三乘三矩阵的逆矩阵表达式
第三节 逆矩阵
A21 A22 A2 n
An 1 An 2 * , 称 A 为 A 的伴随矩阵。 Ann
2012-6-16
定理2.3
A 0 A 可逆，且 A
1
A
*
A
其中
A 为 A 的伴随矩阵。
*
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证明
AA
1
A 显然 A 0， 有意义。 A
0 A 0 0 0 I A
AA
1
A 1 1 0 * AA A A 0
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定理2.4 定理2.5 定义2.13
若 若
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A可逆
A 0.
A不可逆 A 0 .
3 0 1 1 2 2 5 3
1
3 A 5
1 2
3 B 0 1
1 2 3
2 5 A A
*
1 ，从而 3
X BA
1
1 1 10 3 13
A 21 A A 22 A A 23 A
A 31 A A 32 A A 33 A
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8 5 1
29 18 3
A11 A 11 A 7 12 A 1 A13 A
* 1
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四、小结与思考
逆矩阵的概念及运算性质.
逆矩阵 A 1 存在 A 0 . 逆矩阵的计算方法
1 待定系数法 ;
2 利用公式 A 1
矩阵乘积的逆(高等代数课件)
2. 逆矩阵的唯一性
若方阵 A 可逆，则其逆矩阵唯一 .
证明
有 于是
设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，则由定义
AB = BA = E，AC = CA = E，
B = BE = B( AC ) = ( BA )C = EC = C .
所以逆矩阵唯一.
证毕
§4.4 矩阵的逆
三、矩阵可逆的条件
d A.
立即可得,
a11 a12 a21 a22 * AA a a n1 n 2
a1n A11 A21 a2 n A12 A22 ann A1n A2 n
An1 An 2 Ann
§4.4
d 0 0 d 0 0 矩阵的逆
一、引例
引例 1 矩阵与复数
引例 2 坐标旋转变换 复数可以用二维有序数组来表示，如复数 a+bi
可表示为 (a , b) ，因此，从结构上看复数是矩阵的 引例 3 线性变换的逆变换 特殊情形 . 在第二节我们也看到，矩阵与复数相 在平面直角坐标系 xOy 中，将两个坐标轴同 仿，有加法、减法、乘法三种运算 . 我们知道，复 时绕原点旋转 角 ( 逆时针为正，顺时针为负 )， 设给定一个线性变换 数的乘法运算有逆运算，那么矩阵的乘法运算是否 就得到一个新的直角坐标系 (见图 3) ． 平面上 4 a– x , y1 a11 x1 a12 x2 1n n 也有逆运算呢？ 如果有的话，这种运算如何定义， Ｐ 任何一点 a21 x1 a22 x2 a2 n xn , y2 在两个坐标系中的坐标分别记为
称为A的伴随矩阵.
An1 An 2 Ann
性质： AA* A* A A E
矩阵的逆
矩
阵
第一节 矩阵的概念 第二节 矩阵的运算 第三节 矩阵的逆 第四节 矩阵的秩
第三节 矩阵的逆
本节主要内容: 本节主要内容: 一. 可逆矩阵与逆矩阵 二. 可逆矩阵的判别 三. 矩阵的初等变换 四. 用初等行变换求逆矩阵 五. 小结
一.可逆矩阵与逆矩阵
1. 定义
对于矩阵 A ， 如果存在一个矩阵 B , 使得
1 2 −2 r2 − 2r1 0 −7 6 → r3 + 2r1 0 3 −3
1 0 0 −2 1 0 2 0 1
1 2 −2 r2 + 2r3 0 −1 0 → 0 3 −3
1 0 0 2 1 2 2 0 1
A23 = 2,
A33 = −2 .
6 −4 2 A* = −3 −6 5 2 2 −2
所以 A−1
3 −2 2 6 −4 1 * A 1 5 3 = = −3 −6 5 = − −3 det A 2 2 2 2 2 −2 1 1 −1
A1 A2 ⋯ Am 也可逆 且 (A A ⋯A )−1 = A−1⋯A−1A−1 也可逆, 1 2 m m 2 1
性质5 性质 若矩阵 A 可逆 则 AT也可逆 且 可逆, 也可逆,
(AT)−1 = (A−1 )T
性质6 性质 若矩阵 A 可逆 则 det( A−1 ) = (det A)−1 可逆, 说明 若矩阵 ,B ,C 满足 若矩阵A 满足AB=AC, 且A可逆 则 可逆, 可逆 AB=AC
1 2 3 −3 −4 可逆 = 0 −3 −4= = 4≠ 0, 所以 A可逆 . 1 0 0 1 0
1 2 ∵ A11 = = −3, 3 3 2 1 A13 = = 5, 1 3 2 2 A12 = − = −4, 1 3
《线性代数》逆矩阵
,
ann
x1
X
x2
,
xn
b1
b
b2
,
bn
当|A|≠0时，A-1存在， AX=b两边左乘A-1，得 X=A-1b
这就是线性方程组解的矩阵表达式.
例5. 利用逆矩阵求解方程组
2x1 x1
2 x2 x2
3x3
2 2
.
x1 2x2 x3 4
解: 将方程组写成矩阵形式 AX b
又因c0，故有 c1(aA2 bA)E， 即c1(aAbE )AE，
因此A可逆，且A1c1aAc1bE .
3. 可逆矩阵的性质
(1) 若A可逆，则A1也可逆，且(A1)1A.
(2) 若A可逆，数l0，则lA 可逆，且(lA )1l1A1.
(3) 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB亦可逆，且(AB )1B 1A1. 因为 (AB)(B1A1) A(BB1)A1AEA1AA1 E
于是 B BE B(AB1) ( BA)B1 EB1 B1 .
1. 可逆矩阵的定义
定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 ABBAE，
那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.
定理1 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.
A的逆矩阵记为A1 . 即若ABBAE ，则BA1 .
由于A，B位置对称，故A，B互逆，即BA1， AB1. 如
2、设A,B,C均n为阶方阵，且ABC=E，则( )．
①ACB=E； ②CBA=E ； ③BAC=E ； ④BCA=E ．
解: 1. 由A2-A-2E=O，得
1 A(A E) E, 2
所以A-E可逆，正确选项为③ ．
2. 由ABC＝E, 可得BC为A的逆阵， 所以BCA＝E,正确选项为④ ．
高等代数3-3矩阵的逆
... 0 A En ... A
A A
*
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
... An1 a11 ... An 2 a 21 ... Ann a n1
a12 a 22 an2
即矩阵A的逆矩阵是唯一的 .
B1 B1 E B1 ( AB2 ) ( B1 A )B2 EB2 B2
由于A的逆矩阵是唯一的，将A的唯一的逆矩阵记为 A1
则有
AA1 A1 A E
3. 单位矩阵E是可逆矩阵,且E 1 E .
4. 零矩阵O不是可逆矩阵.
a1 0 ... 0 0 a2 ... 0 例A 0 0 ... a n 其中 a1a2 ...an 0 a1 0 0 a2 0 0
可逆
1 0 3 0 1 A 1 2 3 1 2 3 3
1
1 3 A 2 6
A 0
不可逆
用公式法求二阶矩阵的 逆矩阵非常方便 .
a b 1 d d 1 若A , 且 A 0, 则 A . A c a c d
已知方阵A满足A3 A2 4 A 5 E O ,则( A 2 E )1 ________.
A2 A 2 E
1 2 0 已知AB B A , 其中B 2 1 0 ,则( A E )1 __________. 0 0 2
( A E )( B E ) E ( A E )1 B E
1 ( A 2E ) 2 1 例5 已知方阵A满足A A 4 E O ,则( A E ) __________. 2
三个矩阵乘积的Moore-Penrose逆的正序律
五邑大学学报（自然科学版）JOURNAL OF WUYI UNIVERSITY （Natural Science Edition ）第35卷 第2期 2021年 5月V ol.35 No.2 May 2021文章编号：1006-7302（2021）02-0015-05三个矩阵乘积的Moore -Penrose 逆的正序律周婉娜，熊志平（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）摘要：Moore-Penrose 逆（简称M-P 逆）是矩阵理论中的一个重要分支，它在线性控制理论、投影算法、统计学等领域的广泛应用使其成为一个热点研究问题. 本文利用秩等式和广义Schur 补，研究了3个矩阵乘积的M-P 逆的正序律，得出了正序律()123123++++=A A A A A A 成立的充要条件.关键词：Moore-Penrose 逆；秩等式；广义Schur 补；正序律中图分类号：O151.21 文献标志码：AA Note on the Forward Order Law for Moore-Penrose Inverse of Three Matrix ProductsZHOUWan-na, XIONGZhi-ping(School of Mathematics and Computational Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)Abstract: Moore -Penrose inverse (M -P inverse) is an important branch of matrix theory due to its extensive applications in linear control theory, projection algorithm, statistics and other fields. In this paper, we study the forward order law for M -P inverse of product of three matrices by using the rank equality and the generalized Schur complement, and the necessary and sufficient conditions for the forward order law()123123++++=A A A A A A are obtained.Key words: Moore -Penrose inverse; Rank equality; Generalized Schur complement; Forward order law1 引言及预备知识矩阵乘积广义逆的反序律和正序律在统计学、微分方程、电网络分析等领域都有着不可或缺的重要作用[1-2]. 20世纪60年代以来，很多学者研究了矩阵乘积广义逆的反序律，例如矩阵乘积的{}1-逆、{}1,3-逆、{}1,2,3-逆、M-P 逆的反序律成立的充要条件，得到了很多有趣的结果和一些重要的应用算法[2-3]. 关于矩阵乘积广义逆的正序律的理论与应用研究相对较少，很多相关问题还需要进一步的解决，因此矩阵乘积广义逆的正序律成为了一个热点研究课题.在本文中，m n ⨯C 表示复数域中所有m n ⨯矩阵，m I 为m 阶单位矩阵，m n ⨯0为m n ⨯零矩阵（常用0代表合适的零矩阵）. 对任意的m n ⨯∈A C ，*A 为A 的共轭转置，()r A 为A 的秩，()R A 为A 的值域，收稿日期：2020-11-03基金项目：广东省普通高校特色创新类项目（2018KTSCX234）；广东省本科高校教学质量与教学改革工程项目（GDJX2018004；GDJX2018014）；江门市基础与理论科学研究类科技计划项目（2020JC01010）；五邑大学港澳联合研发基金资助项目（2019WGALH20）作者简介：周婉娜（1996—），女，广东江门人，在读硕士生，研究方向为矩阵与算子广义逆；熊志平，教授，博士，硕士生导师，通信作者，主要从事矩阵与算子广义逆的研究.五邑大学学报（自然科学版） 2021年16 ()N A 为A 的零空间，相关概念参见文献[1,3].定义1[4] 设m n ⨯∈A C ，满足下列4个Penrose 条件：1）=AXA A ，2）=XAX X ，3）()*=AX AX ，()*=XA XA 的矩阵n m ⨯∈X C 称为A 的M-P 逆，记+=X A .引理1[1] 矩阵的M-P 逆满足以下性质：********()()()++++===A AA A A A A A AA A A .引理2[5] 设矩阵A 、B 、C 和D 满足以下条件：()()R R ⊆B A ，**()()R R ⊆C A 或()()R R ⊆C D ，**()()R R ⊆B D ，则()()r r r +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭A B A D CA B C D 或()()r r r +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭A B D A BD C C D . 引理3[6] 设i i s t i ⨯∈A C ，1,2,,i n = ；1i i s t i +⨯∈B C ，1,2,,1i n =- ，再设1i i i i +=B A X A ，1,2,,1i n =- ， （1）则对于某些i X 有：()()i i R R ⊆B A 且**1()()i i R R +⊆B A ，1,2,,1i n =- ， （2）而且n n ⨯分块矩阵112211n n n n --⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0000000000000 A A B J A B A B 的M-P 逆可以表示为：(1,)(1,1)(1,2)(1,1)(2,)(2,1)(2,2)(1,)(1,1)(,)n n n n n n n n n n n +-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭00000000 F F F F F F F J F F F ，其中，(,)i i i +=F A ，1,2,,i n = ， （3）111(,)(1)j i i i i i j j i j i j -++++++--=- F A B A B A B A ，1i j n ≤≤≤. （4）2 主要结果本节，我们将给出3个矩阵乘积的M-P 逆的正序律()123123++++=A A A A A A 成立的充要条件，相关结论会在下面的3个定理中给出.定理1 设123,,m m ⨯∈A A A C ，则55⨯分块矩阵 ***3333****22223****11112*1m m⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭000000000000000I A A A A M A A A A A A A A A A I A 的M-P 逆可以表示为： (1,5)(1,4)(1,3)(1,2)(1,1)(2,5)(2,4)(2,3)(2,2)(3,5)(3,4)(3,3)(4,5)(4,4)(5,5)+⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭0000000000M M M M M M M M M M M M M M M M ，第35卷 第2期 17周婉娜等：三个矩阵乘积的Moore -Penrose 逆的正序律其中，(),i j M 可根据引理3中的式（3）和（4）给出，特别地，()1,5+=M PM Q 51************111112222233333(1)()()()m m -+++++=-=I A A A A A A A A A A A A A A A I123+++A A A ， （5）其中，()()*,,,,,,,,,m m ==00000000P I Q I .证明 因为*****111111111==()m m ++A I A A A I A A A A A ，所以*1()()m R R ⊆A I ，*1111()()R R ⊆A A A A . （6）因为**********121112221111122222==()()++++A A A A A A A A A A A A A A A A A A ，所以****12111()()R R ⊆A A A A A ，*21222()()R R ⊆A A A A A . （7）因为**********232223332222233333==()()++++A A A A A A A A A A A A A A A A A A ，所以****23222()()R R ⊆A A A A A ，*32333()()R R ⊆A A A A A . （8）因为*****333333333==()m m ++A A A A I A A A A A I ，所以***3333()()R R ⊆A A A A ，3()()m R R ⊆A I . （9）结合式（6-9）以及引理3中的式（1-2），可以得出定理1的结论. 特别地，根据引理1，我们知道****()++=A A AA A A . 因此，可得：123(1,5)++++==M PM Q A A A .为了得到定理2，我们首先证明以下秩等式：对于任意的矩阵i A 来说，****()()()()i i i i i i i r r r r ===A A A A A A A . （10）证明 因为**********()()()()[()]()i i i i i i i i i i i i i i i i i r r r r r r ++≤≤==≤A A A A A A A A A A A A A A A A A 且*()()i i r r =A A ，所以****()()()()i i i i i i i r r r r ===A A A A A A A .定理2 设123,,m m⨯∈A A A C且123=A A A A ，M ,P 和Q 由定理1给出，则： 123()2()()()r m r r r =+++M A A A ， ()()R R ⊆Q M ，**()()R R ⊆P M ， ()()R R ⊆QA M ，***()()R R ⊆P A M .证明 构造可逆矩阵1234,,,D D D D 和列矩阵5D 如下：*11mm m m m ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭00000000000000000I A I D I I I ，**1122()m m m m m +⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭000000000000000I I A A A D I I I ，**3223()mm m mm I +⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭00000000000000000I I D I A A A I ，4*33()m m m m m +⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭0000000000000000I I D I I A A I ，5m ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭0000D I 则五邑大学学报（自然科学版） 2021年18 **333**1234222**111m m⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭000000000000000000I A A A MD D D D A A A A A A I ，且12345m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪⎝⎭0000I MD D D D D Q . 因此1234123()()2()()()r r m r r r ==+++M MD D D D A A A ，且12345()()()()R R R R ⊆=⊆QA Q MD D D D D M .另一方面，构造可逆矩阵1234,,,T T T T 和行矩阵5T 如下：*31mm m m m ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0000000000000000000I A I T I I I ，**2233()mm m m m +⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0000000000000000000I I T A A A I I I ， 3**122()m mmm m +⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭0000000000000000000I I T I A A A I I ，4*11()m m m m m +⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪-⎝⎭0000000000000000000I I T I I A A I ，5(,,,,)m =0000T I . 则 **333**4321222**111m m⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭00000000000000000I A A A T T T T M A A A A A A I ，且54321(,,,,)m ==0000T T T T T M I P ，因此，**********12345()()()()R R R R ⊆=⊆P A P M T T T T T M .利用定理1和定理2可以得到定理3.定理3 设123,,m m ⨯∈A A A C ，123=A A A A ，123+++=X A A A 且M ,P 和Q 由定理1给出，则以下等式等价：1）()123123+++++===A A A A A A A X ； 2）()()()()11232r r r r r ****⎛⎫-=+++ ⎪⎝⎭A AA A E A A A A E AN . 其中，()1,,,m =000E I ，()2,,,m *=000E I ，以及***3333****22223****11112*1⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭000000000A A A A A A A A A N A A A A A A . 证明 由定理1可得123++++==X A A A PM Q 且12⎛⎫= ⎪⎝⎭0E M E N . 显然，()123123+++++===A A A A A A A X成立的充要条件为()()0r r +++-=-=A X A PM Q . （11）由上式构造一个33⨯分块矩阵****⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭000MQ G A AA A P A ，根据引理2，第35卷 第2期 19周婉娜等：三个矩阵乘积的Moore -Penrose 逆的正序律()()*******,,R R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⊆⊆⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭000Q M M P A A A AA AA A ，则()()******,r r r +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⎢⎥⎪ ⎪ ⎪--⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦0000MM Q G P A A AA A AA A ()()******,r r ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪-⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦0M M Q P A A AA A A AA ()()()******r r r ++⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦M A AA PM Q A A AA A . 根据引理2、定理2以及式（10），可得：()()()()()()()()()1232r r r r m r r r r r ++++=++-=+++++-G M A PM Q A A A A A PM Q A . （12）另一方面，()1*22**********1***m m m mr r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪=-=== ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0000000000000000000E I I MQ E N N E A G A AA A A AA A A E A AA A P A I A I A *****221*******11222m mr m r m r ⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫-- ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭0000000000I N E A N E A A AA A E A E A AA A E A AA E A N I （13） 结合式（11-13）可知，定理3成立.3 结论对任意的矩阵,1,2,3m m i i ⨯∈=A C ，本文利用秩等式和广义Schur 补的性质，得出了3个矩阵乘积的M-P 逆正序律()123123++++=A A A A A A 成立的充要条件.参考文献[1] 王国荣. 矩阵与算子广义逆[M]. 北京：科学出版社，1994.[2] BEN-ISRAEL A, GREVILLE T N E. Generalized inverse: theory and application [M]. 2nd Edition. New York:Springer-Verlag, 2003: 35-54.[3] WANG Guorong, WEI Yimin, QIAO Sanzheng. Generalized inverse: theory and computations [M]. Beijing:Science Press, 2004: 9-26.[4] PENROSE R. A generalized inverse for matrix [J]. Proc Cambridge Philos Soc, 1955, 51: 406-413.[5] MATSAGLIA G, STYAN G P H. Equalities and inequalities for ranks of matrices [J]. Linear and MultilinearAlgebra, 1974, 2: 269-292.[6] TIAN Yongge. Reverse order laws for the generalized inverses of multiple matrix products [J]. Linear Algebraand its Applications, 1994, 211: 85-100.[责任编辑：熊玉涛]。
三阶方阵逆矩阵公式
三阶方阵逆矩阵公式
1、方阵的逆矩阵等于方阵的伴随矩阵与方阵对应的行列式的值的倒数的积；
即A^-1=A*/(|A|).
只有当|A|≠0时，方阵A才可逆。
这种方法并不简便。
2、利用初等变换求逆矩阵；
一般是将矩阵(A,E)化为(E,A^-
1)的形式；从而得到A逆矩阵；
3、也可以利用分块矩阵求逆矩阵；
但是，这种方法不能单独使用。
其实就是把一个高阶方阵分成若干个低阶方阵，然后利用前两种方法求出低阶方阵的逆矩阵。
这种方法不适用于三阶矩阵的逆矩阵。
因为三阶矩阵本身是很低阶的。
使用下面的示例来演示前两种方法。
例如，求以下三阶矩阵的逆矩阵:
解法1：(1)先求|A|，即A所对应的行列式，判断A有没有逆矩阵：
∴A有逆方阵.
(2)然后求A的伴随矩阵：
(3)最后代入公式求A的逆矩阵：
解法2：对(A,E)施行初等变换：即
（1）第三行乘以-1加到第一行得：
(2)第三行加到第二行得：
(3)第一行乘-2加到第三行得：
(4)第三行乘以负1交换到第二行得：
(5)第三行除以5，然后第三行分别乘以12和4，加到第二行和第一行，得：
看，两种方法得到的结果是一样的。
第四讲矩阵的运算与逆矩阵
1 0 9 −2 1 3 = 9 9 0 1 3 4
0 3 − 1 无法相乘. 1 0 2
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
2）实数运算存在化0因子，即若 ）实数运算存在化 因子 即若ab=0,则a,b至少有一个数是 。但矩 因子， 至少有一个数是0 则 至少有一个数是 阵运算不存在化0因子 即若AB=0,A与B可能都不为 ，如下例 因子， 可能都不为0， 阵运算不存在化 因子，即若 与 可能都不为 2 4 − 2 4 与B = 例2 求矩阵 A = − 3 − 6 的乘积 1 − 2 的乘积AB 与 BA. − 2 4 2 4 − 16 − 32 解 AB = 1 − 2 − 3 − 6 = 8 16
x1 = b11t1 + b12 t2 x2 = b21t1 + b22 t2 x = b t + b t 31 1 32 2 3
(2)
求出从 t1 , t2到 y1 , y2的线性变换.
y1 = (a11b11 + a12 b21 + a13 b31 )t1 + ( a11b12 + a12 b22 + a13 b32 )t2 y2 = (a21b11 + a22 b21 + a23 b31 )t1 + ( a21b12 + a22 b22 + a23 b32 )t2
线性代数 第二章 矩阵及其运算
4
第四讲 矩阵的运算与逆矩阵
a11 A= a 21 a12 a 22 a13 , a 23 2×3
a11b11 + a12b21 + a13b31 AB= a b +a b +a b 21 11 22 21 23 31