第7章 随机利率模型 0
d (t ) rt (t )dt
其中 rt 是瞬时利率。由上式可以进一步的推出： 说明：如果瞬时利率rt是随机的，银行账户过程 (t )也是随机的。 （2）随机折现因子 ①在t时刻到T时刻的随机折现因子D(t，T)是：
②随机折现因子的含义 假设在0时刻向银行账户存入A单位货币，则在t>0时刻银行账户将有 A 单位货币。若希望在 T(T>t)时银行账户 (t ) 有1单位货币，即 A (T ) 1 ，需在0时刻投入 A 所以，T时刻的1单位货币，在t时刻的价值为
dB(t ,T ) B(t ,T )[m(t, T )dt v(t,T )dWt ]
其中，
m(t , T ) 和v(t,T ) 分别为零息债券的瞬时收益率和瞬时波动率。
由
可以得到：
因此可以看出，λt的含义是承担单位风险获得的超额收益，即利率风险的市场价格。
3．零息债券价格满足的偏微分方程 模型推导： 由
则零息债券满足的随机微分方程：
方法二：直接对B(t，T，rt)应用 Ito ˆ 引理，也可以得到上面的随机微分方程。
2．利率风险的市场价格 用两种不同到期日的零息债券(即T1≠T2)构造无风险资产组合，设组合 为： （7.1） 选择适当的头寸 ，使得 的风险为零，即 （7.2）
是两种零息债券对利率风险的敏感度之比，也是用到期日为T2的零息债券对到期日为T1的零息债券做套期保
§7.2
Ho-Lee模型
1．Ho-Lee模型（假定市场是完备的、考虑离散时间） 该模型假定初始利率期限结构是已知的，使用了当前可观测的期限结构所包含的全部信息来给衍生证券定价， 以保证不出现套利机会，是无套利模型。 sn ：第n期市场的状态空间；
Di( n) (T )（贴现函数）：第n期、状态 i sn 出现、到期时刻为T的零息票债券的价格。
图7-1 （2）极限情况下，Ho-Lee模型下的短期利率
零息债券价格的二叉树模型
在极限情况下，Ho-Lee模型下的短期利率满足：
drt a (t )dt dWt
其中，a(t ) 为时间t的函数，描述了 rt 变动的趋势； 为一常数，描述了利率的波动幅度；Wt 为标准布朗运动。
2．Ho-Lee模型的应用 由 drt a (t )dt dWt 可得
期限(年) l 2
市场观测数据
零息债券价格(元) 94.49 88.50 5.83 6.30
零息利率(％)
期限(年)零息利率(％)零息债券价格(元)l5.8394.4926.3088.50构建Ho-Lee模型下利率的二叉树及债券价格的二叉树。 解：债券价格的树形结构如图7-2所示，其中2年期的零息票债券在一年后其价格以0．5的概率变为Pu ，或者以 0.5的概率变为Pd 。
图7-2
基于Ho-Lee模型的定价二叉树(2年期零息票债券)
该价格是受相应利率变动影响的，与其相对应的短期利率的结构如图7-3所示。
图7-3 首先可以得到Pu和Pd的表达式分别为：
基于Ho-Lee模型的短期利率树形结构
再由债券价格可得：
解该方程得a 1 0.96% 。
也可得到 r u 8.29%, r d 5.29% ， Pu =92.34，Pd =94.98 。 债券的价格二叉树、利率的二叉树分别如图7-4和图7-5所示：
图7-4
基于Ho-Lee模型的债券价格二叉树
图7-5
基于Ho-Lee模型的短期利率树
【例题7.3】图7-6给出了一利率二叉树图，假设所有分支上的概率都是1／2，用倒向法计算两年期零息债券的 价格为（ ）。
图7-6 A．0.8865 【答案】C 【解析】两年期零息债券的价格为： B．0.8925 C．0.9071 D．0.9123 E．0.9257
2 E (drt ) E (a (t ))dt ，Var (drt ) dt 。 在计算债券价格时，通常将 drt a(t )dt dWt 离散化为：
其中随机变量ε在u出现时取+1，在d出现时取-1，u和d分别代表向上移动和向下移动。
【 例 题 7.2】 表 7-1 为 一 组 面 值 为 100 元 的 零 息 票 债 券 的 数 据 ， 设 利 率 变 动 符 合 Ho-Lee 模 型 ， 其 中 1.5% ， t 1 。 表7-1
值的比率。 对 B(t , T1 , rt ) B(t , T2 , rt ) 微分可得：
由 B(t , T1 , rt ) B(t , T2 , rt ) 0 可得：
r
r
故组合 是无风险的，因此其收益率与无风险收益率相等，即
d
将d 的表达式价格满足的偏微分方程：
整理上式，可得：
（7.5）
边界条件为：B(T，T)=1
模型求解方法： 可以利用有限差分方法或者蒙特卡罗模拟法对上式进行求解，因此可对任意特定的随机利率模型求出上式的数 值解。利用Feynman-Kac公式，债券价格满足的微分方程的解为：
其中Q是风险中性概率测度，
表示在t时刻的信息集。
一般的，对于一个到期日为T的利率衍生品，如果其到期支付为f(T)，则该衍生品t时刻的价格为：
4．基于鞅方法的零息债券定价公式 在风险中性概率测度Q下，任何资产的期望收益率均为无风险收益率 rt，因此债券价格满足的随机微分方程变为：
根据零息债券满足的随机微分方程
可得
由
得：
说明：这里需要假定Girsanov定理的条件成立。
t时刻的期限为[T，S] (T<S)的远期复利 Fc (t,T , S ) 的定义为：
说明： Fl (t,T , S ) 和 Fc (t,T , S ) 是基于t时刻的信息对未来的期限为[T，S]的即期单利和即期复利的预期值。
（5）远期瞬时利率 远期瞬时利率的定义为： 由定义可知 rt f (t , t ) 。 由上面的等式可以推出，零息债券的价格可表示为：
1 1 =0.9434, =0.9615 1.06 1.04 0.9434 /1.05 0.9615 /1.05 0.9071 2
§7.3 （1）随机利率模型的一般形式
连续时间随机利率模型下零息债券的定价
1．随机利率模型的一般形式及零息债券价格满足的随机微分方程 考虑单因素模型。关于短期利率rt的随机微分方程的一般形式为： 其中， (t , rt ) 被称为漂移项，被称为 (t , rt ) 波动项， Wt 为客观概率测度P下的标准布朗运动。 （2）零息债券价格满足的随机微分方程 由于零息债券价格B(t，T)与rt有关，则可以把B(t，T)视为关于t，T，rt的函数，即： 方法一：对B(t，T，rt)微分可得：
1 单位的货币，这笔金额在t时刻银行账户的价值为： (t ) A (t ) (T ) (T )
(t ) 。 (T )
（3）连续复利收益率 用B(t，T)表示T时刻到期的零息票债券1单位面值在t时刻的价格。连续复利收益率R(t，T)定义为： 由这个等式可以推出： R(t，T)是零息债券在[t，T]上的平均收益率。 说明：尽管B(t，T)与D(t，T)二者都是从T到t的贴现因子，但B(t，T)在t时刻是一个数，而D(t，T)则可能是一个 随机变量。 （4）远期单利和远期复利 t时刻的期限为[T，S] (T<S)的远期单利 Fl (t , T , S ) 的定义为：
第7章 【考试要求】 7.1 引言 相关概念 利率模型的评价标准 均衡模型与无套利模型 7.2 Ho-Lee模型 Ho-Lee模型 Ho-Lee模型的应用 7.3 连续时间随机利率模型下零息债券的定价
随机利率模型
随机利率模型的一般形式及零息债券价格满足的随机微分方程 利率风险的市场价格
零息债券价格满足的偏微分方程
3．均衡模型与无套利模型 （1）均衡利率模型（绝对定价模型） 可以对债券和利率衍生品定价。由于货币市场和资本市场的复杂性，单因素均衡模型推导出来的收益率曲线一 般不能精确地拟合实际的收益率曲线，所以实际中也常常采用多因素模型。 单因素模型：是指模型中只涉及一个布朗运动，或者说模型只有一个风险源； 多因素模型：是指涉及多个布朗运动，因而对应了多个风险源。 说明：在均衡模型中，远期利率是由随机模型预测得到； （2）无套利模型（相对定价模型或拟合模型） 基本思想是基于已知的市场债券或其他利率衍生品的价格构造收益率曲线，再利用得到的收益率曲线对其他的 利率衍生品定价。基于无套利模型得到的价格是一种相对价格，即相对于已知的价格的无套利价格。 说明：在无套利模型中，远期利率是通过债券或某些利率衍生品的价格得到。
基于鞅方法的零息债券定价公式
7.4
Vasicek模型
Vasicek模型及模型求解 Vasicek模型下的债券的定价 7.5 CIR模型 CIR模型及模型求解 CIR模型下债券的定价 7.6 单因素模型的局限性 单因素模型的局限 多因素模型简介
【要点详解】 §7.1 1．相关概念 （1）银行账户过程 定义 (t ) 为t时刻银行账户过程(的价值)。假设β(0)=1，且银行账户满足以下的微分方程： 引言
可通过测度变换将贴现的债券价格过程转化为鞅。令 其中βt是银行账户过程，显然Z(T，T)=βT-1。 由 Ito ˆ 引理可得： （7.6） 因此Z(t，T)是一个Q鞅，所以， 将Z(t，T)和Z(T，T)的表达式代入(7.6)式可得：
§7.4 Vasicek模型 短期利率rt最著名的两个模型是Vasicek模型和CIR模型。这两个模型都是时间齐性，即rt未来的变化仅依赖于rt 的当前值，而不是当前的时刻t。 1．Vasicek模型及模型求解 （1）客观概率测度下的Vasicek模型 ①模型的形式 该模型形式为：
rt dt （7.3）
由
B(t , T1 , rt ) B(t , T2 , rt ) 0 可得： r r
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随机利率模型下的风险度量
（ ｔｔｔ ｓＤ ｐｒ ｅｔＥ ｏｏ ｉｓ ｎｔｕｅ Ｊ ｎｎＵ ｉ ｒｉ ， ｕｎｄ ｎ ｕｎ ｚｏ １６２Ｐ Ｃ） Ｓａ ｓｃ ｅａｔ ｎ， ｃｎｍ ｃ ｓｔｔ， ａ ｎｖ ｓｙ Ｇ ａ ｇｏｇＧ ａ ｇｈｕ５ ０ ３ Ｒ ｉｉ ｍ Ｉ ｉ ｉ ｅ ｔ
Ａｂ ｔａ ｔ Ｗ ｉ ｈ ｒ ｃ ｓ ｆｉ ｔｒ ｓ ｒ ｅ ｉａｉｎ ａ ｅ ｎ ｔ ｅ ｂ ｙ ａ ｃ ｌｒ ｔ ｇ， ｅ ｒ ｏ ｂ ｕ ｓｒ ｃ ： ｔ ｔ ｅ ｐ ｏ ｅ ｓｏ ｅ ｅ ｔ ｈ ｎ ｍａ ｋ ｔ ｔ ｒ ｏｉ ａ ｌ ｃ ｅｅ ａｉ ｗｅ ｌ ａｎ ａ ｌｔａ ｏ ｔ ｚ ｏ ｃ ｎ ｂ ｎ ｏ ａｉ ｔ ０ ａ ｏ ａ ａｙ ｅ ｔ ｅ ｃ ｕ ｅ ｏ ｈ ｎ ｅ ｎ ｔ ｅ ｂ ｎ ｒ ｅ ａ ｄ ｍａ ｅ ｐ ｒ ｃ ｎ ｅ ｔ ｎ ｏ ｄ ｖ ｌｔ ｉ ８ ｓ ｔ ｎ ｌｓ ｈ ａ ｓ ｆｃ ａ ｇ ｓ ｉ ｏ ｄ ｐ ｃ ｎ ｋ ｅ ｆ ｔｉ ｖ ｓ ｌｙ ｈ ｉ ｅ ｍｅ ｔ
债券的价格 的研 究成果 ， 推广到 了随机 利率模型 下的债 券的 价格 ， 并在 此基 础上 介绍 了债券 价格 波动率 的 ２ 种重要测度 ： 久期和 凸度 ， 出了久期 凸度对 国债 价格波动 率预测的 实证 分析 ， 给 以及基 于久期和 凸度 的套期保
值方 法。
关键词 ： 债券 的价格 ； 价格波动率 ； 久期 ； 凸度 ； 套期保值
中 图分 类 号 ：８０ ５ Ｆ １ ． Ａ 的 文献 标 识 码 ：
－
冈Ｖ
Ｔｈｅ Ｒｉｋ Ｍ ｅ ｓ ｒ ｏ ｅ ｎｄｅ ｏ ｈａ ｔｃ Ｉ ｅ ｅ ｔＲａ ｅ ｓ ａ ｕ ｅ Ｍ ｄ ｌｕ ｒ Ｓｔ ｃ ｓｉ ｎｔ ｒ ｓ ｔｓ
险
ＫＯＵ Ｌｕ， Ｉ Ｘｉ ｎ － ｏ ｇ’ Ｌ Ｕ ａ ｇ ｄ ｎ
基于随机利率模型的零息债券定价方法研究
基于随机利率模型的零息债券定价方法研究作者：谌雪莺黄宜平来源：《中小企业管理与科技·下旬》2011年第01期摘要：债券定价是当前金融市场研究的重要内容之一。
本文对三种随机利率模型的优劣作了比较，并在此基础上，讨论了零息债券的定价，给出了Vasicek模型和CIR模型的解析解，同时讨论了Hull-White模型的数值方法。
关键词：Vasicek模型 CIR模型 Hull-White模型零息债券债券融资是直接融资的一种方式，债券定价的高低直接影响到发行人的融资成本和投资人的获利空间，所以债券定价是当前金融市场研究的重要内容之一。
正是基于此，本文研究了零息债券的定价方法。
零息债券是一种以贴现方式发行，不附息票，在到期日按票面值支付的债券。
假定到期日t=T，则零息债券的价格是r，t，T的函数，不妨记作P(r，t，T)。
当利率r（t）是确定的函数时，零息债券的价格满足r（t）P（t），（0≤t≤T），P（r，T，T）=1可解得零息债券的价格为，特别地，当利率为常数r时，债券的价格为P(r，t，T)=e-(T-t)r。
当利率r（t）为随机过程时，零息债券的价格为此时零息债券的价格依赖于随机利率的模型。
现代利率期限结构理论认为，在确定利率时，许多因素都在同时起作用，各种利率的运动过程均表现出一定的随机性，但同时又具有向一个均值水平靠拢的行为，即，当利率较高时，利率呈现下降趋势；当利率较低时，利率呈现上升趋势，一般将利率的这一特性称为均值回复(mean reversion)现象。
随机利率模型有很多，如Brennan and Schwartz(1979，1982)，Courtadon(1982)，Cox，Ingersoll，Ross(1985)， Dothan(1978)， Longstaff(1989)， Vasicek(1977) and Hull，White(1990)等。
这些模型所考虑的利率过程都具有均值回复现象。
随机波动率和随机利率下离散采样方差互换定价问题
在这些背景下，解决随机波动率和随机利率下的离散采样方差互换定价问题，不仅 具有理论价值，也有实际应用的重要性。
02
随机波动率与随机利 率模型
随机波动率模型介绍
定义
随机波动率模型是用于描述金融 市场中资产价格波动率的模型， 其中波动率不是常数，而是随时
间随机变化。
Heston模型
一种常用的随机波动率模型，它假 设波动率是由一个均值回复过程驱 动的，能够捕捉到波动率的聚集效 应和微笑效应。
02
参数法
这种方法通过拟合波动率和利率的参数模型（如随机波动率模型、随机
利率模型等）来估计未来分布。参数法可以提供更灵活的定价框架，但
也需要对模型的参数进行准确的估计和校准。
03
蒙特卡洛模拟
这种方法通过大量模拟标的资产价格的随机路径来计算方差互换的预期
收益和价格。蒙特卡洛模拟可以处理复杂的定价问题，但计算量通常较
有限差分法
通过数值求解偏微分方程来得到方差互换价格
有限差分法是一种将偏微分方程离散化，并利用差分 近似求解的方法。在方差互换定价中，可以将随机波 动率和随机利率的偏微分方程进行离散化处理，并利 用已知的边界条件和初始条件，通过迭代计算得到方 差互换价格的数值解。有限差分法的优点是计算效率 较高，可以处理高维问题，缺点是对边界条件和初始 条件敏感，可能存在数值稳定性和收敛性问题。
SABR模型
另一种随机波动率模型，它通过使 用随机过程来模拟资产价格和波动 率之间的相关性，常用于期权定价 。
随机利率模型介绍
• 定义：随机利率模型用于描述金融市场中的利率动态，其中利率被建模为随机 过程，以捕捉利率的随机波动和期限结构效应。
• Vasicek模型：一种常用的随机利率模型，它假设利率遵循一个均值回复过程 ，通过调整参数可以拟合不同的利率期限结构。
02
随机波动率与随机利 率模型
随机波动率模型介绍
定义
随机波动率模型是用于描述金融 市场中资产价格波动率的模型， 其中波动率不是常数，而是随时
间随机变化。
Heston模型
一种常用的随机波动率模型，它假 设波动率是由一个均值回复过程驱 动的，能够捕捉到波动率的聚集效 应和微笑效应。
02
参数法
这种方法通过拟合波动率和利率的参数模型（如随机波动率模型、随机
利率模型等）来估计未来分布。参数法可以提供更灵活的定价框架，但
也需要对模型的参数进行准确的估计和校准。
03
蒙特卡洛模拟
这种方法通过大量模拟标的资产价格的随机路径来计算方差互换的预期
收益和价格。蒙特卡洛模拟可以处理复杂的定价问题，但计算量通常较
有限差分法
通过数值求解偏微分方程来得到方差互换价格
有限差分法是一种将偏微分方程离散化，并利用差分 近似求解的方法。在方差互换定价中，可以将随机波 动率和随机利率的偏微分方程进行离散化处理，并利 用已知的边界条件和初始条件，通过迭代计算得到方 差互换价格的数值解。有限差分法的优点是计算效率 较高，可以处理高维问题，缺点是对边界条件和初始 条件敏感，可能存在数值稳定性和收敛性问题。
SABR模型
另一种随机波动率模型，它通过使 用随机过程来模拟资产价格和波动 率之间的相关性，常用于期权定价 。
随机利率模型介绍
• 定义：随机利率模型用于描述金融市场中的利率动态，其中利率被建模为随机 过程，以捕捉利率的随机波动和期限结构效应。
• Vasicek模型：一种常用的随机利率模型，它假设利率遵循一个均值回复过程 ，通过调整参数可以拟合不同的利率期限结构。
随机波动模型
含有外生因素的SV模型
金融资产收益的均值与波动常会受到一些外生解释变量的 影响，这些变量主要包括虚拟变量，季节成分，周末效应， 成交量等。Watanabe在分析东京股市收益时，将基本SV模型 扩展为： yt a b1 yt 1 b2 yt 2 c t2 dDt exp(ht / 2) t , t i.i.d .(0,1) ht ht 1 Dt yt 1 t ,t i.i.d .(0,1) 其中 t exp(ht / 2)表示测度序列的波动，Dt 是表示周末效应 的虚拟变量，在周末后的第一个交易日取1，其余时间取0。 上式中的c t2项是刻画风险溢价的，而 yt 1是刻画当期收益与 未来收益波动的相关性。实证表明，参数c，d， 和 都具有 较高的显著性，这与金融市场中的一些波动特性相一致。
长记忆SV模型（LMSV）
为了刻画波动过程中所表现的长记忆特征，把ARFIMA 过程纳入到基本SV模型中，提出了一类长记忆随机波动 模型如下： yt exp(ht / 2) t , t i.i.d .(0,1)
2 (1 L) d ( L)ht ( L)t ,t i.i.N (0, )
其中参数 为自由度。当4 时，t分布的峰度大于 3, 时就变成正态分布， 4时其峰度不存在。
②SV -GED模型 另一种峰度大于3的分布是广义误差分布(GED)，在SV GED 模型下，扰动部分 t 服从均值为0方差为1的正规化GED，这时 1 cesp{ ( t )c } 2 f ( t ) ,0 c 2 11/ c (1/ c)2 2/ c (1/ c ) 1/2 其中 [2 ] (3 / c) 这里c为自由度，当c 2时，GED为正态分布，c 2时期峰度 大于3，为厚尾分布。 一些实证研究表明，这两种分布假设下的模型，能较好地描 述许多金融序列中所表现出的“高峰厚尾”与平方收益的长 记忆性。
金融工程第七章股票价格的随机模型
表7-1只表示了股价运动的一种可能方式。不同的随 机取样将会导致不同的价格运动。
在模拟中可使用任意小的时间段△t。然而，只有当 极限△t→0时才能得到几何布朗运动的真实描述。 表7-1的最后股票价格21.124元可以被看作10个时间 段或十分之一年末股票价格分布的随机抽样值。
通过如表7-1中所示的反复模拟运动，就可以在一年 的十分之一时间结束时，求出完整的股票价格的随 机分布。
每个周期 （0，1）中 (0.0014,0.02)
开始时的 抽样的随机 抽取对应随机
股票价格 20.000
样本v1 0.52
样本v2 0.0118
20.236
1.44
0.0302
20.847
–0.86
–0.0158
20.518
1.46
0.0306
21.146
–0.69
–0.0124
20.883
–0.74
35
第一节 马尔可夫过程 第二节 股票价格变化的随机模型 第三节 蒙特卡罗模拟 第四节 伊托引理及在股票格中的应用 第五节 收益率与波动率 第六节 股票价格的二叉树模型
36
一、伊托引理 假若变量x的价值遵循伊托过程：
dx a(x,t)dt b(x,t)dz
式中dz是一种维纳过程。变量x的偏差率是a， 方差率为b2。则变量x和时间t的函数G遵循过程：
8
股票价格的变化可被假定遵循马尔可夫过程。
假设某公司股票价格为50元。 如果股价遵循马尔可夫过程，那么以前的股价 并不影响对将来的预测。
马尔可夫性质隐含了在将来任一特定时刻股价 的概率分布仅仅取决于股票当前的价格。股票 的现在价格已经包含了所有信息，当然也包括 了过去的记录。
第7章 利率期限结构：动态模型
通过伊藤引理从模型内生出瞬时利率和时间的函数 的随机过程:
dB B r , t , T dt B r , t , T dz t B PDE或者鞅测度方法为利率产品定价B。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
9/18/2018 固定收益证券 8
第一节 动态利率模型概述
dr t r r t , t dt r r t , t dz t
即期利率与瞬时利率
给定瞬时利率在t时刻的初始值及其动态过程， t时刻的任意期限即期利率（利率期限结构）及其 动态的时变特征， 利率产品价格。
9/18/2018 固定收益证券 4
~ 1 R t,T ln E t [e t T t
T
r s ds
]
第一节 动态利率模型概述
9/18/2018
固定收益证券
11
第一节 动态利率模型概述
偏微分方程法（无套利法）
构造PDE 构造无风险组合（无风险组合在无套利条件下只 能获得无风险利率） dW 卖空债券1：T1 时刻到期，价值 W r, t , T1 dz t 1 W1 B r , t , T1 dt W 1 B 1； r , t , T2 dz t 买入债券2：TdW W 2 W2 B r , t , T2 dt W 2 2时刻到期，价值 2B。 dW W(t)=W (t ) (W2 B 2 r, t, T -W W1B r, t , T1 )dt t时刻总价值： 12
等价测度：对于概率为0和概率为1的事件看法是一 致的。 称一个事件几乎必然发生时，不必指明是在哪一 个测度下； 在一个测度下构造的无风险组合，在其等价测度 下必然也是无风险组合； 等价测度意味着“哪些情形可能出现”是一致的 ，不同的只是发生的概率。
dB B r , t , T dt B r , t , T dz t B PDE或者鞅测度方法为利率产品定价B。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
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第一节 动态利率模型概述
dr t r r t , t dt r r t , t dz t
即期利率与瞬时利率
给定瞬时利率在t时刻的初始值及其动态过程， t时刻的任意期限即期利率（利率期限结构）及其 动态的时变特征， 利率产品价格。
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~ 1 R t,T ln E t [e t T t
T
r s ds
]
第一节 动态利率模型概述
9/18/2018
固定收益证券
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第一节 动态利率模型概述
偏微分方程法（无套利法）
构造PDE 构造无风险组合（无风险组合在无套利条件下只 能获得无风险利率） dW 卖空债券1：T1 时刻到期，价值 W r, t , T1 dz t 1 W1 B r , t , T1 dt W 1 B 1； r , t , T2 dz t 买入债券2：TdW W 2 W2 B r , t , T2 dt W 2 2时刻到期，价值 2B。 dW W(t)=W (t ) (W2 B 2 r, t, T -W W1B r, t , T1 )dt t时刻总价值： 12
等价测度：对于概率为0和概率为1的事件看法是一 致的。 称一个事件几乎必然发生时，不必指明是在哪一 个测度下； 在一个测度下构造的无风险组合，在其等价测度 下必然也是无风险组合； 等价测度意味着“哪些情形可能出现”是一致的 ，不同的只是发生的概率。
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型
第四节 期权定价的鞅方法
• 一、问题 • 前述B-S微分方程解法很复杂，不实用
• 二、鞅方法的提出
• 是随机过程的一种，它的显著特点是未来的期望等于 现在。一个随机过程一般伴随着一个测度。等价鞅测 度即是把不是鞅的随机过程转化成鞅的测度。这一测 度和原来随机过程伴随的测度等价。转化成鞅后，可 是直接采用求数学期望的方法来获得金融衍生产品的 价格，如期权，而不用解偏微分方程了。
• 五、伊藤引理 • 若变量x遵循伊藤过程
dx=a(x,t)dt b(x,t)dz
• 则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
dG
( G x
a
G t
1 2
2G x2
b2
)dt
G x
bdz
• 证明如下：
• 由于G是x和t的函数，根据泰勒展开式：
G
G x
x
G t
• BSM 期权定价公式在定价方面存在一定偏差， 但它依然是迄今为止解释期权价格动态的最佳 模型之一，应用广泛，影响深远
• BSM 期权定价与市场价格存在差异的主要原 因： 期权市场价格偏离均衡； 使用错误的参数； BSM 定价公式建立在众多假定的基础上
BS 期权定价公式的缺陷与拓展
• 无交易成本假设的放松 • 常数波动率假设的放松 • 参数假设的放松 • 资产价格连续变动假设的放松
f t
rS f S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
此即B S微分方程
三、风险中性定价原理
四、无收益资产欧式看涨期权的定价公式
五、 对BS 定价公式的理解之一
六、 对BS 定价公式的理解之二
中国精算师金融数学考试资料合集
中国精算师《金融数学》考试资料合集内容简介本书特别适用于参加中国精算师考试的考生。
本书是一本中国精算师资格考试科目“金融数学”过关必做习题集。
基本遵循中国精算师资格考试指定教材《金融数学》（徐景峰主编，杨静平主审，中国财政经济出版社）的章目编排，共分11章，根据最新《中国精算师资格考试-考试指南》中“金融数学”的考试内容和要求精心编写了约1000道习题，其中包括了部分历年真题、样题和教材习题，所选习题基本覆盖了考试指南规定需要掌握的知识内容，并对全部习题进行了详细的分析和解答。
本题库是详解中国精算师资格考试《金融数学》科目的题库，包括历年真题、章节题库和考前押题三部分。
具体如下：第一部分为历年真题。
该题库包括两套真题，分别是2011年春季和2011年秋季，我们邀请专家对2011年春季的每道真题进行了详细解析，2011年秋季真题只有答案还未有解析。
同时，系统自动评分，既可以体验真实考试，也可以测试自己的水平。
如有最新历年真题，可免费升级获得。
第二部分为章节题库。
遵循最新版中国精算师资格考试教材《金融数学》的章目编排，共分为11章。
根据《中国精算师资格考试指南》中“金融数学”部分的要求及相关法律法规对题库每一道试题详细解析。
第三部分为考前押题。
完全遵循实际的中国精算师考试《金融数学》科目的命题规律，其试题数量、试题难度完全仿真中国精算师资格考试。
目录第一部分历年真题2011年秋季中国精算师《A2金融数学》真题及答案2011年春季中国精算师《A2金融数学》真题及详解第二部分章节题库第一章利息的基本概念第二章年金第三章收益率第四章债务偿还第五章债券及其定价理论第六章利率期限结构理论第七章随机利率模型第八章金融衍生工具介绍第九章金融衍生工具定价理论第十章投资组合理论第十一章CAPM和APT第三部分考前押题中国精算师《金融数学》考前押题及详解（一）中国精算师《金融数学》考前押题及详解（二）中国精算师《金融数学》考前押题及详解（三）第一篇利息理论第1章利息的基本概念第2章年金第3章收益率第4章债务偿还第5章债券及其定价理论第二篇利率期限结构与随机利率模型第6章利率期限结构理论第7章随机利率模型第三篇金融衍生工具定价理论第8章金融衍生工具介绍第9章金融衍生工具定价理论第四篇投资组合理论第10章投资组合理论第11章CAPM和APT附录2011年秋季中国精算师考试《金融数学》真题及详解第一篇利息理论第1章利息的基本概念单项选择题（以下各小题所给出的5个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确选项的代码填入括号内）1．已知在未来三年中，银行第一年按计息两次的名义年利率10%计息，第二年按计息四次的名义年利率12%计息，第三年的实际年利率为6.5%。
《随机利率模型》课件
随机利率模型在应用过程中困 难重重，需要克服参数选择、 模型识别等难题。
未来研究方向
未来研究方向将集中在基于市 场微观结构、大数据、人工智 能等技术手段的模型建立和改 进。
随机微分方程
随机微分方程是随机利率模型的代数描述，用于描述金融市场中利率随机变动的数学方程。
常见的随机利率模型
1
胡尔模型
2
胡尔模型是随机利率模型的一种扩散
模型，适用于衡量不同期限的债券收
益率之间的关系。
3
HJM模型
4
HJM模型是随机利率模型的一种经典 模型，可以描述不同期限、不同币种
的市场利率结构。
利率债券定价
利率债券的定价是金融市场 中的重要问题，随机利率模 型可以为债券定价和风险管 理提供强有力的工具。
风险管理
随机利率模型是金融风险管 理的重要手段之一，可以为 投资组合的风险度量和套期 保值等提供理论支持。
总结
发展趋势
局限性
随机利率模型的应用前景广阔， 特别是随着金融市场的不断变 化。未来该领域将面临更多的 机遇和挑战。
重要意义
随机利率模型的研究和应用有 助于金融市场的稳健发展，提 高风险管理水平。
随机利率模型的基本框架
基本假设
随机利率模型的基本假设包括独立不相关性假设、完备市场假设、连续交易假设等。
随机过程及应用
随机过程是随机利率模型的核心，主要包括布朗运动过程、泊松过程、扩散过程等，应用于 金融衍生品的定价。
《随机利率模型》 PPT 课 件
本 PPT 课件将为您介绍随机利率模型的基本概念和应用场景，帮助您深入理 解金融市场中的关键因素。
随机利率模型简介
什么是随机利率模型
(11)随机利率
2
= X (1.052 )
2
令第2年末的期望累积值为1元，则有：
X (1.052 ) = 1
2
解得 X = 0.903584 即：如果现在投资0.903584元，则第2年末的期望累积值为 1元。
(2) 为了计算第2年末支付的1元的期望现值，首先计算 v ：
⎛ 1 ⎞ v = E⎜ ⎟ ⎝ 1 + it ⎠
例：假设未来每年的实际利率可能是3%、5%或7%，相应的 概率分别为0.2、0.5和0.3。 (1) 为了使得第2年末的期望累积值为1元，现在必须投 资多少? (2) 在第2年末支付1元，它的期望现值是多少?
解：(1) 假设现在投资X，则第2年末的期望累积值为：
X ⋅ E ( AV2 ) = X (1 + i )
n
�
1 ⎞ 其中 v = E ⎛ ⎜ ⎟ ⎝ 1 + it ⎠
，t =1，2，…，n。
⎞ 1 1 ≠ ，即 v ≠ ⎟ 1 + E i ( t) 1+ i ⎠
�
⎛ 1 在通常情况下 E ⎜ ⎝ 1 + it
。
�
注意，期望现值并不等于为了在时刻 n 获得单位1的期望 累积值而在0时刻必须进行的投资。下面的例子可以说明 这一点。
例：假设未来每年的实际利率可能是3%、5%或7%，而相应 的概率分别为0.2、0.5和0.3。利率一旦被确定，将在今后 两年保持不变。 （1）试计算现在投资单位1在两年末的期望累积值。 （2）试计算现在投资单位1在两年末的累积值的方差。
解： 两年末的累积值 AV2具有下述分布：
i1 ，i2
0.03 0.05 0.07 概率 0.2 0.5 0.3
�