂函数f（x）的解析式；（2）作出函数g（x）＝|f（x）﹣1|的大致图象；（3）写出g（x）的单调区间，并用定义法证明g（x）在区间[1，+∞）上的单调性．【解答过程】解：（1）由f（x）在[0，+∞）上单调递增可得：﹣m2+m+2＞0，∴﹣1＜m＜2，又∵m∈Z，∴m＝0或m＝1，∴f（x）＝x2；（2）由于f（x）＝x2，所以g（x）＝|x2﹣1|．如图所示：（3）根据函数的图象：函数的单调减区间为：（﹣∞，﹣1]和[0，1]．函数的单调增区间为[﹣1，0]和[1，+∞）．证明：设1≤x1＜x2，所以x12−1≥0，x22−1＞0．所以g（x2）﹣g（x1）＝（x2﹣x1）（x2+x1）＞0．所以函数在区间[1，+∞）上为增函数．18．（12分）（2020秋•兰州期末）已知幂函数g（x）＝（m2﹣3）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，且对数函数f（x）满足f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=1 2（1）求g（x）、f（x）的解析式（2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），求实数a的取值范围．【解题思路】（1）根据幂函数的定义与性质，列出不等式组{m2−3=1m＜0，求出m的值，得g（x）解析式；由f（x）是对数函数，且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=12，利用m的值求出f（x）的解析式；（2）根据f（x）的单调性，把f（2a﹣1）＜f（5﹣a）转化，求出解集即可．【解答过程】解：（1）幂函数g（x）＝（m2﹣3）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，∴{m2−3=1 m＜0，解得m＝﹣2，∴g（x）＝x﹣2；又∵f（x）是对数函数，且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=1 2，∴设f（x）＝log a x（a＞0且a≠1），∴log a （﹣m +1）+log a （﹣m ﹣1）=12， 即log a （m 2﹣1）＝log a 3=12， 解得a ＝9， ∴f （x ）＝log 9x ；（2）∵实数a 满足f （2a ﹣1）＜f （5﹣a ）， 且f （x ）＝log 9x 在（0，+∞）上单调递增，∴{2a −1＞05−a ＞02a −1＜5−a ，解得{a ＞12a ＜5a ＜2；即12＜a ＜2，∴实数a 的取值范围是（12，2）．19．（12分）（2020秋•高安市校级期末）已知函数g （x ）＝ax 2﹣2ax +1+b （a ＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f(x)=g(x)x ． （1）求a ，b 的值；（2）若不等式f （log 2x ）﹣2k log 2x ≥0在x ∈[2，8]上有解，求实数k 的取值范围． 【解题思路】（1）首先判断二次函数的开口方向及单调性，再利用二次函数的性质求解． （2）利用换元法求解．【解答过程】解：（1）函数g （x ）＝a （x ﹣1）2+1+b ﹣a ， ∵a ＞0，∴g （x ）为开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝1， ∴g （x ）在区间[2，3]上是增函数， ∴{g(2)=1g(3)=4，即{b +1=13a +b +1=4 解得a ＝1，b ＝0．（2）由（1）可得g （x ）＝x 2﹣2x +1，则f(x)=x +1x −2．∴f （log 2x ）﹣2k log 2x ≥0在x ∈[2，8]上有解等价于log 2x +1log 2x −2≥2klog 2x 在x ∈[2，8]上有解．即2k ≤1(log 2x)2−2log 2x+1在x ∈[2，8]上有解 令t =1log 2x ，∵x ∈[2，8]，∴t ∈[13，1]，∴2k ≤t 2﹣2t +1在t ∈[13，1]上有解， 记φ（t ）＝t 2﹣2t +1＝（t ﹣1）2，则φ（t ）在[13，1]上为减函数，ϕ(t)max =ϕ(13)=49∴2k ≤49，则k ≤29，∴k 的取值范围为(−∞，29]．20．（12分）（2021春•让胡路区校级月考）已知二次函数f （x ）＝x 2﹣2ax +3． （1）若f （x ）在（﹣∞，1]上单调递减，求实数a 的最小值； （2）存在x ∈[﹣4，﹣2]，使得f （x ）≥a 有解，求实数a 的取值范围． 【解题思路】（1）结合该图象，使用对称轴可解决此问题；（2）存在x ∈[﹣4，﹣2]，使得f （x ）≥a 有解⇔f （﹣4）≥0或f （﹣2）≥0，可解决此问题． 【解答过程】解：（1）∵二次函数f （x ）＝x 2﹣2ax +3是开口向上的抛物线且对称轴方程为x ＝a ， ∴若f （x ）在（﹣∞，1]上单调递减，则a ≥1， 故a 的最小值是1；（2）存在x ∈[﹣4，﹣2]，使得f （x ）≥a 有解，即存在x ∈[﹣4，﹣2]，使得x 2﹣2ax +3﹣a ≥0有解， 则f （﹣4）≥0或f （﹣2）≥0，解得：a ≥−197， 故a 的取值范围是：[−197，+∞）．21．（12分）（2020秋•虹口区校级期中）已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）． （1）若b ＝1，且f （x ）在[﹣2，2]上存在零点，求实数a 的取值范围；（2）若对任意a ∈[﹣1，1]，存在x ∈[﹣2，3]使f （x ）＞0，求实数b 的取值范围．【解题思路】（1）把f （x ）在[﹣2，2]上存在零点转化为f （x ）＝x 2+ax +1＝0在[﹣2，2]上有解，分参求值域．（2））先把存在x ∈[﹣2，3]，f （x ）＞0，转化为f （x ）max ＞0，求出f （x ）最大值，再把9﹣3a +b ＞0对任意a ∈[﹣1，1]恒成立，分参求出b 范围．【解答过程】解：（1）当b ＝1时，f （x ）＝x 2+ax +1，∵f （x ）在[﹣2，2]上存在零点，∴f （x ）＝x 2+ax +1＝0在[﹣2，2]上有解， ∵x ≠0，∴ax ＝﹣x 2﹣1， ∴a ＝﹣x −1x ，①当x ＞0时，x +1x ≥2√1=2，当且仅当x =1x即x ＝1时取等号， ∴x +1x ≥2，∴a ＝﹣x −1x ≤−2，即a ≤﹣2．②当x ＜0时，a ＝﹣x −1x ≥2√1=2，当且仅当﹣x =−1x即x ＝﹣1时取等号， ∴a ≥2．综上所述，a 的取值范围为a ≤﹣2或a ≥2．（2）∵存在x ∈[﹣2，3]，f （x ）＞0，∴f （x ）max ＞0， ∵f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）是开口向上的二次函数， ∴f （x ）max ＝f （﹣2）＝4﹣2a +b 或f （x ）max ＝f （3）＝9﹣3a +b ∵f （3）﹣f （2）＝9﹣3a +b ﹣4+2a ﹣b ＝5﹣a ＞0， ∴f （x ）max ＝f （3）＝9﹣3a +b ，即9﹣3a +b ＞0对任意a ∈[﹣1，1]恒成立，∴b ＞3a ﹣9对任意a ∈[﹣1，1]恒成立，∴b ＞（3a ﹣9）max ， ∴b ＞﹣6．22．（12分）（2021春•吴兴区校级月考）已知幂函数f(x)=(m 2−2m −2)x m2−4m+2在（0，+∞）上单调递减．（1）求m 的值并写出f （x ）的解析式；（2）试判断是否存在a ＞0，使得函数g(x)=(2a −1)x −af(x)+1在（0，2]上的值域为（1，11]？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）利用幂函数的定义以及单调性，列出关于m 的关系式，求解即可；（2）求出g （x ）的解析式，按照a ﹣1与0的大小关系进行分类讨论，利用g （x ）的单调性列出方程组，求解即可．【解答过程】解：（1）因为幂函数f(x)=(m 2−2m −2)x m2−4m+2在（0，+∞）上单调递减，所以{m 2−2m −2=1m 2−4m +2＜0，解得m ＝3或m ＝﹣1（舍），所以f （x ）＝x ﹣1；（2）由（1）可得，f （x ）＝x ﹣1，所以g （x ）＝（2a ﹣1）x ﹣ax +1＝（a ﹣1）x +1，假设存在a ＞0，使得g （x ）在（0，2]上的值域为（1，11]，①当0＜a ＜1时，a ﹣1＜0，此时g （x ）在（0，2]上单调递减，不符合题意； ②当a ＝1时，g （x ）＝1，显然不成立；③当a＞1时，a﹣1＞0，g（x）在和（0，2]上单调递增，故g（2）＝2（a﹣1）+1＝11，解得a＝6．综上所述，存在a＝6使得g（x）在（0，2]上的值域为（1，11]．21。