菱形的判定定理(1)
菱形的判定教学课件
3. 如图,已知△ABC,AB=AC,将△ABC沿边BC翻折,得到的△DBC与 原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的 依据是( B ) A.一组邻边相等的平行四边形是菱形 B.四条边相等的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
菱形的每一条对角线平分一组对角
获取新知 知识点一：定义判定法 根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
符号语言
∵四边形ABCD是平行四边形，
A
AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
B C
D
知识点二：边判定法
已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,
B
C
菱形ABCD
符号语言：
∵在□ABCD中，AC⊥BD, ∴ □ABCD是菱形.
例题讲解
例2 如图，在▱ABCD中，AC=8，BD=6，AB=5，
求AD的长.
D
C
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA= 1 AC=4，OB= 1 BD=3.
2
2
又∵AB=5，满足AB2=OA2+OB2，
∴△AOB为直角三角形，及OA⊥OB.
F
H
D
G
C
获取新知
知识点二：对角线判定法
前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一 个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成 一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变 成菱形?对此你有什么猜想？
判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC
菱形的判定定理
菱形的判定定理菱形的判定定理是数学中一个重要的定理，它用于判断一个四边形是否为菱形。
菱形是一种特殊的四边形，具有四条边相等且对角线互相垂直的特点。
下面我们将详细介绍菱形的判定定理，并解释其原理及应用。
为了简化问题，首先我们需要明确菱形的定义。
一个四边形如果满足以下条件之一，即可被称为菱形：1. 四条边相等。
2. 对角线互相垂直。
在实际应用中，判断一个四边形是否为菱形，通常使用以下几种方法：方法一：边长判定法通过测量四边形的四条边的长度，如果四条边的长度都相等，则可以判断这个四边形是一个菱形。
方法二：对角线判定法通过测量四边形的两条对角线的长度，如果两条对角线的长度相等，则可以判断这个四边形是一个菱形。
方法三：边长和角度判定法通过测量四边形的四条边的长度以及四个内角的大小，如果四条边的长度都相等且四个内角都为直角（90度），则可以判断这个四边形是一个菱形。
菱形的判定定理的原理是基于上述三种方法，通过测量边长、对角线长度和角度来判断四边形是否为菱形。
这些方法都是基于几何学中关于菱形的定义和特性而来。
在实际应用中，菱形的判定定理可以用于解决一些几何问题，例如：1. 判断建筑物的平面图中是否存在菱形结构。
2. 在设计家具或装饰品时，判断其形状是否为菱形以便于制造。
3. 在地理学中，判断地图上的区域是否为菱形以便于计算面积或边界。
总结起来，菱形的判定定理是数学中用于判断一个四边形是否为菱形的定理。
通过测量边长、对角线长度和角度可以判断一个四边形是否满足菱形的定义。
这个定理在实际应用中有着广泛的应用，可以用于解决各种几何问题。
但需要注意的是，判定菱形的时候需要严格按照定义和条件进行测量和判断，以免出现错误的结果。
1.1菱形的性质与判定(1)
D O 菱形的性质： A C 边：四条边都相等， B 对边平行且相等 角：对角相等，邻角互补 对角线：互相垂直、平分，且每一条对角线 平分一组对角
探索
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、 BD相交于点O. （1）图中有哪些线段是相等的？哪些 D 角是相等的？
A
O C
B
探索
（2）图中有哪些等腰三角形、直角三角形？
D
AOCB源自（3）两条对角线AC、BD有什么特定的位置 关系？
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对 角线AC与BD相交于点O. 求证：(1)AB=BC=CD=AD；(2)AC⊥BD.
想一想：下图中的平行四边形有什么 共同特征？
1、定义：
一组邻边相等的平形四边形是菱形。
思考：菱形是平行四边形吗？
平行四边形
菱形
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四 边形所有的性质。
议一议
木工师傅在做菱形的窗格时，总是保证 四条边框一样长，你能说出其中的道理吗？ 与同伴交流。
定理:菱形的四条边相等.
练习2.已知菱形的周长8cm，一条对角线 长为2cm，则另一条对角线的长为____cm。
A
D
B
C
例3.P4习题1.1第3题 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC与BD相交于点O，求证：AC 平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和 ∠ADC.
结论：菱形的对角线平分对角！
练习3. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是 AB和AD 上的点，且AE=AF，求证CE=CF
D
A
O
C
B
2、菱形的性质
(1)菱形具有平行四边形的所有性质 (2)菱形的四条边相等 菱形的对角线互相垂直平分,
证明菱形判定方法
证明菱形判定⽅法四边都相等的四边形是菱形;两条对⾓线互相垂直的平⾏四边形是菱形;邻边相等的平⾏四边形是菱形;对⾓线互相垂直平分的，四边形是菱形;⼀条对⾓线平分⼀个顶⾓的平⾏四边形是菱形。
下⾯⼩编给⼤家带来证明菱形判定⽅法，希望能帮助到⼤家!证明菱形判定⽅法中点四边形：依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平⾏四边形。
菱形的中点四边形是矩形(对⾓线互相垂直的四边形的中点四边形定为菱形，对⾓线相等的四边形的中点四边形定为矩形。
)菱形是在平⾏四边形的前提下定义的，⾸先它是平⾏四边形，但它是特殊的平⾏四边形，特殊之处就是“有⼀组邻边相等”，因⽽就增加了⼀些特殊的性质和不同于平⾏四边形的判定⽅法。
菱形的⾯积计算：1.对⾓线乘积的⼀半。
(只要是对⾓线互相垂直的四边形都可⽤);由把菱形分解成2个三⾓形，化简得出;2.底乘⾼;3.设菱形的边长为a，⼀个夹⾓为θ，则⾯积公式是：S=a^2·sinθ。
有⼀组邻边相等的平⾏四边形是菱形。
2.四条边都相等的四边形是菱形。
3. 对⾓线互相垂直的平⾏四边形是菱形。
证明菱形判定定理证明：∵AB=CD，BC=AD,∴四边形ABCD是平⾏四边形(两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形).⼜∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形(有⼀组邻边相等的平⾏四边形是菱形).2、对⾓线互相垂直的平⾏四边形是菱形。
证明：∵四边形ABCD是平⾏四边形，∴ OA=OC(平⾏四边形的对⾓线相互平分)。
⼜∵AC⊥BD，∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线，∴ AB=BC，∴四边形ABCD是菱形(有⼀组邻边相等的平⾏四边形是菱形)。
3、有⼀组邻边相等的平⾏四边形是菱形。
RF是三⾓形ABD的中位线，于是RF∥AD，同理：GH∥AD，RH∥BE，FG∥BE，所以有RF∥GH，RH∥FG，所以四边形RFGH是平⾏四边形;第⼆步证明△ACD≌△BCE，则AD=BE，于是有RH=RF;所以四边形RFGH是菱形。
菱形的性质及判定定理
3. 能够运用菱形的知识解决简单的具体问题.
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新知探究
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道如果 平行四边形有一个角是直角时, 成为什么图形 ?
矩形, 由角变化得到
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,又会得 到什么特殊的四边形呢?
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在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边 的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？
B
E
D
C
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由此可进一步推导得出： 对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条 对角线乘积的一半.
D B O A E
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课堂小结
1.你的收获是什么？你的困惑是什么？ 2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识吗？
作业
教材P58，练习第2、3题．
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如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一 个菱形的纸片？ 有同学是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折， 然后沿图中的虚线剪下，打开即可. 你知道其中的道 理吗？
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随堂练习
1、如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点， 且∠B=∠ EAF=60°, ∠ BAE=18°, 求∠ CEF的度数.
第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形
—菱形的性质及判定定理
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学习目标
1. 经历菱形的概念、性质、判定定理的发现过程，掌握菱形
的性质定理 “菱形的四条边都相等” ，“菱形的对角线互相垂 直, 并且每条对角线平分一组对角” ； 2. 掌握菱形的判定定理“四条边相等的四边形是菱形”，“对角 线互相垂直的平行四边形是菱形” ；
菱形的判定定理
菱形的判定定理
总的来说，有三种类型的四边形：
1. 四条边都相等的四边形，这种四边形是菱形。
可以这样证明：由于AB=CD，BC=AD，所以这个四边形是平行四边形。
而由于AB=BC，所以这个平行四边形是菱形，因为它有一组邻边相等。
2. 对角线互相垂直的平行四边形也是菱形。
可以这样证明：由于四边形ABCD是平行四边形，所以它的对角线OA和OC是平分的。
而由于AC垂直于BD，所以BD是AC的垂直平分线。
这样，我们得到AB=BC，所以这个平行四边形是菱形，因为它有一组邻边相等。
3. 有一组邻边相等的平行四边形也是菱形。
可以这样证明：RF是三角形ABD的中位线，所以RF//AD。
同理，GH//AD，RH//BE，FG//BE，所以RF//GH，RH//FG。
因此，这个平行四边形的对角线RFGH是一个平行四边形。
然后我们证明三角形ACD全等于三角形BCE，这样AD=BE，所以RH=RF。
因此，这个平行四边形的对角线是平分的，且每组对边相等，所以它是菱形。
菱形的判定需要满足一些条件，比如一组邻边相等、对角线互相垂直、四条边均相等、对角线互相垂直平分、两条对角线分别平分每组对角等等。
同时，菱形的对角线必须与x轴平行，另一条对角线与y轴平行。
不满足这些条件的几何学菱形在计算机图形学上被视作一般四边形。
菱形的性质及判定
菱形的性质及判定知识点 A 要求B 要求Ｃ要求菱形会识别菱形 掌握菱形的概念、性质和判定;会用菱形的性质和判定解决简单问题 会用菱形的知识解决有关问题1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形;它具有平行四边形的所有性质;•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补;对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形;也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高;等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直;其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．重点是菱形的性质和判定定理..菱形是在平行四边形的前提下定义的;首先她是平行四边形;但它是特殊的平行四边形;特殊之处就是“有一组邻边相等”;因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法..菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续;又是以后要学习的正方形的基重、难点知识点睛中考要求础..难点是菱形性质的灵活应用..由于菱形是特殊的平行四边形;所以它不但具有平行四边形的性质;同时还具有自己独特的性质..如果得到一个平行四边形是菱形;就可以得到许多关于边、角、对角线的条件;在实际解题中;应该应用哪些条件;怎样应用这些条件;常常让许多学生手足无措;教师在教学过程 中应给予足够重视..板块一、菱形的性质【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上;一个菱形绕它的中心旋转;使它和原来的菱形重合;那么旋转的角度至少是【例2】 ⑴如图2;一活动菱形衣架中;菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==;则1∠= 度．图21CBA⑵如图;在菱形ABCD 中;60A ∠=︒;E 、F 分别是AB 、AD 的中点;若2EF =;则菱形ABCD 的边长是______．【例3】 如图;E 是菱形ABCD 的边AD 的中点;EF AC ⊥于H ;交CB 的延长线于F ;交AB 于P ;证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【例4】 ☆ 如图1所示;菱形ABCD 中;对角线AC 、BD相交于点O ;H 为AD 边中点;菱形ABCD 的周长为24;则OH 的长等于 ．E F DBC A例题精讲图1HO DC B【巩固】 ☆如图;已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ;则DE 的长为【例5】 ☆ 菱形的周长为20cm ;两邻角度数之比为2:1;则菱形较短的对角线的长度为【巩固】 如图2;在菱形ABCD 中;6AC =;8BD =;则菱形的边长为A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCBA【巩固】 如图3;在菱形ABCD 中;110A ∠=︒;E 、F 分别是边AB 和BC 的中点;EP CD ⊥于点P ;则FPC ∠=A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒图3E DP CF BA【例6】 ☆如图;把一个长方形的纸片对折两次;然后剪下一个角;为了得到一个锐角为60︒的菱形;剪口与折痕所成的角α的度数应为A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒【巩固】 菱形ABCD 中;E 、F 分别是BC 、CD 的中点;且AE BC ⊥;AF CD ⊥;那么EAF ∠等于 ．【巩固】 如图;将一个长为10cm ;宽为8cm 的矩形纸片对折两次后;沿所得矩形两邻边中点的连线虚线剪下;再打开;得到的菱形的面积为A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm图1DCBA的大小是【例8】 如图;菱形花坛ABCD 的周长为20m ;60ABC ∠=︒;•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD;求两条小路的长和花坛的面积．图2【例9】 已知;菱形ABCD 中;E 、F 分别是BC 、CD 上的点;若AE AF EF AB ===;求C ∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例10】 如图;如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形;需要添加一个条件;那么你添加的条件是 ．DCAB【例11】 ☆如图;在ABC ∆中;BD 平分ABC ∠;BD 的中垂线交AB 于点E ;交BC 于点F ;求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【巩固】 已知：如图;平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例12】 如图;在梯形纸片ABCD 中;//AD BC ;AD CD >;将纸片沿过点D 的直线折叠;使点C 落在AD 上的点C 处;折痕DE 交BC 于点E ;连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例13】 ☆如图;E 是菱形ABCD 的边AD 的中点;EF AC ⊥于H ;交CB 的延长线于F ;交AB 于P ;证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF P PF EDC B A【巩固】 ☆已知：如图;在平行四边形ABCD 中;AE 是BC 边上的高;将ABE ∆沿BC 方向平移;使点E 与点C重合;得GFC ∆．若60B ∠=︒;当AB 与BC 满足什么数量关系时;四边形ABFG 是菱形 证明你的结论．GF E DCBA【例14】 如图;在ABC ∆中;AB AC =;M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ;ME AC ⊥于E ;DF AC ⊥于F ;EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．PMF E DG CBA【例15】 如图;ABC ∆中;90ACB ∠=︒;AD 是BAC ∠的平分线;交BC 于D ;CH 是AB 边上的高;交AD 于F ;DE AB ⊥于E ;求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA【巩固】 ☆如图;M 是矩形ABCD 内的任意一点;将MAB ∆沿AD 方向平移;使AB 与DC 重合;点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形； ⑵连结'MD MC MM ，，;试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直;且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时;在上述变换下;四边形'MDM C 是菱形 为什么M'MDC BA三、与菱形相关的几何综合题【例16】 已知等腰ABC △中;AB AC =;AD 平分BAC ∠交BC 于D 点;在线段AD 上任取一点P A 点除外;过P 点作EF AB ∥;分别交AC 、BC 于E 、F 点;作PM AC ∥;交AB 于M 点;连结ME . ⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时;菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半MPFABCDE1. 菱形周长为52cm ;一条对角线长为10cm ;则其面积为 ．2.如图;在菱形ABCD 中;4AB a E =，在BC 上;2120BE a BAD P =∠=︒，，点在BD 上;则PE PC +的最小值为EPDCBA3. 已知菱形的一个内角为60︒;一条对角线的长为23;则另一条对角线的长为________．4.已知;菱形ABCD 中;E 、F 分别是BC 、CD 上的点;且60B EAF ∠=∠=︒;18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBA5.如图;在ABC ∆中;AB AC =;D 是BC 的中点;连结AD ;在AD 的延长线上取一点E ;连结BE ;CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时;四边形ABEC 是菱形 并说明理由．课后练习EDCB A6.如图;ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类 直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时;四边形ADFE 为正方形．FEDCB A7.如图;已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线;AM BE ⊥于M ;AN CF ⊥于N ;求证：MN BC ∥．NMEFCBA。
18-4 菱形的性质与判定(原卷版)
【变式3-2】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．48B．32C．24D．16
【变式3-3】（2022秋•阳山县期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，着EF ，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
【例题5】（2022秋•二七区校级月考）如图▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的
是（ ）
A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形
D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
解题技巧提炼
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②菱形的四条边都相等.
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.
⑤利用菱形的性质可证线段线段，角相等.
性质定理应用格式：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD；
AC平分∠BAD，AC平分∠BCD；
BD平分∠ABC，BD平分∠ADC；
【变式4-2】（2021秋•武功县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F在对角线BD上，且BF＝DE，连接AE，AF．求证：AE＝AF．
【变式4-3】（2022秋•渭滨区校级月考）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝CF，DE，DF分别与AC交于点M，N．求证：DM＝DN．
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1922 菱形的判定(1)
一、教学目的：
1. 理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用
这些判定方法进行有关的论证和计算；
2. 在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.
二、重点、难点
1•教学重点：菱形的两个判定方法.
2•教学难点：判定方法的证明方法及运用.
三、例题的意图分析
本节课安排了两个例题，其中例1是教材P109的例3，例2是一道补充的题目，这两
个题目都是菱形判定方法的直接的运用，主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法，并会用
这些判定方法进行有关的论证和计算. 这些题目的推理都比较简单，学生掌握起来不会有什
么困难，可以让学生自己去完成•程度好一些的班级，可以选讲例3.
四、课堂引入
1•复习
(1 )菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；
(2)菱形的性质1菱形的四条边都相等；
性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
(3)运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？(判定：2个条件)
通过教材P109下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：
菱形判定方法1 四边都相等的四边形是菱形.
五、例习题分析
例1 (教材)略
例2 (补充)如图，已知AD 平分/ BAC , DE//AC , DF//AB , AE=5.
(1)判断四边形AEDF的形状？
(2)四边形AEDF的周长为多少？
※例3 (选讲) 已知：如图，△ ABC中， / ACB=90°, BE平分/ ABC , CD丄AB与
D, EH 丄AB 于H , CD 交BE 于F.
求证：四边形CEHF为菱形.
略证：易证CF // EH , CE=EH，在Rt△ BCE 中，/ CBE+ / CEB=90°，在Rt△ BDF 中， / DBF+ / DFB=90 ,因为/ CBE= / DBF , / CFE= / DFB ,所以/ CEB= / CFE,所以CE=CF . 所以，CF=CE=EH , CF / EH，所以四边形CEHF为菱形.
六、随堂练习
1 .画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm.
2.如图，0是矩形ABCD的对角线的交点，DE // AC , CE //
BD , DE和CE相交于E,求证：四边形OCED是菱形。
七、课后练习
1 已知：如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DM丄AB , EF丄AB , ME丄AC , DG丄AC .求证：四边形MEND是菱形.
2．做一做：
设计一个由菱形组成的花边图案.花边的长为15 cm,宽为4 cm,由有一条对角线在
同一条直线上的四个菱形组成, 前一个菱形对角线的交点, 是后一个菱形的一个顶点. 画出花边图形.。