有关圆锥曲线的经典结论

一、椭 圆

1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.

2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是

00221x x y y

a b

+=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为

P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y

a b

+=.

7. 椭圆22

221x y a b

+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆

上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为

122tan 2

F PF S b γ

?=.

8. 椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：

10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).

9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10.

过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆

长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.

AB 是椭圆22

221x y a b

+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的

中点，则2

2OM AB b k k a

?=-， 即0

20

2y a x b K AB

-=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程

是22

00002222x x y y x y a b a b

+=+. 13.

若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是

22002222x x y y

x y a b a b

+=+. 二、双曲线

1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.

2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）

5. 若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲

线的切线方程是00221x x y y

a b

-=.

6. 若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双

曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是

00221x x y y

a b

-=. 7. 双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点

P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积

为1

2

2t 2

F PF S b co γ

?=.

8. 双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - ,

2(,0)F c

当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10.

过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、

A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.

11. AB 是双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的

弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =?，即020

2y a x b K AB =。

12. 若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po

所平分的中点弦的方程是22

00002222x x y y x y a b a b -=-.

13. 若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po

的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y

x y a b a b

-=-.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

椭 圆

1. 椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y

轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是

2222

1x y a b -=. 2. 过椭圆22

221x y a b

+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条

倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且

20

20

BC

b x k a y =（常数）. 3. 若P 为椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1,

F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则

tan t 22

a c co a c αβ

-=+. 4. 设椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长

轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,

12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有

sin sin sin c

e a

αβγ==+.

5. 若椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左

准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.

6. P 为椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为

椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当

2,,A F P 三点共线时，等号成立.

7. 椭圆22

0022

()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 8. 已知椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆

上两动点，且OP OQ ⊥.（1）222

21111

||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2

+|OQ|2

的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ?的最小值是22

22a b a b

+.

9. 过椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支

于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则

||||2

PF e

MN =.

10. 已知椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，

线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则

22220a b a b x a a

---<<.

11.

设P 点是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任

一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2

122||||1cos b PF PF θ=+.(2)

122tan

2

PF F S b γ

?=.

12. 设A 、B 是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是

椭圆上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是

椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |

||s ab PA a c co αγ

=-.(2)

2

tan tan 1e αβ=-.(3) 222

2

2cot PAB a b S b a

γ?=-. 13.

已知椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点

E ，过椭圆右焦点

F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右

准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. 14.

过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆

相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15.

过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则

该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16.

椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点

的焦半径之比为常数e(离心率).

（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比

e. 18.

椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中

项.

双曲线

1. 双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为

1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22

221x y a b

+=.

2. 过双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作

两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且20

20

BC

b x k a y =-（常数）. 3. 若P 为双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除

顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则

tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22

c a co c a βα

-=+）. 4. 设双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P

（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记

12F PF α

∠=,

12PF F β

∠=,

12F F P γ

∠=，则有

sin (sin sin )c

e a

αγβ==±-.

5. 若双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、

F 2，左准线为L ，则当1＜e 1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.

6. P 为双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦

点，A 为双曲线内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.

7. 双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共

点的充要条件是22222A a B b C -≤.

8. 已知双曲线22

221x y a b

-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q

为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥. （1）22

221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2

的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ?的最小值是22

22a b b a

-.

9. 过双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该

双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则

||||2

PF e

MN =. 10. 已知双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上

的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a +≥或220a b x a

+≤-.

11. 设P 点是双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端

点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则

(1)2

122||||1cos b PF PF θ

=-.(2) 122cot 2PF F S b γ?=.

12. 设A 、B 是双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，

P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、

e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有

(1)22222|cos |

|||s |

ab PA a c co αγ=-.

(2) 2

tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB

a b S b a

γ?=+.

13.

已知双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相

交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. 14.

过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直

径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15.

过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于

一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16.

双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为

端点的焦半径之比为常数e(离心率).

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17.

双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶

点连线段分成定比e. 18.

双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心

的比例中项.

其他常用公式：

1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：

1212AB x y =-=-

2、直线的一般式方程：任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式。

3、知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)

与直线垂直的直线可表示为。

4、两平行线间的距离为

。

5、若直线与直线平行

则（斜率）且（在轴上截距）（充要条件）

6、圆的一般方程：，特别提醒：

只有当时，方程才表示圆心为

，半径为的圆。二元二次方程

表示圆的充要条件是且且

。

7、圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元：

；

8、为直径端点的圆方程

切线长：过圆（）外一点

所引圆的切线的长为（） 9、弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及

圆的半径所构成的直角三角形来解：

；②过两圆

、交点的圆(公共弦)系为

，当

时，方程为两圆公共弦所在直线方程.

焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛物线

的焦点的距离（称为焦半径）是：02

p PF x =+，

焦点弦长公式：过焦点弦长121222

p p

PQ x x x x p =+++=++

抛物线px y 22

=上的动点可设为P ),2(2

y p

y

或2(2,2)P pt pt 或

P px y y x 2),(2=其中

已知抛物线22(0)y px p =>，过焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，

直线l 的倾斜角为α，求证：22sin p

AB α=

。

直线与抛物线的位置关系

把直线的方程和抛物线的方程联立起来得到一个方程组。

（1）方程组有一组解?直线与抛物线相交或相切（一个公共点）； （2）方程组有二组解?直线与抛物线相交（2个公共点）

（3）方程组无解?直线与抛物线相离。 直线与抛物线相交形成的弦的有关问题。

设线段AB 为抛物线2

2(0)y px p =>的弦，A 、B 的坐标为11(,)x y 、22(,)x y ，

直线AB 的斜率为k ，弦AB 的中点为M 00(,)x y ，则

（1

）2121AB x y =-=-=

（2）

12121202y y p p

k x x y y y -=

==

-+

直线l 过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点，且与抛物线相交于()11,y x A ，

()22,y x B 两点。

求证：2

12y y p =-，2214p x x =

A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点，满足OA ⊥OB(O 为坐标原点)求证：

(1)A,B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；

(2)直线AB 经过一个定点

(3)作OM ⊥AB 于M ，求点M 的轨迹方程

双曲线

设21,F F 为双曲线14

22

=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足

9021=∠PF F ，求21PF F ?的面积。

焦点三角形12PF F △的面积：12

2cot 2

PF F S b θ

=?△（12F PF θ∠=，b 为虚半轴

长）

1.与22221x y a b

-=共渐近线的双曲线方程22

a x －22y

b λ=（0λ≠）．

2.与22221x y a b -=有相同焦点的双曲线方程22x a k -－2

2

1y b k

=+（2k a <且2k b ≠-）

把直线的方程和双曲线的方程联立起来得到一个方程组。

（4）方程组有一组解?直线与双曲线相交或相切（一个公共点）； （5）方程组有二组解?直线与抛物线相交（2个公共点，一支或两支）

（6）方程组无解?直线与抛物线相离。 直线与抛物线相交形成的弦的有关问题。 设线段AB

为抛物线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的弦，A 、B

的坐标为11(,)x y 、

22(,)x y ，直线AB 的斜率为k ，弦AB 的中点为M 00(,)x y ，则

2121AB x y =-=-=

弦AB 所在直线的斜率为202

0b x k a y =。

椭圆

1. AB 是椭圆22

221x y a b

+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，

则2

2OM AB

b k k a ?=-，即0

202y a x b K AB -=。 2. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是

22

00002222x x y y x y a b a b +=+. 3. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是

22002222x x y y

x y a b a b

+=+. 点差法： 相关点法：

圆

研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。

直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，若

2

2

B

A C Bb Aa d +++=

，则0相离r d ;

0=???=相切r d ;

0>???<相交r d

.直线和圆相切：

这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知

斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。

①过圆上一点的切线方程：圆),(00222y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是200r y y x x =+

当点00(,)P x y 在圆外时，200r y y x x =+表示切点弦的方程。 一般地，曲线)(00022y x P F Ey Dx Cy Ax ，的以点=++-+为切点的切线方程是：02

20

000=++?++?

-+F y y E x x D y Cy x Ax 。 当点00(,)P x y 在圆外时，

02

20

000=++?++?-+F y y E x x D y Cy x Ax 表示切点弦的方程。

这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。

5.经过两个圆交点的圆系方程：经过011122=++++F y E x D y x ，

022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程是： 0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ

在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程。

6.经过直线与圆交点的圆系方程： 经过直线0=++C By Ax l ：与圆

022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程是： 0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ

、圆的一般方程：

022=++++F Ey Dx y x ，圆心为点)2

,2(E

D --

，半径

2

422F

E D r -+=

，

其中0422>-+F E D .

3、二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax ，表示圆的方程的充要条件是：

①2x 项2y 项的系数相同且不为0，即0≠=C A ； ②没有xy 项，即B=0； ③0422>-+AF E D .

5、点和圆位置关系的判定方法：

①当点M （x 0，y 0）在圆的内部时：（x －a ）2＋（y －b ）2r 2 (2)应用:

①直线与圆相离: 求圆上的点到直线距离的最大值最小值 ②直线与圆相切: 求切线方程、切线长、两切线的夹角 ③直线与圆相交: 弦长问题,中点弦问题 A ．常见结论：

1.与椭圆22221x y a b +=（a>b>0）共焦点的椭圆方程可设为：22

22

1x y a k b k

+=++ 中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为

（m>0,n>0）

2.与22221x y a b

-=共渐近线的双曲线方程22

a x －22y

b λ=（0λ≠）．

与

22

22

1

x y

a b

-=有相同焦点的双曲线方程

2

2

x

a k

-

－

2

2

1

y

b k

=

+

（2

k a

<且2

k b

≠-）

3.抛物线：抛物线的通径为2P，焦准距为P,径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦

若抛物线的焦点弦为AB，，则①

，

若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点

B．直线与曲线方程的位置关系：

1.方法一是方程的观点，即把曲线方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.

(1)相交：直线与椭圆相交；

直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有

，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交

的充分条件，但不是必要条件；

直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有

，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线

相交的充分条件，但不是必要条件

(2)相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；

直线与抛物线相切；

(3)相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；

直线与抛物线相离。

【注：a.直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；

b.过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：

①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线共四条；

②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；

③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；

④P为原点时不存在这样的直线；

c.过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。】

2．方法二是几何的观点a.遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆

中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－

；在双曲线中，以

为中点的弦所在直线的斜率

k=

；在抛物线

中，以

为中点的弦所在直线

的斜率k=

b.在求直线与曲线的相交弦的弦长时，要分开讨论：直线与圆相交充分运用垂径定理，即先求出圆心到直线的距离d 和半径R 解出弦长；而直线与其他曲线方程相交通过联立方程应用韦达定理来求解

12AB x =-】

若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则12AB y y =-