高中数学必修二2.1.1课件
(2)在“A∈α，A∉α，l⊂α”中视“A”为平面 α(集合)上的点(元 素)，直线 l(集合)视为平面 α(集合)的子集．明确这一点，才能正确 使用集合符号．
典例剖析 题型一 平面概念的理解 【例 1】 下列对平面的描述语句： ①平静的太平洋面就是一个平面； ②8 个平面重叠起来比 6 个平面重叠起来厚； ③四边形确定一个平面； ④平面可以看作空间的点的集合，它当然是一个无限集． 其中正确的是________． 思路点拨：利用平面的概念来解答．
BD.
①
②
2．点、线、面之间的关系 (1)直线在平面内概念： 如果直线 l 上的_所__有__点___都在平面 α 内，就说直线 l 在平面 α 内，或者说___平__面___α_经__过__直__线___l__．
(2)一些文字语言与数学符号的对应关系：
文字语言表达 数学符号表示
文字语 言表达
数学符号表示
【解析】
序号 正误
原因分析
①
×
太平洋面只是给我们以平面的形象，而 平面是抽象的，可无限延展的
② × 平面是无大小、无厚薄之分的
③
×
如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能 确定一个平面
④ √ 平面是空间中点的集合，是无限集
【答案】AC
要点阐释 1．平面的概念 “平面”是一个只描述而不定义的原始概念(像“点”、“直 线”、“集合”等概念一样)，常见的桌面、黑板面、平静的水面 等都给我们以平面的形象，几何里的平面就是从这些物体抽象出来 的．
2．平面的画法及表示 当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板面时，感到它们都 很像平行四边形，因此立体几何中我们通常用平行四边形来表示平 面．当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成 45°，横边 画成邻边的 2 倍长．如图 1 所示．
预习测评 1．下列命题中正确的是( ) A．书桌面是平面 B．有一个平面的长是 40 m，宽是 10 m C．平面是绝对平的，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概 念 D．平面的形状是平行四边形
【答案】C
2．空间可以确定一个平面的条件是( ) A．两条直线 B．一个点和一条直线 C．一个三角形 D．三个点
【答案】C
3．将“如果两个不重合的平面 α，β 有一个公共点 P，那么它 们有且只有一条过该点的公共直线 l.”改写成符号语言表述应为 ________．
【答案】P∈α∩β⇒α∩β＝l 且 P∈l
4．在四面体 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分别取 E，F， G，H 四点，如果 EF∩GH＝P，则点 P 一定在直线________上．
4．立体几何与集合之间符号语言的差异 我们在立体几何中使用符号语言时，还应明确符号语言在代数
与几何中的差异： (1)“∈，∉，∩”等符号虽来源于集合符号，但在读法上却用
几何语言．例如，A∈α，读作“点 A 在平面 α 内”；a⊂α，读作 “直线 a 在平面 α 内”；α∩β＝l，读作“平面 α，β 相交于直线 l”．
3．平面的基本性质 平面的基本性质，即教科书中的三个公理，它们是研究立体几 何的基本理论基础，每个都必须掌握好．
公理 1 的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内， 又可用直线检验平面．
公理 2 的作用：一是确定平面，二是证明点、线共面问题． 公理 3 的作用：一它是判断两个平面是否相交的依据．二它可 以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的 公共交线，则这点在交线上．
平面 α，β 相交于直
线l
α∩β＝l
3．平面的基本性质
公理
内容
如果一条直线上的
公理 1
__两__点____在一个平
面内，那么
这__条__直__线__在__此__平__面__ 内
图形
不在一条直
公理 2 过__线__上__的__三__点__， 有__且__只__有 __一个平面
______
如果两个不重合的
【答案】一个平面把空间分成两部分；两个平面相交时，把空 间分成四部分，平行时，把空间分成三部分．
探究 2：“线段 AB 在平面 α 内，直线 AB 不全在平面 α 内” 这一说法是否正确，为什么？
【答案】不正确． ∵线段 AB 在平面 α 内，∴线段 AB 上的所有点都在平面 α 内， ∴线段上的 A，B 两点一定在平面 α 内，∴直线 AB 在平面 α 内(公 理 1)．
图1
图2
一般用 A，B，C，…表示点；a，b，c，…表示线；α，β，γ，… 表示平面．
几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住 时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画．如图 2 所示中图(1)表 示平面 β 在平面 α 的上面．图(2)表示平面 α 在平面 β 的前面．这 样看起来立体感强一些．
点A在 直线 l 上
__A_∈__l___
点A在 直线 l 外
__A_∉_l____
点 A 在平 面α内
__A_∈__α___
点A在 平面 α 外
__A_∉_α____
直线 l 在 平面 α 内
__l⊂__α____
直线 l 在 平面 α 外
___l⊄_α____
直线 l，m 相交 于点 A
l∩m＝A
公理 3
平面有一个公共 点，那么它们有且
只有一条过___该__点__的_ 公共直线
符号
A∈l，B∈l，且 A∈α，
B∈α⇒____l⊂__α__
A，B，C 三点不共线 ⇒存在唯一的 α 使
A，B，C∈α
P∈α， 且 P∈β⇒α∩β＝l， 且 P_∈__l_____
自主探究 探究 1：一个平面把空间分成几部分？两个平面把空间分成几 部分？
欢迎来到数学课堂
自学导引 1．面的概念
(1)几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的 一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无__限__延___展_的．
(2)平面的画法 ①水平放置的平面通常画成一个_平__行__四__边__形 ___，它的锐角通常 画成_4_5_°_，且横边长等于其邻边长的_2_倍__，如图①. ②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感， 把被遮挡部分用__虚__线____画出来．如图②. (3)平面的表示法 图①的平面可表示为__平__面__α__，平面 ABCD，平__面___A_C__或平面
典例剖析 题型一 平面概念的理解 【例 1】 下列对平面的描述语句： ①平静的太平洋面就是一个平面； ②8 个平面重叠起来比 6 个平面重叠起来厚； ③四边形确定一个平面； ④平面可以看作空间的点的集合，它当然是一个无限集． 其中正确的是________． 思路点拨：利用平面的概念来解答．
BD.
①
②
2．点、线、面之间的关系 (1)直线在平面内概念： 如果直线 l 上的_所__有__点___都在平面 α 内，就说直线 l 在平面 α 内，或者说___平__面___α_经__过__直__线___l__．
(2)一些文字语言与数学符号的对应关系：
文字语言表达 数学符号表示
文字语 言表达
数学符号表示
【解析】
序号 正误
原因分析
①
×
太平洋面只是给我们以平面的形象，而 平面是抽象的，可无限延展的
② × 平面是无大小、无厚薄之分的
③
×
如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能 确定一个平面
④ √ 平面是空间中点的集合，是无限集
【答案】AC
要点阐释 1．平面的概念 “平面”是一个只描述而不定义的原始概念(像“点”、“直 线”、“集合”等概念一样)，常见的桌面、黑板面、平静的水面 等都给我们以平面的形象，几何里的平面就是从这些物体抽象出来 的．
2．平面的画法及表示 当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板面时，感到它们都 很像平行四边形，因此立体几何中我们通常用平行四边形来表示平 面．当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成 45°，横边 画成邻边的 2 倍长．如图 1 所示．
预习测评 1．下列命题中正确的是( ) A．书桌面是平面 B．有一个平面的长是 40 m，宽是 10 m C．平面是绝对平的，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概 念 D．平面的形状是平行四边形
【答案】C
2．空间可以确定一个平面的条件是( ) A．两条直线 B．一个点和一条直线 C．一个三角形 D．三个点
【答案】C
3．将“如果两个不重合的平面 α，β 有一个公共点 P，那么它 们有且只有一条过该点的公共直线 l.”改写成符号语言表述应为 ________．
【答案】P∈α∩β⇒α∩β＝l 且 P∈l
4．在四面体 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分别取 E，F， G，H 四点，如果 EF∩GH＝P，则点 P 一定在直线________上．
4．立体几何与集合之间符号语言的差异 我们在立体几何中使用符号语言时，还应明确符号语言在代数
与几何中的差异： (1)“∈，∉，∩”等符号虽来源于集合符号，但在读法上却用
几何语言．例如，A∈α，读作“点 A 在平面 α 内”；a⊂α，读作 “直线 a 在平面 α 内”；α∩β＝l，读作“平面 α，β 相交于直线 l”．
3．平面的基本性质 平面的基本性质，即教科书中的三个公理，它们是研究立体几 何的基本理论基础，每个都必须掌握好．
公理 1 的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内， 又可用直线检验平面．
公理 2 的作用：一是确定平面，二是证明点、线共面问题． 公理 3 的作用：一它是判断两个平面是否相交的依据．二它可 以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的 公共交线，则这点在交线上．
平面 α，β 相交于直
线l
α∩β＝l
3．平面的基本性质
公理
内容
如果一条直线上的
公理 1
__两__点____在一个平
面内，那么
这__条__直__线__在__此__平__面__ 内
图形
不在一条直
公理 2 过__线__上__的__三__点__， 有__且__只__有 __一个平面
______
如果两个不重合的
【答案】一个平面把空间分成两部分；两个平面相交时，把空 间分成四部分，平行时，把空间分成三部分．
探究 2：“线段 AB 在平面 α 内，直线 AB 不全在平面 α 内” 这一说法是否正确，为什么？
【答案】不正确． ∵线段 AB 在平面 α 内，∴线段 AB 上的所有点都在平面 α 内， ∴线段上的 A，B 两点一定在平面 α 内，∴直线 AB 在平面 α 内(公 理 1)．
图1
图2
一般用 A，B，C，…表示点；a，b，c，…表示线；α，β，γ，… 表示平面．
几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住 时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画．如图 2 所示中图(1)表 示平面 β 在平面 α 的上面．图(2)表示平面 α 在平面 β 的前面．这 样看起来立体感强一些．
点A在 直线 l 上
__A_∈__l___
点A在 直线 l 外
__A_∉_l____
点 A 在平 面α内
__A_∈__α___
点A在 平面 α 外
__A_∉_α____
直线 l 在 平面 α 内
__l⊂__α____
直线 l 在 平面 α 外
___l⊄_α____
直线 l，m 相交 于点 A
l∩m＝A
公理 3
平面有一个公共 点，那么它们有且
只有一条过___该__点__的_ 公共直线
符号
A∈l，B∈l，且 A∈α，
B∈α⇒____l⊂__α__
A，B，C 三点不共线 ⇒存在唯一的 α 使
A，B，C∈α
P∈α， 且 P∈β⇒α∩β＝l， 且 P_∈__l_____
自主探究 探究 1：一个平面把空间分成几部分？两个平面把空间分成几 部分？
欢迎来到数学课堂
自学导引 1．面的概念
(1)几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的 一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无__限__延___展_的．
(2)平面的画法 ①水平放置的平面通常画成一个_平__行__四__边__形 ___，它的锐角通常 画成_4_5_°_，且横边长等于其邻边长的_2_倍__，如图①. ②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感， 把被遮挡部分用__虚__线____画出来．如图②. (3)平面的表示法 图①的平面可表示为__平__面__α__，平面 ABCD，平__面___A_C__或平面
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高中数学 2.1.1 平面 课件 新人教A版必修2
第三十页，共55页。
变式训练3:如图,已知平面α､β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,
且AB
α,CD β.
求证:AB､CD､l相交于一点.
第三十一页，共55页。
证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB
､DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD
第十页，共55页。
3.准确理解公理的含义 公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只
需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平 面内”是指“直线上的所有点都在平面内”. 公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要 依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在 一条直线上的三个点”这一条件.
∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线.
第二十九页，共55页。
规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共
线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点 也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交 点也在其他直线上.
第十七页，共55页。
变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)圆和平面多边形都可以表示平面;
(4)因为
ABCD的面积大于
ABCD大于平面A′B′C′D′;
A′B′C′D的面积,所以平面
(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边 界线.
第四十四页，共55页。
7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个. 答案:1或3
变式训练3:如图,已知平面α､β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,
且AB
α,CD β.
求证:AB､CD､l相交于一点.
第三十一页，共55页。
证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB
､DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD
第十页，共55页。
3.准确理解公理的含义 公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只
需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平 面内”是指“直线上的所有点都在平面内”. 公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要 依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在 一条直线上的三个点”这一条件.
∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线.
第二十九页，共55页。
规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共
线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点 也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交 点也在其他直线上.
第十七页，共55页。
变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)圆和平面多边形都可以表示平面;
(4)因为
ABCD的面积大于
ABCD大于平面A′B′C′D′;
A′B′C′D的面积,所以平面
(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边 界线.
第四十四页，共55页。
7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个. 答案:1或3
高中数学第2章2.1.1直线的斜率课件苏教必修2.ppt
学习目标 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念； 2．掌握求直线斜率的两种方法； 3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何 要素．
课前自主学案
直
线
课堂互动讲练
的
斜
率
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1．平面直角坐标系中，点与坐标的关系是_一___一___ _对__应____的． 2．y＝kx＋b(k≠0)表示_一__条__直__线___，其中b表示直 线在y轴上的_截__距___．
变式训练2 已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线
AD的斜率的变化范围．
解：(1)由斜率公式可得直线 AB 的斜率 kAB＝－2－4－33＝17， 直线 AC 的斜率 kAC＝－0－2－33＝53， ∴直线 AB 的斜率为17，AC 的斜率为53.
2．直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相 交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按_逆__时__针___ 方向旋转到和直线_重__合___时所转过的__最__小__正__角__称 为这条直线的倾斜角．与x轴平行或重合的直线的 倾斜角为_0_°_. (2)直线倾斜角α的取值范围是_0_°__≤__α_＜__1_8_0_°_. (3)当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α 的关系式为：k＝_t_a_n_α_.
例3 已知三点A(a,2)，B(5,1)，C(－4,2a)在同 一条直线上，求a的值． 【思路点拨】 可分别由A、B两点和B、C两点 求出直线的斜率，再由A、B、C三点共线应有kAB ＝kBC，从而求出a的值．
【解】 由题意可知斜率存在，根据斜率公式 k ＝xy22－－yx11(x1≠x2)． 可得：kAB＝2a－－15，kBC＝－2a4－－15. 已知 A、B、C 三点共线，必有 kAB＝kBC. 由2a－－15＝－2a4－－15，解得 a1＝2，a2＝72. 故所求的 a 值为 2 或72.
课前自主学案
直
线
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的
斜
率
知能优化训练
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温故夯基
1．平面直角坐标系中，点与坐标的关系是_一___一___ _对__应____的． 2．y＝kx＋b(k≠0)表示_一__条__直__线___，其中b表示直 线在y轴上的_截__距___．
变式训练2 已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线
AD的斜率的变化范围．
解：(1)由斜率公式可得直线 AB 的斜率 kAB＝－2－4－33＝17， 直线 AC 的斜率 kAC＝－0－2－33＝53， ∴直线 AB 的斜率为17，AC 的斜率为53.
2．直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相 交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按_逆__时__针___ 方向旋转到和直线_重__合___时所转过的__最__小__正__角__称 为这条直线的倾斜角．与x轴平行或重合的直线的 倾斜角为_0_°_. (2)直线倾斜角α的取值范围是_0_°__≤__α_＜__1_8_0_°_. (3)当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α 的关系式为：k＝_t_a_n_α_.
例3 已知三点A(a,2)，B(5,1)，C(－4,2a)在同 一条直线上，求a的值． 【思路点拨】 可分别由A、B两点和B、C两点 求出直线的斜率，再由A、B、C三点共线应有kAB ＝kBC，从而求出a的值．
【解】 由题意可知斜率存在，根据斜率公式 k ＝xy22－－yx11(x1≠x2)． 可得：kAB＝2a－－15，kBC＝－2a4－－15. 已知 A、B、C 三点共线，必有 kAB＝kBC. 由2a－－15＝－2a4－－15，解得 a1＝2，a2＝72. 故所求的 a 值为 2 或72.
高中数学必修二第二章第一节课件
如图2 1 21,已知两点Px1, y1 , Qx2, y2 ,如果 x1 x2,那么直线PQ 的斜率 slope为
k y2 y1 x1 x2 .
x2 x1
如果x1 x2,那么直线PQ的斜率不
存在(图2 1 22).
图2 1 2
y
l
第 2章 平面解析几何初步
如 果 代 数 与 几 何 各 自 分开 发 展, 那 它 的 进 步 将 十 分 缓 慢,而 且 应 用 范 围 也 很 有 限.但 若 两 者 互 相 结 合 而 共同 发 展, 则 就 会 互 相加 强, 并 以 快速 的 步 伐 向 着 完 美 化 的 方 向 猛 进.
点的集合是一条曲线.
我 们 知 道, 直 线 和 圆 是 基 本 的 几 何图 形.那 么 如何建立它们的方程? 如何通过方程来研究它们的性质?
2.1 直线与方程
高二（19）
直 线 是 最 常 见 的 图 形, 过 一 点 沿 着 确 定 的 方 向 就 可 以 画 出 一 条 直 线.
为 什 么?
在直角坐标系中, 对于一条与x 轴相交的直线,把 x 轴所在 的 直 线 绕 着 交 点 按 逆 时针 方 向 旋 转 到 和 直 线 重合 时 所 转
过的最小正角称为这条直线的倾 斜 角(inclination),并规定:
y B
A
O
N
图2 1 51
与 x 轴 平 行 或 重 合 的 直 线 的倾 斜 角 为00 . 由定义可知,直线的倾斜角 的取值范 围是00 1800 . 当 直 线 的 斜 率 为 正 时, 直 线 的 倾 斜 角
x 为锐角图2 1 51,此时,
k y BN tan .
k y2 y1 x1 x2 .
x2 x1
如果x1 x2,那么直线PQ的斜率不
存在(图2 1 22).
图2 1 2
y
l
第 2章 平面解析几何初步
如 果 代 数 与 几 何 各 自 分开 发 展, 那 它 的 进 步 将 十 分 缓 慢,而 且 应 用 范 围 也 很 有 限.但 若 两 者 互 相 结 合 而 共同 发 展, 则 就 会 互 相加 强, 并 以 快速 的 步 伐 向 着 完 美 化 的 方 向 猛 进.
点的集合是一条曲线.
我 们 知 道, 直 线 和 圆 是 基 本 的 几 何图 形.那 么 如何建立它们的方程? 如何通过方程来研究它们的性质?
2.1 直线与方程
高二（19）
直 线 是 最 常 见 的 图 形, 过 一 点 沿 着 确 定 的 方 向 就 可 以 画 出 一 条 直 线.
为 什 么?
在直角坐标系中, 对于一条与x 轴相交的直线,把 x 轴所在 的 直 线 绕 着 交 点 按 逆 时针 方 向 旋 转 到 和 直 线 重合 时 所 转
过的最小正角称为这条直线的倾 斜 角(inclination),并规定:
y B
A
O
N
图2 1 51
与 x 轴 平 行 或 重 合 的 直 线 的倾 斜 角 为00 . 由定义可知,直线的倾斜角 的取值范 围是00 1800 . 当 直 线 的 斜 率 为 正 时, 直 线 的 倾 斜 角
x 为锐角图2 1 51,此时,
k y BN tan .
最新-2021学年高中数学必修二精讲优练课件：第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 精品
公理
文字语言
如果两个不重合的平
面有一个公共点,那么 公理3
它们有且只有一条过
该点的_公__共__直__线__
图形语言
符号语言
P∈α且P∈β⇒
_________ α∩β=l, ______ 且P∈l
【即时小测】 1.思考下列问题: (1)一个平面能把空间分成几部分? 提示:因为平面是无限延展的,一个平面把空间分成两部分. (2)若A∈a,a⊂α,是否可以推出A∈α? 提示:根据直线在平面内的定义可知,若A∈a,a⊂α,则A∈α.
(2)平面的画法.
常常把水平的平面画成一个_平__行__四__边__形__,并且 其锐角画成_4_5_°__,且横边长等于邻边长的_2_倍.
一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强立体 感,被遮挡部分用_虚__线__画出来.
(3)平面的表示方法. ①用希腊字母表示,如平面α,平面β,平面γ. ②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示,如平面ABCD. ③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示,如平面AC,平面BD.
【解题探究】典例中梯形ABCD的两腰分别是什么?其延长后的交点位 于什么地方? 提示:结合题意可知梯形ABCD的两腰分别是AB,CD,它们延长后的交点 既在平面α内又在平面β内.
【证明】因为梯形ABCD中,AD∥BC, 所以AB,CD是梯形ABCD的两腰. 因为AB,CD必定相交于一点. 设AB∩CD=M. 又因为AB⊂α,CD⊂β,所以M∈α,M∈β. 所以M∈α∩β. 又因为α∩β=l,所以M∈l. 即AB,CD,l共点(相交于一点).
【总结提升】 1.公理1、2、3的意义和作用 (1)公理1. 意义:说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的 “平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”. 作用:既是判断直线在平面内,又是检验平面的方法.
高中数学 2.1.1 直线的倾斜角和斜率课件 北师大版必修
(2)如图，已知 A(3,2)，B(－4,1)，C(0， －1)，求直线 AB，BC，AC 的斜率；
(3)求经过两点 A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率． [思路分析] 利用斜率公式 k＝tanα 和 k＝yx22－ －yx11(x1≠x2)来 解决．
[规范解答] (1)k1＝tan30°＝ 33，k2＝tan45°＝1. (2)直线 AB 的斜率 kAB＝－1－ 4－23＝17； 直线 BC 的斜率 kBC＝0－－1－ －14＝－42＝－12； 直线 AC 的斜率 kAC＝2－3－－01＝33＝1. (3)当 a＝3 时，斜率不存在． 当 a≠3 时，直线的斜率 k＝3－4 a.
• 2．若直线x＝3的倾斜角为α，则α( )
• A．等于0°
B．等于45°
• C．等于90° D．不存在
• [答案] C
• [解析] ∵x＝3的斜率不存在，∴α＝90°，选C.
3．已知点 A(－1， 3)，B(1,3 3)，则直线 AB 的倾斜角是
() A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
• [答案] A
[解析] k＝31－3－－13 ＝ 3，则直线 AB 的倾斜角是 60°.
• 4．正三角形的一条高线在y轴上，则三边所在直线的倾斜角 分别为__________．
• [答案] 0°，60°，120°
• [解析] 根据正三角形(高线、中线、角平分线)合一的性质 可知两条腰所在直线的倾斜角分别为60°和120°，底边所 在直线与x轴平行或重合，故倾斜角为0°.
• 直线的倾斜角和斜率的关系
a 为何值时，过点 A(2a,3)，B(2，－1)的直线的 倾斜角是锐角？钝角？直角？
• [思路分析] 根据倾斜角与斜率的关系解决本题．若直线的 倾斜角是锐角，则k>0，若为钝角，则k<0，若为直角，则 斜率不存在．
(3)求经过两点 A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率． [思路分析] 利用斜率公式 k＝tanα 和 k＝yx22－ －yx11(x1≠x2)来 解决．
[规范解答] (1)k1＝tan30°＝ 33，k2＝tan45°＝1. (2)直线 AB 的斜率 kAB＝－1－ 4－23＝17； 直线 BC 的斜率 kBC＝0－－1－ －14＝－42＝－12； 直线 AC 的斜率 kAC＝2－3－－01＝33＝1. (3)当 a＝3 时，斜率不存在． 当 a≠3 时，直线的斜率 k＝3－4 a.
• 2．若直线x＝3的倾斜角为α，则α( )
• A．等于0°
B．等于45°
• C．等于90° D．不存在
• [答案] C
• [解析] ∵x＝3的斜率不存在，∴α＝90°，选C.
3．已知点 A(－1， 3)，B(1,3 3)，则直线 AB 的倾斜角是
() A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
• [答案] A
[解析] k＝31－3－－13 ＝ 3，则直线 AB 的倾斜角是 60°.
• 4．正三角形的一条高线在y轴上，则三边所在直线的倾斜角 分别为__________．
• [答案] 0°，60°，120°
• [解析] 根据正三角形(高线、中线、角平分线)合一的性质 可知两条腰所在直线的倾斜角分别为60°和120°，底边所 在直线与x轴平行或重合，故倾斜角为0°.
• 直线的倾斜角和斜率的关系
a 为何值时，过点 A(2a,3)，B(2，－1)的直线的 倾斜角是锐角？钝角？直角？
• [思路分析] 根据倾斜角与斜率的关系解决本题．若直线的 倾斜角是锐角，则k>0，若为钝角，则k<0，若为直角，则 斜率不存在．
2020年高中数学2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式课件新人教B版必修2
【解】 (1)证明：设数轴上的任意三点 A，B，C 的坐标是 xA，xB，xC，
由于 AC＝xC－xA，CB＝xB－xC，AB＝xB－xA， ∴AC＋CB＝xC－xA＋xB－xC＝xB－xA＝AB. (2)∵CB＝3，∴BC＝－3， 又 AC＝AB＋BC＝5－3＝2， ∴AC＝2.
(3)A，B，C 是数轴上的任意三点，讨论点 C 与点 A，B 的 位置关系：
【知识点拨】 根据数轴上点与实数的对应关系，数轴上 的点自左到右对应的实数依次增大．
下列说法：①向量A→B的数量有正、负之
分，其大小为终点坐标减起点坐标；②数轴上 A，B 两点间的距
离 d(A，B)＝|AB|；③起点和终点重合的向量是零向量，它的方
向是任意的，它的坐标是 0；④在数轴上点 A(a)位于点 B(b)的左
当 C 在点 A，B 之间时，有|AC|＋|CB|＝|AB|， 所以|AC|＝|AB|－|CB|＝5－3＝2， 当 C 在点 A，B 之外时，由于|CB|＝3<|AB|＝5， 点 C 只能在 AB 的延长线上， 从而有|AC|＝|AB|＋|CB|＝5＋3＝8， 综上可知，|AC|＝2 或|AC|＝8.
2．数轴上的基本公式 (1)向量A→C，A→B，B→C的关系 _A→_C__＝A→B＋B→C. (2)向量坐标 AC，AB，BC 之间的关系 AC＝_A_B_＋__B__C_. (3)已知 A(x1)，B(x2)，则 AB＝__x_2_－__x_1 _____. (4)数轴上 A(x1)，B(x2)两点之间的距离公式 d(A，B)＝_|_A_B_|____＝__|_x_2－__x_1_| .
典例精析 规律总结
类型 1 数轴上的点的坐标
(1)如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两个点 相距 1 个单位，点 A，B，C，D 对应的数分别是整数 a，b，c， d，且 d－2a＝10，那么数轴的原点应是( )
2-1-1 两角和与差的余弦公式(教学课件)——高中数学湘教版(2019)必修二
3
＝2×2+
答案： C
2 1
6+ 2
×
＝
.
2 2
4
高中数学
必修第二册
湖南教育版
2．两角和的余弦公式
思考：在公式Cα-β中α，β可以是任意角，由此你能
推出两角和的余弦公式吗？
证明：因为α+β＝α-（-β），所以
cos（α+β）＝cos［α-（-β）］
＝cos αcos（-β）+sin αsin（-β）
6− 2
×
＝
.
2 2
4
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必修第二册
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1.给角求值
例1 求值：（1）sin 285°；（2）sin 460°sin（-160°）+cos 560°cos（-280°）；
（3）cos 18°cos 42°-cos 72°sin 42°.
解：（1）sin 285°＝sin（270°+15°）＝-cos 15°＝-cos（60°-45°）
与差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值；
（2）正用公式求值：把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.
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跟踪训练
1.cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°＝
A.cos 12°
B.sin 12°
（ C ）
1
C.2
1
D.- 2
1
解析：cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°＝cos 24°cos 36°-sin 24°sin 36°＝cos （24°+36°）＝cos 60°＝2.
几个角的组合.
＝2×2+
答案： C
2 1
6+ 2
×
＝
.
2 2
4
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2．两角和的余弦公式
思考：在公式Cα-β中α，β可以是任意角，由此你能
推出两角和的余弦公式吗？
证明：因为α+β＝α-（-β），所以
cos（α+β）＝cos［α-（-β）］
＝cos αcos（-β）+sin αsin（-β）
6− 2
×
＝
.
2 2
4
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1.给角求值
例1 求值：（1）sin 285°；（2）sin 460°sin（-160°）+cos 560°cos（-280°）；
（3）cos 18°cos 42°-cos 72°sin 42°.
解：（1）sin 285°＝sin（270°+15°）＝-cos 15°＝-cos（60°-45°）
与差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值；
（2）正用公式求值：把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.
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跟踪训练
1.cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°＝
A.cos 12°
B.sin 12°
（ C ）
1
C.2
1
D.- 2
1
解析：cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°＝cos 24°cos 36°-sin 24°sin 36°＝cos （24°+36°）＝cos 60°＝2.
几个角的组合.
【数学】2.1.1 直线倾斜角和斜率 课件(北师大必修2)
思考?日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
如图3.1-3，日常生活中，我们经常用“升高量与前进量 的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即
D
C 升
设直线的倾斜程度为K
AB k AC AC BD k AD AD
tan
tan
A
前进量
高 量
B
1、直线斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角 用小写字母 k 表示，即：
直线BC的斜率 kBC 直线CA的斜率 kCA
0 (8) 8 2
C
∵ k AB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ kBC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角
2 (2) 4 1 40 4
三、小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围： 180 0 2、直线的斜率定义： k tan a (a 90 ) 3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
3 tan30 3
a 0 k tan0 0
当a 90时 k ?
y
o
x
思考：当直线与 x 轴垂直时， 直线的倾斜角是多少？
a 90 tana(不存在)
即k不存在
3、探究：由两点确定的直线的 斜率 k tan
锐角
y
y2
y1
能不能构造 一个直角三 如图，当α为锐角时， 角形去求？ P2 ( x2 , y2 )
P1 P1
P2
思考？
1、当直线平行于y轴，或与y轴重合时， k不存在 上述公式还适用吗？为什么？
90 , tan90 (不存在)
高中数学 2.1.1数轴上的基本公式课件 新人教B版必修2
第三页，共34页。
第四页，共34页。
2.1 平面直角坐标系中的基本 (jīběn)公式
第二章
第五页，共34页。
2.1.1 数轴上的基本(jīběn)公式
第二章
第六页，共34页。
课前自主 (zìzhǔ)预习
课堂(kètáng)典例 讲练
方思法想警方示法(技jǐn巧ɡ shì)探究
易错疑难辨析
课后强化作业
第十页，共34页。
3．在数轴上，点A作一次位移到点B，再由点B作一次位 移到点C，则位移A→C称作位移A→B与位移B→C的和．，记作A→C＝A→B ＋___B→_C____.
在数轴上，任意三点A、B、C，向量 A→B 、 B→C 、 A→C 的坐标 都具有关系：AC＝AB＋__B__C____.
第十一页，共34页。
[答案] 0或－136 [解析] 由题意，得d(P，A)＝2d(P，B)， ∴|－8－x|＝2|－4－x|， 解得x＝0或x＝－136.
第十七页，共34页。
6．已知数轴上两点A(a)，B(5)，当a为何值时， (1)两点间距离(jùlí)为5； (2)两点间距离(jùlí)大于5； (3)两点间距离(jùlí)小于5. [解析] d(A，B)＝|a－5|，画出数轴可见与B点距离(jùlí) 为5的点有两个，原点O(0)和C(10)． ∴(1)当a＝0或a＝10时，|a－5|＝5. (2)当a>10或a<0时，|a－5|>5. (3)当0<a<10时，|a－5|<5.
第三十页，共34页。
[错解] ①②③④⑤ [辨析(biànxī)] 由于对向量的坐标及长度的概念理解不到 位，导致判断错误．
第三十一页，共34页。
[正解] ② AB、AC、BC的关系为AB＋BC＝AC，故①
第四页，共34页。
2.1 平面直角坐标系中的基本 (jīběn)公式
第二章
第五页，共34页。
2.1.1 数轴上的基本(jīběn)公式
第二章
第六页，共34页。
课前自主 (zìzhǔ)预习
课堂(kètáng)典例 讲练
方思法想警方示法(技jǐn巧ɡ shì)探究
易错疑难辨析
课后强化作业
第十页，共34页。
3．在数轴上，点A作一次位移到点B，再由点B作一次位 移到点C，则位移A→C称作位移A→B与位移B→C的和．，记作A→C＝A→B ＋___B→_C____.
在数轴上，任意三点A、B、C，向量 A→B 、 B→C 、 A→C 的坐标 都具有关系：AC＝AB＋__B__C____.
第十一页，共34页。
[答案] 0或－136 [解析] 由题意，得d(P，A)＝2d(P，B)， ∴|－8－x|＝2|－4－x|， 解得x＝0或x＝－136.
第十七页，共34页。
6．已知数轴上两点A(a)，B(5)，当a为何值时， (1)两点间距离(jùlí)为5； (2)两点间距离(jùlí)大于5； (3)两点间距离(jùlí)小于5. [解析] d(A，B)＝|a－5|，画出数轴可见与B点距离(jùlí) 为5的点有两个，原点O(0)和C(10)． ∴(1)当a＝0或a＝10时，|a－5|＝5. (2)当a>10或a<0时，|a－5|>5. (3)当0<a<10时，|a－5|<5.
第三十页，共34页。
[错解] ①②③④⑤ [辨析(biànxī)] 由于对向量的坐标及长度的概念理解不到 位，导致判断错误．
第三十一页，共34页。
[正解] ② AB、AC、BC的关系为AB＋BC＝AC，故①
高中数学必修二2.1.1平面课件
2.1.1平面
一、平面的概念
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们 熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.
特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面 在空间中是无限延伸的。
随堂练习
一、判断下列各题的说法正确与否：
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界；
()
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
Bl
A
l
B
在生产、生活中，人
们经过长期视察与实践，
B
总结出关于平面的一些 基本性质，我们把它作
为公理．这些公理是进
一步推理的基础．
作用：判断直线是否在平面 内的根据．
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思考2：
过一点可以做几条直线？两点呢？ 过空间中一点可以做几个平面？ 两点呢？
不共线的三点呢？
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4、菱形的面积是 4 cm 2；
()
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
画法：
表 示：平面α
平面β
D
C
γ
A
B
平面γ
平面 平面ABACD或平面BD
常用平行四边形（450,横边长是邻边长的2倍）
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β
β
α
α
两个平面相交时,当一个平面的一部分被 另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成 虚线或不画
如果两个不重合的 公 平面有一个公共 理 点，那么它们有且 3 只有一条过该点的
公共直线．
l A B
A BC
l P
A, B AB
A, B,C不共线
有且只有一个平面， 使得A, B,C
一、平面的概念
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们 熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.
特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面 在空间中是无限延伸的。
随堂练习
一、判断下列各题的说法正确与否：
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界；
()
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
Bl
A
l
B
在生产、生活中，人
们经过长期视察与实践，
B
总结出关于平面的一些 基本性质，我们把它作
为公理．这些公理是进
一步推理的基础．
作用：判断直线是否在平面 内的根据．
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思考2：
过一点可以做几条直线？两点呢？ 过空间中一点可以做几个平面？ 两点呢？
不共线的三点呢？
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4、菱形的面积是 4 cm 2；
()
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
画法：
表 示：平面α
平面β
D
C
γ
A
B
平面γ
平面 平面ABACD或平面BD
常用平行四边形（450,横边长是邻边长的2倍）
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β
β
α
α
两个平面相交时,当一个平面的一部分被 另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成 虚线或不画
如果两个不重合的 公 平面有一个公共 理 点，那么它们有且 3 只有一条过该点的
公共直线．
l A B
A BC
l P
A, B AB
A, B,C不共线
有且只有一个平面， 使得A, B,C