人教版七年级下册数学中考总复习多边形与平行四边形知识要点讲解与典型例题及答案解析(提高)
中考数学复习《多边形与平行四边形》
证明：∵BD垂直平分AC， ∴AB=BC，AD=DC.
在△ADB与△CDB中，
∴△ADB≌△CDB（SSS）. ∴∠BCD=∠BAD. ∵∠BCD=∠ADF，∴∠BAD=∠ADF， ∴AB∥FD. ∵BD⊥AC，AF⊥AC，∴AF∥BD. ∴四边形ABDF是平行四边形.
考题再现
1. （2015广州）下列命题中，真命题的个数有 （ B ）
（5）面积：①计算公式：S□=底×高=ah.
②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形.
4. 平行四边形的判定 （1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. （2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形. （3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形. （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形. （5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 5. 三角形中位线定理 （1）三角形的中位线：连接三角形两边的中点，所得线段叫 做该三角形的中位线. （2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且 等于第三边的一半.
中考考点精讲精练
考点1 多边形的内角和与外角和
考点精讲
【例1】（2016临沂）一个正多边形的内角和为540°，则这
个正多边形的每一个外角等于
（）
A. 108°
B. 90°
C. 72° D. 60°
思路点拨：首先设此多边形为n边形，根据题意，得180·
（n-2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，
5. （2016梅州）如图1-4-6-6，平行
四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°， E，F分别是AB，CD上的点，且BE=DF， 连接EF交BD于点O. （1）求证：BO=DO； （2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于点G，当FG=1时，求 AE的长.
中考数学第四篇图形的性质专题20多边形与平行四边形含解析
第四篇图形的性质专题20 多边形与平行四边形☞解读考点知识点名师点晴多边形多边形的内角和理解多边形的内角和，并会求一个多边形的内角和多边形的外角和掌握多边形的外角和，并能来解决相关问题平行四边形平行四边形的性质理解并掌握平行四边形的性质，并能熟练地应用平行四边形的性质来解答有关线段和角的计算平行四边形的判定理解并掌握平行四边形的判定，并会用判定方法证明一个四边形是平行四边形☞2年中考【2017年题组】一、选择题1．（2017云南省）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【答案】C．【解析】考点：多边形内角与外角．2．（2017北京市）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）A．6 B．12 C．16 D．18【答案】B．【解析】试题分析：设多边形为n边形，由题意，得：（n﹣2）•180°=150n，解得n=12，故选B．考点：多边形内角与外角．3．（2017四川省阿坝州）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C．【解析】试题分析：360°÷36°=10，所以这个正多边形是正十边形．故选C．考点：多边形内角与外角．4．（2017临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【答案】C．【解析】考点：多边形内角与外角．5．（2017湖北省宜昌市）如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④【答案】B．【解析】试题分析：∵①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，③剪开后的两个图形是三角形，它们的内角和都是180°，∴①③剪开后的两个图形的内角和相等，故选B．考点：多边形内角与外角．6．（2017上海市）已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB【答案】C．【解析】考点：1．矩形的判定；2．平行四边形的性质．7．（2017吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在第二象限，∠BAO=60°，BC交y轴于点D，DB：D C=3：1．若函数kyx（k＞0，x＞0）的图象经过点C，则k的值为（）A．33B．32C．233D．3【答案】D．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为（﹣4，0），∴BC=4，∵DB：D C=3：1，∴B（﹣3，OD），C（1，OD），∵∠BAO=60°，∴∠COD=30°，∴OD=3，∴C（1，3），∴k=3，故选D．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．平行四边形的性质．8．（2017四川省广安市）下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分其中正确的有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C．【解析】考点：1．中点四边形；2．平行四边形的性质；3．菱形的判定；4．矩形的判定与性质；5．正方形的判定． 9．（2017山东省东营市）如图，在▱ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ．若BF =8，AB =5，则AE 的长为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．12 【答案】B ． 【解析】试题分析：连结EF ，AE 与BF 交于点O ，∵四边形ABCD 是平行四边形，AB =AF ，∴四边形ABEF 是菱形，∴AE ⊥BF ，OB =12BF =4，OA =12AE ．∵AB =5，在Rt △AOB 中，AO =2516 =3，∴AE =2AO =6．故选B ．考点：1．作图—基本作图；2．平行四边形的性质．10．（2017山东省青岛市）如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC ，垂足为E ，AB =3，AC =2，BD =4，则AE 的长为（ ）A ．23 B ．23C ．721D ．7212【答案】D．【解析】考点：平行四边形的性质．11．（2017广东省广州市）如图，E，F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD 沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】C．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG=∠EGF，∵将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，∴∠GEF=∠DEF=60°，∴∠AEG=60°，∴∠EGF=60°，∴△EGF是等边三角形，∵EF=6，∴△GEF 的周长=18，故选C．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．平行四边形的性质．12．（2017广西河池市）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B．【解析】考点：1．作图—基本作图；2．平行四边形的性质．13．（2017江苏省常州市）如图，已知▱ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E 、F 、G 、H ，连接AC ．若EF =2，FG =GC =5，则AC 的长是（ ）A ．12B ．13C ．65D ．83 【答案】B ． 【解析】试题分析：如图，设AC 与DF 交于M ，AC 与EH 交于N ．∵四边形ABCD 是平行四边形，▱ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E 、F 、G 、H ，∴易证四边形EFGH 是矩形，△ABE ≌△CDG ，△AEN ≌△CGM ，∴FG =EH =CG =5，EF =GH =2，CH =7，EN =GM ，CM =AN ，∵EH =FG ，∴FM =NH ，设GM =EN =x ，则HN =FN =5﹣x ，∵GM ∥HN ，∴MG CG HN CH =，∴557x x =-，∴x =2512，在Rt △CMG 中，CM =AN 22255()12+6512，在Rt △CNH 中，CN 22357()12+9112，∴AC =AN +CN =6512+9112=13，故选B ． 考点：1．平行四边形的性质；2．压轴题．14．（2017辽宁省辽阳市）如图，在▱ABCD中，∠BAD=120°，连接BD，作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF=1，则AB的长是（）A．2 B．1 C．3D．2【答案】B．【解析】考点：平行四边形的性质．15．（2017黑龙江省绥化市）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①12AFFD；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（）A．①②③④B．①④C．②③④D．①②③【答案】D．【解析】考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．二、填空题16．（2017湖南省益阳市）如图，多边形ABCDE的每个内角都相等，则每个内角的度数为．【答案】108°．【解析】试题分析：∵五边形的内角和=（5﹣2）•180°=540°，又∵五边形的每个内角都相等，∴每个内角的度数=540°÷5=108°．故答案为：108°．考点：多边形内角与外角．17．（2017湖南省邵阳市）如图所示的正六边形ABCDEF，连结FD，则∠FDC的大小为．【答案】90°．【解析】考点：多边形内角与外角．18．（2017福建省）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于度．【答案】108．【解析】试题分析：如图，由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，∠5=∠6=180°﹣108°=72°，∠7=180°﹣72°﹣72°=36°．∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°，故答案为：108．考点：多边形内角与外角．19．（2017四川省资阳市）边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABC=________度．【答案】24°．【解析】考点：1．多边形内角与外角；2．等腰三角形的性质．20．（2017内蒙古通辽市）在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F，若AD=11，EF=5，则AB= ．【答案】8或3．【解析】试题分析：①如图1，在▱ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∴AB=BE=CF=CD．∵EF=5，∴BC=BE+CF﹣EF=2AB﹣EF=2AB﹣5=11，∴AB=8；②在▱ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∴AB=BE=CF=CD∵EF=5，∴BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11，∴AB=3；综上所述：A B的长为8或3．故答案为：8或3．考点：1．平行四边形的性质；2．分类讨论．21．（2017四川省凉山州）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点D、E分别是BC．AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F．则四边形AFBD的面积为．【答案】12．【解析】考点：1．平行四边形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质．22．（2017四川省南充市）如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=2BG，S△BPG=1，则S▱AEPH= ．【答案】4．【解析】试题分析：∵EF∥BC，GH∥AB，∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，∴S△PEB=S△BGP，同理可得S△PHD=S△DFP，S△ABD=S△CDB，∴S△ABD﹣S△PEB﹣S△PHD=S△CDB﹣S△BGP﹣S△DFP，即S四边形AEPH=S四边形PFCG．∵CG=2BG，S△BPG=1，∴S四边形AEPH=S四边形PFCG=4×1=4；故答案为：4．考点：平行四边形的性质．23．（2017四川省成都市）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为．【答案】15．【解析】考点：1．作图—基本作图；2．平行四边形的性质．24．（2017江苏省南通市）如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数kyx（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB=BD，则点D的坐标为．【答案】（8，152）．【解析】试题分析：∵反比例函数kyx=（x＞0）的图象经过点A（5，12），∴k=12×5=60，∴反比例函数的解析式为60yx=，设D（m，60m），由题可得OA的解析式为y=125x，AO∥BC，∴可设BC的解析式为y=125x+b，把D（m，60m）代入，可得125m+b=60m，∴b=60m﹣125m，∴BC的解析式为y=125x+60m﹣125m，令y=0，则x=m﹣25m，即OC=m﹣25m，∴平行四边形ABCO中，AB=m﹣25m，如图所示，过D作DE⊥AB于E，过A作AF⊥OC于F，则△DEB∽△AFO，∴DB AODE AF=，而AF=12，DE=12﹣60m，OA=22512+ =13，∴DB=13﹣65m，∵AB=DB，∴m﹣25m=13﹣65m，解得m1=5，m2=8，又∵D在A的右侧，即m＞5，∴m=8，∴D的坐标为（8，152）．故答案为：（8，152）．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．平行四边形的性质；3．方程思想；4．综合题．25．（2017怀化）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE=5cm，则AD的长是cm．【答案】10．【解析】考点：1．平行四边形的性质；2．三角形中位线定理．26．（2017甘肃省兰州市）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是．【答案】①③④．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AB⊥AD，∴四边形ABCD是正方形，①正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BD，AB⊥BD，∴平行四边形ABCD不可能是正方形，②错误；∵四边形ABCD是平行四边形，OB=OC，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，又OB⊥OC，即对角线互相垂直，∴平行四边形ABCD是正方形，③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∴平行四边形ABCD是正方形，④正确；故答案为：①③④．考点：1．正方形的判定；2．平行四边形的性质．27．（2017贵州省六盘水市）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．若CD=5，BC=8，AE=2，则AF= ．【答案】169．【解析】考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．28．（2017辽宁省锦州市）如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：A B=2：3，连接DE交BC于点F，则CF：A D= ．【答案】3：5．【解析】考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．29．（2017青海省西宁市）如图，将▱ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A=60°，AD=4，AB=6，则AE的长为．【答案】194．【解析】试题分析：过点C作CG⊥AB的延长线于点G，在▱ABCD中，∠D=∠EBC，AD=BC，∠A=∠DCB，由于▱ABCD沿EF对折，∴∠D′=∠D=∠EBC，∠D′CE=∠A=∠DCB，D′C=AD=BC，∴∠D′CF+∠FCE=∠FCE+∠ECB，∴∠D′CF=∠ECB，在△D′CF与△ECB中，∠D′=∠EBC，D′C=BC，∠D′CF=∠ECB，∴△D′CF≌△ECB（ASA）∴D′F=EB，CF=CE，∵DF=D′F，∴DF=EB，AE=CF．设AE=x，则EB=6﹣x，CF=x，∵BC=4，∠CBG=60°，∴BG=12BC=2，由勾股定理可知：C G=23，∴EG=EB+BG=6﹣x+2=8﹣x，在△CEG中，由勾股定理可知：（8﹣x）2+（23）2=x2，解得：x=AE=194．故答案为：194．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．平行四边形的性质；3．综合题．三、解答题30．（2017吉林省）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．【解析】（2）如图③所示，▱ABCD即为所求．考点：1．作图—应用与设计作图；2．等腰三角形的判定；3．等边三角形的性质；4．平行四边形的判定．31．（2017四川省乐山市）如图，延长▱ABCD的边AD到F，使DF=DC，延长CB到点E，使BE=BA，分别连结点A、E和C、F．求证：A E=CF．【答案】证明见解析．【解析】考点：平行四边形的性质．32．（2017四川省凉山州）如右图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD延长线上的点，且BE=DF，连接EF交AD．BC于点G、H．求证：FG=EH．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：由平行四边形的性质证出∠EBH=∠FDG，由ASA证△EBH≌△FDG，即可得出FG=EH．试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠A=∠C，∴∠E=∠F，∠A=∠FDG，∠EBH=∠C，∴∠EBH=∠FDG，在△EBH与△FDG中，∵∠E=∠F，BE=DF，∠EBH=∠FDG，∴△EBH≌△FDG（AAS），∴FG=EH．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．33．（2017山东省淄博市）已知：如图，E，F为▱ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：B E=DF．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：证明△AEB≌△CFD，即可得出结论．试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC，∴∠BAE=∠DCF．在△AEB和△CFD中，∵AB=CD，∠BAE=∠DCF，AE=CF，∴△AEB≌△CFD（SAS），∴BE=DF．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．34．（2017滨州）如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于12BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，AE=43，求∠C的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）60°．【解析】试题解析：（1）在△AEB和△AEF中，∵AB=AF，BE=FE，AE=AE，∴△AEB≌△AEF，∴∠EAB=∠EAF，∵AD∥BC，∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，∴BE=AB=AF．∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）如图，连结BF，交AE于G．∵菱形ABEF的周长为16，AE=43，∴AB=BE=EF=AF=4，AG=12AE=23，∠BAF=2∠BAE，AE⊥BF．在直角△ABG中，∵∠AGB=90°，∴cos∠BAG=23AGAB=3，∴∠BAG=30°，∴∠BAF=2∠BAE=60°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠BAF=60°．考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的性质；3．作图—基本作图．35．（2017江苏省盐城市）如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）∠ABE=30°．【解析】试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC、AD∥BC，∴∠ABD=∠CDB，∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，∴∠EBD=12∠ABD，∠FDB=12∠BDC，∴∠EBD=∠FDB，∴BE∥DF，又∵AD∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，∵BE平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴∠EDB=90°﹣∠ABD=30°，∴∠EDB=∠EBD=30°，∴EB=ED，又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．考点：1．矩形的性质；2．平行四边形的判定与性质；3．菱形的判定；4．探究型．36．（2017江西省）如图，已知正七边形ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（1）在图1中，画出一个以AB为边的平行四边形；（2）在图2中，画出一个以AF为边的菱形．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．【解析】（2）连接AF、DF，∠延长DC交AB的延长线于M，四边形AFDM是菱形．考点：1．作图—复杂作图；2．平行四边形的性质；3．菱形的性质．37．（2017浙江省宁波市）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE=CG，BF=DH，连接EF，FG，GH，HE．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB=45°，tan∠AEH=2，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】（2）解：在正方形ABCD中，AB=AD=1，设AE=x，则BE=x+1，在Rt△BEF中，∠BEF=45°，∴BE=BF，∵BF=DH，∴DH=BE=x+1，∴AH=AD+DH=x+2，在Rtt△AEH中，tan∠AEH=2，∴AH=2AE，∴2+x=2x，解得：x=2，∴AE=2．考点：1．矩形的性质；2．勾股定理的证明；3．平行四边形的判定与性质；4．解直角三角形．38．（2017四川省德阳市）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF与CE相交于点G．（1）证明：ΔCFG≌ΔAEG；（2）若AB＝4，求四边形AGCE的对角线GD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）83．【解析】试题解析：（1）证明：∵E、F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，AF⊥BC，∴AB=AC，AC=BC，∴AB=AC=BC，∴∠B=60°，∴∠BAF=∠BCE=30°，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴AE=CF，在△CFG≌△AEG中，∵∠CFG=∠AEG=90°，CF=AE，∠FCG=∠EAG，∴△CFG≌△AEG；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，AB =BC ，∴▱ABCD 是菱形，∴∠ADC =∠B =60°，AD =CD ，∵AD ∥BC ，CD ⊥AB ，∴AF ⊥AD ，CE ⊥CD ，∵△CFG ≌△AEG ，∴AG =CG ，∴DG 平分∠ADC ，∴∠ADG =30°，∵AD =AB =4，∴DG =cos30AD =833． 考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．39．（2017四川省攀枝花市）如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，垂足分别为E ，F ，AE ，CF 分别与BD 交于点G 和H ，且AB =25． （1）若tan ∠ABE =2，求CF 的长； （2）求证：B G =DH ．【答案】（1）4；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质，结合三角函数的定义，在Rt △CFD 中，可求得CF =2DF ，利用勾股定理可求得CF 的长；（2）利用平行四边形的性质结合条件可证得△AGD ≌△CHB ，则可求得BH =DG ，从而可证得BG =DH ． 试题解析：（1）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠CDF =∠ABE ，DC =AB =25，∵tan ∠ABE =2，∴tan ∠CDF =2，∵CF ⊥AD ，∴△CFD 是直角三角形，∴CFDF=2，设DF =x ，则CF =2x ，在Rt △CFD 中，由勾股定理可得（2x ）2+x 2=（25）2，解得x =2或x =﹣2（舍去），∴CF =4；（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，AD ∥BC ，∴∠ADB =∠CBD ，∵AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，∴AE ⊥AD ，CF ⊥BC ，∴∠GAD =∠HCB =90°，∴△AGD ≌△CHB ，∴BH =DG ，∴BG =DH ． 考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．解直角三角形．40．（2017四川省遂宁市）如图，在平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，连接AF 、CE ．求证：A F =CE ．【答案】证明见解析．【解析】考点：平行四边形的性质．41．（2017江苏省镇江市）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．（1）求证：四边形BCED是平行四边形；（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】考点：1．平行四边形的判定与性质；2．多边形与平行四边形．【2016年题组】一、选择题1．（2016北京市）内角和为540°的多边形是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】试题分析：设它是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°=540°，解得n=5．故选C．考点：多边形内角与外角．2．（2016山东省临沂市）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．108°B．90°C．72°D．60°【答案】C．【解析】考点：多边形内角与外角．3．（2016广西来宾市）如果一个正多边形的一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（）A．6 B．11 C．12 D．18【答案】C．【解析】试题分析：这个正多边形的边数：360°÷30°=12，故选C．考点：多边形内角与外角．4．（2016广西柳州市）四边形ABCD中，如果∠A+∠B+∠C=260°，则∠D的度数是（）A．120°B．110°C．100°D．40°【答案】C．【解析】试题分析：∵四边形内角和360°，∠A+∠B+∠C=260°，∴∠D=360°﹣（∠A+∠B+∠C）=360°﹣260°=100°．故选C．考点：多边形内角与外角．5．（2016湖北省十堰市）如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（）A．140米B．150米C．160米D．240米【答案】B．【解析】试题分析：∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，∴多边形的边数为360°÷24°=15，∴小明一共走了：15×10=150米．故选B．考点：多边形内角与外角．6．（2016山东省日照市）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别是PB、PC（靠近点P）的三等分点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S1、S2、S3，若AD=2，AB=23，∠A=60°，则S1+S2+S3的值为（）A．103B．92C．133D．4【答案】A．【解析】考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质；3．探究型．7．（2016山东省泰安市）如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C．【解析】考点：平行四边形的性质．8．（2016广西贵港市）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE．下列结论：①∠ACD=30°；②S▱ABCD=AC•BC；③OE：A C=3：6；④S△OCF=2S△OEF成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵CE平分∠BCD交AB于点E，∴∠DCE=∠BCE=60°∴△CBE是等边三角形，∴BE=BC=CE，∵AB=2BC，∴AE=BC=CE，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；∵AC⊥BC，∴S▱ABCD=AC•BC，故②正确，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴AC=3BC，∵AO=OC，AE=BE，∴OE=12BC，∴OE：A C=123BCBC，∴OE：A C=3：6；故③正确；∵AO=OC，AE=BE，∴OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴CF BCEF OE=12，∴S△OCF：S△OEF=CFOE=12，∴S△OCF=2S△OEF；故④正确；故选D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．9．（2016江苏省盐城市）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C．【解析】考点：1．相似三角形的判定；2．平行四边形的性质．10．（2016河北省）关于▱ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC=BD，则▱ABCD是矩形D．若AB=AD，则▱ABCD是正方形【答案】C．【解析】试题分析：∵▱ABCD中，AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项A错误；∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B错误；∵▱ABCD中，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，选项C正确；∵▱ABCD中，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项D错误；故选C．考点：平行四边形的性质．11．（2016河北省）如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°【答案】C．【解析】考点：平行四边形的性质．12．（2016浙江省宁波市）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．4S2C．4S2+S3D．3S1+4S3【答案】A．【解析】试题分析：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，则S2=12（a+c）（a﹣c）=221122a c，∴S2=S1﹣12S3，∴S3=2S1﹣2S2，∴平行四边形面积=2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S1﹣2S2=4S1．故选A．考点：平行四边形的性质．13．（2016湖北省孝感市）在▱ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，则AB的长为（）A．3 B．5 C．2或3 D．3或5【答案】D．【解析】试题分析：①如图1，在▱ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∵EF=2，∴BC=BE+CF=2AB﹣EF=8，∴AB=5；②在▱ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∵EF=2，∴BC=BE+CF=2AB+EF=8，∴AB=3；综上所述：A B的长为3或5．故选D．考点：1．平行四边形的性质；2．分类讨论．14．（2016湖南省株洲市）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）A．OE=12DC B．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE【答案】D．【解析】考点：平行四边形的性质．15．（2016福建省福州市）平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，2）【答案】A．【解析】试题分析：∵A（m，n），C（﹣m，﹣n），∴点A和点C关于原点对称，∵四边形ABCD是平行四边形，∴D 和B关于原点对称，∵B（2，﹣1），∴点D的坐标是（﹣2，1）．故选A．考点：1．平行四边形的性质；2．坐标与图形性质．16．（2016湖北省襄阳市）如图，在▱ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是（）A．AG平分∠DAB．B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH 【答案】D．【解析】考点：平行四边形的性质．17．（2016湖南省湘西州）下列说法错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形【答案】D．【解析】试题分析：A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项说法错误；故选D．考点：平行四边形的判定．18．（2016辽宁省丹东市）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】B．【解析】考点：平行四边形的性质．二、填空题19．（2016四川省资阳市）如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB= ．【答案】36°．【解析】试题分析：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠B=108°，AB=CB，∴∠ACB=（180°﹣108°）÷2=36°；故答案为：36°．考点：多边形内角与外角．20．（2016内蒙古呼和浩特市）已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐标原点，一边AB与x轴平行且AB=2，若点A的坐标为（a，b），则点D的坐标为．【答案】（﹣2﹣a，﹣b），（2﹣a，﹣b）．【解析】试题分析：当点A、B在y轴异侧时，如图1，∵AB与x轴平行且AB=2，A（a，b），∴B（a+2，b），∵对角线AC的中点在坐标原点，∴点A、C关于原点对称，∵四边形ABCD为平行四边形，∴点B、D关于原点对称，∴D（﹣a﹣2，﹣b）；当点A、B在y轴同侧时，如图2，同理可得B（a﹣2，b），则D（﹣a+2，﹣b）．故点D的坐标为（﹣a﹣2，﹣b）或（﹣a+2，﹣b）．故答案为：（﹣2﹣a，﹣b），（2﹣a，﹣b）．考点：1．平行四边形的性质；2．坐标与图形性质；3．分类讨论．21．（2016宁夏）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE=3，若平行四边形ABCD 的周长是16，则EC等于．【答案】2．【解析】考点：平行四边形的性质．22．（2016四川省巴中市）如图，▱ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是．【答案】1＜a＜7．【解析】试题分析：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=12AC=4，OD=12BD=3，在△AOD中，由三角形的三边关系得：4﹣3＜AD＜4+3．即1＜a＜7；故答案为：1＜a＜7．考点：1．平行四边形的性质；2．三角形三边关系．23．（2016山东省东营市）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是．【答案】4．【解析】考点：1．平行四边形的性质；2．垂线段最短；3．三角形中位线定理；4．最值问题．24．（2016广东省梅州市）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC=3，则S△BCF= ．【答案】4．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△DEF∽△BCF，∴EF DECF BC=，2ΔDEFΔBCF()S DES BC=，∵E是边AD的中点，∴DE=12AD=12BC，∴EF DECF BC==12，∴△DEF的面积=13S△DEC=1，∴ΔDEFΔBCF14SS=，∴S△BCF=4；故答案为：4．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．25．（2016广东省深圳市）如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于12PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为．【答案】2．【解析】考点：1．平行四边形的性质；2．等腰三角形的判定；3．作图—复杂作图；4．操作型．26．（2016江苏省常州市）如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是．【答案】1． 【解析】试题分析：延长EP 交BC 于点F ，∵∠APB =90°，∠AOE =∠BPC =60°，∴∠EPC =150°，∴∠CPF =180°﹣150°=30°，∴PF 平分∠BPC ，又∵PB =PC ，∴PF ⊥BC ，设Rt △ABP 中，AP =a ，BP =b ，则 C F =12CP =12b ，224a b +=，∵△APE 和△ABD 都是等边三角形，∴AE =AP ，AD =AB ，∠EAP =∠DAB =60°，∴∠EAD =∠PAB ，∴△EAD ≌△PAB （SAS ），∴ED =PB =CP ，同理可得：△APB ≌△DCB （SAS ），∴EP =AP =CP ，∴四边形CDEP 是平行四边形，∴四边形CDEP 的面积=EP ×CF =a ×12b =12ab ，又∵222()2a b a b ab -=+-≥0，∴2ab ≤224a b +=，∴12ab ≤1，即四边形PCDE 面积的最大值为1．故答案为：1．考点：1．平行四边形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等边三角形的性质；4．最值问题． 27．（2016江苏省无锡市）如图，已知▱OABC 的顶点A 、C 分别在直线x =1和x =4上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为 ．【答案】5． 【解析】考点：1．平行四边形的性质；2．坐标与图形性质．28．（2016江西省）如图所示，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为．【答案】50°．【解析】考点：平行四边形的性质．29．（2016河南省）如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为．【答案】110°．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAE=∠1=20°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°．故答案为：110°．考点：平行四边形的性质．30．（2016浙江省杭州市）在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（0，1），C（3，1），若线段AC与BD 互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为．【答案】（﹣5，﹣3）．【解析】考点：1．关于原点对称的点的坐标；2．平行四边形的判定与性质．31．（2016浙江省衢州市）已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x= ．【答案】4或﹣2．【解析】试题分析：根据题意画图如下：以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则C（4，1）或（﹣2，1），则x=4或﹣2；故答案为：4或﹣2．考点：1．平行四边形的判定；2．坐标与图形性质．。
中考数学复习多边形与平行四边形含解析
适用精选文件资料分享2019 年中考数学复习 -- 多边形与平行四边形（含分析）第 26 讲多边形与平行四边形 1. (2012 ，河北 ) 如图，在?ABCD中，∠A ＝70°. 将平行四边形折叠，使点 D，C分别落在点 F，E 处( 点 F，E都在 AB所在的直线上 ) ，折痕为 MN，则∠ AMF的度数为 (B) 第 1题图 A. 70 ° B. 40 ° C. 30 ° D. 20 °【分析】∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD.依据折叠的性质，可得 MN∥AE，∠ FMN＝∠DMN∴.AB∥CD∥MN.∵∠ A＝70°，∴∠ FMN＝∠ DMN＝∠ A＝70°. ∴∠ AMF＝180°－∠ DMN－∠ FMN＝180°－ 70°－ 70°＝ 40°. 2.(2012 ，河北 ) 如图①，用 4 个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．如图②，用 n 个全等的正六边形按这类方式拼接．若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则 n 的值为 6 . 第 2 题图【分析】由于正六边形的每个内角都是 120°，因此拼成的正多边形的每个内角的度数为 360°－ 120°－120°＝ 120°. 列方程，得 n－2×180°n＝120°.解得 n＝6.3.(2015 ，河北，导学号 5892921)如图，平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则∠3＋∠ 1－∠ 2＝ 24°. 第 3 题图【分析】正三角形的每个内角的度数是180°÷ 3＝60°，正方形的每个内角的度数是 360°÷ 4＝90°，正五边形的每个内角的度数是 (5 －2) ×180°÷ 5＝108°，正六边形的每个内角的度数是 (6 －2) ×180°÷ 6＝120°，则∠ 3＋∠ 1－∠2＝(90 °－ 60°) ＋(120 °－ 108°) －(108 °－ 90°) ＝24°.4.(2015 ，河北 ) 嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的．她先用尺规作出了以以下图的四边形 ABCD，并写出了以下不完好的已知和求证．已知：如图，在四边形 ABCD中，BC=AD，AB=CD ．求证：四边形 ABCD是平行四边形．第 4 题图 (1)在方框中填空，以补全已知和求证； (2) 按嘉淇的想法写出证明； (3)用文字表达所证命题的抗命题为平行四边形的对边相等．【思路分析】连接 BD，证明△ ABD≌△ CDB，利用全等三角形的性质来证明四边形 ABCD为平行四边形．主要观察了平行四边形的判判定理和抗命题的表述． (1) 解： CD 平行 (2) 证明：如答图，连接 BD. ∵AB＝CD，AD＝BC，BD＝DB，∴△ ABD≌△ CDB. ∴∠ 1＝∠ 3，∠ 2＝∠ 4.∴AB∥CD，AD∥BC. ∴四边形 ABCD是平行四边形． (3) 解：平行四边形的对边相等第 4 题答图借助多边形边与角的性质解决问题例1 (2018 ，杭州临安区模拟) 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图①所示，而后轻轻拉紧、压平就可以获得如图②所示的正五边形ABCDE，此中∠ BAC＝ 36°. 例 1 题图【分析】∵∠ ABC＝（5－2）× 180°5＝108°，△ ABC是等腰三角形，∴∠ BAC＝∠ BCA＝36°.针对训练 1 (2018 ，唐山二模 ) 以以下图的是由射线 AB，BC，CD，DE，EA构成的平面图形．若∠ 1＋∠ 2＋∠ 3＋∠ 4＝225°，ED∥AB，则∠1的度数为(B) 训练 1题图 A.55°B.45 °C.35 °D.25 °【分析】如答图．由多边形的外角和等于 360°，可知∠ 1＋∠ 2＋∠ 3＋∠4＋∠ 5＝360°. ∵∠ 1＋∠ 2＋∠ 3＋∠ 4＝225°，∴∠ 5＝135°. ∴∠ AED＝45°. ∵ED∥AB，∴∠ 1＝∠ AED＝45°. 训练 1 答图针对训练 2 (2018 ，济宁 ) 如图，在五边形 ABCDE中，∠ A＋∠ B＋∠E＝300°，DP，CP分别均分∠ EDC，∠ BCD，则∠P 的度数是 (C) 训练2 题图 A. 50° B. 55° C. 60° D. 65°【分析】∵在五边形 ABCDE 中，∠ A＋∠ B＋∠ E＝300°，∴∠ EDC＋∠ BCD＝240°. ∵DP， CP分别均分∠ EDC，∠ BCD，∴∠ PDC＋∠ PCD＝120°. ∴∠ P＝180°－( ∠PDC＋∠ PCD)＝180°－ 120°＝ 60°. 借助平行四边形的性质求边和角例 2 (2018 ，绵阳游仙区模拟 ) 如图， EF过?ABCD对角线的交点 O，交 AD于点 E，交 BC于点 F. 若?ABCD的周长为 18，OE＝2，则四边形 EFCD的周长为 (B) 例 2 题图 A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 【分析】∵四边形 ABCD是平行四边形，周长为 18，∴AB＝ CD，BC＝AD，OA＝OC，AD∥BC.∴CD＋ AD＝9，∠ OAE＝∠ OCF.在△ AEO和△ CFO中，∠OAE＝∠ OCF，OA＝OC，∠AOE＝∠ COF，∴△ AEO≌△ CFO(ASA)．∴OE＝O F＝2，AE＝CF.∴四边形 EFCD的周长为 ED＋CD＋CF＋EF＝(DE＋CF)＋CD＋EF＝AD＋CD＋EF＝9＋4＝13.针对训练 3 (2018 ，长春九台区模拟 ) 如图，在?ABCD中，∠C＝130°，BE均分∠ ABC，则∠ AEB等于 (D) 训练 3 题图 A. 55° B. 45° C. 35°D. 25 °【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC.∴∠ ABC＋∠ C＝180°，∠ AEB＝∠ CBE.∵∠ C＝130°，∴∠ ABC＝180°－∠ C＝50°. ∵BE 均分∠ ABC，∴∠ CBE＝12∠ABC＝25°. ∴∠ AEB＝∠ CBE＝25°. 平行四边形的判断和性质例 3 (2018 ，济南模拟 ) 如图，分别以 Rt△ABC的直角边 AC及斜边 AB向外作等边三角形 ACD，等边三角形 ABE.已知∠ BAC＝30°， EF⊥AB，垂足为F，连接 DF.求证： (1)AC ＝EF；(2) 四边形 ADFE是平行四边形；(3)AC⊥DF. 例 3 题图【思路分析】 (1) 第一在 Rt△ABC中，由∠ BAC＝30°可以获得 AB＝2BC.又△ ABE是等边三角形， EF⊥AB，由此获得AB＝2AF，而后即可证明 Rt△AFE≌Rt△BCA，再依据全等三角形的性质即可证明 AC＝EF.(2) 依据 (1) 知 EF＝AC，而△ ACD是等边三角形，因此 EF＝AC＝AD.易证 AD⊥AB，而 EF⊥AB，由此获得 EF∥AD，再依据平行四边形的判判定理即可证明四边形 ADFE是平行四边形． (3)先求∠ EAC＝90°，由?ADFE得 AE∥DF，可以得 AC⊥DF. 证明：(1) ∵在 Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC. ∵△ ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB＝ 2AF，AB＝AE. ∴AF＝BC. 在 Rt△BCA和 Rt△AFE 中，AB＝EA，BC＝AF，∴Rt△BCA≌Rt△AFE(HL)．∴AC＝EF. (2)∵△ ACD 是等边三角形，∴∠ DAC＝60°， AC＝AD. ∴∠ DAB＝∠DAC＋∠ BAC ＝90°. ∵EF⊥AB，∴EF∥AD. ∵AC＝ EF，∴EF＝AD. ∴四边形ADFE是平行四边形． (3) ∵四边形 ADFE是平行四边形，∴AE∥FD. ∵∠ EAC＝∠ EAF＋∠ BAC＝60°＋ 30°＝ 90°，∴AE⊥AC. ∴AC⊥DF.针对训练 4 (2018 ，东营 ) 如图，在四边形 ABCD中，E是 BC边的中点，连接 DE并延长，交 AB的延长线于点 F，AB＝BF. 增添一个条件使四边形 ABCD是平行四边形，下边四个条件中可选择的是 (D) 训练 4题图 A. AD ＝BC B. CD＝BF C. ∠A＝∠ C D. ∠F＝∠ CDF 【分析】正确选项是 D.原由：∵∠ F＝∠ CDF，∠ BEF＝∠ CED， BE＝CE，∴△ BFE≌△ CDE，CD∥AF.∴BF＝CD.∵BF＝ AB，∴ CD＝AB.∴四边形ABCD是平行四边形 .针对训练 5 (2018 ，海南 ) 如图， ?ABCD的周长为 36，对角线 AC， BD订交于点 O，E 是 CD的中点， BD＝12，则△ DOE的周长为 (A) 训练 5 题图 A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 【分析】∵?ABCD的周长为 36，∴ BC＋CD＝18. ∵OD＝OB，DE＝EC，∴OE＋DE＝12(BC ＋CD)＝9. ∵BD＝12，∴OD＝ 12BD＝6. ∴△ DOE的周长为 9＋6＝15. 一、选择题 1. (2018 ，黔西南州 ) 如图，在?ABCD中，已知 AC＝4 cm.若△ ACD的周长为 13 cm，则 ?ABCD的周长为 (D) 第 1 题图 A. 26 cm B. 24 cm C. 20 cm D. 18cm 【分析】∵AC＝4 cm，△ ADC的周长为 13 cm，∴ AD＋DC＝13－4＝9(cm) ．∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AD＝BC.∴?ABCD的周长为 2(AD＋CD)＝18 cm. 2. (2018 ，铜仁 ) 假如一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，那么这个多边形的边数是 (A) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【分析】依据题意，得 180°?(n － 2) ＝3×360°. 解得 n＝8. 3. (2018 ，贵阳模拟 ) 一个多边形的边数由本来的 3 增添到 n 时(n ＞3，且 n 为正整数 ) ，它的外角和 (D) A. 增添 (n －2) ×180° B. 减小 (n－2) ×180° C. 增添 (n －1) ×180° D. 没有改变【分析】多边形的外角和等于 360°，与边数没关． 4. (2018 ，宜宾 ) 在?ABCD中，若∠BAD与∠ CDA的角均分线交于点 E，则△ AED的形状是 (B) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 没法确立【分析】如答图．∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD.∴∠ BAD＋∠ ADC＝180°. ∵∠ EAD＝12∠BAD，∠ ADE＝12∠ADC，∴∠ EAD＋∠ ADE＝12( ∠BAD＋∠ ADC)＝90°. ∴∠ E＝90°. ∴△ ADE是直角三角形．第 4 题答图 5. (2018 ，邯郸一模 ) 已知 ?ABCD，依据图中尺规作图的印迹，判断以下结论不必定成立的是 (C) 第 5 题图 A. ∠DAE＝∠ BAEB. ∠DEA＝12∠DAB C. DE＝ BE D. BC＝DE 【分析】 A. 由作法可知 AE 均分∠ DAB，因此∠ DAE＝∠ BAE，本选项不吻合题意． B. ∵CD∥A B，∴∠ DEA＝∠BAE＝12∠DAB，本选项不吻合题意． C. 没法证明 DE＝BE，本选项吻合题意． D. 易证∠ DAE＝∠ DEA，∴ AD＝DE.∵AD＝ BC，∴BC＝ DE，本选项不吻合题意． 6. (2018 ，宁波 ) 如图，在 ?ABCD 中，对角线 AC与 BD订交于点 O，E 是边 CD的中点，连接 OE.若∠ ABC ＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为 (B) 第 6 题图 A. 50° B. 40° C. 30 ° D. 20 °【分析】∵∠ ABC＝60°，∠ BAC＝80°，∴∠ BCA ＝180°－ 60°－ 80°＝40°. ∵对角线 AC与 BD订交于点 O，E是边CD的中点，∴EO是△ DBC的中位线．∴EO∥BC.∴∠ 1＝∠ ACB＝40°.7.(2018 ，保定一模 ) 如图，在 ?ABCD中， AB＝8，BC＝5，以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交 AD，AB于点 P，Q，再分别以点P，Q为圆心，大于 12PQ的长为半径作弧，两弧在∠ DAB内交于点 M，连接 AM并延长交 CD于点 E，则 CE的长为 (A) 第 7 题图 A. 3 B. 5 C. 2 D.6.5 【分析】依据作图的方法，得 AE均分∠ DAB，∴∠ DAE＝∠EAB.∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ DC∥AB，DC＝AB＝8，AD＝BC＝5. ∴∠ DEA＝∠ EAB.∴∠ DAE＝∠ DEA.∴DE＝ AD＝5. ∴CE＝ DC－DE＝8－5＝3.8.(2018 ，安徽 ) 在?ABCD中， E，F 是对角线 BD上不一样的两点．以下条件中，不可以得出四边形 AECF必定为平行四边形的是 (B) A.BE＝DF B. AE ＝CF C. AF ∥CE D. ∠BAE＝∠ DCF 【分析】如答图，连接 AC与 BD订交于点 O.在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形 AECF为平行四边形，只要获得 OE＝OF即可． A. 若 BE＝DF，则 OB－BE＝OD－DF，即 OE＝OF，故本选项不吻合题意． B. 若 AE＝CF，则没法判断OE＝OF，故本选项吻合题意． C. AF ∥CE可以利用“ AAS”证明△AOF≌△ COE，从而获得OE＝OF，故本选项不吻合题意． D. ∠BAE＝∠ DCF可以利用“ ASA”证明△ ABE≌△ CDF，从而获得BE＝DF，然后同选项 A，故本选项不吻合题意．第8题答图9.(2018 ，承德模拟 ) 如图，在正五边形 ABCDE中， AF∥CD，交 DB的延长线于点 F，则∠ DFA等于 (B) 第 9 题图 A. 30° B. 36° C. 45°D. 32 °【分析】在正五边形ABCDE中，∠C＝15×(5 －2) ×180°＝108°. ∵正五边形 ABCDE的边 BC＝CD，∴∠ CBD＝∠ CDB.∴∠ CDB ＝12(180°－ 108°) ＝36°. ∵AF∥CD，∴∠ DFA＝∠ CDB＝36°.10.(2018 ，枣庄薛城区模拟 ) 如图，已知△ ABC的面积为 24，点 D在线段 AC上，点 F 在线段 BC的延长线上，且 BC＝4CF，四边形 DCFE是平行四边形，则图中暗影部分的面积为 (C) 第 10 题图 A. 3 B. 4 C. 6 D. 8【分析】设△ ABC中 BC边上的高为 h. ∵四边形 DCFE是平行四边形，∴DE＝ CF，DE∥CF.∵BC＝ 4CF，∴ DE＝14BC.∵S△ABC＝12BC?h＝24.∴S暗影＝ S△ADE＋S△DEB＝12DE?h＝12×14BC?h＝14×12BC?h＝ 6. 二、填空题 11. (2018 ，常州 ) 如图，在 ?ABCD中，∠A＝70°， DC＝DB，则∠ CDB＝ 40°. 第 11 题图【分析】∵四边形 ABCD是平行四边形，∴∠ A＝∠ C＝70°. ∵DC＝ DB，∴∠ C＝∠DBC ＝70°. ∴∠ CDB＝180°－ 70°－ 70°＝ 40°.12. (2018 ，临沂 ) 如图，在 ?ABCD中， AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，则BD＝ 413 . 第 12 题图【分析】∵四边形 ABCD是平行四边形，∴BC ＝AD＝6，OB＝OD，OA＝OC.∵AC⊥BC，∴ AC＝ AB2－BC2＝8. ∴OC＝ 4. ∴OB＝ OC2＋BC2＝213. ∴BD＝ 2OB＝413.13. (2018 ，赤峰) 如图，P 是?ABCD的边AD上一点，E，F 分别是PB，PC的中点．若 ?ABCD的面积为 16 cm2，则△ PEF的面积 ( 暗影部分 )是 2 cm2. 第 13 题图【分析】∵?ABCD的面积为 16 cm2，∴ S△PBC ＝12S?ABCD＝8 cm2.∵E， F 分别是 PB，PC的中点，∴ EF∥BC，且 EF ＝12BC.∴△ PEF∽△ PBC.∴S△PEFS△PBC＝ EFBC2，即 S△PEF8＝14. ∴S△PEF＝ 2 cm2.三、解答题 14. (2018 ，大庆 ) 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是 AB，AC的中点，连接 CD，过点 E 作 EF∥DC交 BC的延长线于点 F. (1) 求证：四边形 CDEF是平行四边形； (2) 若四边形 CDEF 的周长是 25 cm，AC的长为 5 cm，求线段 AB的长度．第 14 题图【思路分析】 (1) 由三角形中位线定理推知 ED∥FC，而后联合已知条件EF∥DC，利用两组对边平行获得四边形 CDEF为平行四边形． (2) 依据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半获得 AB＝2DC，再联合由三角形中位线定理获得的 2DE＝BC，即可得出四边形 CDEF的周长为 AB＋BC，故 BC＝25－AB，而后依据勾股定理即可求得 AB的长． (1) 证明：∵D，E 分别是 AB，AC的中点，∴ED∥FC. ∵EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形．(2) 解：∵四边形CDEF是平行四边形，∴DC＝ EF，DE＝CF. ∵D，E分别是 AB，AC的中点，∴BC＝2DE，DC是 Rt△ABC斜边 AB上的中线．∴AB＝2DC. ∴四边形 CDEF的周长为AB＋BC. ∵四边形 CDEF的周长为 25，∴BC＝ 25－AB. ∵在Rt△ABC 中，∠ ACB＝90°， AC＝5，∴AB2＝ BC2＋AC2，即 AB2＝(25 －AB)2＋52. 解得 AB＝13. ∴AB的长为 13 cm.15. (2018 ，青岛 ) 如图，在 ?ABCD中，对角线 AC与 BD订交于点 E，G为 AD的中点，连接 CG，CG的延长线交 BA的延长线于点 F，连接 FD.(1) 求证：AB＝AF； (2) 若 AG＝AB，∠ BCD＝120°，判断四边形 ACDF的形状，并证明你的结论．第 15 题图【思路分析】 (1) 只要证明AB＝CD，AF＝CD即可解决问题． (2) 四边形 ACDF是矩形．先得四边形 ACDF是平行四边形，再依据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可． (1) 证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠ AFC＝∠ DCG.∵GA＝ GD，∠AGF＝∠ CGD，∴△ AGF≌△DGC.∴AF ＝DC. ∴AB＝ AF. (2) 解：四边形 ACDF是矩形．证明：∵AF＝CD，AF∥CD，∴四边形 ACDF是平行四边形．∵四边形 ABCD是平行四边形，∴∠ BAD＝∠ BCD＝120°. ∴∠ FAG＝60°. ∵AG＝AB＝AF，∴△ AFG是等边三角形．∴AG＝GF. ∵△ AGF≌△ DGC，∴FG＝ CG. ∵AG＝ GD，∴AD＝CF. ∴四边形 ACDF是矩形．16.(2018 ，黄冈 ) 如图，在 ?ABCD中，分别以边 BC，CD为边作等腰三角形 BCF，等腰三角形 CDE，使 BF＝BC，DE＝CD，∠ CBF＝∠ CDE，连接 AF，AE. (1) 求证：△ ABF≌△ EDA； (2) 延长 AB与 CF交于点 G.若 AF⊥AE，求证： BF⊥BC. 第 16 题图【思路分析】 (1) 只要证明AB＝DE，FB＝AD，∠ ABF＝∠ ADE即可解决问题． (2) 只要证明 FB⊥AD 即可解决问题．证明：(1) ∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB＝ CD，AD＝BC，∠ ABC＝∠ ADC. ∵BC＝ BF，CD＝DE，∴BF＝AD，AB＝DE.∵∠ ADE＋∠ ADC＋∠ CDE＝360°，∠ ABF＋∠ ABC＋∠ CBF＝360°，∠CDE＝∠CBF，∴∠ ABF＝∠ ADE. ∴△ ABF≌△ EDA. (2) 如答图，延长 FB交 AD于点 H. ∵AE⊥AF，∴∠ EAF＝90°. ∵△ ABF≌△ EDA，∴∠EAD＝∠ AFB. ∵∠ EAD＋∠ FAH＝90°，∴∠ FAH＋∠ AFB＝90°.∴∠ AHF＝90°，即 FB⊥AD. ∵AD∥BC，∴ FB⊥BC. 第 16 题答图 1. (2018 ，眉山，导学号 5892921)如图，在 ?ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点 E，F 为DC的中点，连接 EF，BF.以下结论：①∠ ABC＝2∠ABF；②EF＝ BF；③S四边形 DEBC＝2S△EFB；④∠ CFE＝3∠DEF.此中正确的结论共有 (D) 第1题图A. 1个 B. 2个 C. 3个D. 4个【分析】如答图，延长 EF 交 BC的延长线于点 G，取 AB的中点 H，连接 FH.∵CD＝2AD，DF＝FC，∴ CF＝AD＝CB.∴∠ CFB＝∠ CBF.∵CD∥AB，∴∠ CFB＝∠ FBH.∴∠ CBF＝∠ FBH.∴∠ ABC＝2∠ABF，①正确．∵ DE∥CG，∴∠ D＝∠FCG.∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，∴△DFE≌△CFG.∴FE＝FG.∵BE⊥AD，∴∠ AEB＝90°. ∵AD∥ BC，∴∠ EBG＝∠ AEB＝90°. ∴BF＝ EF＝FG，②正确．∵ S△DFE＝S△CFG，∴S 四边形 DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，③正确．∵ AH＝ HB，DF＝CF，AB＝CD，∴ CF＝BH.∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形．∵ CF＝BC，∴四边形BCFH是菱形．∴∠ BFC＝∠ BFH.∵FE＝ FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE.∴∠ BFH＝∠ EFH＝∠ DEF.∴∠ EFC＝3∠DEF，④正确．第1题答图2. (2018 ，株洲，导学号 5892921)如图，在 ?ABCD中，连接 BD，且BD＝CD，过点 A 作 AM⊥BD于点 M，过点 D作 DN⊥AB于点 N，且 DN＝32，在 DB的延长线上取一点 P，满足∠ ABD＝∠ MAP＋∠ PAB，则 AP＝6 . 第 2 题图【分析】∵BD＝ CD，AB＝CD，∴BD＝BA.∵AM⊥BD，DN⊥AB，∴DN＝AM＝32. ∵∠ ABD＝∠ MAP＋∠ PAB，∠ABD＝∠ P＋∠BAP，∴∠ P＝∠ PAM∴△. APM是等腰直角三角形，∴ AP＝2AM＝6.3. (2018 ，重庆 A，导学号 5892921)如图，在 ?ABCD中， O是对角线AC的中点， E是 BC上一点，且 AB＝AE，连接 EO并延长交 AD于点 F.过点 B 作 AE的垂线，垂足为 H，交 AC于点 G. (1) 若 AH＝3，HE＝1，求△ ABE的面积； (2) 若∠ ACB＝45°，求证：DF＝2CG. 第 3 题图【思路分析】 (1) 利用勾股定理即可得出BH的长，从而运用公式得出△ABE的面积． (2) 过点 A 作 AM⊥BC于点 M，交 BG于点 K，过点 G作 GN⊥BC于点 N，判断△ AME≌△ BNG，可得 ME＝NG，从而得出 BE＝2GC，再判断△ AFO≌△ CEO，可得 AF＝CE，即可获得 DF＝BE＝2CG. (1)解：∵ AH＝ 3，HE＝1，∴ AB＝AE＝4.在Rt△ABH中，BH＝AB2－AH2＝7，∴S△ABE＝12AE?BH＝12×4×7＝ 27. (2) 证明：如答图，过点A作 AM⊥BC于点 M，交 BG于点 K，过点 G作 GN⊥BC于点 N，则∠ AMB ＝∠ AME＝∠ BNG＝90°.∵∠ ACB＝45°，∴∠ MAC＝∠ NGC＝45°.∵AB＝ AE，∴BM＝EM＝12BE，∠ BAM＝∠ EAM. ∵AE⊥BG，∴∠ AHK ＝90°＝∠ BMK. ∵∠ AKH＝∠ BKM，∴∠ MAE＝∠ NBG. 设∠ BAM＝∠MAE＝∠ NBG＝α，则∠ BAG＝45°＋α，∠BGA＝∠G CN＋∠ GBC＝45°＋α.∴∠ BAG＝∠ BGA.∴AB＝BG.∴AE＝BG.∴△ AME≌△ BNG(AAS)．∴ ME＝NG. ∵在等腰直角三角形 CNG中，NG＝NC，∴GC＝ 2NG＝2ME＝22BE. ∴BE＝2GC. ∵O是 AC的中点，∴OA＝OC. ∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC. ∴∠ OAF ＝∠ OCE，∠ AFO＝∠ CEO. ∴△ AFO≌△ CEO(AAS)．∴ AF＝CE. ∴AD－A F＝BC－EC，即 DF＝BE.∴DF＝ BE＝ 2CG. 第 3 题答图。
中考数学专题复习第5章四边形第15讲多边形与平行四边形(2)
中考数学专题复习第5章四边形第15讲多边形与平行四边形(2)☞归纳一、多边形1.多边形的性质：n 边形的内角和为 0(n 2)180-⋅n 边形的外角和为 360 °2.正多边形的定义及性质定义：各个角 相等 ，各条边 相等 的多边形叫做正多边形；性质：(1)每一个内角的度数为 2180n n -⋅︒（）(2)正多边形是 轴对称 图形3.平面图形的镶嵌(1)镶嵌的条件：围绕一个点拼在一起的所有角度之和为 360 °(2)常见的镶嵌图形：等边三角形，正方形，正六边形 等 ☞归纳二、平行四边形 1.概念两组对边 分别平行 的四边形叫做平行四边形 2.性质（1）平行四边形的 邻角 互补， 对角 相等 （2）平行四边形的对边 相等 （3）平行四边形的对角线互相 平分 3.判定（1）定义： 两组对边分别 分别平行 的四边形是平行四边形; （2）定理1：两组对角分别 相等 的四边形是平行四边形;（3）定理2：两组对边分别 相等 的四边形是平行四边形; （4）定理3：对角线互相 平分 的四边形是平行四边形;（5）定理4：一组对边 平行 且 相等 的四边形是平行四边形. 4.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离 ※平行线间的距离处处 相等☞【常考题型剖析】☜☺ 题型一、求多边形的边数与内角和【例1】（20__衡阳）正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数为（ ）A.10B. 11C. 12D. 13【答案】C【解析】正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角,得一个外角的度数是： 180°﹣150°=30°，360°÷30°=12．所以这个正多边形是正十二边形．【例2】（20__临沂）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A. 108°B. 90°C. 72°D. 60°【答案】C【解析】根据题意得：（n﹣2）•180°=540°，解得：n=5，所以这个正多边形的每一个外角等于：360°÷5 =72°【举一反三】1. (20__来宾) 如果一个正多边形的一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（）A. 6B. 11C. 12D. 18【答案】C【解析】因为正多边形的每个内角都相等，所以这个正多边形的边数：360°÷30°=122. (20__北京) 内角和为540°的多边形是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意得，（n﹣2）•180°=540°，解得n=5．3. (20__桂林) 正六边形的每个外角是度．【答案】60【解析】因为正多边形的外角和是360度，且每个外角都相等，所以正六边形的一个外角度数是360°÷6=60°4. (20__泉州) 十边形的外角和是度．【答案】360【解析】因为多边形的外角和等于360°，所以十边形的外角和是360°5. (20__沈阳) 若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是边形．【答案】5【解析】根据多边形的内角和公式可得（n﹣2）•180°=540°，解得n=5．6. (20__常州) 一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为．【答案】6【解析】因为多边形的外角和等于360°，所以边数是360°÷60°=6☺题型二、平行四边形的性质与判定【例3】（20__株洲）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）A. OE=DCB. OA=OCC. ∠BOE=∠OBAD. ∠OBE=∠OCE【答案】D【分析】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A、B、C正确；由OB≠OC，得出∠OBE≠∠OCE，选项D错误；即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC，又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE=DC，OE∥DC，∴OE∥AB，∴∠BOE=∠OBA，∴选项A、B、C正确；∵OB≠OC，∴∠OBE≠∠OCE，【例4】（20__邵阳）如图2所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件（写一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．【答案】AD∥BC（答案不唯一）【分析】根据平行四边形的定义或判定定理即可解答．【举一反三】7. (20__泸州) 如图3，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（）图3 图4A. 10B. 14C. 20D. 22【答案】B【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，∵AC+BD=16，∴AO+BO=8，∴△ABO的周长是：148. (20__河池) 如图4，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（）A. 150°B. 130°C. 120°D. 100°【答案】C【分析】由在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，易证得∠AEB=∠ABE，又由∠BED=150°，即可求得∠A的大小．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∵∠BED=150°，∴∠ABE=∠AEB=30°，∴∠A=180°-∠ABE-∠AEB=120°．9. (20__宁夏) 如图5, 在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE=3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于．如图5 【答案】2【分析】由平行四边形的性质和已知条件证出∠BAE=∠BEA，证出AB=BE=3；求出AB+BC=8，得出BC=5，即可得出EC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠AEB=∠DAE，∵平行四边形ABCD的周长是16，∴AB+BC=8，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3，∴BC=5，∴EC=BC-BE=5-3=2；10. (20__河南) 如图6，在□ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数是_________.如图6【答案】110°【分析】首先由在▱ABCD中，∠1=20°，求得∠BAE的度数，然后由BE⊥AB，利用三角形外角的性质，求得∠2的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAE=∠1=20°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°．10. (20__北京) 如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E．求证：DA=DE．【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，得出内错角相等∠E=∠BAE，再由角平分线证出∠E=∠DAE，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠E=∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠E=∠DAE，∴DA=DE．☞【巩固提升自我】☜1. (20__广州) 下列命题中，真命题的个数有（）①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个【答案】B【分析】分别利用平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形，进而得出即可．【解答】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，符合题意；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，说法错误，例如等腰梯形，也符合一组对边平行，另一组对边相等．2. (20__广东) 一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】D【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°，列式求解即可．【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n-2）•180°=900°，解得n=7．3. (20__广东) 如图3所示，□ABCD中，下列说法一定正确的是（）图3 图4A. AC=BDB. AC⊥BDC. AB=CDD. AB=BC【答案】C【分析】根据平行四边形的性质分别判断各选项即可．【解答】解：A、AC≠BD，故A选项错误；B、AC不垂直于BD，故B选项错误；C、AB=CD，利用平行四边形的对边相等，故C选项正确；D、AB≠BC，故D选项错误；4. (20__汕尾) 如图4所示，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC = 6，DE = 2 ，则□ABCD周长等于 .【答案】20【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC，AB=CD，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴AE+DE=AD=BC=6，∴AE+2=6，∴AE=4，∴AB=CD=4，∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20，5. (20__广东) 正五边形的外角和等于（度）.【答案】360°【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．【解答】解：任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和为360°．6. (20__茂名) 一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形是【答案】6【分析】n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【解答】解：这个正多边形的边数是n，则（n-2）•180°=720°，解得：n=6．则这个正多边形的边数是67. (20__茂名) 某同学要证明命题“平行四边形的对边相等．”是正确的，他画出了图形，并写出了如下已知和不完整的求证．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求证：AB=CD，（1）补全求证部分；（2）请你写出证明过程．证明：．【分析】（1）根据题意容易得出结论；（2）连接AC，与平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，证出∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，由ASA证明△ABC≌△CDA，得出对应边相等即可．【解答】（1）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求证：AB=CD，BC=DA；故答案为：BC=DA；（2）证明：连接AC，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，在△ABC和△CDA中，，B ACD C AA C C AB C A D A C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC≌△CDA（ASA），∴AB=CD，BC=DA；8. (20__青海) 如图，在□ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：（1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形．（1）证明：在□ABCD，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF．（2）由（1），可得∴△ADE≌△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF，∴∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，∵DE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形．。
考点17 多边形与平行四边形(精讲)-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练(解析版)
考点17.多边形与平行四边形（精讲）【命题趋势】多边形与平行四边形是历年中考考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行四边形性质和判定、与三角形中位线有关计算的可能性比较大。
中考数学中，对平行四边形的单独考察难度一般不大，一般和三角形全等（相似）、函数、解直角三角形等综合考查的可能性比较大，对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。
【知识清单】1：多边形的相关概念（☆☆）1）多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形，n边形的对角线条数为()32n n-。
4）多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）。
5）多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。
6）正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。
7）平面镶嵌（密铺）的条件：在同一顶点内的几个角的和等于360°；所有正多边形中，单独使用其中一种能够进行密铺(镶嵌)的只有正三角形、正方形、正六边形。
如果选用多种，则需要满足：(1)边长相等；(2)选用正多边形若干个内角的和恰好等于360°。
2：平行四边形的性质与判定（☆☆☆）1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2）平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.3）平行四边形的性质：（1）两组对边平行且相等；（2）对角相等、邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。
新人教版初中数学中考专题复习第19讲 多边形与平行四边形
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“□”表示.
利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法：
（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半.
（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题.
（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.
第五单元四边形
第19讲多边形与平行四边形
一、知识清单梳理
知识点一：多边形
关键点拨与对应举例
1.多边形的相关概念
（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为．
两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；
根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.
（2）外角和：任意多边形的外角和为360°.
3.正多边形
（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.
（2）正n边形的每个内角为，每一个外角为360°/n.
( 3 )正n边形有n条对称轴.
（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.
知识点二：平行四边形的性质
例：
如图，□ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为9.6.
5.平行四边形的性质
中考数学专题复习11平行四边形(解析版)
平行四边形复习考点攻略考点一 多边形的相关概念1．多边形：在平面内.由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．2. 多边形对角线： 从n 边形的一个顶点可以引(n –3)条对角线.并且这些对角线把多边形分成了(n –2)个三角形；n 边形对角线条数为()32n n -． 3．多边形的内角和：n 边形内角和公式为(n –2)·180°； 4 . 多边形的外角和：任意多边形的外角和为360°. 5．正多边形：各边相等.各角也相等的多边形叫正多边形. （1）正n 边形的每个内角为()2180n n-⋅.每一个外角为360n︒． （2）正n 边形有n 条对称轴.（3）对于正n 边形.当n 为奇数时.是轴对称图形；当n 为偶数时.既是轴对称图形.又是中心对称图形．【例1】若一个多边形的内角和为1080°.则这个多边形的边数为（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】设这个多边形的边数为n.由n 边形的内角和等于180°（n ﹣2）.即可得方程180（n ﹣2）=1080.解此方程即可求得答案：n=8．故选C【例2】一个多边形截去一个角后.形成另一个多边形的内角和为2520°.则原多边形的边数是（ ） A ．17B ．16C ．15D ．16或15或17【答案】D【解析】多边形的内角和可以表示成()2180n -⋅︒(3n ≥且n 是整数).一个多边形截去一个角后.多边形的边数可能增加了一条.也可能不变或减少了一条.根据()21802520,n -⋅︒=解得：n =16.则多边形的边数是15.16.17．故选D ．【例3】一个凸多边形共有230条对角线.则该多边形的边数是______．【答案】23【解析】解：设多边形有n 条边.由题意得：()n n 32-=230.解得：n 1=23.n 2=-20（不合题意舍去）. 故答案是：23．考点二 平行四边形的性质1．平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用表示.2．平行四边形的性质：（1）边：两组对边分别平行且相等． （2）角：对角相等.邻角互补． （3）对角线：互相平分．（4）对称性：中心对称但不是轴对称． 【例4】在ABCD 中.∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可能是（ ）A ．3∶4∶3∶4B ．5∶2∶2∶5C ．2∶3∶4∶5D ．3∶3∶4∶4【答案】A【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形.∴∠A =∠C .∠B =∠D .∴在ABCD 中.∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可能是：3∶4∶3∶4．故选A ．【例5】如图.四边形ABCD 是平行四边形.点E .B .D .F 在同一条直线上.请添加一个条件使得ABE CDF △≌△.下列不正确．．．的是（ ）A ．AE CF =B ．AEB CFD ∠=∠C ．EAB FCD ∠=∠ D ．BE DF =【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形.∴AB=CD.AB ∥CD.∴∠ABD=∠BDC. ∵∠ABE+∠ABD=∠BDC+∠CDF.∴∠ABE=∠CDF.A.若添加AE CF =.则无法证明ABE CDF △≌△.故A 错误；B.若添加AEB CFD ∠=∠.运用AAS 可以证明ABE CDF △≌△.故选项B 正确；C.若添加EAB FCD ∠=∠.运用ASA 可以证明ABE CDF △≌△.故选项C 正确；D.若添加BE DF =.运用SAS 可以证明ABE CDF △≌△.故选项D 正确．故选：A ．考点三 平行四边形的判定1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.3. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形.5. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形．【例6】如图.在ABC ∆中.D 是AC 的中点．作//BE AC .且使12BE AC =.连接DE .DE 与AB 交于点F ．（1）求证四边形BCDE 是平行四边形；【答案】见解析 【解析】（1）证明：D 是AC 的中点.12CD AC ∴=. 12BE AC =. CD BE ∴=. //BE AC .∴四边形BCDE 是平行四边形考点四 三角形的中位线1.三角形两边中点的连线叫中位线。
中考数学平行四边形知识点-+典型题含答案
中考数学平行四边形知识点-+典型题含答案一、解答题1．已知，四边形ABCD 是正方形，点E 是正方形ABCD 所在平面内一动点（不与点D 重合），AB ＝AE ，过点B 作DE 的垂线交DE 所在直线于F ，连接CF ．提出问题：当点E 运动时，线段CF 与线段DE 之间的数量关系是否发生改变？ 探究问题：（1）首先考察点E 的一个特殊位置：当点E 与点B 重合（如图①）时，点F 与点B 也重合．用等式表示线段CF 与线段DE 之间的数量关系： ；（2）然后考察点E 的一般位置，分两种情况：情况1：当点E 是正方形ABCD 内部一点（如图②）时；情况2：当点E 是正方形ABCD 外部一点（如图③）时．在情况1或情况2下，线段CF 与线段DE 之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；拓展问题：（3）连接AF ，用等式表示线段AF 、CF 、DF 三者之间的数量关系： ．2．综合与实践．问题情境：如图①，在纸片ABCD □中，5AD =，15ABCD S =，过点A 作AE BC ⊥，垂足为点E ，沿AE 剪下ABE △，将它平移至DCE '的位置，拼成四边形AEE D '． 独立思考：（1）试探究四边形AEE D '的形状．深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '．上取一点F ，使4EF =，剪下AEF ，将它平移至DE F ''的位置，拼成四边形AFF D '，试探究四边形AFF D'的形状；拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形AFF D'的两条对角线长；（4）若四边形ABCD为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．3．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，D为直线BC上一动点（不与点B，C 重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系是，BC、CF、CD三条线段之间的数量关系为；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC与CF的位置关系BC，CD，CF三条线段之间的数量关系并证明；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF的对角线AE，DF相交于点O，OC=132，DB=5，则△ABC的面积为．（直接写出答案）4．在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F（如图1和图2），然后展开铺平，连接BE，EF．（1）操作发现：①在矩形ABCD中，任意折叠所得的△BEF是一个三角形；②当折痕经过点A时，BE与AE的数量关系为．（2）深入探究：在矩形ABCD中，AB3BC＝3①当△BEF是等边三角形时，求出BF的长；②△BEF的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF的长；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC的顶点A（10，0）、C（2，4），点D是OA 的中点，点P在BC上由点B向点C运动．（1）求点B的坐标；（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值；（3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．6．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E 处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随着移动．①当点Q与点C重合时，（如图2），求菱形BFEP的边长；②如果限定P、Q分别在线段BA、BC上移动，直接写出菱形BFEP面积的变化范围．7．（问题情境）在△ABC中，AB=AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．当P在BC边上时（如图1），求证：PD+PE=CF．图① 图② 图③证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．（不要证明）（变式探究）当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由.请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF 上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；（迁移拓展）在直角坐标系中.直线l1：y=443x-+与直线l2：y=2x+4相交于点A，直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点,若点P到直线l1的距离为1.求点P的坐标.8．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E 不是边BC 的中点，F 不是边CD 的中点，且CE=DF ，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E ，F 分别在CB 的延长线和DC 的延长线上，且CE=DF ，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE 和BF ，若点M ，N ，P ，Q 分别为AE ，EF ，FD ，AD 的中点，请判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．9．如图，已知正方形ABCD 与正方形CEFG 如图放置，连接AG ，AE ．（1）求证：AG AE =（2）过点F 作FP AE ⊥于P ，交AB 、AD 于M 、N ，交AE 、AG 于P 、Q ，交BC 于H ，．求证：NH =FM10．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC CF 、为邻边作平行四边形ECFG 。
多边形与平行四边形--知识讲解及典型例题解析
多边形与平行四边形--知识讲解及典型例题解析【考纲要求】1. 多边形A：了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌平面；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系．B：会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；能用正三角形、正方形、正六边形进行简单的镶嵌设计；能依据条件分解与拼接简单图形．(2)平行四边形A：会识别平行四边形．B：掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题．C：会运用平行四边形的知识解决有关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、多边形1.多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段．2.多边形的对角线：从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n －2)个三角形．3．多边形的角：n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°.【要点诠释】（1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形.（2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.（3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.考点二、平面图形的镶嵌1．镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．2．平面图形的镶嵌(1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；(2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；(3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.【要点诠释】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.考点三、三角形中位线定理1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.考点四、平行四边形的定义、性质与判定1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．两条平行线间的距离：定义：夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离．性质：夹在两条平行线间的平行线段相等．【要点诠释】1.平行四边形的面积=底×高；2.同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．【典型例题】类型一、多边形与平面图形的镶嵌1．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A．60° B．65° C．55° D．50°【思路点拨】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．【答案】A【解析】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，∴∠P=180°﹣120°=60°．故选：A．【总结升华】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．举一反三：【变式】如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=_________.【答案】40°.2．现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是( )A．正方形和正六边形 B．正三角形和正方形C．正三角形和正六边形 D．正三角形、正方形和正六边形【思路点拨】注意各正多边形的内角度数.【答案】A.【解析】正方形和正六边形的每个内角分别为90°和120°，要镶嵌则需要满足90°m＋120°n＝360°，但是m、n没有正整数解，故选A.【总结升华】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.举一反三：【变式】现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有( )A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】B.类型二：平行四边形及其他知识的综合运用3．如图，已知在▭ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，BM⊥AC、DN⊥AC，CF⊥BD垂足分别是E、M、N、F，求证：EN∥MF．【思路点拨】连接ME，FN，由四边形ABCD为平行四边形，得到对角线互相平分，利用AAS得到三角形AOE与三角形COF全等，利用全等三角形对应边相等得到OE=OF，同理得到三角形BOM与三角形DON全等，得到OM=ON，进而确定出四边形MEFN为平行四边形，利用平行四边形的对边平行即可得证．【答案与解析】证明：连接ME，FN，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE⊥BD，CF⊥BD，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF，同理△BOM≌△DON，得到OM=ON，∴四边形EMFN为平行四边形，∴EN∥MF．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．4.如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D，使，点E、F分别为边BC、AC 的中点.（1）求证：DF=BE；（2）过点A作AG∥BC，交DF于G，求证：AG=DG.【思路点拨】（1）E、F分别为BC、AC中点，则EF为△ABC的中位线，所以EF∥AB，.而.则EF=AD.从而易证△DAF≌△EFC, 则DF=CE=BE.(2) AG与DG在同一个三角形中,只需证∠D=∠DAG即可.【答案与解析】（1）∵点E、F分别为BC、AC的中点，∴ EF是△ABC的中位线.∴ EF∥AB，.又∵，∴ EF=AD.∵ EF∥AB，∴∠EFC=∠BAC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAF=90.又∵ F是AC的中点，∴AF=CF，∴△DAF≌△EFC.∴DF=EC=BE.（2）由(1)知∵△DAF≌△EFC，∴∠D=∠FEC.又∵ EF∥AB，∴∠B=∠FEC.又∵ AG∥BC，∴∠DAG=∠B，∴∠ DAG=∠FEC∴∠D=∠DAG.∴AG=DG.【总结升华】三角形中位线定理的作用：位置关系——可以证明两条直线平行；数量关系——可以证明线段的相等或倍分.此外应注意三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形.举一反三：【变式】如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C.5．如图：六边形ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD ⊥BD．已知FD=4cm，BD=3cm．则六边形ABCDEF的面积是_________cm2．【思路点拨】连接AC交BD于G，AE交DF于H．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB和AFDC．易得AC=FD，EH=BG．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积．【答案与解析】连接AC交BD于G，AE交DF于H．∵AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，∴四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，∴AE=BD，AC=FD，∵FD⊥BD，∴∠GDH=90°，∴四边形AHDG是矩形，∴AH=DG∵EH=AE-AH，BG=BD-DG∴EH=BG．∴六边形ABCDEF的面积=平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=3×4=12cm2．故答案为：12.【总结升华】注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．6 .已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，点P在边AD上，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE=PF．（1）如图，若PE=3，EO=1，求∠EPF的度数；（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF=BC+32-4，求BC的长．【思路点拨】（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解；（2）根据三角形中位线定理可得PF∥AO，且PF=12AO，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠AOD=∠PFD=90°，再根据同位角相等，两直线平行可得PE∥OD，所以PE也是△AOD的中位线，然后证明四边形ABCD是正方形，根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解．【答案与解析】（1）如图，连接PO，∵PE⊥AC，PE=3，EO=1，∴tan∠EPO=33 EOPE=，∴∠EPO=30°，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠PFO=90°，在Rt△PEO和Rt△PFO中，PO PO PE PF=⎧⎨=⎩，∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL），∴∠FPO=∠EPO=30°，∴∠EPF=∠FPO+∠EPO=30°+30°=60°；（2）如图，∵点P是AD的中点，点F是DO的中点，∴PF∥AO，且PF=12 AO，∵PF⊥BD，∴∠PFD=90°，∴∠AOD=∠PFD=90°，又∵PE⊥AC，∴∠AEP=90°，∴∠AOD=∠AEP，∴PE∥OD，∵点P是AD的中点，∴PE是△AOD的中位线，∴PE=12 OD，∵PE=PF，∴AO=OD，且AO⊥OD，∴平行四边形ABCD是正方形，设BC=x，则BF=22x+12×22x=324x，∵BF=BC+32-4=x+32 -4，∴x+32-4=324x，解得x=4，即BC=4．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质，（2）中判定出平行四边形ABCD是正方形是解题的关键．举一反三：【变式】如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（－2，－1），且P（－1，－2）是双曲线上的一点，Q为坐标平面上的一动点，PA⊥x轴，QB⊥y轴，垂足分别为A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，是否可以使△OBQ与△OAP面积相等？（3）如图2，点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．图1 图2【答案】（1）正比例函数解析式为，反比例函数解析式为．（2）当点Q在直线MO上运动时，设点Q的坐标为，，解得.所以点Q的坐标为和．（3）因为P（，），由勾股定理得OP＝，平行四边形OPCQ周长=．因为点Q在第一象限中的双曲线上，所以可设点Q的坐标为，由勾股定理可得，通过图形分析可得：OQ有最小值2，即当Q为第一象限中的双曲线与直线的交点时，线段OQ的长度最小．所以平行四边形OPCQ周长的最小值：．。
人教版初中数学中考复习一轮复习-多边形和平行四边形(知识点+中考真题)
（1） 平行四边形的对边平行且相等． （2） 平行四边形的邻角互补，对角相．等．
推论：夹在两条平行线间的 平行线段 相等． （3） 平行四边形的对角线互相平分 ．
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点， 则： 则二等这分条此直平线行被四一边组形对的边面截积下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直．线
是 中心 对称图形．②正n边形有 n 条对称轴 ．
3.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全 覆盖 ，叫做用多边形
覆盖平面（或平面镶嵌）．平面镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内
角和为 360° 时，可以平面镶嵌．
知识点梳理——平行四边形
1.平行四边形的概念： 两组对边分别平行的四边形叫做平行．四边形
【解答】证明：∵DE=DC，∴∠DEC=∠C． ∵∠B=∠C， ∴∠B=∠DEC， ∴ AB∥BE， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形． ∴AD=BE．
14.（10分）（2021•怀化）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、 A、C、F在同一直线上，AE＝CF． 求证：（1）△ADE≌△CBF；
C ∠D＝58°，则∠AEC的大小是（ ）
A．61° B．109° C．119° D．122°
典型例题
7.（2021•恩施州）如图，在▱ABCD中，AB＝13，AD＝5，
AC⊥BC，则▱ABCD的面积为（ B ）
A．30 B．60
C．65 D．
典型例题
8.(2021·安顺、贵阳) 如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，
形的边数是
．
2.（2020•陕西12/25）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD ，则∠BDM的度数是 ．