高等数学(B)下2020年华南理工大学平时作业(1)

前半部分作业题，后半部分为作业答案

各科随堂练习、平时作业（yaoyao9894）

《 高等数学B （下） 》练习题

2020年3月

一、判断题 1. ()

3

4

20yy y

y xy ''''+-=是二阶微分方程.

2. （1）若12(),()y x y x 是二阶线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的两个特解,

则1122()()()y x C y x C y x =+是该方程的通解.

（2）若12(),()y x y x 是二阶线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的两个线性无关的特解, 即

12()

()

y x y x ≠常数，

则1122()()()y x C y x C y x =+是该方程的通解. 3. （1）若两个向量,a b 垂直，则a b ⨯0.=

（2）若两个向量,a b 垂直，则a b ⋅0.= （3）若两个向量,a b 平行，则a b ⨯0.= （4）若两个向量,a b 平行，则a b ⋅0.=

4. （1）若函数(,)f x y 在00(,)x y 点全微分存在，则(,)f x y 在00(,)x y 点偏导数也存在.

（2）若函数(,)f x y 在00(,)x y 点偏导数存在，则(,)f x y 在00(,)x y 点全微分也存在. 5. （1）设连续函数(,) 0f x y ≥，，则二重积分

(,)d σ⎰⎰D

f x y 表示以曲面(,)f x y 为顶、以区

域D 为底的曲顶柱体的体积. （2）二重积分

(,)d σ⎰⎰D

f x y 表示以曲面(,)f x y 为顶、以区域D 为底的曲顶柱体的体积.

6. （1）若(,)f x y 在00(,)x y 处取得极大值，且(,)f x y 在00(,)x y 点偏导数存在，则00(,)x y 是函数(,)f x y 的驻点.

（2）若(,)f x y 在00(,)x y 处取得极大值，则00(,)x y 是函数(,)f x y 的驻点. 7. （1）若lim 0→∞

=n n u ,则数项级数

1

n

n u

∞

=∑收敛.

（2）若数项级数

1n

n u

∞

=∑收敛,则lim 0→∞

=n n u .

8. （1）若级数

1

||n

n u

∞

=∑收敛，则级数1

n n u ∞

=∑也收敛.

（2）若级数

1

n

n u

∞

=∑收敛，则级数

1

||n

n u

∞

=∑也收敛.

9. （1）调和级数

1

1

∞

=∑n n 发散. （2）p 级数

11

(1)p

n p n

∞

=>∑收敛. 10. （1）若区域D 关于x 轴对称，函数(,)f x y 关于y 是偶函数，则

(,)d =0.σ⎰⎰D

f x y

（2）若区域D 关于x 轴对称，函数(,)f x y 关于y 是奇函数，则(,)d =0.σ⎰⎰D

f x y

二、填空题（考试为选择题）

1. 一阶微分方程22

x x e y xye x '+=的类型是______________________________. 2. 已知平面与,,(3,0,0),(0,4,0),(0,0,5)x y z -轴分别交于,则该平面方程为__________. 3.

函数(,)=f x y 定义域为__________.

4. 22

2(,)(0,0)3(,)0(,)(0,0)xy

x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩

，，在(0,0)处的两个偏导数为__________.

5. z z a Ω==若是由圆锥面所围成的闭区域,则三重积分

(,,)d d d f x y z x y z Ω

⎰⎰⎰化为柱面坐标系下的三次积分为 __________.

6. 等比级数1

∞

=∑n

n q

的敛散性为__________.

三、解答题

1. 求微分方程+60y y y '''-=的通解.

2. 123(2,1,4),(1,3,2),(0,2,3).M M M ---求经过三点的平面方程

3. 若22

(+2,3)z f x y xy =，其中f 具有连续偏导数，求z 的两个偏导数.

4. 求椭球面222

3214++=x y z 在点()1,1,3处的切平面方程和法线方程.

5. 21x y z Ω++=若是由平面与三个坐标面所围成的闭区域,计算三重积分

d d d .Ω

=⎰⎰⎰I x x y z

以下为答案部分

《 高等数学B （下） 》练习题

2020年3月

一、判断题

1. ()3420yy y y xy ''''+-=是二阶微分方程. （×）

2. （1）若12(),()y x y x 是二阶线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的两个

特解,则1122()()()y x C y x C y x =+是该方程的通解.（×）

（2）若12(),()y x y x 是二阶线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的两个线性无关的特解，即12()

()

y x y x ≠常数，则1122()()()y x C y x C y x =+是该方程的通解.（√）

3. （1）若两个向量,a b 垂直，则a b ⨯0.=（×）

（2）若两个向量,a b 垂直，则a b ⋅0.=（√）

（3）若两个向量,a b 平行，则a b ⨯0.=（√）

（4）若两个向量,a b 平行，则a b ⋅0.=（×）