01集合的概念与运算(1)
集合的概念与运算PPT课件
6.子集、真子集及其性质: 对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A⊆ B(或 B⊇ A); 若集合 A⊆ B,但存在元素 x∈B,且 x∉A,则 A⫋ B(或 B⫌ A);
⌀ ⊆ A;A⊆ A;A⊆ B,B⊆ C⇒ A⊆ C. 若集合 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有 2n 个,A 的非空子集有 2n-1个,A
【例 2-2】已知集合 A={x|x2-2x+a≤0},B={x|x2-3x+2≤0},且 A⫋ B,求实 数 a 的取值范围.
解:由题意可得 B={x|1≤x≤2}. 对于 A:Δ=(-2)2-4a<0,即 a>1 时,A≠⌀ ,满足 A⫋ B;
Δ=(-2)2-4a=0,即 a=1 时,A={1},满足 A⫋ B;
A.(a*b)*a=a
B.[a*(b*a)]*(a*b)=a
C.b*(b*b)=b
D.(a*b)*[b*(a*b)]=b 解析:在 B 选项中,[a*(b*a)]*(a*b)=b*(a*b)=a,故 B 正确;在 C 选项中,易知 a*(b*a)=b*(b*b)=b 成立,故 C 正确;在 D 选项中,令 a*b=c,则 c*(b*c)=b 成立, 故 D 正确.只有 A 选项不能恒成立.
5.设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a 的值为 1
.
解析:∵A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},a2+4>3, ∴a+2=3,a=1.
一、集合的概念
【例 1-1】 若集合 A={2,3,4},B={x|x=n·m,m,n∈A,m≠n},则集合 B 的元 素个数为( B ).
01-第1课时 集合(I)
(3)A＝{(x，y)｜x＋y＞0，xR，yR}，B＝{(x，y)｜x＞0，y＞0，xR，yR}．
(4)A＝{y|y＝ ，x≠0}，B＝{y|y＝ ，x≠0}．
【选题说明】正确认识周期性的点列及平面区域及函数值域的描述法表示，学习使用描述法正确书写集合．
4．已知集合P＝｛y｜y＝x2＋1，x∈R｝，Q＝｛y｜y＝x＋1，x∈R｝，那么P∩Q等于_____
______[1，＋∞）_____________．
5．已知全集U＝｛0，1，2，3，4，5｝，A＝｛x｜x2－5x＋q＝0｝，且AU，那么q的允许值构成的集合是___｛q｜q＞ ，或q＝0，或q＝4，或q＝6｝__，所有可能的∁UA分别是____｛0，1，2，3，4，5｝、｛1，2，3，4｝、｛0，2，3，5｝、｛0，1，4，5｝_______．
6．已知集合P＝{x|x(x－1)≥0}，Q＝{x| ＞0}，则P∩Q＝____{x|x＞1}______．
7．设集合A＝{x||x|＜4}，B＝{x|x2－4x＋3＞0}，则集合{x|x∈A且x A∩B}＝[1，3]．
8．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0， ，b}，则b－a＝__2___．
因为a＜1，所以a＋1＞2a，所以B＝(2a，a＋1)．
因为BA，所以2a≥1或a＋1≤－1，即a≥ 或a≤－2，而a＜1，
所以 ≤a＜1或a≤－2，故当BA时，实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[ ，1)．
第2课时集合的概念和运算（Ⅱ）
教学目标
（1）能正确利用集合表示方程、不等式（组）的解集以及平面上的点集；
解：由A＝B得：
（1），或 （2）．
01集合的概念及运算
251 16, 261 32, 271 64, 281 128,
且1 4 16 64 128 211,
i1 1, i2 2, i3 5, i4 7, i5 8.
走进高考
综上知，当A⊆B时，a<-8或a≥2.
(2)当 a=0 时，显然 B ⊆A；
当 则 又当∵ 当a则则 又则又<a－ 4aaa∵<0≤∵<>1a0－4a－0时 0a4a－－ 时4aa≤， 时<≤1a≥>1a<， 0≤1a2，－20∴ ，，2－>，若－12>2∴－ 若若12212∴， B－12BB⊆ ，<－⊆⊆∴ 12a，，<∴AA1<2a∴，，<0<∴－ － .a0－ －如如如 <.00128<<1208≤ <－－图图图 <≤aa. a≤ ≤a128a，，a<，<<≤<22<0000aa.<<0.0.
走进高考
【2】（10 湖南文 15）若规定 E={a1,a2 ,..., a10}的子集{ai1 ai2 ,..., ain }
为 E 的第 k 个子集，其中 k 2i11 2i2 1 2in 1 ，则
（1）{a1, a3} 是 E 的第_____5____个子集；
（2）E 的第 211 个子集是_{__a_1_,__a_2_,__a_5_,__a_7__,_a_8_}___．
(4)常用数集的记法
数集
自然 数集
正整数集
整数 集
有理 数集
实数 集
复数 集
记法 N N(或N ) Z Q R C
(完整版)高中数学中集合的概念与运算的解题归纳,推荐文档
§1.1 集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（若则），则称A a ∉B a ∈集合A 为集合B 的子集，记为A B 或B A ；如果A B ，并且A B ，这时集合A 称为集⊆⊇⊆≠合B 的真子集，记为A B 或B A.4.集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A B 、B A ，则A=B.⊆⊇5.补集：设A S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，⊆记为 .A C s 6.全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B.⋂8.并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作A B.⋃9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.Φ10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N +或N ，整数集记作Z ，有理*数集记作Q ，实数集记作R .二、疑难知识导析1.符号，，，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和⊆⊇⊆“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间⊇∈∉的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B =易漏掉的情况.Φ5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有n 个元素的集合的所有子集个数为：，所有真子集个数为：-1n 2n2三、经典例题导讲[例1] 已知集合M={y |y =x 2＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ）A ．（0，1），（1，2）B ．{（0，1），（1，2）}C ．{y|y=1,或y=2}D ．{y|y≥1}错解：求M∩N 及解方程组 得 或 ∴选B⎩⎨⎧+=+=112x y x y ⎩⎨⎧==10y x ⎩⎨⎧==21y x 错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是实数对(x,y )，因此M 、N 是数集而不是点集,M 、N 分别表示函数y =x 2＋1(x∈R )，y =x ＋1(x∈R )的值域，求M∩N 即求两函数值域的交集．正解：M={y |y =x 2＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }．∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, ∴应选D ．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的．[例2] 已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ．错解：由x 2－3x ＋2=0得x =1或2．当x =1时，a =2， 当x =2时，a=1．错因：上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.当a =0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．正解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或 ∴C={0，1，2}{}{}21或[例3]已知m A,n B, 且集合A=，B=，又∈∈{}Z a a x x ∈=,2|{}Z a a x x ∈+=,12|C=，则有： （ ）{}Z a a x x ∈+=,14|A ．m +n A B. m +n B C.m +n C D. m +n 不属于A ，B ，C 中任意一个∈∈∈错解：∵m A ，∴m =2a ,a ,同理n =2a +1,a Z, ∴m +n =4a +1,故选C∈Z ∈∈错因是上述解法缩小了m +n 的取值范围.正解：∵m A, ∴设m =2a 1,a 1Z , 又∵n ,∴n =2a 2+1,a 2 Z ,∈∈B ∈∈∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2 Z , ∴m +n B, 故选B.∈∈[例4］ 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若BA ，求实数p 的取值范围．错解：由x 2－3x －10≤0得－2≤x≤5．欲使B A ，只须 3351212≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-+≤-p p p ∴ p 的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设． 正解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5.由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．[例5] 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2}．若A=B ，求c 的值．分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2－2ac=0，a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c 2－2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解．（2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2－ac －a=0，∵a≠0，∴2c 2－c －1=0，即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－．21点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.[例6] 设A 是实数集，满足若a∈A，则A ，且1∉A.a -11∈1≠a ⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－∈A.a1⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ⇒ －1∈A ⇒∈A ⇒ 2∈A 21∴ A 中至少还有两个元素：－1和21⑵如果A 为单元素集合，则a ＝a -11即＝012+-a a该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集⑶a∈A ⇒ ∈A ⇒ ∈A ⇒A ，即1－∈A a -11a --1111111---a a ∈a 1⑷由⑶知a∈A 时，∈A， 1－∈A .现在证明a,1－, 三数互不相等.a-11a 1a 1a -11①若a=,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a≠a -11a-11②若a=1－，即a 2-a+1=0，方程无解∴a≠1－ a 1a1 ③若1－ =，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.a 1a -11a 1a -11综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.[例7] 设集合A={|=,∈N +}，集合B={|=,∈N +}，试证：a a 12+n n b b 542+-k k k A B ．证明：任设∈A，a 则==(＋2)2－4(＋2)＋5 (∈N +),a 12+n n n n ∵ n∈N*，∴ n ＋2∈N*∴ a∈B 故 ①显然，1，而由{}*2,1|Nn n a a A ∈+==∈B={|=,∈N +}={|=，∈N +}知1∈B，于是A≠B b b 542+-k k k b b 1)2(2+-k k ②由①、② 得A B ．点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．四、典型习题导练1．集合A={x|x 2－3x －10≤0，x∈Z}，B={x|2x 2－x －6＞0， x∈ Z}，则A∩B 的非空真子集的个数为（ ）A ．16B ．14C ．15D ．322．数集{1，2，x 2－3}中的x 不能取的数值的集合是（ ）A ．{2，-2 }B ．{－2，－ }C ．{±2，± }D ．{，－}55553. 若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={y|y=x 2＋1,x∈R}，则P∩Q 等于（ ）A ．PB ．QC ．D ．不知道4. 若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={(x ，y)|y=x 2,x∈R}，则必有（ ）A ．P∩Q=B ．P QC ．P=QD ．P Q5．若集合M ＝｛｝，N ＝{|≤}，则M N ＝（ ）11|<xx x 2x x A ． B ．}11|{<<-x x }10|{<<x x C ． D ．}01|{<<-x x ∅6.已知集合A={x|x 2＋(m ＋2)x ＋1=0,x∈R }，若A∩R ＋=，则实数m 的取值范围是_________．7.（06高考全国II 卷）设，函数若的解集为A ，a R ∈2()22.f x ax x a =--()0f x >，求实数的取值范围。
集合的基本概念与运算方法
集合的基本概念与运算方法在数学中，集合是由一组独立的元素组成的。
理解集合的基本概念和运算方法对于解决各种数学问题至关重要。
本文将介绍集合的基本概念以及常用的运算方法。
一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合通常用大写字母表示，集合内的元素用逗号分隔，并放在大括号中。
例如，集合A可以表示为：A = {1, 2, 3, 4}。
2. 元素：一个集合由若干个元素组成，元素是集合的基本单位。
例如，集合A中的元素1、2、3、4便是集合A的元素。
3. 子集：若一个集合A的所有元素都属于另一个集合B，则称集合A为集合B的子集。
用符号表示为A ⊆ B。
例如，集合A = {1, 2}是集合B = {1, 2, 3}的子集。
4. 相等集合：若两个集合A和B拥有相同的元素，则称集合A和集合B相等。
用符号表示为A = B。
二、集合的运算方法1. 并集：若A和B为两个集合，他们的并集就是包含两个集合中所有元素的集合。
用符号表示为A ∪ B。
例如，集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的并集为A ∪ B = {1, 2, 3}。
2. 交集：若A和B为两个集合，他们的交集就是属于A且属于B的所有元素的集合。
用符号表示为A ∩ B。
例如，集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的交集为A ∩ B = {2}。
3. 补集：设U为全集，若A为一个集合，则相对于全集U，A的补集为U中不属于A的所有元素组成的集合。
用符号表示为A'。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4}相对于全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}的补集为A' = {5, 6}。
4. 差集：若A和B为两个集合，他们的差集就是属于A但不属于B的所有元素的集合。
用符号表示为A - B。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4}和集合B = {2, 3}的差集为A - B = {1, 4}。
5. 互斥集：若两个集合A和B的交集为空集，则称它们为互斥集。
集合的概念与运算例题及答案
集合的概念与运算例题及答案1 集合的概念与运算（一）目标：1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题2.理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法．重点：1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用;2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．基本知识点：知识点1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素知识点2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合N ，{}Λ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {}Λ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *知识点3、元素与集合关系（隶属）（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ?注意：“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写知识点4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）知识点5、集合与元素的表示：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……例题精析1：1、下列各组对象能确定一个集合吗（1）所有很大的实数（不确定）（2）好心的人（不确定）（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）2、设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__ 3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ A ）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素4、设集合G 中的元素是所有形如a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）的数，求证：(1) 当x ∈N 时, x ∈G;(2) 若x ∈G ，y ∈G ，则x ＋y ∈G ，而x1不一定属于集合G 证明(1)：在a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）中，令a=x ∈N,b=0,则x= x ＋0*2= a ＋b 2∈G,即x ∈G证明(2)：∵x ∈G ，y ∈G ，∴x= a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）,y= c ＋d 2（c ∈Z, d ∈Z ）∴x+y=( a ＋b 2)+( c ＋d 2)=(a+c)+(b+d)2∵a ∈Z, b ∈Z,c ∈Z, d ∈Z∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z∴x+y =(a+c)+(b+d)2 ∈G ，又∵211b a x +=＝2222222b a b b a a --+- 且22222,2b a b b a a ---不一定都是整数，∴211b a x +=＝2222222b a b b a a --+-不一定属于集合G知识点6、集合的表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100)所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）} 含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或}23|{>-x x 所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}（3）、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法思考：何时用列举法何时用描述法},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}例集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗 }1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集例题精析2：1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} }5,23|{≤∈-=n N n n x x 且②{-2，-4，-6，-8，-10} }5,2|{≤∈-=n N n n x x 且2、用列举法表示下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} {1，3，5，15}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}③=-=+}422|),{(y x y x y x )}32,38{(- ④},)1(|{N n x x n ∈-= {-1，1}⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ {（0，8）（2，5），（4，2）}⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}3、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集4、用描述法表示下列集合：(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;(2) { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}= 巩固提升：1、数集{}21,,x x x -中元素x 所满足的条件是 2、已知{}23,21,1A a a a =--+，其中a R ∈，⑴若3A -∈，求实数a 的值；⑵当a 为何值时，集合A 的表示不正确。
专题01 集合的概念与运算 (解析版)
专题01 集合的概念与运算【名师预测】江苏高考对集合知识的考查比较低，以填空题的形式进行考查，主要考查集合与集合、元素与集合间的关系以及集合的交集、并集、补集的运算，同时注重对Venn图、数轴等数形结合思想的考查。
集合的基本运算有时会以集合知识为载体，往往与函数、方程、不等式等知识结合考查，体现出小题目综合化的命题趋势。
集合的学习要有弹性，要有所取舍．比如我们不必在集合间的关系上过于深究，也不必在集合的概念等内容上过于钻研。
【知识精讲】1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：2．集合间的基本关系3．集合的基本运算4.集合关系与运算的常用结论(1)若集合A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有12n-个，非空子集有12n-个．(2)集合的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(考虑A是空集和不是空集两种情况)(4)C U(A∩B)＝(C U A)∪(C U B)，C U(A∪B)＝(C U A)∩(C U B)．【典例精练】考点一集合的基本概念例1． A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为________．【解析】集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．故答案为9.例2．若－1∈{a－1,2a＋1，a2－1}，则实数a的取值集合是________．【解析】若a－1＝－1，解得a＝0，此时集合中的元素为－1,1，－1，不符合元素的互异性；若2a＋1＝－1，解得a＝－1，此时集合中的元素为－2，－1，0，符合题意；若a2－1＝－1，解得a＝0，不符合题意，综上所述，a＝－1．故答案为{－1}.例3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.【解析】若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．①当a＝0时，x＝23，符合题意；②当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98. ∴a 的值为0或98故答案为0或98.例4．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1，m }，若3－m ∈A ，则非零实数m 的值是________． 【解析】由题意知，若3－m ＝1，则m ＝2，符合题意；若3－m ＝2，则m ＝1，此时集合B 不符合元素的互异性，故m ≠1； 若3－m ＝3，则m ＝0，不符合题意． 故m ＝2. 故答案为2.【方法点睛】与集合中元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集； (2)看这些元素满足什么限制条件；(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾． 考点二 集合间的基本关系例5．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}(,),,,B x y x A y A x y x y A =∈∈<+∈，则集合B 的子集的个数是 . 【解析】∵集合{}1,2,3,4,5A =，{}(,),,,B x y x A y A x y x y A =∈∈<+∈ ∴{}(1,2),(2,3),(1,3),(1,4)B = ∴集合B 的子集个数是4216=. 故答案为16.例6．设集合{}2,4A =，{}2,2B a =，(其中0a <)，若A B =，则实数a =________. 【解析】∵集合{}2,4A =，{}2,2B a =，且A B = ∴24a = 又0a < ∴2a =- 故答案为－2.例7．已知集合{}1,2a A =，集合{}1,1,4B =-，且A B ⊆，则正实数a =________.【解析】∵集合{}1,2a A =，集合{}1,1,4B =-，且A B ⊆ ∴24a = ∴2a = 故答案为2.例8．已知集合{}15A x x =≤<，{}3B x a x a =-<≤+，若()B A B ⊆，则实数a 的取值范围为________．【解析】∵()B A B ⊆∴B A ⊆①当B =∅时，满足B A ⊆，此时3a a -≥+，即32a ≤-. ②当B ≠∅时，要使B A ⊆，则3135a a a a -<+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩，解得312a -<≤-由①②可知，实数a 的取值范围为(,1]-∞-． 故答案为(,1]-∞-.【方法点睛】判断集合间关系的3种方法①列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系；②结构法：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断； ③数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系，运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.注意：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． 考点三 集合的基本运算例9．设全集{}*5,U x x x N =<∈，集合{}1,2A =，{}2,4B =，则()U C AB = .【解析】∵集合{}{}*5,1,2,3,4U x x x N =<∈=，且集合{}1,2A =，{}2,4B = ∴{}1,2,4AB =∴{}()3U C AB =故答案为{}3.例10．已知全集{}22,3,23U a a =+-，{}21,2A a =-，{}5U C A =，则实数a ＝________. 【解析】由题意知，2235a a +-=，解得a ＝－4或a ＝2.① 当a ＝－4时，|2a －1|＝9，而9U ∉，所以a ＝－4不满足题意，舍去； ② 当a ＝2时，|2a －1|＝3，3U ∈，满足题意． 故实数a 的值为2. 故答案为2.例11．设集合{}(,)1A x y y ax ==+，集合{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)A B =，则a b +=____.【解析】∵集合{}(,)1A x y y ax ==+，{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)A B =∴521a =+，且52b =+ ∴2a =，3b = ∴5a b += 故答案为5.例12．设A ，B 是非空集合，定义{}()()A B x x A B x A B ⊗=∈∉且．已知集合{}02A x x =<<，{}0B y y =≥，则A B ⊗=________.【解析】∵{}02A x x =<<，{}0B y y =≥ ∴{}0AB x x =≥，{}02A B x x =<<∴{}02A B x x x ⊗==≥或 故答案为{}02x x x =≥或.【方法点睛】解集合运算问题4个技巧① 看元素构成：集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键； ② 对集合化简：有些集合是可以化简的，先化简集合再研究其关系并进行运算，可使问题简单明 了、易于解决；③ 数形结合：常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图；④新定义型问题：以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决.【名校新题】一、填空题1．（2019·江苏徐州第一次质量检测）已知集合{}0,1,2,3A =，{}|02B x x =<…，则A B =_________．【解析】取集合,A B 的公共部分即可，所以，{1,2}A B ⋂= 故答案为：{}1,22．（2019·苏北七市第二次质量检测）已知集合{}13A a =，，，{45}B =，．若A B ={4}，则实数a 的值为____．【解析】∵A B ⋂= {}4，∴a=4 故答案为43．（2019·江苏金陵中学高考第四次模拟）设全集U ＝{}5N x x x *<∈，，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，则∁U (A ⋃B)＝_______．【解析】集合U ＝{}5N x x x *<∈，＝{}1,2,3,4，且A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，得A ⋃B ＝{1，2，4}，所以∁U (A ⋃B)＝｛3｝ 故答案为：｛3｝4．（2019·江苏南通四月质量检测）已知集合 ，B ，则A B _____．【解析】∵由题意可知A∩B 中的元素是2的整数倍，且在(-2,3)内， ∴A∩B ＝{0，2}． 故答案为：{0，2}．5．（2019·江苏徐州高考考前模拟）集合{}1,0,1A =-，{}|20B x x =-<<，则A B 中元素的个数是______．【解析】A 中仅有1B -∈，故AB 中元素的个数为1，填1 .6．（2019·江苏宿迁调研测试）已知集合[)1,4,(,)A B a ==-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 。
考点01 集合(核心考点讲与练)2023年高考一轮复习核心考点讲与练(新高考专用)(解析版)
考点01 集合（核心考点讲与练）1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。
如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。
2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用∈或∉表示；（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A⊆B时，称A是B的子集；当A≠⊂B时，称A是B的真子集。
3、集合运算（1）交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，C U A=｛x|x∈U，且x∉A｝，集合U表示全集；（2）运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），C U（A∩B）=（C U A）∪（C U B），C U（A∪B）=（C U A）∩（C U B）等。
集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.venn图法解决集合运算问题一、单选题1．（2022·海南·嘉积中学模拟预测）已知全集U =R ，集合{}2,3,4A =，集合{}0,2,4,5B =，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}2,4B ．{}0C ．{}5D ．{}0,5【答案】D【分析】根据给定条件，利用韦恩图表达的集合运算直接计算作答. 【详解】依题意，图中的阴影部分表示的集合是()U A B ，而全集U =R ，{}2,3,4A =，{}0,2,4,5B =，所以(){0,5}U A B ⋂=. 故选：D2．（2022·山东潍坊·模拟预测）如图，已知全集U =R ，集合{}1,2,3,4,5A =，()(){}120B x x x =+->，则图中阴影部分表示的集合中，所包含元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】求出集合B ，分析可知阴影部分所表示的集合为()U A B ∩，利用交集的定义可求得结果. 【详解】因为()(){}{1201B x x x x x =+->=<-或}2x >，则{}12U B x x =-≤≤， 由题意可知，阴影部分所表示的集合为(){}1,2UA B =.故选：B.3．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，{}0,1B =，则（ ） A ．{}0B ．{}2,4C ．{}0,1,3,5D ．{}0,1,2,4【答案】A【分析】根据集合的补集与交集的运算求解即可.【详解】解：因为全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，{}0,1B =， 所以，所以.故选：A 二、填空题4．（2020·江苏南通·三模）已知集合A ＝{0，2}，B ＝{﹣1，0}，则集合A B ＝ _______ . 【答案】{﹣1，0，2}【解析】直接根据并集运算的定义求解即可． 【详解】解：∵A ＝{0，2}，B ＝{﹣1，0}， ∴A B ＝{﹣1，0，2}， 故答案为：{﹣1，0，2}．【点睛】本题主要考查集合的并集运算，属于基础题．分类讨论方法解决元素与集合关系问题1．（2022·北京石景山·一模）已知非空集合A ，B 满足：A B =R ，A B =∅，函数()3,,32,x x A f x x x B⎧∈=⎨-∈⎩对于下列结论：①不存在非空集合对(),A B ，使得()f x 为偶函数； ②存在唯一非空集合对(),A B ，使得()f x 为奇函数； ③存在无穷多非空集合对(),A B ，使得方程()0f x =无解． 其中正确结论的序号为_________． 【答案】①③【分析】通过求解332x x =-可以得到在集合A ，B 含有何种元素的时候会取到相同的函数值，因为存在能取到相同函数值的不同元素，所以即使当x 与x -都属于一个集合内时，另一个集合也不会产生空集的情况，之后再根据偶函数的定义判断①是否正确，根据奇函数的定义判断②是否正确，解方程()0f x =判断③是否正确【详解】①若x A ∈，x A -∈，则3()f x x =，3()f x x -=-，()()f x f x ≠- 若x B ∈，x B -∈，则()32f x x =-，()32f x x -=--，()()f x f x ≠- 若x A ∈，x B -∈，则3()f x x =，()32f x x -=--，()()f x f x ≠- 若x B ∈，x A -∈，则()32f x x =-，3()f x x -=-，()()f x f x ≠- 综上不存在非空集合对(),A B ，使得()f x 为偶函数 ②若332x x =-，则1x =或2x =-，当{}1B =，时，(1)312f =⨯-满足当1x =时31x =，所以()f x 可统一为3()f x x =，此时3()()f x x f x -=-=-为奇函数 当{}2B =-，A B =R时，(2)3(2)28f -=⨯--=-满足当2x =-时38x =-，所以()f x 可统一为3()f x x =，此时3()()f x x f x -=-=-为奇函数所以存在非空集合对(),A B ，使得()f x 为奇函数，且不唯一 ③30x =解的0x =，320x -=解的23x =，当非空集合对(,)A B 满足0A ∉且23B ∉，则方程无解，又因为AB =R ，AB =∅，所以存在无穷多非空集合对(),A B ，使得方程()0f x =无解故答案为：①③【点睛】本题主要考查集合间的基本关系与函数的奇偶性，但需要较为缜密的逻辑推理①通过对x 所属集合的分情况讨论来判断是否存在特殊的非空集合对(,)A B 使得函数()f x 为偶函数 ②观察可以发现3x 为已知的奇函数，通过求得不同元素的相同函数值将解析式32x -归并到3x 当中，使得()f x 成为奇函数③通过求解解析式零点，使得可令两个解析式函数值为0的元素均不在所对应集合内即可得到答案 2（2020·北京·模拟预测）对给定的正整数n ，令1{(n a a Ω==，2a ，⋯，)|{0n i a a ∈，1}，1i =，2，3，⋯，}n ．对任意的1(x x =，2x ，⋯，)n x ，1(y y =，2y ，⋯，)n n y ∈Ω，定义x 与y 的距离1122(,)n n d x y x y x y x y =-+-+⋯+-．设A 是n Ω的含有至少两个元素的子集，集合{(,)|D d x y x y =≠，x ，}∈y A 中的最小值称为A 的特征，记作χ（A ）．（Ⅰ）当3n =时，直接写出下述集合的特征：{(0A =，0，0)，(1，1，1)}，{(0B =，0，0)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)}，{(0C =，0，0)，(0，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}．（Ⅱ）当2020n =时，设2020A ⊆Ω且χ（A ）2=，求A 中元素个数的最大值；（Ⅲ）当2020n =时，设2020A ⊆Ω且χ（A ）3=，求证：A 中的元素个数小于202022021．【答案】（Ⅰ）答案详见解析；（Ⅱ）22019；（Ⅲ）证明详见解析.【解析】（Ⅰ）根据x 与y 的距离d 的定义，直接求出(,)d x y 的最小值即可；（Ⅱ）一方面先证明A 中元素个数至多有2 2019 个元素，另一方面证明存在集合A 中元素个数为2 2019 个满足题意，进而得出A 中元素个数的最大值；（Ⅲ）设1{A x =，2x ，}m x ⋯，定义x 的邻域2020(){|(,)1}i i N x a d a x =∈Ω，先证明对任意的1i m ，()i N x 中恰有 2021 个元素，再利用反证法证明()()i j N x N x ⋂=∅，于是得到12()()()m N x N x N x ⋃⋃⋯⋃中共有2021m 个元素，但2020Ω中共有20202 个元素，所以202020212m ，进而证明结论．【详解】（Ⅰ）χ（A ）3=，χ（B ）2=，χ（C ）1=；（Ⅱ）（a ） 一方面：对任意的1(a a =，2a ，3a ，⋯，2019a ，2020)a A ∈， 令f （a ）1(a =，2a ，3a ，⋯，2019a ，2020)a ， 则(d a ，f （a ）2020)1212a =-=<，故f （a ）A ∉， 令集合{B f =（a ）|}a A ∈，则A B =∅，2020()A B ⋃⊆Ω 且A 和B 的元素个数相同，但2020Ω 中共有20202 个元素，其中至多一半属于A ， 故A 中至多有2 2019 个元素．（b ）另一方面：设1{(A a =，2a ，⋯，20202020122020)|a a a a ∈Ω++⋯+ 是偶数}，则A 中的元素个数为024********20202020202020202C C C C +++⋯+= 对任意的1(x x =，2x ，⋯，2020)x ，1(y y =，2y ，⋯，2020)y A ∈，x y ≠，易得1122(,)n n d x y x y x y x y =-+-+⋯+-与112220202020x y x y x y ++++⋯++ 奇偶性相同，故(,)d x y 为偶数，由x y ≠，得(,)0d x y >，故(,)2d x y ，注意到(0，0，0，0，⋯，0，0)，(1，1，0，0，0⋯，0)A ∈ 且它们的距离为2， 故此时A 满足题意，综上，A 中元素个数的最大值为22019．（Ⅲ）当2020n = 时，设2020A ⊆Ω 且χ（A ）3=， 设1{A x =，2x ，}m x ⋯，任意的i x A ∈，定义x 的邻域2020(){|(,)1}i i N x a d a x =∈Ω， （a ） 对任意的，()i N x 中恰有 2021 个元素，事实上①若(,)0i d a x =，则i a x =，恰有一种可能；，②若(,)1i d a x =，则a 与i x ，恰有一个分量不同，共2020种可能； 综上，()i N x 中恰有2021个元素， （b ） 对任意的，()()i j N x N x ⋂=∅，事实上，若()()i j N x N x ⋂≠∅，不妨设()()i j a N x N x ∈⋂，1(j x x ='，2x '，⋯，2020)x '， 则20201(,)i j k k k d x x x x ==-'∑20201(||)kk k xa a x =-+-'∑20202020112k k k k x a a x ===-+-'∑∑，这与χ（A ）3=，矛盾，由 （a ） 和 （b ），12()()()m N x N x N x ⋃⋃⋯⋃中共有2021m 个元素，但2020Ω中共有20202 个元素， 所以，注意到m 是正整数，但202022021不是正整数，上述等号无法取到，所以，集合A 中的元素个数m 小于202022021．【点睛】本题考查集合的新定义，集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系，反证法的应用，考查学生分析、解决问题的能力，正确理解新定义是关键，综合性较强，属于难题．根据集合包含关系求参数值或范围一、单选题1．（2021·全国·模拟预测）已知集合{}232A x y x x ==+-，{}22B x x k =-+>．若A B A =，则实数k 的取值范围为（ ） A ．()7,+∞ B ．(),1-∞-C ．()1,7-D ．()(),17,∞∞--⋃+【答案】D【分析】求出集合,A B ，再根据A B A =，知A B ⊆，列出不等式，解之即可得出答案. 【详解】解：解不等式2320x x +-≥，得13x -≤≤，即{}13A x x =-≤≤， {}{22B x x k x x k =-+>=>或}4x k <-，由A B A =，知A B ⊆，所以43k ->或1k <-，解得7k >或1k <-. 故选：D ．2．（2021·全国·模拟预测）已知集合{}24A x x =<<，{}2211B x x a =--≤，若A B B =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．()2,3C ．[]1,3D ．[]2,3【答案】B【分析】首先通过解绝对值不等式化简集合B ，然后由题意得B A ⊆，从而建立不等式组求得a 的范围. 【详解】解不等式2211x a --≤，得1a x a ≤≤+，所以{}1B x a x a =≤≤+. 由A B B =，得B A ⊆，∴214a a >⎧⎨+<⎩，解得23a <<﹒故选：B数轴法解决集合运算问题一、单选题1．（2022·四川·泸县五中模拟预测（文））设全集U =R ，已知集合2|4A x x x >={}，|4B x y x ==-{}，则=（ ）A ．[0,4]B ．(,4]-∞C ．(,0)-∞D ．[0,)+∞【答案】D【分析】化简集合,A B ，先求出A B ，再求出其补集即可得解. 【详解】2|4A x x x >={}{|0x x =<或4}x >，|4B x y x ==-{}{|4}x x =≤， 所以{|0}A B x x =<， 所以 ={|0}x x ≥，即()UA B ⋂[0,)=+∞.故选：D2．（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知集合{}1A x y x ==-，{}2B x x =<，则A B =（ ） A ．R B ．∅C ．[]1,2D ．[)1,2【答案】D【分析】求函数定义域化简集合A ，解不等式化简集合B ，再利用交集的定义求解作答. 【详解】由1y x =-1≥x ，则[1,)A =+∞，由2x <解得22x -<<，即(2,2)B =-， 所以[1,2)A B ⋂=. 故选：D3．（2022·全国·模拟预测（文））已知集合{}2log 1M x x =<，{}21N x x =≤，则M N ⋃=（ ）A ．(],1-∞B ．(),2-∞C ．[)1,2-D ．(]0,1【答案】C【分析】求出集合M ，N ，然后进行并集的运算即可. 【详解】∵{}02M x x =<<，{}11N x x =-≤≤， ∴[1,2)M N ⋃=-. 故选：C .二、填空题4．（2022·重庆市育才中学模拟预测）设集合{}{}23,650A x x B x x x =≤=-+≤，则A B =________.【答案】[1,3]【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】解不等式2650x x -+≤ ，得()()150x x --≤ ，解得15x ≤≤ ， 即[]1,5B = ，[]1,3A B ∴= ； 故答案为：[]1,3 .5．（2020·上海·模拟预测）已知集合(){}2log 21A x x =-<，31B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =______．【答案】()3,4【分析】先解对数不等式和分式不等式求得集合A 、B ，再根据交集定义求得结果. 【详解】因为(){}{}()2log 2102224A x x x x =-<=<-<=，，()()331003x B x x x x ⎧⎫⎧⎫-=<=<=-∞⋃+∞⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，所以()3,4A B ⋂=， 故答案为：()3,4.【点睛】本题考查对数不等式和分式不等式的解法以及交集定义，属于基础题.6．（2020·江苏·模拟预测）已知集合{}|12A x x =-<<，{}|0B x x =>，则A B =______. 【答案】{}|02x x <<【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合{}|12A x x =-<<，{}|0B x x =>， 所以A B ={}|02x x <<. 故答案为：{}|02x x <<【点睛】本题主要考查了集合的交概念以及运算，属于基础题.7．（2020·江苏·吴江盛泽中学模拟预测）已知集合{}0,1,2A =，集合{}2|20B x x =-<，则A B =________．【答案】{}0,1【详解】{}0,1,2A =，{}{}220=02B x x x x =-<<<，所以{}01A B =，． 【点睛】本题考查了交集运算，此题属于简单题.8．（2020·江苏镇江·三模）已知全集U ＝R ，A ＝{x |f （x ）＝ln （x 2﹣1）}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，则＝_____．【答案】{|3x x ≥或1}x <- 【分析】先化简集合,A B ,再求UB ，最后求UAB 得解.【详解】解：A ＝{x |f （x ）＝ln （x 2﹣1）}＝{x |x ＜﹣1或x ＞1}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}＝{x |﹣1＜x ＜3}，则UB ＝{x |x ≥3或x ≤﹣1}，则UA B ＝{|3x x ≥或1}x <-，故答案为：{|3x x ≥或1}x <-．【点睛】本题主要考查对数型复合函数的定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集和补集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.一、单选题1．（2021·新高考全国11卷）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UA B =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂. 【详解】由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.2．（2021·新高考全国1卷）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ） A ．{}2 B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】B【分析】利用交集的定义可求A B . 【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=， 故选：B .3．（2021·全国·高考真题）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ） A ．{}2 B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】B【分析】利用交集的定义可求A B . 【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=， 故选：B .4．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则（ ） A ．∅ B ．SC ．TD ．Z【答案】C【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，S T T =. 故选：C.5．（2021·全国·高考真题（理））设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则MN =（ ）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.6．（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则（ ） A ．{3} B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【分析】根据交集、补集的定义可求.【详解】由题设可得，故，故选：B.一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知集合(){}ln 3M x y x ==-，{}xN y y e ==，则() RM N ⋂=（ ） A ．()3,0- B ．(]0,3 C ．()0,3 D ．[]0,3【答案】B【分析】由题知{}3M x x =>，{}0N y y =>，进而根据补集运算与交集运算求解即可.【详解】解：因为(){}{}ln 33M x y x x x ==-=>，{}{}0xN y y e y y ===>，所以{} R3M x x =≤，所以() RM N ⋂={}(]030,3x x <≤=故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}2,1x M y y x ==>，{}22N x y x x =-，则M N ⋃等于（ ） A ．∅ B ．{}2C ．[)1,+∞D ．[)0,∞+【答案】D【分析】利用指数函数的单调性求出指数函数的值域进而得出集合M ，根据二次根式的意义求出集合N ，利用并集的定义和运算直接计算即可.【详解】{}112222x x y M y y >∴=>=∴=>.{}2200202x x x N x x -≥∴≤≤∴=≤≤.因此[0,)M N =+∞.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}14A x x =≤≤，{}3B x x =≤，则A B =（ ） A ．{}34x x -≤≤ B ．{}33x x -≤≤ C ．{}14x x ≤≤ D ．{}13x x ≤≤【答案】D【分析】先化简集合B ，再去求A B . 【详解】{}{}333B x x x x =≤=-≤≤则{}{}{}143313A B x x x x x x ⋂=≤≤⋂-≤≤=≤≤ 故选：D4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}62A x x =-≤≤，{}3,B y y x x A ==-∈，则A B =（ ） A ．{}01x x ≤≤ B ．{}12x x ≤≤ C ．{}02x x ≤≤ D ．{}13x x ≤≤【答案】B【分析】首先根据定义域求出函数的值域，得集合B ，然后根据集合的交集运算法则求得结果. 【详解】当62x -≤≤时，133x ≤-≤，则{}13B y y =≤≤，所以{}12A B x x ⋂=≤≤. 故选:B.5．（2022·全国·高三专题练习）已知全集U =R ，集合{}2,1x A y y x ==≥，(){}2lg 9B x y x ==-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．3,2B ．()3,2-C ．(]3,2-D ．[)3,2-【答案】B【分析】先求出集合A 、B ，由韦恩图分析，求UB A ⋂.【详解】由1≥x ，得22x ≥，则[)2,A =+∞，所以()U,2A =-∞.\由290->x ，得33x -<<，则()3,3B =-，则图中阴影部分表示的集合为()U3,2B A ⋂=-.故选:B.6．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}22A x x =-≤≤，{}2230B x N x x =∈--<，则A B =（ ） A ．{}12x x -<≤ B ．{}21x x -≤< C ．{}1,2 D ．{}0,1,2【答案】D【分析】先解不含参数的一元二次不等式，进而求出集合B ，然后根据交集的概念即可求出结果. 【详解】解不等式2230x x --<得13x ，又x ∈N ，所以{}0,1,2B =，所以{}0,1,2A B =，故选：D.7．（2022·全国·高三专题练习）已知集合(){}ln 10A x x =-≤，{}20B x x x =-≥，则下列结论一定正确的是（ ） A ．B A ⊆ B ．A B ≠⊂ C ．[)1,A B ⋂=+∞D ．A B R =【答案】B【分析】由对数函数定义域、一元二次不等式的解法分别求得集合,A B ，进而得到结果. 【详解】{}{}[)011010,1A x x x x =<-≤=≤<=，{}[]010,1B x x =≤≤=，[)0,1A B A ∴==，[]0,1A B B ==，A B ≠∴⊂.故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}2,0x A y y x ==≥，(){}ln 2B x y x ==-，则A B =（ ） A ．[]1,2 B ．()1,2 C ．[)1,2 D ．(),-∞+∞【答案】C【分析】利用指数函数的性质可化简集合A ，根据对数函数性质得集合B ，然后计算交集．【详解】由已知{}2,0[1,)xA y y x ∞==≥=+，{}ln(2)B x y x ==-(){|20}{|2},2x x x x =->=<=-∞，∴[1,2)A B ⋂=．故选：C ．9．（2022·全国·高三专题练习）若集合{}23A x Z x x =∈≤，{}2,B x y x y A ==∈，则A B =（ ） A ．{}0,1,2 B ．{}0,2 C ．{}0,1 D ．{}1,2【答案】C【分析】先解不等式求出集合A ，再求出集合B ，然后求两集合的交集即可 【详解】解不等式23x x ≤，得03x ≤≤，又x ∈Z ，所以{}0,1,2,3A =， 所以{}132,0,,1,22B x y x y A ⎧⎫==∈=⎨⎬⎩⎭，所以{}0,1A B =．故选：C10．（2022·全国·高三专题练习）已知集合2{|230}A x x x =--≥，{B x y ==，则A B ⋃=（ ） A ．[)3,+∞B ．[)2,+∞C ．(][),10,-∞-⋃+∞D ．(][),12,-∞-⋃+∞【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解法和函数定义域的定义，求得集合,A B ，集合集合并集的运算，即可求解.【详解】由不等式2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥，所以集合{|1A x x =≤-或3}x ≥， 又由20x -≥，解得2x ≥，所以集合{}2B x x =≥， 所以(][),12,A B ⋃=-∞-⋃+∞. 故选：D .11．（2022·全国·高三专题练习）设全集{}24U x N x =∈-<<，{}0,2A =，则UA 为（ ）A ．{}1,3B ．{}0,1,3C ．{}1,1,3-D ．{}1,0,1,3-【答案】A【分析】根据全集U 求出A 的补集即可.【详解】{}{}24=0,1,2,3U x N x =∈-<<，{}0,2A =，{}U =1,3A ∴. 故选：A.12．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}4A x y x ==-，{}1,2,3,4,5B =，则A B =（ ）. A ．{}2,3 B ．{}1,2,3 C ．{}1,2,3,4 D ．{}2,3,4【答案】C【分析】先化简集合A ，再利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合{}{}44A x y x x x ==-=≤，{}1,2,3,4,5B =， 所以A B = {}1,2,3,4， 故选：C13．（2022·全国·高三专题练习）已知集合(){}{}22log 213,40A x x B x x =-≤=-≤，则()A B =R （ ） A ．122x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．122x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}22x x -≤≤D ．∅【答案】A【分析】先求出集合A 和集合A 的补集，集合B ，再求出()A B ⋂R【详解】由22log (21)3log 8x -≤=，得0218x <-≤，解得1922x <≤，所以1922A x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，所以12RA x x ⎧=≤⎨⎩或，由240x -≤得22x -≤≤，所以{}22B x x =-≤≤， 所以()A B =R 122x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭故选：A14．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{1,0,1,2,3,4}A =-，{}2ln 2B x x =<，图中阴影部分为集合M ，则M 中的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由Venn 图得到()AM A B =⋂求解.【详解】如图所示()AM A B =⋂，2ln 2x <，22ln ln e x ∴<，解得e e x -<<且0x ≠，(e,0)(0,e)B ∴=- 又{1,0,1,2,3,4}A =-，{1,1,2}A B ∴=-，(){0,3,4}AA B ∴⋂=，{0,3,4}M ∴=，所以M 中元素的个数为3 故选：C15．（2022·全国·高三专题练习）已知全集2,1,0,1,2U，{}21A x Z x =∈-<<，{}1,0,1B =-，则()U B A ⋂=（ ）A ．∅B ．{}0C ．{}1D ．{}0,1【答案】C【分析】根据集合的运算法则计算． 【详解】{2,1,2}UA =-，(){1}U BA =．故选：C ． 二、多选题16．（2022·全国·高三专题练习）已知集合E 是由平面向量组成的集合，若对任意,a b E ∈，()0,1t ∈，均有()1ta t b E +-∈，则称集合E 是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有（ ）．A ．(){},e x x y y ≥B ．(){},ln x y y x ≥C ．(){},210x y x y +-≥D ．(){}22,1x y x y +≤【答案】ACD【分析】作出各个选项表示的平面区域，根据给定集合E 是“凸”的意义判断作答. 【详解】设OA a =，OB b =，()1OC ta t b =+-，则C 为线段AB 上一点，因此一个集合E 是“凸”的就是E 表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内， 四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示：A BC D 观察选项A ，B ，C ，D 所对图形知，B 不符合题意，ACD 符合题意. 故选：ACD【点睛】思路点睛：涉及符合某个条件的点构成的平面区域问题，理解不等式变为对应等式时的曲线方程的意义，再作出方程表示的曲线，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域.17．（2022·全国·高三专题练习）已知全集U =R ，集合1|02x A x x -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则关于UA 的表达方式正确的有（ ） A ．][(),12,-∞⋃+∞ B ．()(){}210xx x --≥∣ C ．102x xx -⎧⎫≥⎨⎬-⎩⎭∣ D ．()(),12,-∞+∞【答案】AB【分析】根据补集的概念及分式不等式及其解法即可求解.【详解】由题意得，()(){}()1|0|2101,22x A x x x x x -⎧⎫=<=--<=⎨⎬-⎩⎭，所以][()()(){},12,|210UA x x x ∞∞=-⋃+=--≥，故AB 正确，CD 错误， 故选：AB.18．（2022·全国·高三专题练习）设[]x 表示不大于x 的最大整数，已知集合[]{}22M x x =-<<，{}250N x x x =-<，则（ ）A ．[]lg2002=B ．{}02M N x x ⋂=<<C ．[]lg 2lg3lg51-+=D ．{}15M N x x ⋃=-≤<【答案】ABD【分析】由对数运算可知2lg 2003<<，()lg2lg3lg51lg30,1-+=-∈，由[]x 的定义可知AC 正误；解不等式求得集合,M N ，由交集和并集定义可知BD 正误.【详解】对于A ，1002001000<<，2lg 2003∴<<，[]lg 2002∴=，A 正确；对于C ，()()lg2lg3lg5lg2lg5lg31lg30,1-+=+-=-∈，[]lg2lg3lg50∴-+=，C 错误； 对于BD ，[]{}{}2212M x x x x =-<<=-≤<，{}05N x x =<<，{}02M N x x ∴⋂=<<，{}15M N x x ⋃=-≤<，BD 正确.故选：ABD.19．（2022·全国·高三专题练习）给定数集M ，若对于任意a ，b M ∈，有a bM ，且a b M -∈，则称集合M 为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ） A ．集合{}4,2,0,2,4M =--为闭集合 B ．正整数集是闭集合C ．集合{|3,}M n n k k Z ==∈为闭集合D ．若集合12,A A 为闭集合，则12A A ⋃为闭集合 【答案】ABD【分析】根据集合M 为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．【详解】选项A ：当集合{}4,2,0,2,4M =--时，2,4M ∈，而246M +=∉，所以集合M 不为闭集合，A 选项错误；选项B ：设,a b 是任意的两个正整数，则abM ，当a b <时，-a b 是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B 选项错误；选项C ：当{}3,M n n k k Z ==∈时，设12123,3,,a k b k k k Z ==∈，则()()12123,3a b k k M a b k k M +=+∈-=-∈，所以集合M 是闭集合，C 选项正确；选项D ：设{}{}1232A n n k k Z A n n k k Z ==∈==∈，，，，由C 可知，集合12,A A 为闭集合，()122,3A A ∈⋃，而()()1223A A +∉⋃，故12A A ⋃不为闭集合，D 选项错误． 故选：ABD ． 三、填空题20．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =___________ 【答案】{1,2}【分析】利用交集的定义进行求解.【详解】因为{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<， 所以{1,2}A B =. 故答案为：{1,2}.。
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高三数学第一轮总复习
第一章集合、不等式的解法与简易逻辑
一、本章复习建议：解不等式是高中数学的主要工具之一，建议将第六章“不等
式”拆开，把不等式的解法安排在第一章.
二、考试内容：
(1) 集合、子集、补集、交集、并集．
(2)不等式的解法．含绝对值的不等式．
(3)逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．
三、考试要求：
（1）理解集合、子集、补订、交集、交集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．
（2）掌握简单不等式的解法．
（3）理解逻辑联结词"或"、"且"、"非"的含义．理解四种命题及其相互关系．掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．
集合的概念和运算（1）
一、知识回顾：
1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.
2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.
3.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
4.集合运算：交、并、补.
{|,}{|}{,}
A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C 5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：
,,,,
,;,;,.
U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C
（2） 等价关系：U A B A B A A B B A
B U ⊆⇔=⇔=⇔=
C （3） 集合的运算律：
交换律：.;A B B A A B B A ==
结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ=== 等幂律：.,A A A A A A ==
求补律：A ∩ U A =φ A ∪ U A =U U U =φ U φ=U U ( U A )=A 反演律： U (A ∩B)= ( U A )∪( U B ) U (A ∪B)= ( U A )∩( U B ) 6. 有限集的元素个数
定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.
基本公式：
(1)()()()()(2)()()()()
()()()
()
card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C =+-=++---+
(3) card ( U A )= card(U)- card(A) （4）设有限集合A, card(A)=n,则
(ⅰ)A 的子集个数为n 2； (ⅱ)A 的真子集个数为12-n ；
(ⅲ)A 的非空子集个数为12-n ；(ⅳ)A 的非空真子集个数为22-n .
（5）设有限集合A 、B 、C ， card(A)=n ，card(B)=m,m<n,则
(ⅰ) 若A C B ⊆⊆,则C 的个数为m n -2；
(ⅱ) 若A C B ⊂⊆,则C 的个数为12--m n ； (ⅲ) 若A C B ⊆⊂,则C 的个数为12--m n ； (ⅳ) 若A C B ⊂⊂,则C 的个数为22--m n .
二、基础训练
1.（04年全国Ⅰ理）设A 、B 、I 均为非空集合，且满足I B A ⊆⊆，则下列各式
中错误的是
（ ）
（A ）I B A C I =⋃)( (B) I B C A C I I =⋃)()( (C) Φ=⋂)(B C A I (D) B C B C A C I I I =⋂)()(
2.（05全国卷Ⅰ）设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是(C)
（A ）Φ=⋃⋂）（321S S S C I （B ）123I I S C S C S ⊆⋂（） （C ）Φ=⋂⋂）321S C S C S C I I I （D ）123I I S C S C S ⊆⋃（）
3.（05湖北卷）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合 P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是 （ B ） A ．9 B ．8
C ．7
D ．6
4.设集合A 和B 都是坐标平面上点集{（x,y ）︳x ∈R,y ∈R},映射f: A →B 把集合A 中的元素(x,y)映射成集合B 中的元素(x+y,x-y)，则在映射f 下，象(2,1)的原象是 ( )
(A)(3,1) (B) (21,23) (C)(2
1,23-) (D)(1,3) f(P)={y ︱y=f(x),x ∈P} 5.（04年北京理）函数⎩⎨
⎧∈-∈=M
x x P x x
x f )(，其中P 、M 为实数集R 的两个非空子
集，又规定f(P)={y ︱y=f(x),x ∈P}, f(M)={y ︱y=f(x),x ∈M}.给出下列四个判断，其中正确判断有 （ ） ①若P ∩M=Φ则f(P)∩f(M)=Φ②若P ∩M ≠Φ则f(P)∩f(M)≠Φ ③若P ∪M=R 则f(P)∪f(M)=R ④若P ∪M ≠R 则f(P)∪f(M)≠R (A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 三、例题分析
例1．已知集合A={}xy y x y x ,,+-，B={}0,,2222y x y x -+，A=B ，求x ，y 的值。
例2．已知集使A={}0)1()1(222>++++-a a y a a y y ，
B=⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
≤≤+-=30,2
52
1
2x x x y y ，A ∩B=φ，求实数a 的取值范围.
例
3．已知函数
y=3x+1
的定义域为
A={}d c b ,,,3，值域为
B={}2324,7,3,5220a a a a a ++++求a+b+c+d.
四、 课堂练习
1．设集合M={a,b}，则满足M ∪N ⊂{a,b,c}的集合N 的个数为 （ ）
A ．1
B ．4
C ．7
D ．8
2．设S 为全集，S A B ⊂⊂，则下列结论中不正确的是
（ ）
A ．
B
C A C S S ⊂ B ．B B A = C ．φ=）（B C A S
D ．φ=B A C S ）（ （04山东）
3．已知集合A={x|x 2－5x+6=0},B={x|mx+1=0},且A ∪B=A ，则实数m 组成的集合___________.
4．设集合P={a,b,c,d}，Q={A|A P},则集合Q 的元素个数__________________. 5．定义A －B={x|x ∈A 且x ∉B}，若M={1,2,3,4,5}，N={2,3,6}，则N －M 等于 （ ）
A ．M
B ．N
C ．{1,4,5}
D ．{6}。