青岛版-数学-九年级上册-3.1 圆的对称性第2课时 课件
1.圆的对称性有哪几方面？ 圆绕圆心旋转
1.圆的对称性有哪几方面？ 圆绕圆心旋转
1.圆的对称性有哪几方面？ 圆绕圆心旋转
1.圆的对称性有哪几方面？ 圆绕圆心旋转
1.圆的对称性有哪几方面？ 圆绕圆心旋转
1.圆的对称性有哪几方面？ 圆绕圆心旋转
1.圆的对称性有哪几方面？ 圆绕圆心旋转
1.圆的对称性有哪几方面？ 圆绕圆心旋转
3.在⊙O中，AB 的长是 CD 的两倍,则( C )
A.AB>2CD C. AB<2CD
B. AB=2CD D.AB与2CD大小不能确定
4.如图，CD是⊙O的弦, AC BD ,OA、OB 分别交CD于E、F. 求证：△OEF是等腰三角形. O
C EMF D AN B
连接OC、OD,作OM⊥CD于点M,交⊙O于点N.
垂径定理：垂直于弦的直径平
分弦，并且平分弦对的两条弧.
数学语言： ∵ ①直线CD过圆心O
② CD⊥AB
B
∴ ③AM=BM
④AC=BC
⑤AD=BD
1.如图,已知AB、CD是⊙O中互相垂直的两条直
径,又两条弦AE、CF垂直相交于点G.
试证明：AE=CF
C GE
A
┐
.
O
B
F D
解:连接OE、OF
∵AB⊥CD,AE⊥CF∴∠POA=∠PGP=90°
A
E
B
O
D
F C
(4) 如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF
相等吗？为什么？ 解: 相等
A
E
B
∵AB=CD ，∴∠AOB=∠COD.
O
D
∵ AO=CO，BO=DO，
F
∴△AOB≌ △COD.
C
∵ OE 、OF是AB与CD对应边上的高 ∴ OE = OF.
延伸 圆心角定理整体理解：
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦相等．
A
B
C
D
Ｏ
2.如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么_A_B_=_C_D_,__A_O__B___C__O_D． （2）如果 AB=CD，那么_A_B__=_C_D_,__A_O__B___C_O_．D
（3）如果∠AOB=∠COD,那么_A_B_=_C_D_, A_B__=_C_D_．
根据垂径定理可得： CN DN ∵ AC BD, ∴AN BN
∴∠AON=∠BON
∵OM=OM,∠OME=∠OMF=90° C ∴△OEM≌△OFM
O
12
EMF D
AN B
∴OE=OF∴△OEF是等腰三角形
圆的旋转不变性 圆心角的定义 圆心角定理 圆心角定理的应用 弧的度数
复习回顾 C
.O M A D
A
证明：∵ AB AC
∴ AB=AC, △ABC等腰三角形．
O
又∠ACB=60°，
C
∴ △ABC是等边三角形，
AB=BC=CA.
B
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
2.已知⊙O中, AB BC,且 AB与AC 的度数之比为3:4,
则∠AOC= 144°.
B
A
O
C
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
圆绕圆心旋转180°后仍与原来的圆重合. 所以圆是中心对称图形. 圆心就是它的对称中心.
1.圆的对称性有哪几方面？ 圆绕圆心旋转任意角度后仍与原来的圆重合.
O 圆有旋转不变性
知识回顾 圆的对称性： 1.圆是轴对称图形
垂径定理及其推论
2.圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都
能与自身重合.（圆的旋转不变性）
B′
∠AOB=∠A′OB′,
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的 B′
A′ B
弧相等,所对的弦也相等.
OA
∵∠AOB=∠A′OB′ AB=AB，AB=A′B′
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的
圆心角_相__等__,所对的弦相__等__,所对弦的弦心距也相等；
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦相等，所对的弦心距也相等.
(1) 圆心角
(2) 弧
知 一
(3) 弦
得 三
(4) 弦心距
A
E
B
O
D
F C
三、例题 例1.如图,AB与DE是⊙O的两条直径,C是⊙O上的一点, AC//DE. 求证：（1）AD CE （2）BE=EC
证明:（1）连接OC. ∵AC//DE, ∴∠AOD=∠OAC, ∠COE=∠OCA ∵OA=OC,∴∠OAC =∠OCA∴∠AOD=∠COE ∴ AD CE (2) ∵∠AOD=∠BOE∴∠BOE=∠COE ∴BE=EC
又∵∠APO=∠CPG（对顶角相等） C
∴∠EAO=∠FCO 又∵OA=OC=OF=OE
P GE
∴△AOE≌△COF
A
┐
.
O
B
∴∠AOE=∠COF ∴AE=CF（等角对等弦）
F D
2.如图，⊙O中两条相等的弦AB、CD分别延长到E、
F，使BE= DF.求证：EF的垂直平分线必经过点O.
BE
A
.
O C
B
O
D
证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径,C ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90º
AB BC CD DA
AB=BC=CD=DA(圆心角定理)
DF
过点O分别作OM⊥AE与E,ON⊥CF与N,连接OE,OF
∵AB=CD∴弦心距OM=ON且BM=ND
∵ BE=DF ∴ BE+BM=DF+DN
A
M
O
ME=NF
C
所以△EMO≌△FNO
N
OE=OF,可证O在EF的中垂线上.
BE DF
知识延伸
如图，AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径. A
求证：AB BC CD DA AB=BC=CD=DA.
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的
圆心角_相__等__,所对的弧_相__等_,所对弦的弦心距也相等.
圆心角定理理解：
(1) 圆心角
知
(2) 弧
一 得
(3) 弦
二
圆心角相等
等对等定理
B′
B
OA
弧相等
弦相等
小试身手 1.判断下列说法是否正确： （1）相等的圆心角所对的弧相等.（ ×） （2）相等的弧所对的弦相等.（ √ ） （3）相等的弦所对的弧相等.（×）
3.1 圆的对称性第2课时
学习目标：
1.发现圆的旋转不变性. 2.了解圆心角的概念，学会辨别圆心角. 3.发现圆心角、弦、弦心距、弧之间的相等关系，并 初步学会用它们解决有关问题.
1.圆的对称性有哪几方面？
O 轴对称性
1.圆的对称性有哪几方面？ 圆绕圆心旋转
A
.
B
O
1.圆的对称性有哪几方面？ 圆绕圆心旋转
?
一、概念 圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A
O
B
∠AOB为圆心角
练习:判别下列各图中的角是不是圆心角,并说明理由.
不是，
不是，
顶点不在圆心
顶点不在圆心
①
②
不是，
顶点不在圆心
是
③
④
二、探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的
位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
A′ B
重合
例2.已知:如图,点O是 平分线上一点,⊙O分别交 两 边于点C,D和点E,F.求证：CD=EF. 证明：过点O作OK⊥CD、OK'⊥EF， 垂足分别为K,K' 因为OK=OK'（角平分线性质） CD=EF.
练习
1.如图在⊙O中，AB AC ，∠ACB=60°,
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
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2022年数学九年级上《圆的对称性2》课件(新青岛版)
求DE的长.如果SR = 1 B C 呢？
3
2 A
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，
∴SR∥BC.
S
ER
∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.
∴△ASR∽△ABC
B
D
C
(两角分别相等的两个三角形相似).
AE SR AD BC
(相似三角形对应高的比等于相似比)，
ADDE SR. AD BC
当
SR
=
1 2
桌面的直径为 1.2 米，
∴ AF = AH－FH = 2 (米)，
EF D
DF ÷2 = 0.6 (米).
∵DF∥CH，
∴△ADF ∽△ACH，
H
B
C
∴ DF AF ，即 0 .6 2 ， CH AH C H 3
2. 如果两个相似三角形的面积之比为1:9， 周长的比为_1_:3____ .
例：将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与
△DEF重叠局部的面积是△ABC的面积的一半.BC=2，
求△ABC平移的距离.
解：根据题意，可知EG∥AB.
∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A.
∴△GEC∽△ABC.
No
〔2〕如果AB=CD ，那么_A__B_=_C_D______， _∠__A__O_B__=_∠__C_O_．D
〔3〕如果∠AOB=∠COD，那么_____A__B_=_C__D__，
__A_B__=_C_D_．
A
E
B
O·
D
F C
〔4〕如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE
与OF相等吗？为什么？
请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好.〔加
九年级数学上册3.1圆的对称性课件(新版)青岛版
环节二、自主探究，合作交流
• （一）、已知：⊙O半径为2CM，弧AB沿弦AB对折刚 好经过圆心O，如图，你能得出哪些结论，请同学们探 究。并把得到的题目写在下面的空白处。（请利用你手 中的圆纸片进行观察操作）
O B A
1、折痕AB=———。 2、
智慧展评
∠AOC=______;∠OAC=________;∠ OAB=_______ 3、△AOC是——————三角形。 4、四边形OACB是————四边形。 5、S△AOC= ，S△AOB= ， S四 边形OACB= 。 6、弦AB所对的圆心角度数= ，圆周角 度数= 。 7、弧AB长为 8、弧AB度数为 ，弧AOB度数为 9、S扇形AOB= 。 10、S弓形AC= 。 11、S阴影部分= 。
A D C B
环节五、课堂检测：
• 当⊙O半径为1CM时，请同学们根据自主探 究（一）的条件，来解答下列问题：
5、S△AOC= ，S△AOB= ，S四边形 。 OACB= 6、弦AB所对的圆心角度数= ，圆周角度数 = 。 7、弧AB长为 8、弧AB度数为 ，弧AOB度数为_____ 9、S扇形AOB= 。 10、S弓形AC= 。 11、S阴影部分= 。
环节五、课堂检测：
• 当⊙O半径为1CM时，请同学们根据自主探究（一）的条 件，来解答下列问题： 1、折痕AB=________。
2、 ∠AOC=______;∠OAC=________;∠OAB=_______
3、△AOC是______________三角形。
O
4、四边形OACB是___________。
A D C
B
环节五、课堂检测：
• 当⊙O半径为1CM时，请同学们根据自主探究（一）的条 件，来解答下列问题： 1、折痕AB=________。
青岛版九年级上册数学《圆的对称性》说课教学复习课件
180
360
所对弧长是
180 2r
360
900
90
90 2r
360
360
450
45
45 2r
360
360
n0
n
n 2r
360
360
结论：
如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径 为r，那么，弧长的计算公式为：
练一练：
已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°， 求此圆弧的长度。
解：
= 50 cm
系？证明：连接OA,OB, 则OA=OB.
C
∵CD⊥AB于M
A
M└
●O
B ∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B
D
重合, ⌒ AC和B⌒C重合, ⌒ AD和B⌒D重合.
∴ A⌒C = B⌒C,
⌒AD = ⌒BD.
探究一：垂径定理的三种语言
4
1 个圆面积
2
3 个圆面积
4
圆心角是10的扇形面积是多少？
圆心角是10的扇形面积是圆面积的3160
圆心角为n0的扇形面积是多少?
圆心角是n0的扇形面积是圆面积的3n60
如果用字母
n 360
＝n
360
πr2
l
弧
＝n
180
πr
＝n
360
πr2
=
nr r 180 2
在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角 n°、半径R有关系，因此l 和
B
弧 圆心角 O
A
B
扇形
O A
扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？ （当圆半径一定时）扇形的面积随着圆心 角的增大而增大。
3.1.1圆的对称性(同步课件)-九年级数学上册教材配套教学课件同步练习(青岛版)
1、圆是轴对称图形吗？
2、如果是,它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴？
3、你是用什么方法解决上述
问题的?
圆的轴对称性：
●O
圆是轴对称图形，每一条
直径所在的直线都是它的对称轴。
垂径定理及其推论
(1) 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 你能找到多少条对称轴？ (2) 你是怎么得出结论的？ 用折叠的方法
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设 AB 37.4,CD 7.2,
37.4
AD 1 AB 1 37.4 18.7, 22
7.2
C
OD OC DC R 7.2.
A
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
1、课本70练习1,2 2、习题3.1T1
课后作业 五
Thanks!
C
A
M └
B
●O
条件 结论
命题
D
①② ③④⑤
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
①③ ②④⑤
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
①④ ②③⑤ ①⑤ ②③④
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 另一条弧.
②③ ①④⑤
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
②④ ①③⑤ ②⑤ ①③④
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 平分弦和所对的另一条弧.
③④ ①②⑤ ③⑤ ①②④
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
九年级数学上册(青岛版)课件：3.1 圆的对称性 (共16张PPT)
《高效课时通》
3.1 圆的对称性
初中数学
《高效课时通》
你知道车轮为什么设计成圆形？设计成三角 形、四边形又会怎样？从中你发现了什么？
初中数学
《高效课时通》
圆绕着圆心 旋转任何角度后, 都能与自身重合.
圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心.
初中数学
《高效课时通》
(1)在两张透明纸片上,分别作半径相等的⊙O和⊙O′. (2)在⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角
3．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
初中数学
《高效课时通》
初中数学
谢谢！
墨子，(约前468～前376)名翟，鲁人 ，一说 宋人， 战国初 期思想 家，政 治家， 教育家 ，先秦 堵子散 文代表 作家。 曾为宋 国大夫 。早年 接受儒 家教育 ，后聚 徒讲学 ，创立 与儒家 相对立 的墨家 学派。 主张•兼 爱”“ 非攻“ 尚贤” “节用 ”，反 映了小 生产者 反对兼 并战争 ，要求 改善经 济地位 和社会 地位的 愿望， 他的认 识观点 是唯物 的。但 他一方 面批判 唯心的 宿命论 ，一方 面又提 出同样 是唯心 的“天 志”说 ，认为 天有意 志，并 且相信 鬼神。 墨于的 学说在 当时影 响很大 ，与儒 家并称 为•显 学”。 《墨子》是先秦墨家著作，现存五 十三篇 ，其中 有墨子 自作的 ，有弟 子所记 的墨子 讲学辞 和语录 ，其中 也有后 期墨家 的作品 。《墨 子》是 我国论 辩性散 文的源 头，运 用譬喻 ，类比 、举例 ，推论 的论辩 方法进 行论政 ，逻辑 严密， 说理清 楚。语 言质朴 无华， 多用口 语，在 先秦堵 子散文 中占有 重要的 地位。 公输，名盘，也作•“般”或•“班 ”又称 鲁班， 山东人 ，是我 国古代 传说中 的能工 巧匠。 现在， 鲁班被 人们尊 称为建 筑业的 鼻祖， 其实这 远远不 够．鲁 班不光 在建筑 业，而 且在其 他领域 也颇有 建树。 他发明 了飞鸢 ，是人 类征服 太空的 第一人 ，他发 明了云 梯(重武 器)，钩 钜(现 在还用) 以及其 他攻城 武器， 是一位 伟大的 军事科 学家， 在机械 方面， 很早被 人称为 “机械 圣人” ，此外 还有许 多民用 、工艺 等方面 的成就 。鲁班 对人类 的贡献 可以说 是前无 古人， 后无来 者，是 我国当 之无愧 的科技 发明之 父。
3.1 圆的对称性
初中数学
《高效课时通》
你知道车轮为什么设计成圆形？设计成三角 形、四边形又会怎样？从中你发现了什么？
初中数学
《高效课时通》
圆绕着圆心 旋转任何角度后, 都能与自身重合.
圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心.
初中数学
《高效课时通》
(1)在两张透明纸片上,分别作半径相等的⊙O和⊙O′. (2)在⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角
3．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
初中数学
《高效课时通》
初中数学
谢谢！
墨子，(约前468～前376)名翟，鲁人 ，一说 宋人， 战国初 期思想 家，政 治家， 教育家 ，先秦 堵子散 文代表 作家。 曾为宋 国大夫 。早年 接受儒 家教育 ，后聚 徒讲学 ，创立 与儒家 相对立 的墨家 学派。 主张•兼 爱”“ 非攻“ 尚贤” “节用 ”，反 映了小 生产者 反对兼 并战争 ，要求 改善经 济地位 和社会 地位的 愿望， 他的认 识观点 是唯物 的。但 他一方 面批判 唯心的 宿命论 ，一方 面又提 出同样 是唯心 的“天 志”说 ，认为 天有意 志，并 且相信 鬼神。 墨于的 学说在 当时影 响很大 ，与儒 家并称 为•显 学”。 《墨子》是先秦墨家著作，现存五 十三篇 ，其中 有墨子 自作的 ，有弟 子所记 的墨子 讲学辞 和语录 ，其中 也有后 期墨家 的作品 。《墨 子》是 我国论 辩性散 文的源 头，运 用譬喻 ，类比 、举例 ，推论 的论辩 方法进 行论政 ，逻辑 严密， 说理清 楚。语 言质朴 无华， 多用口 语，在 先秦堵 子散文 中占有 重要的 地位。 公输，名盘，也作•“般”或•“班 ”又称 鲁班， 山东人 ，是我 国古代 传说中 的能工 巧匠。 现在， 鲁班被 人们尊 称为建 筑业的 鼻祖， 其实这 远远不 够．鲁 班不光 在建筑 业，而 且在其 他领域 也颇有 建树。 他发明 了飞鸢 ，是人 类征服 太空的 第一人 ，他发 明了云 梯(重武 器)，钩 钜(现 在还用) 以及其 他攻城 武器， 是一位 伟大的 军事科 学家， 在机械 方面， 很早被 人称为 “机械 圣人” ，此外 还有许 多民用 、工艺 等方面 的成就 。鲁班 对人类 的贡献 可以说 是前无 古人， 后无来 者，是 我国当 之无愧 的科技 发明之 父。
(青岛版)九年级上册课件：3.1圆的对称性(垂径定理)课件19张PPT
结论二：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的 两条弧. 题设 结论
（1）直径 （2）垂直于弦
C
｝｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
A
M└
●
B
O
如图∵ CD是直径,（直径 ） CD⊥AB, （垂直于弦） ∴AM=BM, （平分弦） ⌒ =BC, ⌒ （平分劣弧） AC
D
●
O
交流与发现二：实践出真知
• 如图，CD是⊙O的弦，AB是与CD垂直的 直径，垂足为点E。将⊙O沿直径AB折叠， 你发现线段CE与DE有什么关系？AC与AD 有什么关系？BC与BD有什么关系？为什么？ • 分别重合相等
└
交流与发现二：实践出真知
分别重合相等 •
└
∵OC=OD、OE⊥CD ∴CE=DE ∴点C、点D关于直线AB对称
挑战自我：动手画一画
• 如图,P为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦 AB,使点P恰为AB的中点吗？说明你的理由.
C A
● ●
P
B
O
利用垂径定理
当堂达标
1、下列结论正确的是（ A ）
A、经过圆心的直线是圆的对称轴 C、与圆相交的直线是圆的对称轴 圆的对称轴 2、如图，AB是⊙O的直径，AB垂直CD于点E，若CD=6，则 B、直径是圆的对称轴 D、与直径相交的直线是
⌒ AD=BD.
⌒
（平分优弧）
应用与拓展：（例题示范）
•下面请同学们阅读课本69-70 页例1、例2，通过例1、例2 的学习及时总结垂径定理应 用的技巧方法。5分钟后小组 内交流讨论。
添加辅助线
E 连接半径
A
. O
B
青岛版数学九年级上册 3.1 圆的对称性课件
(3) 这时，AB与A′B′重合吗?弦AB与A′B′重合吗?由此 你能得到什么结论?
这就是说，在同圆中，如果两 个圆心角相等，那么它们所对的 弧相等，所对的弦也相等.
这样，就得到下面的定理：
定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其 余各组量都分别相等.
3.1 圆的对称性
交流与发现 你还记得什么是圆吗? 你学过哪些有关圆的知识?
思考下面的问题，并与同学交流： (1) 在一张半透明的纸片上画一个圆，标
出它的圆心 O，再任意作出一条直径AB 将O沿直径AB折叠，你发现了什么?
(2) 再任意作一条直径，重复 (1)中的操作，还有同样 的结论吗?
由此得到
(1)已知∠AOB＝∠COD，求证： OE＝OF；
(3) 你能用文字语言把上述结论表述出来吗?
解：结论：在同圆或等圆中，如果 两个圆心角、两条弧、两条弦的弦 心距中有一组量等量，那么它们所 对应的其余各组量都分别相等。
THANKS!
AB＝CD＝8，求OP的长.
E
F E
5. ⊙O上的两点A，B将圆分成度数比为1∶3的两条弧， 且点O到AB的距离等于1. 求⊙O的半径.
拓展与延伸
证明：如图，连接 OM，AM，ON.
探索与创新
10. 如图，在⊙O中，AB与CD是两 条 弦，OE⊥AB，OF ⊥CD，垂足分 别是点E，F，OE，OF分别叫做弦 AB，CD的弦心距.
挑战自我
如图3-8，P为⊙O内一点，你能用尺规
作⊙O的一条弦AB，使点P恰为AB的中点
吗? 说明你的理由.
能
连接OP，过点P作OP的垂线AB，交⊙O于A，B两点，
则AB 就是所求作的⊙O的弦因为 OP⊥AB，根据垂径
青岛初中数学九上《3.1圆的对称性》PPT课件 (3)
因为OC⊥AB, 所以AD= BD, A⌒C=B⌒C,
由题设知 AB=37.4 CD=7.2 ,所以AD=18.7，OD=OC-CD=R-7.2，
OA2 AD2 OD2
在直角三角形ODA中，由勾股定理得，
R2 18.72 (R 7.2)2
即
解得，R≈27.9，所以赵州石拱的半径为27.9m。
问题：如图AB是⊙O的一条弦，作直径CD,
使CD⊥AB,垂足为M，将⊙O 沿直径
ＣＤ折叠，（１）线段ＡＭ与ＢＭ有什么
关系？
（２）你发现 ⌒ AC和B⌒C 有什么关系？
C
⌒AD和B⌒D 有什么关系？
A M└
B
●O
辅助线：作圆 的两条半径
D
理由是，如图 :
(1)连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM，
直径将圆分成两部分,每一部分都叫
做半圆(如弧ABC).
B
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B(用
两个字母).
A
●O
C 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 A⌒CB
(用三个字母).
4.1圆的对称性
第一课时
• 学习目标
• 1 理解圆的轴对称性. • 2 掌握垂径定理,并能用它解决实际问题. • 3 学习过程中,领悟转化思想和数形结合思
3、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对 折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这 个图形叫做轴对称图形。（这条直线叫做对称轴）
圆的相关概念
⌒
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B,读作“弧AB”.
连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
由题设知 AB=37.4 CD=7.2 ,所以AD=18.7，OD=OC-CD=R-7.2，
OA2 AD2 OD2
在直角三角形ODA中，由勾股定理得，
R2 18.72 (R 7.2)2
即
解得，R≈27.9，所以赵州石拱的半径为27.9m。
问题：如图AB是⊙O的一条弦，作直径CD,
使CD⊥AB,垂足为M，将⊙O 沿直径
ＣＤ折叠，（１）线段ＡＭ与ＢＭ有什么
关系？
（２）你发现 ⌒ AC和B⌒C 有什么关系？
C
⌒AD和B⌒D 有什么关系？
A M└
B
●O
辅助线：作圆 的两条半径
D
理由是，如图 :
(1)连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM，
直径将圆分成两部分,每一部分都叫
做半圆(如弧ABC).
B
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B(用
两个字母).
A
●O
C 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 A⌒CB
(用三个字母).
4.1圆的对称性
第一课时
• 学习目标
• 1 理解圆的轴对称性. • 2 掌握垂径定理,并能用它解决实际问题. • 3 学习过程中,领悟转化思想和数形结合思
3、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对 折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这 个图形叫做轴对称图形。（这条直线叫做对称轴）
圆的相关概念
⌒
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B,读作“弧AB”.
连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
青岛版九年级数学上册课件3.1 圆的对称性
B
E D
A
C
课堂练习
1．如图1,在⊙O中,AC＝BD,∠AOB＝50º,求
∠COD的度数.
C
A
D
B
O
A
O
B
C
图1
图2
2．如图2,在⊙O中, AB＝ AC ,∠A＝40º，求
∠ABC的度数.
3.如图,在同圆中,若AB＝2CD,则AB与2CD的大小
关系是( B )．
A
C
A．AB＞2CD C． AB＝2CD
∠AOB ,∠A′OB′，连接AB、 A′B′ .
(3)将两张纸片叠在一起,使⊙O与⊙O′重合. (4)固定圆心,将其中一个圆旋转某个角度,使得OA 与OA′重合.你发现了什么?请与同学交流.
B′
O
O
A′
AB
AB
议一议
当OA与O′A′重合时， ∵∠AOB＝∠A′O′B′， ∴OB与O′B′重合.
又∵OA＝O′A′，OB＝O′B′，
1°的圆心角 O
C 1°的弧 D
B n°的弧
A n°的圆心 角
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
典型例题
例1 如图, AB、AC、BC都是⊙O的弦,∠AOC＝ ∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？
O
A
B
C
例2 如图,在△ABC中, ∠C＝90°, ∠B＝ 28°,以C为圆心,CA为半径的圆交AB于点D,交BC与 点E．求AD、DE的度数.
∴点A与点A′重合，点B与点B′重合.
∴ AB ＝ AB 重合，AB与A′B′重合，即
AB＝ AB ，AB＝A′B′ .
B A
O
B′ A′
O′
∠AOB ＝∠ A′O ′ B ′
E D
A
C
课堂练习
1．如图1,在⊙O中,AC＝BD,∠AOB＝50º,求
∠COD的度数.
C
A
D
B
O
A
O
B
C
图1
图2
2．如图2,在⊙O中, AB＝ AC ,∠A＝40º，求
∠ABC的度数.
3.如图,在同圆中,若AB＝2CD,则AB与2CD的大小
关系是( B )．
A
C
A．AB＞2CD C． AB＝2CD
∠AOB ,∠A′OB′，连接AB、 A′B′ .
(3)将两张纸片叠在一起,使⊙O与⊙O′重合. (4)固定圆心,将其中一个圆旋转某个角度,使得OA 与OA′重合.你发现了什么?请与同学交流.
B′
O
O
A′
AB
AB
议一议
当OA与O′A′重合时， ∵∠AOB＝∠A′O′B′， ∴OB与O′B′重合.
又∵OA＝O′A′，OB＝O′B′，
1°的圆心角 O
C 1°的弧 D
B n°的弧
A n°的圆心 角
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
典型例题
例1 如图, AB、AC、BC都是⊙O的弦,∠AOC＝ ∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？
O
A
B
C
例2 如图,在△ABC中, ∠C＝90°, ∠B＝ 28°,以C为圆心,CA为半径的圆交AB于点D,交BC与 点E．求AD、DE的度数.
∴点A与点A′重合，点B与点B′重合.
∴ AB ＝ AB 重合，AB与A′B′重合，即
AB＝ AB ，AB＝A′B′ .
B A
O
B′ A′
O′
∠AOB ＝∠ A′O ′ B ′
2022年青岛版九年级上《圆的对称性2》精品课件
A⌒mB
n . 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
n 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A M└ ●O
• 你能发现图中有哪些等量关
B 系?与同伴说说你的想法和理
由.
题设
结论
D n ① CD是直径 可推得 ② CD⊥AB
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
• 如图,小明的理由是: • 连接OA,OB,则O
C
∵OA=OB，OM=OM， A M└
B
≌ ∴Rt△OAM Rt△OBM
●O
.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称. D ∵⊙O关于直径CD对称,
∴ 重合当,圆⌒ A沿C着和B⌒直C径重合CD, 对⌒ AD折和时B⌒D,点重合A与. 点B ∴A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.
3.1 圆的对称性（1）
课堂目标
• 1．经历探索圆的对称性及有关性质的过程. • 2．理解圆的对称性及有关性质. • 3．会垂径定理解决有关问题.
复习：
1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪 些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部 分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如 线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、 正方形。
复习巩固
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
2、写出 a、b、c 的值。
3、求出 b2 4ac 的值。
特别注意:若 b24ac0则方程无解
4、代入求根公式 : xb b2 4ac 2a
5、写出方程的解：
x
、
1
x
2
复习巩固 公式法解方程： （1）x2-7x-18=0