人教版初二上数学预习讲义
人教版八年级上册数学全册同步讲义
三角形的中线的数学语言：
如图3，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或
BD＝CD＝ BC。AD是ΔABC的中线 BD＝CD＝ BC。
要点诠释：
①三角形的中线是线段；
②三角形三条中线全在三角形内部；
③三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心．
外角和定理的应用：（1）已知外角度数，求正多边形边数；（2）已知正多边形边数，求外角度数.知识点三：镶嵌
（一）平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.
（二）镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个时，就能拼成一个平面图形.
(3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形;(4)有一个角是直角的三角形是直角三角形;
(5)有一个角是锐角的三角形是锐角三角形.其中正确的说法有____________.
题型二 三角形三边的关系
例题2．以下列各组线段为边,能组成三角形的是( )
A.2cm, 3cm, 5cm B.1cm, 11cm, 11cm C.5cm, 8cm, 2cm D.三边之比为5:10:4
5.如果线段a，b，c能组成三角形，那么，它们的长度比可能是（ ）
A、1∶2∶4 B、1∶3∶4 C、3∶4∶7 D、2∶3∶4
6.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为（ ）
A、5 B、6 C、7 D、8
二、填空题
1.如图4，图中所有三角形的个数为，在△ABE中，AE所对的角是，∠ABC所对的边是，AD在△ADE中，是的对边，在△ADC中，是的对边；
2.如图5，已知∠1=0.5∠BAC，∠2 =∠3，则∠BAC的平分线为，∠ABC的平分线为；
初中八年级上册数学知识点预习提纲
八年级数学上册复习资料知识点清单第十一章三角形知识点清单一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.（钝角三角形三条高的交点在三角形外，直角三角形的三条高的交点在三角形上，锐角三角形的三条高在三角形内）4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.（三条中线的交点叫重心）5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等）6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.（例如自行车的三角形车架利用了三角形具有稳定性）7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)n-·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引n-条对角线，把多边形分成(2)n-个三角形.②n边形共有(3)2n n-条(3)对角线.第十一章测试试题一、选择题1.下列说法正确的是（）A．三角形的角平分线是射线B．三角形的三条高都在三角形内C．三角形的三条角平分线有可能在三角形内，也可能在三角形外D．三角形的三条中线相交于一点2.在三角形的三个外角中，锐角最多只有（）A．3个B．2个C．1个D．0个3.若三角形三个内角的度数比为1：2：3，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形4.等腰三角形两边长分别为3，7，则它的周长为（）A．13 B．17 C．13或17 D．不能确定5.如图，下列说法错误的是（）A．∠B＞∠ACD B．∠B+∠ACB=180°—∠AC．∠B+∠ACB＜180° D．∠HEC＞∠B6.如图是一个五边形的木架，它的内角和是（）A．720° B．540° C．360° D．180°7.以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cmC．12cm，5cm，6cm D．2cm，3cm，6cm8.下列各值能成为某多边形的内角和的是（）A．430° B．4343° C．4320° D．4360°9.如图，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，∠A=80°，则∠BOC等于（）A．95° B．120° C．130° D无法确定10．电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=6，AC=7，BC=8，如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=2，跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第一次落点）处，且CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第二次落点）处，且AP2=AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第三次落点）处，且BP3=BP2；……；跳蚤按上述规则一直跳下去，第n次落点为P n（n为正整数），则点P2013与P2016之间的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11.要使六边形木架不变形，至少要再钉上_______根木条.12.下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=1：2：3；③∠A=90°—∠B；④∠A=∠B=∠C.能确定△ABC是直角三角形的条件有____________.13.一个四边形的四个内角中，最多有________个钝角，最多有________个锐角.14.如图，∠1+∠2+∠3+∠4等于_________.15.如图，若∠A=70°，∠ABD=120°，则∠ACD=______.16.已知a、b、c是三角形的三边长，化简：︱a—b+c︳+︱a—b—c︳=__________.17.如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数是____________.18.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则△ABD的面积______△ACD的面积（填“＞”“＜”或“=”）.19.如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD ⊥AB于D，DF⊥CE于F，则∠CDF=_______.20.在△ABC中，D、E分别是BC C、AC上的点，AE=2CE，BD=2CD，AD、BE交于点F，若S△ABC=3，则四边形DCEF的面积为______________.三、解答题21.如图所示，某厂规定一块模板中AB、CD的延长线相交成80°的角，因交点不在模板上，不便测量，工人师傅连接AC，测得∠BAC=34°，∠DCA=65°，此时AB、CD的延长线相交成的角是否符合规定？为什么？22.如图所示，已知△ABC中，E是AC延长线上一点，D是BC 上一点.下面的命题正确吗？若正确，请说明理由.（1）∠1=∠E+∠A+∠B；（2）∠1＞∠A.23．如图所示，已知在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数.24.如图，已知∠B=∠ADB，∠1=15°，∠2=20°，求∠3的度数.25.如图，△ABC中，∠B=34°，∠ACB=104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数.26.如图所示，在△ABC中，BD、CD是∠ABC、∠ACB的平分线，BP、CP是∠CBE、∠BCF的平分线.（1）若∠A=30°，求∠BDC、∠BPC的度数；（2）不论∠A为多少，试探索∠D+∠P的值是变化还是不变化的.说明理由.27.如图1所示，在△ABC中，∠1=∠2，∠C＞∠B，E为AD 上一点，且EF⊥BC于F.（1）试探索∠DEF与∠B、∠C的大小关系；（2）如图2所示，当点E在AD的延长线上时，其余条件不变，你在（1）中探索得到的结论是否还成立？说明理由.参考答案1．D 2．C 3．B 4．B 5．A 6．B 7．B 8．C 9．C 10．C 11．3 12．①②③13．3 14．360° 15．50° 16．2c 17．20° 18．＝19．74° 20．1221．不符合规定．理由：延长AB、CD相交于点O，由三角形内角和定理知∠AOC＝180°－34°－65°＝81°≠80°．22．(1)正确．理由：∠1＝∠E＋∠DCE，而∠DCE＝∠A＋∠B，所以∠1＝∠E＋∠A＋∠B;(2)正确．理由：∠1＞∠DCE，∠DCE＞∠A，所以∠1＞∠A．23．∵∠4是△ABD的外角，∴∠4＝∠1＋∠2．而∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠4＝2∠2＝∠3．在△ABC中，∵∠BAC＝63°，∴∠2＋∠3＋63°＝180°，∴1∠3＋∠3＝180°－63°，∴∠3＝78°．2在△DC A C 中，∵∠4＝∠3＝78°，∴∠DAC ＝180°－78°－78°＝24°．24．∵∠ADB ＝∠1＋∠2，∠1＝15°，∠2＝20°， ∴∠ADB ＝15°＋20°＝35°．∵∠B ＝∠ADB ，∴∠B ＝35°．又∵∠3＝∠B ＋∠2，∴∠3＝35°＋20°＝55°．25．在△ABC 中，∠B ＝34°，∠ACB ＝104°，∴∠BAC ＝180°－34°－104°＝42°．∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE ＝∠BAE ＝21°．∴∠AEC ＝34°＋21°＝55°．又∵AD 是BC 边上的高，∴∠DAE ＝90°－∠AEC ＝90°－55°＝35°．26．（1）由角平分线性质可知：∠ABD ＝∠1，∠ACD ＝∠2．∴∠BDC ＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－21 (180°－∠A )＝90°＋21∠A ＝90°＋15°＝105°．由三角形的外角和为360°可知：2（∠3＋∠4）＝360°－（180°－∠A ），∴∠3＋∠4＝90°＋21∠A ．∴∠P ＝180°－（∠3＋∠4）＝90°－21∠A ＝75°； （2）由（1）可知：∠BDC ＝90°＋21∠A ．，∠P ＝90°－21∠A ， ∴∠BDC ＋∠P ＝180°．∴不论∠A 为多少，∠D ＋∠P 的值是不变化的．27．（1）∵∠1＝∠2，∴∠1＝21∠BAC ． ∵∠BAC ＝180°－（∠B ＋∠C ），∴∠1＝90°－21（∠B ＋∠C ）．∴∠EDF ＝∠1＋∠B ＝90°＋21(∠B －∠C )． 又∵EF ⊥BC ，∴∠EFD ＝90°，∴∠DEF ＝90°－∠EDF ＝21(∠C －∠B );(2)当点E 在AD 延长线上时，其余条件不变，（1）中的结论仍然成立．理由同（1）．第十二章 全等三角形知识点清单一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等）5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.第十二章测试试题一、填空题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D.若CD＝4，则点D到斜边AB的距离为________．2．如图，若△AOB≌△A′OB′，∠B＝30°，∠AOA′＝52°，OB 与A′B′交于点C，则∠A′CO的度数是________．3．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数是________．4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF ∥AC交ED的延长线于点F.若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF，给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论是________(填序号)．二、选择题5．下列各组的两个图形属于全等图形的是()6．如图，已知△ABC≌△CDA，∠BAC＝85°，∠B＝65°，则∠CAD的度数为()A．85° B．65° C．40° D．30°7．如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的()A．AB＝CD B．CE＝BFC．∠A＝∠D D．AB＝BC8．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的大小关系是()A．BD＞CD B．BD＜CDC．BD＝CD D．不能确定9．如图，AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC、∠ACD，PE⊥AC于点E，PN⊥DC于点N，交AB于点M.若PE＝3，则MN 的长为()A．3 B．6C．9 D．无法确定10．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1＋∠2等于()A．90° B．150°C．180° D．210°11．如图，已知EA⊥AB，BC∥EA，ED＝AC，AD＝BC，则下列式子不一定成立的是( )A ．∠EAF ＝∠ADFB ．DE ⊥ACC ．AE ＝ABD ．EF ＝FC12．如图，在方格纸中以AB 为一边作△ABP ，使之与△ABC 全等，从P 1，P 2，P 3，P 4四个点中找出符合条件的点P ，则点P 有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E .若BC ＝7，则AE 的长为( )A ．4B ．5C ．6D ．714．如图，在△ABC 和△DEB 中，点C 在边BD 上，AC 交BE 于点F .若AC ＝BD ，AB ＝ED ，BC ＝BE ，则∠ACB 等于( )A ．∠EDB B ．∠BED C.12∠AFB D ．2∠ABF三、解答题15．如图，已知△ABE≌△ACD.(1)如果BE＝6，DE＝2，求BC的长；(2)如果∠BAC＝75°，∠BAD＝30°，求∠DAE的度数．16．如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，AC＝BD，CE＝DF.求证：AC∥BD.17．如图，两车从路段AB的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C、D两地，CE⊥AB，DF⊥AB，C、D两地到路段AB的距离相等吗？为什么？18．如图，已知∠DAB＝∠CBE＝90°，点E是线段AB的中点，CE平分∠DCB且与DA的延长线相交于点F，连接DE.求证：DE平分∠FDC.19．如图，在△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，AB＋BC＋AC＝12，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝2，求△ABC的面积．20．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A为圆心，AB 长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD.(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)试猜想BD与AC的位置关系，并说明理由．21．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E.小聪的探究方法是对∠B分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当∠B是直角时，如图①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据“HL”，可以判定Rt△ABC≌Rt△DEF；第二种情况：当∠B是锐角时，如图②，BC＝EF，∠B＝∠E ＜90°，在射线EM上有点D，使DF＝AC，则△ABC和△DEF 的关系是________；A．全等B．不全等C．不一定全等第三种情况：当∠B是钝角时，如图③，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＞90°.过点C作AB边的垂线，交AB的延长线于点M，过点F作DE边的垂线，交DE的延长线于点N，根据“AAS”，可以知道△CBM≌△FEN，请补全图形，进而证出△ABC≌△DEF.22．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8，BC＝6，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动．设运动时间为t秒(0≤t≤3)．(1)用含t的代数式表示线段PC的长；(2)若点P、Q的运动速度相等，当t＝1时，△BPD与△CQP 是否全等？请说明理由．(3)若点P、Q的运动速度不相等，则当△BPD与△CQP全等时，求a的值．23．(1)如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD 上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系；(2)小聪延长CD至点G，使DG＝BE，连接AG，得到△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图①证明上述结论；(3)如图②，四边形ABCD 中，∠BAD ≠90°，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足______________关系时，仍有EF ＝BE ＋FD ，说明理由．参考答案1.42.82°3.50° 4．①②③④5-14：DDACB CDCDC15.解：(1)∵△ABE ≌△ACD ，∴BE ＝CD ，∠BAE ＝∠CAD .又∵BE ＝6，DE ＝2，∴EC ＝DC －DE ＝BE －DE ＝4，∴BC ＝BE ＋EC ＝10.(2)∵∠CAD ＝∠BAC －∠BAD ＝75°－30°＝45°，∴∠BAE ＝∠CAD ＝45°，∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝45°－30°＝15°.16．证明：∵CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，∴∠AEC ＝∠BFD ＝90°.(2分)在Rt △ACE 和Rt △BDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BD ，CE ＝DF ，∴Rt △ACE ≌Rt △BDF (HL)，∴∠A ＝∠B ，∴AC ∥BD .17．解：C 、D 两地到路段AB 的距离相等．理由如下：由题意可知AC ＝BD .∵CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，∴∠AEC ＝∠BFD ＝90°.∵AC ∥BD ，∴∠A ＝∠B .在△AEC 和△BFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEC ＝∠BFD ，∠A ＝∠B ，AC ＝BD ，∴△AEC ≌△BFD (AAS)，∴CE ＝DF ，∴C 、D 两地到路段AB 的距离相等．18．证明：过点E 作EH ⊥CD .∵CE 平分∠DCB ，∠CBE ＝90°，∴BE ＝EH .∵点E 是线段AB 的中点，∴AE ＝BE ，∴AE ＝EH .又∵∠DAB ＝90°，∴DE 平分∠FDC .19．解：如图，作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA .(2分)∵点O 是∠ABC 、∠ACB 的平分线的交点，∴OE ＝OD ，OF ＝OD ，即OE ＝OF ＝OD ＝2，(5分)∴S △ABC ＝S △ABO ＋S △BCO＋S △ACO ＝12C A B ·OE ＋12C B C ·OD ＋12C A C ·OF ＝12 222(AB ＋BC ＋AC )＝1222212＝12.20．(1)证明：由作图步骤可得AB ＝AD ，BC ＝DC .在△ABC与△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SSS)． (2)解：BD ⊥AC .(5分)理由如下：由(1)知△ABC ≌△ADC ，∴∠BAC ＝∠DAC .在△ABE 与△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAE ＝∠DAE ，AE ＝AE ，∴△ABE ≌△ADE (SAS)，∴∠AEB ＝∠AED .(8分)又∵∠AEB ＋∠AED ＝180°，∴∠AEB ＝90°，∴BD ⊥AC .21．解：第二种情况：C 解析：由题意可知满足条件的点D 有两个(如图②)，所以△ABC 和△DEF 不一定全等．故选C.第三种情况：补全图形如图③所示．证明：∵∠ABC ＝∠DEF ，∴∠CBM ＝∠FEN .∵CM ⊥AB ，FN ⊥DE ，∴∠CMB ＝∠FNE ＝90°.在△CBM 和△FEN中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CMB ＝∠FNE ，∠CBM ＝∠FEN ，BC ＝EF ，∴△CBM ≌△FEN (AAS)， ∴CM ＝FN .在Rt △AMC 和Rt △DNF 中，⎩⎪⎨⎪⎧CM ＝FN ，AC ＝DF ，∴Rt △AMC ≌Rt △DNF (HL)，∴∠A ＝∠D .在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D ，∠ABC ＝∠DEF ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF (AAS)． 22．解：(1)PC ＝BC －PB ＝6－2t .(2)△BPD 与△CQP 全等．理由如下：∵t ＝1，∴PB ＝CQ ＝2，∴PC ＝BC －PB ＝6－2＝4.∵AB ＝8，点D 为AB 的中点， ∴BD ＝AD ＝4，∴PC ＝BD .在△BPD 与△CQP 中，⎩⎪⎨⎪⎧BP ＝CQ ，∠B ＝∠C ，BD ＝CP ，∴△BPD ≌△CQP (SAS)． (3)∵点P 、Q 的运动速度不相等，∴BP ≠CQ .又∵△BPD 与△CQP 全等，∠B ＝∠C ，∴BP ＝PC ，BD ＝CQ ，∴2t ＝6－2t ，at ＝4，解得t ＝32，a ＝83.23．(1)解：EF ＝BE ＋DF .(2)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠ADC ＝∠BAD ＝90°，∴∠ADG ＝180°－∠ADC ＝90°＝∠B .在△ABE 和△ADG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠B ＝∠ADG ，BE ＝DG ，∴△ABE ≌△ADG ， ∴∠BAE ＝∠DAG .∵∠EAF ＝45°，∴∠DAF ＋∠BAE ＝∠BAD －∠EAF ＝90°－45°＝45°，∴∠DAF ＋∠DAG ＝45°，即∠GAF ＝45°，∴∠GAF ＝∠EAF .在△GAF 和△EAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AE ，∠GAF ＝∠EAF ，AF ＝AF ，∴△AFG ≌△AFE (SAS)，∴GF ＝EF . ∵GF ＝DG ＋FD ＝BE ＋FD ，∴EF ＝BE ＋FD .(3)解：∠BAD ＝2∠EAF 理由如下：如图，延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM .∵∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ABC ＋∠ABM ＝180°，∴∠D ＝∠ABM .在△ABM 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABM ＝∠D ，BM ＝DF ，∴△ABM ≌△ADF (SAS)，∴AF ＝AM ，∠DAF ＝∠BAM .∵∠BAD ＝2∠EAF ，∴∠DAF ＋∠BAE ＝∠EAF ， ∴∠BAE ＋∠BAM ＝∠EAM ＝∠EAF .在△F AE 和△MAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AE ，∠EAF ＝∠EAM ，AF ＝AM ，∴△F AE ≌△MAE (SAS)，∴EF ＝EM . ∵EM ＝BE ＋BM ＝BE ＋DF ，∴EF ＝BE ＋DF .第十三章 轴对称知识点清单一、知识框架：二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点P(,)x y关于x轴对称的点的坐标为'P(,)-.x y②点P(,)x y关于y轴对称的点的坐标为"P(,)x y-.⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.第十三章测试试题一、单选题1.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E是边AB上两点,且CE所在直线垂直平分线段AD,CD平分∠BCE,AC=5cm,则BD的长为（）A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm2.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（）A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°3.在424的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，是整个阴影部分组成的图形成轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于直线对称点的坐标是（）A. （﹣3，﹣2）B. （3，2）C. （2，﹣3）D. （3，﹣2）5.如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（）A. 150°B. 160°C. 130°D. 60°6.已知等腰三角形的周长为14,其腰长为4,则它的底边长为（）A. 4B. 5C. 6D. 4或67.如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上,则AB,AC,CE的长度关系为（）A. AB>AC=CEB. AB=AC>CEC. AB>AC>CED. AB=AC=CE8.点P（2，﹣3）关于x轴的对称点的坐标为（）A. （﹣2，﹣3）B. （2，3）C. （﹣2，3）D. （3，﹣2）9.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A. B. C. D.10.△ABC中，AB=AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于()A. 67.5°B. 22.5°C. 45°D. 67.5°或22.5°11.等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（）A. 40°B. 70°C. 100°D. 40°或100°12.在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,且AB＝AC＋CD.若∠BAC＝60°则∠ABC=()A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°二、填空题13.如图△ABC中，∠BAC=78°，AB=AC，P为△ABC内一点，连BP，CP，使∠PBC=9°，∠PCB=30°，连PA，则∠BAP的度数为_______．14.在平面直角坐标系中，过（-1，0）作y轴的平行线L，若点A（3，-2），则A点关于直线L对称的点的坐标为______．15.如图所示，△ABC为等边三角形，D为AB的中点，高AH=10 cm，P为AH上一动点，则PD+PB的最小值为_______cm．16.如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则______17.如图,在△ABC中,AB=AC,DE是AB的垂直平分线,△BCE 的周长为24,BC=10则AB的长为______.三、解答题18.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；（2）在直线l上找一点P（在答题纸上图中标出），使PB+PC的长最短．19.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D、E.(1)求证：AE＝2CE；(2)连结CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．20.如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD=2BF+DE．21.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=AE．（1）若∠BAC=90°，∠BAD=30°，求∠EDC的度数？（2）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系？（不必证明）22.如图，在△ABC 中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．（1）求证：DE=CE．（2）若∠CDE=35°，求∠A 的度数．第十四章 整式的乘除与分解因式知识点清单一、知识框架:二、知识概念： 1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：mn m na a a +⨯=⑵幂的乘方：()nm mna a = ⑶积的乘方：()nn nab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=- ⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+整式乘法整式除法 因式分解乘法法则4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n÷=a a a-⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：①平方差公式：()()22-=+-a b a b a b②完全平方公式：()222a ab b a b±+=±2③立方和：3322+=+-+()()a b a b a ab b④立方差：3322-=-++a b a b a ab b()()⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q+++=++⑷拆项法⑸添项法第十四章 测试试题一、填空题 1．计算：－x 2·x3＝________；⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2b 3＝________；⎝ ⎛⎭⎪⎫－122017222016＝________．2．因式分解：a －ab 2＝______________．3．已知2a 2＋2b 2＝10，a ＋b ＝3，则ab ＝________． 4．对于实数m ，n 定义如下的一种新运算“☆”：m ☆n ＝m 2－mn －3，下列说法：①0☆1＝－3；②x ☆(x －2)＝－2x －3；③方程(x ＋1) ☆(x －1)＝0的解为x ＝12；④整式3x ☆1可进行因式分解．其中正确的说法是__________(填序号)． 二、选择题5．计算(－2a )2的结果是( )A ．－4a 2B ．2a 2C ．－2a 2D ．4a 2 6．下列运算正确的是( ) A ．(x ＋y )2＝x 2＋y 2 B ．x 2·x 5＝x 10 C ．x ＋y ＝2xy D ．2x 3÷x ＝2x 27．下列四个多项式中，能因式分解的是( )A．a2＋b2B．a2－a＋2C．a2＋3b D．(x＋y)2－48．若(x－2)(x＋3)＝x2－ax＋b，则a、b的值是()A．a＝5，b＝6 B．a＝1，b＝－6C．a＝－1，b＝－6 D．a＝5，b＝－69．如果关于x的代数式9x2＋kx＋25是一个完全平方式，那么k的值是()A．15 B．±5 C．30 D．±3010．已知x＋y＝－4，xy＝2，则x2＋y2的值为()A．10 B．11 C．12 D．1311．已知3a＝5，9b＝10，则3a＋2b的值为()A．50 B．－50 C．500 D．－50012．若a、b、c为一个三角形的三边长，则式子(a－c)2－b2的值()A．一定为正数B．一定为负数C．可能是正数，也可能是负数D．可能为013．图①是一个长为2a、宽为2b(a＞b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是( )A ．abB ．(a ＋b )2C ．(a －b )2D ．a 2－b 214．在求1＋6＋62＋63＋64＋65＋66＋67＋68＋69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：S ＝1＋6＋62＋63＋64＋65＋66＋67＋68＋69①，然后在①式的两边都乘以6，得6S ＝6＋62＋63＋64＋65＋66＋67＋68＋69＋610②，②－①得6S －S ＝610－1，即5S ＝610－1，所以S ＝610－15 .得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a ”(a ≠0且a ≠1)，能否求出1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2018的值？你的答案是( )A.a 2018－1a －1B.a 2019－1a －1C.a 2018－1a D ．a 2018－1三、解答题 15．计算：(1)x ·x 7; (2)a 2·a 4＋(a 3)2；(3)(－2ab 3c 2)4; (4)(－a 3b )2÷(－3a 5b 2)．16．化简：(1)(a＋b－c)(a＋b＋c)；(2)(2a＋3b)(2a－3b)－(a－3b)2.17．若关于x的多项式(x2＋x－n)(mx－3)的展开式中不含x2和常数项，求m，n的值．18．分解因式：(1)4x3y＋xy3－4x2y2; (2)y2－4－2xy＋x2.19．观察下列关于自然数的等式：32－4212＝5; ①52－4222＝9; ②72－4232＝13; ③……根据上述规律解决下列问题：(1)完成第四个等式：92－42________2＝________；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性．20．小红家有一块L形菜地，把L形菜地按如图所示分成面积相等的两个梯形种上不同的蔬菜．已知这两个梯形的上底都是a 米，下底都是b 米，高都是(b －a )米．(1)请你算一算，小红家的菜地面积共有多少平方米？(2)当a ＝10，b ＝30时，面积是多少平方米？21．先化简，再求值：(1)[(x －y )2＋(x ＋y )(x －y )]÷2x ，其中x ＝3，y ＝1；(2)(m －n )(m ＋n )＋(m ＋n )2－2m 2，其中m 、n 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝1，3m －2n ＝11.22．(1)已知a －b ＝1，ab ＝－2，求(a ＋1)(b －1)的值；(2)已知(a ＋b )2＝11，(a －b )2＝7，求ab 的值；(3)已知x －y ＝2，y －z ＝2，x ＋z ＝5，求x 2－z 2的值．23．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：(x ＋y )2＋2(x ＋y )＋1.解：将“x ＋y ”看成整体，令x ＋y ＝A ，则原式＝A 2＋2A ＋1＝(A ＋1)2.再将“A ”还原，得原式＝(x ＋y ＋1)2.上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：(1)因式分解：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝__________；(2)因式分解：(a＋b)(a＋b－4)＋4；(3)求证：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．参考答案1．－x518a6b3－12 2.a(1＋b)(1－b) 3．2 4.①③④5-14：DDDCD CABCB 15．解：(1)原式＝x8.(2)原式＝a6＋a6＝2a6.(3)原式＝16a4b12c8.(4)原式＝a6b2÷(－3a5b2)＝－1 3a.16．解：(1)原式＝(a＋b)2－c2＝a2＋2ab＋b2－c2.(2)原式＝4a2－9b2－(a2－6ab＋9b2)＝3a2＋6ab－18b2.(8分) 17．解：原式＝mx3＋(m－3)x2－(3＋mn)x＋3n.(3分)∵展开式中不含x 2和常数项，得到m －3＝0，3n ＝0，(6分)解得m ＝3，n ＝0.18．解：(1)原式＝xy (2x －y )2.(2)原式＝(x －y )2－4＝(x －y ＋2)(x －y －2)．19．解：(1)4 17(2)第n 个等式为(2n ＋1)2－4n 2＝4n ＋1.(5分)左边＝(2n ＋1)2－4n 2＝4n 2＋4n ＋1－4n 2＝4n ＋1.右边＝4n ＋1.左边＝右边，∴(2n ＋1)2－4n 2＝4n ＋1.20．解：(1)小红家的菜地面积共有2212 (a ＋b )(b －a )＝(b 2－a 2)(平方米)．(2)当a ＝10，b ＝30时，面积为900－100＝800(平方米)．21．解：(1)原式＝(x 2－2xy ＋y 2＋x 2－y 2)÷2x ＝(2x 2－2xy )÷2x ＝x －y .当x ＝3，y ＝1时，原式＝3－1＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝1①，3m －2n ＝11②，①＋②，得4m ＝12，解得m ＝3.将m ＝3代入①，得3＋2n ＝1，解得n ＝－1.(8分)原式＝m 2－n 2＋m 2＋2mn ＋n 2－2m 2＝2mn .当m ＝3，n ＝－1时，原式＝2232(－1)＝－6.22．解：(1)∵a－b＝1，ab＝－2，∴原式＝ab－(a－b)－1＝－2－1－1＝－4.(2)∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝11①，(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝7②，∴①－②得4ab＝4，∴ab＝1.(3)由x－y＝2，y－z＝2，得x－z＝4.又∵x＋z＝5，∴原式＝(x＋z)(x－z)＝20.23．(1)(x－y＋1)2(2)解：令A＝a＋b，则原式＝A(A－4)＋4＝A2－4A＋4＝(A－2)2，再将A还原，得原式＝(a＋b－2)2.(3)证明：(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1＝(n2＋3n)[(n＋1)(n＋2)]＋1＝(n2＋3n)(n2＋3n＋2)＋1.令n2＋3n＝A，则原式＝A(A＋2)＋1＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2，∴原式＝(n2＋3n＋1)2.∵n为正整数，∴n2＋3n＋1也为正整数，∴式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．第十五章分式知识点清单一、知识框架：二、知识概念：1.分式：形如A B ，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c±±=⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd ±±=⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分 母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⨯= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 8.整数指数幂：⑴m n m n a a a +⨯=（m n 、是正整数）⑵()n m mn a a =（m n 、是正整数） ⑶()n n n ab a b =（n 是正整数） ⑷m n m n aa a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸n n n a ab b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数） ⑹1n n a a -=（0a ≠，n 是正整数）9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).第十五章 测试试题一、选择题1.若代数式1x -3在实数范围内有意义,则实数x 的取值范围是( )A.x<3B.x>3C.x≠3D.x=32.下列等式成立的是( )A.1a +2b =3a+bB.12a+b =1a+bC.ab ab -b 2=a a -bD.a -a+b =-a a+b3.下列运算结果为x-1的是( )A.1-1xB.x 2-1x ·x x+1C.x+1x ÷1x -1D.x 2+2x+1x+14.化简m 2m -n +n 2n -m 的结果是( )A.m+nB.n-mC.m-nD.-m-n5.当x=6,y=3时,代数式(x x+y +2y x+y )·3xy x+2y 的值是( )A.2B.3C.6D.96.计算a 2-4a 2+2a+1÷a 2-4a+4(a+1)2-2a -2的结果为 ( )A.a+2a-2B.a-4a-2C.aa-2D.a7.甲、乙两人同时从A地出发到B地,如果甲的速度v保持不变,而乙先用12v的速度到达中点,再用2v的速度到达B地,则下列结论中正确的是()A.甲、乙同时到达B地B.甲先到达B地C.乙先到达B地D.谁先到达B地与v有关8.(2016黑龙江龙东中考)关于x的分式方程2x-mx+1=3的解是正数,则字母m的取值范围是()A.m>3B.m<3C.m>-3D.m<-3二、填空题9.某种电子元件的面积大约为0.000 000 69平方毫米,将0.000 000 69这个数用科学记数法表示为.10.当x=时,分式x-22x+5的值为0.11.某市为治理污水,需要铺设一段全长600 m的污水排放管道.铺设120 m后,为加快施工速度,后来每天比原计划增加20 m,。
最新人教版初二数学上册预习资料
1 2014年暑假八年级数学预习班第一期辅导资料(01) 理想文化教育培训中心学生姓名:___________成绩_______【教学目标】1、知识与技能、理解三角形的表示法,分类法以及三边存在的关系,发展空间观念。
2、认识三角形的分类.3、掌握三角形的周长及边长的计算。
【教学过程】一、三角形的有关概念:1、三角形定义:____________________________________________________2、样用几何符号表示你所画的三角形?什么是三角形的顶点、边、角?3、有关概念:符号、顶点、边、内角、外角。
例1、下图中有几个三角形?用符号表示这些三角形.【课堂练习1】:(1)如图1,图中所有三角形的个数为 ,在△ABE 中,AE 所对的角是,∠ABC 所对的边是 ,AD 在△ADE 中,是的对边,在△ADC 中,是的对边.图(1) 图(2)(2)如图2,D 、E 是边AC 的三等分点,图中有个三角形,BD 是三角形中_________边上的中线,BE 是三角形中边上的中线.二、三角形的三边关系:任何两边之和大于第三边;任何两边之差小于第三边。
任意两边之差<第三边<任意两边之和例2:(1)下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A .1、2、3.5B .4、5、9C .20、15、8D .5、15、8(2)现有四根木棒,长度分别为4cm ,6cm ,8cm ,10cm ,从中任取三根木棒,能组成三角形的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个(3)已知一个三角形的三条边长为2,x,7,则x的取值范围是。
(4)在△ABC中,AB=6,AC=10,那么BC边的取值范围是________,周长的取值范围是___________.(5)已知a、b、c为△ABC的三边长,b、c满足(b-2)2+│c-3│=0,且a为方程│x-4│=2的解,求△ABC的周长,判断△ABC的形状.三、三角形的分类:锐角三角形(1)按角分直角三角形钝角三角形不等边三角形(2)按边分底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形【课堂练习2】1、两根木棒的长分别是5cm和7cm,要选择第三根木棒,将它们钉成一个三角形,如果第三根木棒的长为偶数,那么第三根木棒长的取值情况有()A.3种B.4种C.5种D.6中2、若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4,那么这个三角形是()A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形3、为估计池塘两岸A、B间的距离,杨阳在池塘一侧选取了一点P,测得PA=16m,PB=12m,那么AB间的距离不可能是()。
初中数学人教版八年级上册：第3讲 全等三角形(一)预习讲义
B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．全等三角形的周长和面积分别相等
D．所有等边三角形都是全等三角形
⑶如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1＝
D 度．
【例 2】⑴如图：△ABC≌△DBF，∠B 的对应角是
，∠C 的对应角是
，∠BAC 的对应
角是
；AB 的对应边是
，AC 的对应边是
A
B
C
知识点
典型范例
三边分别相等的两个三角形全等（可以简 写成“边边边”或“SSS”）．
在△ABC 和△DEF 中，
AB＝DE BC＝EF
E
AC＝DF
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
典例精练
【例 3】如图，已知△ABC 中，AB＝AC，点 D 是 BC 边上的中点．求证：△ABD≌△ACD．
证明：∵D 是 BC 的中点，
ALeabharlann ∴．在△ABD 与△ACD 中，
_______ ∵ _______
AB = AC
B
D
C
∴△ABD≌△ACD（SSS）
3
【例 4】如图，点 B，E，C，F 在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
【例 5】如图，已知 AC，BD 相交于点 O，且 AB＝DC，AC＝DB，能得到∠A＝∠D 吗？为什么？
，BC 的对应边是
．
⑵如图，△ABC≌△CDA，AB 和 CD，BC 和 DA 是对应边，写出其他对应边及对应角．
⑶如图，△OCA≌△OBD，点 C 和点 B，点 A 和点 D 是对应顶点．写出这两个三角形中相等的
边和角．
A
C B
B O
D
初中数学人教版八年级上册：第1讲 三角形(一)预习讲义
【例 3】⑴三角形的一边是 8，另一边是 2，第三边如果是奇数，则第三边是
，这个三角形的周
长等于
．
⑵一个等腰三角形的一边长为 6cm，周长为 20cm，求其他两边的长．
1
三角形按角分类：
直角三角形：三角形中有一个内角是直角
三角形
锐角三角形：三角形中三个内角都是锐角
斜三角形
钝角三角形：三角形中有一个内角是钝角
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三角形按边分类：
不等边三角形：三边都不相等的三角形
三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
不等边三角形
等腰三角形
⑴
⑵
⑶
【例 6】如图，AD 是△ABC 的角平分线．DE∥AC，DE 交 AB 于点 E，DF∥AB，DF 交 AC 于点 F．图 中∠1 与∠2 有什么数量关系？为什么？
5
【练 1】图中有______个三角形，它们分别是________________________________．
【练 2】如图，木工师傅做门框时，常用木条 EF 固定长方形门框 ABCD，使其不变形，这样做的依据是
【例 5】⑴如图，在△ABC 中，AB＝2，BC＝4，△ABC 的高 AD 与 CE 的比是______； ⑵如图，在△ABC 中，D，E 分别是 BC、AD 的中点，且 S△ACE＝2，则 S△ABC＝________； ⑶如图，在△ABC 中，AD，AE 分别是边 BC 上的中线和高，AE＝2，S△ABD＝1.5．则 BC＝______， DC＝______．
人教版-八年级数学讲义--最短路径问题-(含解析)
人教版-八年级数学讲义--最短路径问题-(含解析)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第6讲最短路径问题知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考点。
本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。
知识梳理讲解用时：20分钟两点之间线段最短C DA BEA地到B地有3条路线A-C-D-B，A-B，A-E-B，那么选哪条路线最近呢？垂线段最短如图，点P是直线L外一点，点P与直课堂精讲精练【例题1】已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据作图的方法即可得到结论．解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P，则PA+PB 的值最小，∴D的作法正确，故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习】如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A． B．C．D．【答案】D【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习】如图，A、B在直线l的两侧，在直线l上求一点P，使|PA﹣PB|的值最大．【答案】见解析【解析】作点A关于直线l的对称点A′，则PA=PA′，因而|PA﹣PB|=|PA′﹣PB|，则当A′，B、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大．解：作点A关于直线l的对称点A′，连A′B并延长交直线l于P．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．教学建议：学会作对称点，通过“两点之间线段最短”进行解题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】如图，A、B在直线l的同侧，在直线l上求一点P，使△PAB的周长最小．【答案】【解析】由于△PAB的周长=PA+AB+PB，而AB是定值，故只需在直线l上找一点P，使PA+PB最小．如果设A关于l的对称点为A′，使PA+PB最小就是使PA′+PB最小．解：作法：作A关于l的对称点A′，连接A′B交l于点P．则点P就是所要求作的点；理由：在l上取不同于P的点P′，连接AP′、BP′．∵A和A′关于直线l对称，∴PA=PA′，P′A=P′A′，而A′P+BP＜A′P′+BP′∴PA+BP＜AP′+BP′∴AB+AP+BP＜AB+AP′+BP′即△ABP周长小于△ABP′周长．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短路线问题解这类问题的关键是把两条线段的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．教学建议：把三角形的周长用线段表示出来，通过转化成一条线段利用两点之间线段最短进行解题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习】（Ⅰ）如图①，点A、B在直线l两侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA+PB的值最小；（Ⅱ）如图②，点E、F在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得PE+PF的值最小；（Ⅲ）如图③，点M、N在直线l同侧，请你在直线l上画出两点O、P，使得OP=1cm，且MO+OP+PN的值最小．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【解析】（I）图①，显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点；（II）图2，作E关于直线的对称点，连接FE′即可；（III）图③，画出图形，作N的对称点N′，作NQ∥直线l，NQ=1cm，连接MQ 得出点O即可．解：（I）如图①，连接A、B两点与直线的交点即为所求作的点P，这样PA+PB 最小，理由是：两点之间，线段最短；（II）如图②，先作点E关于直线l的对称点E′，再连接E′F交l于点P，则PE+PF=E′P+PF=E′F，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点；（III）如图③，作N关于直线l的对称点N′，过N′作线段N′Q∥直线l，且线段N′Q=1cm，连接MQ，交直线l于O，在直线l上截取OP=1cm，如图，连接NP，则此时MO+OP+PN的值最小．讲解用时：5分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用，题目比较典型，第三小题有一定的难度，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．教学建议：学会作对称点，通过“两点之间线段最短”进行解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，求△CDM周长的最小值.【答案】10【解析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8，△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10．讲解用时：5分钟解题思路：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．教学建议：想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段，利用垂线段最短进行解题.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习】如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F 是AD边上的动点，求BF+EF的最小值.【答案】5【解析】过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，证△ADB ≌△CEB得CE=AD=5，即BF+EF=5．解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，∵等边△ABC中，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE=AD=5，即BF+EF=5．故答案为：5．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．教学建议：想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段，利用垂线段最短进行解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短？【答案】见解析【解析】虽然A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸．关键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办法使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的．解：如图，作BB'垂直于河岸GH，使BB′等于河宽，连接AB′，与河岸EF相交于P，作PD⊥GH，则PD∥BB′且PD=BB′，于是PDBB′为平行四边形，故PB′=BD．根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AP+BD最短．故桥建立在PD处符合题意．讲解用时：4分钟解题思路：此题考查了轴对称﹣﹣﹣最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．教学建议：将3条线段进行转化成一条线段.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习】作图题（1）如图1，一个牧童从P点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．（2）如图2，在一条河的两岸有A，B 两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段CD表示．试问：桥CD建在何处，才能使A到B的路程最短呢？请在图中画出桥CD的位置．【答案】见解析【解析】（1）把河岸看做一条直线，利用点到直线的所有连接线段中，垂直线段最短的性质即可解决问题．（2）先确定AA′=CD，且AA′∥CD，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．解：（1）根据垂直线段最短的性质，即可画出这条从草地到河边最近的线路，如图1所示：（2）先确定AA′=CD，且AA′∥CD，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．如图2，讲解用时：4分钟解题思路：此题考查了垂直线段最短的性质的在解决实际问题中的灵活应用，解题的关键是灵活运用垂直线段最短的性质作图．教学建议：掌握求最短路径的几种基本题型和方法.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是多少？【答案】30°【解析】由于点C关于直线MN的对称点是B，所以当B、P、D三点在同一直线上时，PC+PD的值最小解：连接PB．由题意知，∵B、C关于直线MN对称，∴PB=PC，∴PC+PD=PB+PD，当B、P、D三点位于同一直线时，PC+PD取最小值，连接BD交MN于P，∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴PA=PC，∴∠PCD=∠PAD=30°讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了线路最短的问题、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．教学建议：学会转移对称线段，利用垂线段最短进行解题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习】已知，如图△ABC为等边三角形，高AH=10cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为多少？【答案】10cm【解析】连接PC，根据等边三角形三线合一的性质，可得PC=BP，PD+PB要取最小值，应使D、P、C三点一线．解：连接PC，∵△ABC为等边三角形，D为AB的中点，∴PD+PB的最小值为：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm．解题思路：此题主要考查有关轴对称﹣﹣最短路线的问题，注意灵活应用等边三角形的性质．教学建议：学会转移对称线段，利用垂线段最短进行解题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．【答案】见解析【解析】作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1，交OB于P2，连接PP1，PP2，△PP1P2即为所求．解：如图，作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1，交OB于P2，连接PP1，PP2，△PP1P2即为所求．理由：∵P1P=P1E，P2P=P2F，∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+p1p2+p2F=EF，根据两点之间线段最短，可知此时△PP1P2的周长最短．解题思路：本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．教学建议：此类问题的解题技巧是做对称点，做定点关于动点所在直线的对称点.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习】知识拓展：如图2，点P在∠AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使△PEF周长最短（保留作图痕迹不写作法）【答案】见解析【解析】作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD角OA、OB于E、F．此时△PEF周长有最小值；作图如下：讲解用时：3分钟解题思路：题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出对称点的位置是解题关键．教学建议：此类问题的解题技巧是做对称点，做定点关于动点所在直线的对称点.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内一点，PO=8，在∠AOB的两边分别有点R、Q（均不同于O），求△PQR周长的最小值．【答案】【解析】根据轴对称图形的性质，作出P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，根据两点之间线段最短得到最小值线段，根据等边三角形的性质解答即可．解：分别作P关于OA、OB的对称点M、N．连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件．连接OM、ON，由轴对称的性质可知，OM=ON=OP=8，∠MON=∠MOP+∠NOP=2∠AOB=2×30°=60°，则△MON为等边三角形，∴MN=8，∵QP=QM，RN=RP，∴△PQR周长=MN=8，讲解用时：5分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短路径问题，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质的灵活运用．教学建议：对称之后，角度也是相同的，做定点关于动点所在直线的对称点. 难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习】如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10，OA上有一点Q，OB上有一定点R．若△PQR周长最小，求它的最小值．【答案】10【解析】先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF 与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解．解：设∠POA=θ，则∠POB=30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR=RP，∴△PQR的周长=EF．∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°﹣θ）=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=10，即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10．故答案为：10．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答．教学建议：做定点关于动点所在直线的对称点，利用轴对称的性质进行解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，在铁路l的同侧有A、B两个工厂，要在铁路边建一个货场C，货场应建在什么地方，才能使A、B两厂到货场C的距离之和最短？【答案】见解析【解析】作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，交l于点C，则点C即为所求点．解：如图所示：讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】用三角板和直尺作图．（不写作法，保留痕迹）如图，点A，B在直线l的同侧．（1）试在直线l上取一点M，使MA+MB的值最小．（2）试在直线l上取一点N，使NB﹣NA最大．【答案】见解析【解析】（1）作点A关于直线l的对称点，再连接解答即可；（2）连接BA，延长BA交直线l于N，当N即为所求；解：（1）如图所示：（2）如图所示；理由：∵NB﹣NA≤AB，∴当A、B、N共线时，BN﹣NA的值最大．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=6，点F 是AD边上的动点，求BF+EF的最小值.【答案】6【解析】过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，证△ADB ≌△CEB得CE=AD=6，即BF+EF=6．解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，∵等边△ABC中，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB和△CEB中，∵，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE=AD=6，即BF+EF=6.讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，点P是∠AOB内部的一点，∠AOB=30°，OP=8cm，M，N是OA，OB上的两个动点，则求△MPN周长的最小值【答案】8【解析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=8cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=8cm．∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=8cm．故答案为：8．讲解用时：3分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。
人教版八年级上册数学讲义
【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边〞或“ SAS 〞，几何表示如图，在ABC 和 DEF 中，ADAB DE B E ABC ≌ DEF (SAS)BCEFBCEF【典型例题】【例 1】 ：如图， AB=AC ，AD=AE ，求证： 【例 4】如图，点 A 、F 、 C 、 D 在同一直线上，BE=CD.点B 和点E 分别在直线 AD 的两侧， AB ∥ DE证明： 在△ABE 和△ ACD 中，A且 AB ＝ DE ， AF ＝ DC 。
求证： BC ∥EF 。
AB=AC ，∠ BAE= ∠CADAD=AE DE∴△ ABE ≌△ ACD 〔 SAS 〕∴ B E=CD.BC【例 2】 如图，：点 D 、E 在 BC 上，且 BD=CE ， AD=AE ，∠ 1=∠ 2，由此你 能得出哪些结论？给出证A 明 .B1 2 【例 5】如图，△ ABC 、△ BDE 均为等边三DEC角形。
求证： BD ＋ CD=AD 。
A【例 3】 如图： AE=AF ，AB=AC ，∠ A=60°，E∠ B=24°，求∠ BOE 的度数 .BBCEDOACF【知识要点】三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边〞或“SSS 〞， 几何表示【典型例题】例 3. 如图： AB=CD ， AE=DF ， CE=FB 。
求证：【例 1】如图，在ABC 中，M 在BC 上，D 在∠B=∠C 。
ABAM 上，AB=AC , DB=DC 求证： AM 是ABC的角平分线证明 : 在△ABD 和△ ACD 中，FEAB=AC DB=DC AD=AD∴△ ABD ≌△ ACD (SSS) ∴∠ BAD= ∠ CAD又∵ AB=AC∴MB=MC∴ AM 是ABC 的角平分线 (三线合一 )【例 2】如图：在△ ABC 中， BA=BC ，D 是 AC 的中点。
求证： BD ⊥ AC 。
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八年级数学讲义第 11章三角形一、三角形的看法1．三角形的定义由不在同素来线上的三条线段首尾按次连接所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同素来线上；③首尾按次相接．2．三角形的表示△ABC中，边：AB，BC，AC或c，a，b．极点： A，B，C ．内角：∠ A ，∠ B ，∠ C．．二、三角形的边1.三角形的三边关系 : （证明所有几何不等式的唯一方法）(1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a(2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-c<a判断三条已知线段a、b、c 能否组成三角形 .当 a 最长，且有 b+c>a 时, 即可组成三角形 .确定三角形第三边的取值范围:两边之差<第三边<两边之和.2.三角形的主要线段三角形的高线从三角形的一个极点向它的对边所在直线作垂线，极点和垂足之间的线段叫做三角形的高线 .①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；②直角三角形三条高线交于直角极点；③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外面一点三角形的角均分线三角形一个角的均分线与它的对边订交，这个角的极点与交点之间的线段叫做三角形的角均分线。
三条角均分线交于三角形内部一点.ABD A C三角形的中线连接三角形一个极点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。
B D C三角形的三条中线交于三角形内部一点.三、三角形的角1三角形内角和定理结论 1：△ ABC中：∠ A+∠B+∠C=180°※三角形中最少有 2 个锐角结论 2：在直角三角形中，两个锐角互余．※三角形中至多有 1 个钝角注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ ABC中，∠ C=180°－（∠ A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ ABC中，已知∠ A：∠ B：∠ C=2：3：4，求∠ A、∠ B、∠ C的度数2三角形外角和定理外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补外角个数：过三角形的一个极点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有 6 个外角四、三角形的分类(1)按角分：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形(2)按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形五多边形及其内角1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾按次相接组成的图形叫做多边形 .2、正多边形 : 各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
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. .第十一章全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。
互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC ≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。
通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。
翻折如图（1），∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；②旋转如图（2），∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；③平移如图（3），∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。
5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。
在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。
【分类解析】全等三角形知识的应用（1）证明线段（或角）相等【例1】如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC 中，因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.证明：在ΔACD和ΔABE中，AE=AD∠A=∠AAB=AC.∴ΔACD≌ΔABE (SAS)∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）又∵AD=AE,AB=AC.∴AB－AD=AC－AE即BD=CE在ΔDBF和ΔECF中∠B=∠C∠BFD=∠CFE（对顶角相等）BD=CE∴ΔDBF≌ΔECF （AAS）∴BF=FC （全等三角形对应边相等）（2）证明线段平行【例2】已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD分析：要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD.证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC （已知）∴∠DEC＝∠BFA=90°（垂直的定义）在ΔABF与ΔCDE中，AF=CE （已知）∠DEC＝∠BFA （已证）DE=BF （已知）∴ΔABF≌ΔCDE（SAS）∴∠C＝∠A (全等三角形对应角相等)∴AB∥CD （错角相等，两直线平行）（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE分析：(ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF 是ΔACD中位线这个条件。
证明：取CD中点F，连接BF∴BF=12AC,且BF∥AC （三角形中位线定理）∴∠ACB＝∠2 (两直线平行错角相等) 又∵AB=AC∴∠ACB＝∠3 （等边对等角）∴∠3＝∠2在ΔCEB与ΔCFB中，BF=BE∠3＝∠2CB=CB∴ΔCEB≌ΔCFB (SAS)∴CE=CF=12CD （全等三角形对应边相等）即CD=2CE（ⅱ）加倍法证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.在ΔAEC与ΔBEF中，AE=BE∠1＝∠2 （对顶角相等）CE=FE∴ΔAEC≌ΔBEF (SAS)∴AC=BF, ∠4＝∠3 (全等三角形对应边、对应角相等)∴BF∥AC (错角相等两直线平行)∵∠ACB+∠CBF=180o,∠ABC+∠CBD=180o,又AB=AC ∴∠ACB=∠ABC∴∠CBF=∠CBD （等角的补角相等）在ΔCFB与ΔCDB中，CB=CB∠CBF=∠CBDBF=BD∴ΔCFB≌ΔCDB (SAS)∴CF=CD即CD=2CE说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。
例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.(4)证明线段相互垂直【例4】已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。
分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。
通过观察，可以猜测：AO=BC，AO⊥BC.证明：延长AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中AD=DC∠ADO=∠CDB=90oOD=DB∴ΔADO≌ΔCDB (SAS)∴AO=BC, ∠OAD=∠BCD（全等三角形对应边、对应角相等）∵∠AOD＝∠COE （对顶角相等）∴∠COE+∠OCE=90o∴AO⊥BC5、中考点拨：【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC．求证：∠F＝∠A．分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中∠A、∠F不在全等的两个三角形中，但由已知可证得EF∥AC，因此把∠A 通过同位角转到△BDE中的∠BED，只要证△EBD≌△FCD即可．证明：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∵EB＝ED，∴∠ACB＝∠EDB．∴ED∥AC．∴∠BED＝∠A．∵BE＝EA．∴BD＝CD．又DE＝DF，∠BDE＝∠CDF∴△BDE≌△CDF，∴∠BED＝∠F．∴∠F＝∠A．说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、错角等相等的关系。
【例2】如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE、DE.求证：EC=ED分析：把已知条件标注在图上，需构造和△AEC全等的三角形，因此过D点作DF∥AC交BE于F点，证明△AEC≌△FED即可。
证明：过D点作DF∥AC交BE于F点∵△ABC为等边三角形∴△BFD为等边三角形∴BF=BD=FD∵AE=BD∴AE=BF=FD∴AE－AF=BF－AF 即EF=AB∴EF=AC在△ACE和△DFE中，EF=AC（已证）∠EAC＝∠EDF (两直线平行，同位角相等)AE=FD (已证)∴△AEC≌△FED（SAS）∴EC=ED（全等三角形对应边相等）题型展示：【例1】如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。
求证：AB＝AC＋CD．分析：在AB上截取AE＝AC，构造全等三角形，△AED≌△ACD，得DE＝DC，只需证DE＝BE问题便可以解决．证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE．∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴DE＝DC，∠AED＝∠C．∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∠C＝2∠B，∴2∠B＝∠B＋∠EDB．即∠B＝∠EDB．∴EB＝ED，即ED＝DC，∴AB＝AC＋DC．剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AE＝AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的容．【实战模拟】1. 下列判断正确的是（）（A ）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 （B ）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等 （C ）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 （D ）有两角和一边对应相等的两个三角形全等2. 已知：如图，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．求证：OB ＝OC ．3. 如图，已知C 为线段AB 上的一点，∆ACM 和∆CBN 都是等边三角形，AN 和CM 相交于F 点，BM 和交于E 点。
求证：∆CEF 是等边三角形。
ABCMNEF124.如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线。
求证：AD<12(AB+AC)5. 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ． 求证：BD ＝CG ．【试题答案】 1. D 2.证明：∵AO 平分∠ODB ，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CE 交于点O ， ∴OD ＝OE ，∠ODB ＝∠OEC ＝90°,∠BOD ＝∠COE 。
∴△BOD ≌△COE （ASA ）． ∴ OB ＝OC3.分析由∠ACM=∠B=60︒，知∠ECF=60︒，欲证∆CEF是等边三角形，只要证明∆CEF是等腰三角形。
先证∆CAN≌∆MCB，得∠1=∠2.再证∆CFN≌∆CEB，即可推得∆CEF是等边三角形的结论。
证明：在∆CAN和∆MCB，∵AC=MC，=CB，∠CAN=∠MCB=120︒，∴∆A≌∆MCB中，∴∠FCB和∆CEB中，∵∠F=∠ECB=60︒，∠1=∠2，=CB，∴∆CFN≌∆CEB，∴CF=CE，又∵∠ECF=60︒，∴∆CEF是等边三角形.4.分析：关于线段不等的问题，一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论，由于AB、AC、AD不在同一个三角形，应设法将这三条线段转化在同一个三角形中，也就是将线段相等地转化，而转化的通常方法利用三角形全等来完成，注意AD是BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，即可得到△ACD≌△EBD．证明：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE在∆ACD与∆EBD中∴∆ACD≌∆EBD（SAS）∴AC＝EB（全等三角形对应边相等）在∆ABE中，AB＋EB＞AE（三角形两边之和大于第三边）∴AB＋AC＞2AD（等量代换）说明：一般在有中点的条件时，考虑延长中线来构造全等三角形。