数数策略专题

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对策问题四年级

对策问题（四年级）专题简析：同学们都熟悉“田忌与齐王赛马”的故事，这个故事给我们的启示是：田忌采用了“扬长避短”的策略，取得了胜利。

生活中的许多事物都蕴含着数学道理，人们在竞赛和争斗中总是玩游戏，大至体育比赛、军事较量等，人们在竞赛和争斗中总是希望自己或自己的一方获取胜利，这就要求参与竞争的双方都要制定出自己的策略，这就是所谓“知己知彼，百战不殆” 。

哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利。

解决这类问题一般采用逆推法和归纳法。

例题1. 两个人轮流数数，每个人每次可以数1个、2 个、3 个，但不能不数。

例如第一个数1、2，第二个接着往下数3，也可以数3、4，还可以数3、4、5,。

如此继续下去，谁先数到100，谁就算胜。

请试一试，怎样才能获胜？分析：要抢到100，必须抢到96.这时另一个人只能数97或97、98或数97、98、99，无法数到100。

如何才能抢到96呢？有必须抢到92.以此类推，得到一列数92、88、84、…、4•只要抢到这些数中的任何一个，然后当对方报a 个数时（Ka<3）时，就报（4-a）个数，这样就能抢到这个数列中的上一个数，直到抢到100.但无论第一个人报什么数，第二个人都可以抢到4n （n=1、2…），因此第二个人就有必胜的策略。

只有在第二个人产生错误时，第一个人才能获胜。

思考：如果将100改为101或99，其他条件都不变，先数的人能否获胜呢？（是否还是抢4呢？）例题2. 两个人做一个移火柴的游戏，比赛的规则是：两人从一堆火柴中可轮流移走1 至7 根火柴，直到移尽为止。

挨到谁移走最后一根火柴就算谁输。

如果开始时有1000 根火柴，首先移火柴的人在第一次移走多少根时才能在游戏中保证获胜。

先移火柴的人要取胜，只要取走第999根火柴，即利用逆推法就可得到答案。

设先移的人为甲，后移的人为乙。

甲要取胜只要取走第999根火柴。

因此，只要取到第991 根就可以了（如乙取1根甲就取7根；如乙取2根甲就取6根。

用数数策略解决问题

《用数数策略解决问题》课堂观看“教什么”【安徽】季铃娜发布时刻：2021-11-30“教什么”观看视点1.教学目标：是不是明确而适当？是。

本节课的目标是在学生能正确的说出数量在11-20之间物体的个数基础上，运用其来解决生活中的一些实际问题，并体会数学与生活的联系。

教师在教学中，始终将题目与学生生活联系，并让学生高声数出来，准确的把握了本节课的教学目标。

2.核心知识：教师是如何呈现给不同窗生的？关于优生，教师让学生自己看图说说看到了什么。

关于其他学生，教师让他们把方才所说的，完整的表达出来，并提示学生，“我排第十是什么意思”，“我排在第十五是什么意思”等，如此不断引导学生明白得题目意思。

同时，让学生主动提出不睬解题目意思的地址，然后请其他明白得的学生加以说明，最后教师加以归纳，如此不仅让部份明白得的学生取得成功的喜悦，更调动了全班学生踊跃参与课堂的气氛。

3.内在联系：是不是注意成立知识横向或纵向联系，与生活联系？是。

例如，在例题导入时，教师便说，秋季是漂亮的季节，小朋友们一路去了动物园，那个地址发生了一些数学问题。

从而将新课与学生生活相联系。

同时，教师的课程内容划分清楚，专门好的遵循了由易到难，循序渐进，精讲多练的原那么。

4.学科特点：是不是表现了学科特点与本质？是。

本套教材编写特点之一是：表现解决问题的完整进程。

教师不断引导学生用自己的方式画和数，通过学生自己的探讨，完整的解决问题。

5.详略适当：是不是做到了易懂的少讲或不讲、易混的细讲并辨析？是。

教师教学例题时，关于小丽和小宇之间有几人，为避免学生模糊，难懂。

通过屏幕出示小球来表示，并利用图画和算式结合讲解，告知学生减10，只减去了包括第10位在内的小丽，并非包括最后一名小朋友小宇，也确实是说第15位小宇没有减去，因此还要再减1。

即15-10-1=4（人）。

从而使学生知道如何正确的解决问题。

6.教学资源：是不是合理利用教材和校内外教学资源？是。

一年级数学数数策略练习题

一年级数学数数策略练习题在数学学习的初级阶段，数数是孩子们的重要环节。

通过数数练习，孩子们可以掌握基本的数数策略，培养对数字的敏感度，为日后的数学学习打下坚实的基础。

本文将为一年级学生提供一些数数策略的练习题，帮助他们提高数学技能。

练习题一：数数序列在下面的序列中找出规律，继续数下去，并填写下一个数字。

1, 3, 5, 7, ____解答：9。

每个数字都比前一个数字大2。

练习题二：数数跳数按照规定的步长，在数轴上找出对应的数字。

从0开始，每次跳2个单位，第四次跳到的位置是____。

解答：8。

0+2+2+2=8。

练习题三：数数跳数按照规定的步长，从指定的数字开始，找出第几次跳到了目标数字。

从2开始，每次跳3个单位，跳到了11，是第几次跳？解答：3。

2+3+3+3=11，跳了3次。

练习题四：数数找数字从1开始，每次数2个数字，找出第五个数字是多少。

解答：9。

1, 3, 5, 7, 9。

练习题五：数数找数字从6开始，每次数5个数字，找出第三个数字是多少。

解答：21。

6, 11, 16, 21。

练习题六：数数找数字从100开始，每次数10个数字，找出第七个数字是多少。

解答：160。

100, 110, 120, 130, 140, 150, 160。

通过以上的练习题，我们可以帮助一年级的学生巩固数数的策略。

数数是数学学习的基础，对于后续的数学知识的理解和运用起着重要的作用。

同时，通过数数练习，孩子们的观察力、逻辑思维和计算能力也能够得到提升。

希望通过这些练习题，一年级的学生们能够更加轻松地掌握数数的策略，为以后的数学学习奠定坚实的基础。

当然，在学习的过程中，不要忘记及时复习和巩固已经学过的知识，相信在老师和家长的指导下，孩子们会在数学学习中取得更好的成绩。

幼儿园数数游戏教案：扩大孩子数学视野,提高数数技能

幼儿时期是孩子学习知识的重要时期，也是孩子形成数学思维的关键时期。

因此，幼儿园数学教学在幼儿教育中扮演着重要的角色。

在数学教学中，数数是幼儿学习数学的基础。

幼儿的数数技能将会影响其未来的数学学习，因此，教师需要教授幼儿正确的数数方法，在此基础上丰富幼儿数数练习，扩大孩子数学视野，提高数数技能。

本文以幼儿园数数游戏教案为例，探讨如何激发幼儿的学习兴趣，提高幼儿的数数技能和思考能力。

一、活动目标通过此活动，幼儿将：1、掌握数数的基本方法和原则，能够正确快速地数数。

2、提高数数技能，包括反应速度、准确性和适应性。

3、培养幼儿的观察能力、逻辑思维和空间想象能力。

4、拓宽幼儿的视野，激发幼儿学习数学的兴趣和热情。

二、活动内容1、游戏名称：找数2、游戏规则：（1）在黑板上或纸上画上10个以上的点，标明每个点的编号。

（2）老师数几个点，要求幼儿找到相应的点。

（3）幼儿找到正确的点后，可以依次数出所找点的编号。

（4）整个过程要求幼儿有条不紊地找到正确的点，并保持正确的数数方法。

3、游戏互动：（1）老师引导幼儿找数时，可以适时提问，帮助幼儿理解数数方法和逻辑思维。

（2）幼儿找到正确的点后，老师可以引导幼儿数数并检查其数数是否准确。

（3）老师可以适时调整游戏难度，增加难度以提高幼儿的数数技能。

4、注意事项：（1）默数方法的培养。

老师应引导幼儿使用默数的方法，例如：先算十个、二十个，再往后算。

（2）数数方法的重视。

老师要教授幼儿正确的数数方法，例如：从左往右依次数数、不重复、不遗漏等等。

（3）游戏趣味性的提高。

老师应在游戏中融入幼儿喜欢的元素，增加游戏的趣味性，提高幼儿的学习兴趣和热情。

三、活动效果1、扩大孩子数学视野通过游戏教学，孩子们可以接触到更广泛、丰富的数学知识，从而扩大他们的数学视野。

2、提高数数技能幼儿园数数游戏教案可以有效地提高孩子们的数数技能，包括反应速度、准确性和适应性。

3、锻炼观察能力在游戏中幼儿需要仔细观察，找到每个点的编号，从而锻炼了他们的观察能力。

2022年全国中考数学几何经典模型解题策略专题最值之阿氏圆问题(解析版)

专题21 最值之阿氏圆问题一、方法突破在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆． B O“阿氏圆”的一些性质：（1）PA MA NA k PB MB NB===．应用：根据点A 、B 的位置及k 的值可确定M 、N 及圆心O ．（2）△OBP ∽△OPA ，即OB OP OP OA=，变形为2OP OA OB =⋅．应用：根据圆心及半径和A 、B 其中一点，可求A 、B 另外一点位置．（3）OP OB PA k OA OP PB===．应用：已知半径及A 、B 中的其中一点，即可知道PA ：PB 的值．α+ββαβαM NO PB A二、典例精析1．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，9AC =，4BC =，以点C 为圆心，3为半径做C ，分别交AC ，BC 于D ，E 两点，点P 是C 上一个动点，则13PA PB +的最小值为．解：在AC 上截取1CQ =，连接CP ，PQ ，BQ ，9AC =，3CP =， ∴13CP AP =， 3CP =，1CQ =， ∴13CQ CP =， ACP PCQ ∴∆∆∽，13PQ AP ∴=， ∴13PA PB PQ PB BQ +=+， ∴当B 、Q 、P 三点共线时，13PA PB +的值最小，在Rt BCQ ∆中，4BC =，1CQ =，17QB ∴= ∴13PA PB +17 172．如图，O 与y 轴、x 轴的正半轴分别相交于点M 、点N ，O 半径为3，点(0,1)A ，点(2,0)B ，点P 在弧MN 上移动，连接PA ，PB ，则3PA PB +的最小值为 85 ．解：如图，在y 轴上取点(0,9)H ，连接BH ，点(0,1)A ，点(2,0)B ，点(0,9)H ，1AO ∴=，2OB =，9OH =，1339OA OP OP OH===，AOP POH ∠=∠， AOP POH ∴∆∆∽，∴13AP OP HP OH ==， 3HP AP ∴=，3PA PB PH PB ∴+=+，∴当点P 在BH 上时，3PA PB +有最小值为HB 的长， 2248185BH OB OH ∴=+=+=，故答案为：85．3．如图，在ABC ∆中，6BC =，60BAC ∠=︒，则2AB AC +的最大值为．解：122()2AB AC AB AC +=+， ∴求2AB AC +的最大值就是求12()2AB AC +的最大值，过C 作CE AB ⊥于E ，延长EA 到P ，使得AP AE =，60BAC ∠=︒，12EA AC AP ∴==， 12AB AC AB AP ∴+=+， 3EC AE =，2PE AE =，由勾股定理得：7PC AE =，321sin 77CE AE P CP AE∴===， P ∴∠为定值，6BC =是定值，∴点P 在CBP ∆的外接圆上，AB AP BP +=，∴当BP 为直径时，AB AP +最大，即BP '，21sin sin 7BC P P BP '∴==='，解得221BP '=，221AB AP ∴+=，22()421AB AC AB AP ∴+=+=，故答案为：421．4．【新知探究】新定义：平面内两定点A ，B ，所有满足(PA k k PB=为定值）的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图，在ABC ∆中，4CB =，2AB AC =，则ABC ∆面积的最大值为．解：以A 为顶点，AC 为边，在ABC ∆外部作CAP ABC ∠=∠，AP 与BC 的延长线交于点P ，CAP ABC ∠=∠，BPA APC ∠=∠，2AB AC =，APC BPA ∴∆∆∽，12AP CP AC BP AP AB ===， 2BP AP ∴=，12CP AP =， 4BP CP BC -==，1242AP AP ∴-=，解得：83AP =，163BP ∴=，43CP =，即点P 为定点， ∴点A 的轨迹为以点P 为圆心，83为半径的圆上，如图，过点P 作BC 的垂线，交圆P 与点1A ，此时点1A 到BC 的距离最大，即ABC ∆的面积最大，11181642233ABC S BC A P ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：163． 5．如图，已知菱形ABCD 的边长为8，60B ∠=︒，圆B 的半径为4，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC -的最大值为．解：连接PB ，在BC 上取一点G ，使得2BG =，连接PG ，DG ，过点D 作DH BC ⊥交BC 的延长线于H ．4PB =，2BG =，8BC =，2PB BG BC ∴=⋅，∴PB BC BG PB=， PBG CBP ∠=∠，PBG CBP ∴∆∆∽，∴12PG PB PC BC ==， 12PG PC ∴=，四边形ABCD 是菱形，//AB CD ∴，8AB CD BC ===，60DCH ABC ∴∠=∠=︒，在Rt CDH ∆中，cos604CH CD =⋅︒=，sin 6043DH CD =⋅︒=， 6410GH CG CH ∴=+=+=，222210(43)237DG GH DH ∴=+=+=，12PD PC PD PG DG -=-， 12372PD PC ∴-， 12PD PC ∴-的最大值为237．三、真题演练1．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 的中点，以B 为圆心，BE 为半径作B ，点P 是B 上一动点，连接PD 、PC ，则12PD PC +的最小值为．解：如图，在BC 上取一点T ，使得1BT =，连接PB ，PT ，DT ．四边形ABCD 是正方形，90DCT ∴∠=︒，4CD =，3CT =，2222435DT CD CT ∴=++，2PB =，1BT =，4BC =，2PB BT BC ∴=⋅，∴PB BC BT PB=， PBT PBC ∠=∠，PBT CBP ∴∆∆∽，∴12PT PB PC CB ==， 12PT PC ∴=， 152PD PC PD PT DT +=+=， 12PD PC ∴+的最小值为5，故答案为：5．2．如图，扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，6OA =，C 是OA 的中点，D 是OB 上一点，5OD =，P 是AB 上一动点，则12PC PD +的最小值为．解：如图，延长OA 使AE OB =，连接EC ，EP ，OP ，6AO OB ==，C ，D 分别是OA ，OB 的中点，12OE ∴=，6OP =，3OC AC ==，∴12OP OC OE OP ==，且COP EOP ∠=∠ OPE OCP ∴∆∆∽ ∴12PC OP PE OE ==， 2EP PC ∴=，111(2)()222PC PD PC PD PD PE ∴+=+=+， ∴当点E ，点P ，点D 三点共线时，12PC PD +的值最小， 222251213DE OD OE =+=+=，13PD PE DE ∴+=，PD PE ∴+的最小值为13，12PC PD ∴+的值最小值为132．故答案为：132．3．如图所示的平面直角坐标系中，(0,4)A，(4,0)B，P是第一象限内一动点，2OP=，连接AP、BP，则12BP AP+的最小值是．解：如图，取点(0,1)T，连接PT，BT．(0,1)T，(0,4)A，(4,0)B，1OT∴=，4OA=，4OB=，2OP =，2OP OT OA ∴=⋅， ∴OP OA OT OP =， POT AOP ∠=∠， POT AOP ∴∆∆∽，∴12PT OP PA OA ==， 12PT PA ∴=， 12PB PA PB PT ∴+=+， 221417BT =+=，17PB PT∴+， 1172BP AP ∴+12BP PB ∴+的最小值为17．故答案为：17．4．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A 、B ，则所有符合(0PA k k PB=>且1)k ≠的点P 会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x 轴，y 轴上分别有点(,0)C m ，(0,)D n ，点P 是平面内一动点，且OP r =，设OP k OD=，求PC kPD +的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==；第二步：证明kPD PM =；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）:解：在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==，又POD MOP ∠=∠，POM DOP ∴∆∆∽．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，D 为ABC ∆内一动点，满足2CD =，利用（1）中的结论，请直接写出23AD BD +的最小值．解（1）在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==，又POD MOP ∠=∠， POM DOP ∴∆∆∽．:MP PD k ∴=， MP kPD ∴=，PC kPD PC MP ∴+=+，当PC kPD +取最小值时，PC MP +有最小值，即C ，P ，M 三点共线时有最小值，利用勾股定理得2222222()CM OC OM m kr m k r =+=+=+．（2）4AC m ==，23CD BC =，在CB 上取一点M ，使得2433CM CD ==，∴23AD BD +2244104()3+． 5．如图，在ABC ∆ 与DEF ∆中，90ACB EDF ∠=∠=︒，BC AC =，ED FD =，点D 在AB 上．（1）如图1，若点F 在AC 的延长线上，连接AE ，探究线段AF 、AE 、AD 之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若点D 与点A 重合，且32AC =，4DE =，将DEF ∆绕点D 旋转，连接BF ，点G 为BF 的中点，连接CG ，在旋转的过程中，求32CG BG +的最小值；（3）如图3，若点D 为AB 的中点，连接BF 、CE 交于点M ，CE 交AB 于点N ，且::7:9:10BC DE ME =，请直接写出NDCN的值．解：（1）线段AF 、AE 、AD 之间的数量关系：2AE AD AF +=，证明如下：过F 作FH AB ⊥于H ，过E 作EG AB ⊥于G ，如图：FH AB ⊥，EG AB ⊥，90EDF ∠=︒，90FHD DGE ∴∠=∠=︒，90FDH EDG DEG ∠=︒-∠=∠，且DF DE =，()FHD DGE AAS ∴∆≅∆， FH DG AD AG ∴==+，90ACB EDF ∠=∠=︒，BC AC =，ED FD =，45FAB FED ∴∠=∠=︒，∴点F 、D 、A 、E 四点共圆，90FAE FDE ∴∠=∠=︒，45EAG DFE ∠=∠=︒，FH AB ⊥，EG AB ⊥，45BAC ∠=︒， FAH ∴∆和EAG ∆为等腰直角三角形，2AF FH ∴=，2AE AG =，2()222AF AD AG AD AG AD AE ∴=+=+=+；（2）取AB 的中点O ，连接OG ，在OB 上取43OH =，连接GH ，如图：G 为BF 的中点，O 为AB 中点，OG ∴是ABF ∆的中位线，1112222OG AF DF DE ∴====， 32AC =，26AB ∴==，132OB AB ==， ∴23OG OB =，而42323OH OG ==， ∴OG OHOB OG=，又HOG GOB ∠=∠， HOG GOB ∴∆∆∽，∴23HG OG BG OB ==， 23HG BG ∴=， ∴3323()()2232CG BG CG BG CG HG +=+=+，要使32CG BG +的最小，需CG HG +最小，∴当H 、G 、C 三点共线时，32CG BG +的最小，32CG BG +的最小值是32CH ，如图：132OC AB ==，43OH =，22973CH OH OC ∴=+=， ∴32CG BG +的最小值是3397972232CH =⨯=．（3）过点C 作BF 平行线，点F 作BC 平行线交于点G ；过点G 作GH BF ⊥于点H ，过点K 作KI FG ⊥；如图：90BDC FDE ∠=∠=︒，BDC CDF FDE CDF ∴∠+∠=∠+∠，即BDF CDE ∠=∠，且CD BD =，DE DF =， ()BDF CDE SAS ∴∆≅∆， BF CE ∴=，DEC DFB ∠=∠，90DEC DPE ∠+∠=︒，DPE MPF ∠=∠， 90DFB MPF ∴∠+∠=︒， 90FME ∴∠=︒由::7:9:10BC DE ME =，设7BC t =，则9DE t =，10ME t =； 292EF DE t ∴=，//CG BF ，//FG BC ，∴四边形BFGC 为平行四边形，CE BF CG ∴==，90ECG FME ∠=∠=︒， ECG ∴∆为等腰直角三角形，45CGE GKH ∴∠=︒=∠， GKH ∴∆为等腰直角三角形，∴2GE CE2FG BC CD CD ==，2EFDE = ∴GE FG EFCE CD DE==， CDE GFE ∴∆∆∽， DCE FGE ∴∠=∠，∴sin sin NDDCE FGE CN=∠=∠； Rt MFE ∆中，2262MF EF ME t =-，1062FK MK MF ME MF t t ∴=-=-=，7FG BC t ==，设GFH α∠=，KGI NCD β∠=∠=，∴sin ,sin GH KI DNFG KG CNαβ===， Rt FKI ∆中，sin KIFKα=， ∴sin GHKI FK FK FGα=⋅=⋅， 2KG GH =，22KI FK FG∴==106252312sin 227KI t t FG KG FG tβ--∴===⋅， ∴5231ND CN -=6．在ABC ∆中，90CAB ∠=︒，AC AB =．若点D 为AC 上一点，连接BD ，将BD 绕点B 顺时针旋转90︒得到BE ，连接CE ，交AB 于点F ．（1）如图1，若75ABE ∠=︒，4BD =，求AC 的长；（2）如图2，点G 为BC 的中点，连接FG 交BD 于点H ．若30ABD ∠=︒，猜想线段DC 与线段HG 的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，若4AB =，D 为AC 的中点，将ABD ∆绕点B 旋转得△A BD ''，连接A C '、A D '，当22A D A C '+'最小时，求A BCS '．解：（1）过D 作DG BC ⊥，垂足是G ，如图1:将BD 绕点B 顺时针旋转90︒得到BE ， 90EBD ∴∠=︒， 75ABE ∠=︒， 15ABD ∴∠=︒， 45ABC ∠=︒， 30DBC ∴∠=︒，∴在直角BDG ∆中有122DG BD ==，323BG DG == 45ACB ∠=︒，∴在直角DCG ∆中，2CG DG ==，223BC BG CG ∴=+=+2262AC BC ∴== （2）线段DC 与线段HG 的数量关系为：3HG =，证明：延长CA ，过E 作EN 垂直于CA 的延长线，垂足是N ，连接BN ，ED ，过G 作GM AB ⊥于M ，如图：90END ∴∠=︒，由旋转可知90EBD ∠=︒， 45EDB ∴∠=︒90END EBD ∴∠=∠=︒，E ∴，B ，D ，N 四点共圆，45BNE EDB ∴∠=∠=︒，180NEB BDN ∠+∠=︒ 180BDC BDN ∠+∠=︒，45BCD ∠=︒， BEN BDC ∴∠=∠，45BNE BCD ∴∠=︒=∠，在BEN ∆和BDC ∆中， BNE BCD BEN BDC BE BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BEN BDC AAS ∴∆≅∆， BN BC ∴=， 90BAC ∠=︒，在等腰BNC ∆中，由三线合一可知BA 是CN 的中线， 90BAC END ∠=∠=︒， //EN AB ∴，A 是CN 的中点， F ∴是EC 的中点，G 是BC 的中点，FG ∴是BEC ∆的中位线，//FG BE ∴，12FG BE =， BE BD ⊥，FG BD ∴⊥， 30ABD ∠=︒， 60BFG ∴∠=︒，45ABC ∠=︒， 75BGF ∴∠=︒，设AC a =，则AB a =，在Rt ABD ∆中，3AD =，23BD BE =， 12FG BE ∴=， 3FG ∴=， GM AB ⊥，BGM ∴∆是等腰三角形，2212112222222MG MB BG BC a ∴===⨯==，在Rt MFG ∆中，60MFG ∠=︒，∴3MF MG =，3MF ∴=， 33BF BM MF +∴=+=，在Rt BFH ∆中，60BFG ∠=︒， 1332FH BF +∴==， 3331(31)4HG FG FH a +∴=-==，又33(31)CD a a =， ∴3CD HG =， 3HG ∴=；（3）设AB a =，则2BC a ，取BC 的中点N ，连接A D '，A C '，A N '，连接DN ，如图3，由旋转可知A B AB a'==，222A B aBNa'==，22BC aA B a=='，∴2A B BCBN A B'=='，又A BN CBA''∠=∠，∴△A BN CBA'∆'∽，∴22A N A BA C BC''=='，22A N A C''∴=，根据旋转和两点之间线段最短可知，22A D A C''+最小，即是A D A N''+最小，此时D、A'、N共线，即A'在线段DN上，设此时A'落在A''处，过A''作A F AB''⊥于F，连接AA''，如图4，D，N分别是AC，BC的中点，DN∴是ABC∆的中位线，//DN AB∴，AB AC⊥，DN AC∴⊥，90A A FA A DA''''∠=∠=∠=︒，∴四边形A FAD ''是矩形，AF A D ''∴=，2A F AD ''==，又4A B AB ''==，设AF x =，在直角三角形A FB ''中，222A B A F BF ''''=+，22242(4)x ∴=+-，解得423x =-∴此时11111144424(423)434222222A BCABC AA BA ACSS SSAB AC AB A F AC A D ''''''∆''''=--=⋅-⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-=．。

“数数策略”专项训练

“数数策略”专项训练一、“之间”问题（不包括两端）1. 小丽排第10，小宇排第15，小丽和小宇之间有（）人。

2.东东排第12，玲玲排第19，东东和玲玲之间有（）人。

3. 10和14之间有（）个数。

4.一些动物来排队，刺猬排第8，小猴排第4，刺猬和小猴之间有（）只小动物。

5、小美排第19，乐乐排第11，小美和乐乐之间有（）人。

二、“从…到…”问题（包括两端）1. 明明读书，今天从第 10页读到第14页，明天该读第15页了，他今天读了（）页。

2. 红红在看一本动漫书，今天她13页从第页看到了第 19页。

红红今天看了（）页书。

3. 小红昨天从第 11篇作文开始看，今天从第16篇开始看。

小红昨天一共看了（）篇作文。

4. 数学老师今天布置的家庭作业是从第10页做到第16页，今天的数学作业有（）页。

5. 小明读一本书，他从第9页读到第15页，一共读了（）页。

三、推迟问题1、11月5日星期一开运动会，但是有雨，运动会推迟 3天再开，推迟后，运动会是星期（）开。

2、小明周二值日，生病没来，推迟3天，他应该周（）值日。

3、今天星期日，再过三天就是元元生日了，元元生日是星期（）。

4、12月20日周三开运动会，由于下雨，推迟4天，推迟后，运动会是周（）开。

四、总人数问题（+1 问题）1、小明早上排队等车，他的前面有14 人，后面有3人。

一共有（）个人在排队。

2、小丽排队买票，她前面站了9人，后面站了3人，排队买票的一共有（）人。

3、早上做操时，明明前面站着4人，后面站了10人，一共有（）人。

4、小朋友做游戏，小宁左边有7人，右边有8人，一共有（）人。

5、学校路队放学，小智前面有1人，后面有9人，小智这队一共有（）人。

一年级上册数学教案-解决问题(数数策略) 人教版

一年级上册数学教案-解决问题（数数策略）——人教版一、教学目标1. 让学生通过观察、操作、思考等活动，理解数数策略的含义，能够运用数数策略解决实际问题。

2. 培养学生的观察能力、动手操作能力和逻辑思维能力。

3. 培养学生积极参与、主动探究的学习态度，体验数学学习的乐趣。

二、教学内容1. 数数策略的含义和运用2. 解决实际问题时，如何运用数数策略三、教学重点与难点1. 教学重点：理解数数策略的含义，能够运用数数策略解决实际问题。

2. 教学难点：在实际问题中灵活运用数数策略。

四、教学过程1. 导入新课通过创设情境，引导学生发现生活中的数学问题，激发学生的学习兴趣。

2. 探究新知（1）引导学生观察教材中的图片，发现数学问题。

（2）组织学生进行小组讨论，探讨如何解决这些问题。

（3）引导学生总结出数数策略的含义和运用方法。

3. 实践应用（1）教师出示实际问题，引导学生运用数数策略解决问题。

（2）学生独立完成课后练习，巩固所学知识。

4. 总结延伸组织学生进行课堂小结，回顾本节课所学内容，并进行拓展延伸。

五、课后作业1. 完成课后练习题。

2. 观察生活中的数学问题，尝试运用数数策略解决。

六、板书设计1. 数数策略的含义和运用2. 解决实际问题时，如何运用数数策略七、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学质量。

注：本教案仅供参考，实际教学过程中，教师可根据学生的实际情况进行调整。

重点关注的细节是“探究新知”部分，特别是引导学生总结出数数策略的含义和运用方法。

这个环节是本节课的核心，它关系到学生是否能够真正理解和掌握数数策略，并能够在实际问题中灵活运用。

在探究新知环节，教师应该采取以下步骤来详细补充和说明数数策略：1. 情境创设：教师应该选择与学生生活密切相关的情境，如教室内的物品、学生的玩具等，让学生在实际的情境中感受数学问题的存在。

例如，教师可以提出问题：“同学们，我们教室里有多少张桌子？多少把椅子？”通过这样的问题，引导学生意识到数数策略在生活中的应用。

小升初数学专题训练—“小升初计算专题之估算策略(全国通用)

小升初计算专题(九)估算策略（讲义）例1求34个偶数的平均值是15.9（保留一位小数），如果保留两位小数，得数最少是多少？例2李老师让小丽求7个自然数的平均数（得数保留两位小数），小丽求得的结果是40.24。

老师说最后一位是错的，其余各位数字是对的，请问正确的答案是多少？例3A=8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998，A的整数部分是多少。

例4求11111 2000200120022009+++⋅⋅⋅+的整数部分。

例5例6 有一列数，第一个数是105，第二个数是85，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么第19个数的整数部分是几？例7 已知3a 和7b 都是真分数，且3a ＋7b ≈1.38，则a _____,b _____==。

六年级数学计算专题(九)估算策略练习试卷简介全卷共5题，全部为选择题，共100分。

整套试卷立足基础，又有一定思考性。

虽然只是30分钟的小测试，考察了学生对于估算策略的应用与掌握学习建议数学是人类认识自然的一种手段，这手段的困难与复杂程度，没有经历的人往往毫无概念。

奥数主要侧重于发展学生思维能力。

建议学生将课本知识扎实掌握，比如分数、百分数的应用等，需要加强对应用题解题思维的严密性，提高对常识问题的理解和应用，理论联系实际，让自己的知识更加丰富。

一、单选题(共5道，每道20分)1.已知S=求S 的整数部分（）A.165B.166C.198D.1992.求化简后整数部分是（）？A.0B.1C.2D.103.的整数部分是（）A.53B.54C.165D.1664.某同学计算13个自然数的平均数，保留一位小数是26.9．那么如果他想保留三位小数，则结果应该是（）A.26.856B.26.923C.26.910D.26.865.用四舍五入法求出的，已知均为自然数，求A.3B.4C.5D.6。

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一年级上“数数策略”专项训练：
画一画、列式计算两种方法，注意答语和单位
说明： 1、“之间”问题： 15-10 的时候去掉了前面的 10 个，但是第 15 个没有去掉，所以要再减 1；
2、“从. 到”问题： 14-10 的时候去掉了前面的 10 页，把第 10 页也去掉了，所以要加回来，加 1；
3、总人数问题：前面的 +后面的 +自己 =总人数
4、全部写两种方法，画一画和列式计算，注意答语和单位。

一、“之间”问题（不包括两端）
1.小丽排第 10，小宇排第 15，小丽和小宇之间有几人？
2.东东排第 12，玲玲排第 19，东东和玲玲中间有多少人？
3.10 和 14 之间有几个数？。

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4. 一些动物来排队，刺猬排第8，小猴排第 4，刺猬和小猴之间有几只小动物？
二、“从. 到”问题（包括两端）
1.明明读书，今天从第 10 页读到第 14 页，明天该读第 15 页了，他今天读了多少页？
2.数学老师今天布置的家庭作业是从第 10 页做到第 16 页，今天的数学作业有几页？
3.红红在看一本动漫书，今天她 13 页从第页看到了第 19 页。

问红红今天看了多少页书？
三、总人数问题（+1 问题）
1、小明早上排队等车，他的前面有 14 人，后面有 3 人。

一共有多少个人在排队？
2、早上做操时，明明前面站着 4 人，后面站了 10 人，一共有几人？。

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3、学校路队放学，小智前面有 1 人，后面有 9 人，小智这队一共有几人？
四、推迟问题
1、11 月 5 日星期一开运动会，但是有雨，运动会推迟 3 天再开，推迟后，运动会是星期（）开。

2、小明周二值日，生病没来，推迟 3 天，他应该周（）值日。