实数-知识点题型归纳
第六章实数
知识讲解+题型归纳
知识讲解
一、实数的组成
1、实数又可分为正实数,零,负实数
2.数轴:数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应
二、相反数、绝对值、倒数
1. 相反数:只有符号不同的两个数互为相反数。数a的相反数是-a。正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,零的相反数是零. 性质:互为相反数的两个数之和为0。
2.绝对值:表示点到原点的距离,数a的绝对值为
3.倒数:乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为1
a
. 0没有倒数。
4.相反数是它本身的数只有0;绝对值是它本身的数是非负数(0和正数);倒数是它本身的数是±1.
三、平方根与立方根
1.平方根:如果一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根。数a的平方根记作(a>=0)特性:一个正数有两个平方根,它们互为相反数,零的平方根还是零。负数没有平方根。
正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根,零的算术平方根还是零。开平方:求一个数的平方根的运算,叫做开平方。
2.立方根:如果一个数的立方等于a,则称这个数为a立方根。数a的立方根用3a表示。
任何数都有立方根,一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根,零的立方根是零。
开立方:求一个数的立方根(三次方根)的运算,叫做开立方。四、实数的运算
有理数的加法法则:
a)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
b)异号两数相加。绝对值相等时和为0;绝对值不相等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。
2.有理数的减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数。
3.乘法法则:
a)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;零乘以任何数都得零.
a
| |a
b)几个不为0的有理数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的个数为奇数时,积为负,为偶数,积为正
c)几个数相乘,只要有一个因数为0,积就为0
4.有理数除法法则:
a)两个有理数相除(除数不为0)同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何非0实数都得0。
b)除以一个数等于乘以这个数的倒数。
5.有理数的乘方:
在a n中,a叫底数,n叫指数
a)正数的任何次幂都是正数;负数的偶次幂是正数,奇次幂是负数;0的任何次幂都是0
b)a0=1(a不等于0)
6.有理数的运算顺序:
a)同级运算,先左后右
b)混合运算,先算括号内的,再乘方、开方,接着算乘除,最后是加减。五·实数大小比较的方法
1)数轴法:数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数
2)比差法:若a-b>0则a>b;若a-b<0则a
3)比商法:A.两个数均为正数时,a/b>1则a>b;a/b<1则a
B.两个数均为负数时,a/b>1则ab
C.一正一负时,正数>负数
4)平方法:a、b均为正数时,若a2>b2,则有a>b;均为负数时相反5)倒数法:两个实数,倒数大的反而小(不论正负)
●题型归纳
●经典例题
类型一.有关概念的识别
1.下面几个数:0.23,1.0…,,3π,,,其中,无理数的个数有()
A、1
B、2
C、3
D、4
解析:本题主要考察对无理数概念的理解和应用,其中,1.0…,3π,
是无理数
故选C
举一反三:
【变式1】下列说法中正确的是()
A 、的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=±1 D、
是5的平方根的相反数
【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念,
∵=9,9的平方根是±3,∴A正确.
∵1的立方根是1,=1,是5的平方根,∴B、C、D 都不正确.
【变式2】如图,以数轴的单位长线段为边做一个正方形,以数轴的原点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A 表示的数是()
A、1
B、1.4C 、D 、
【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系.∵正方形的边长为1,对角线为,由圆的定义知|AO|=,∴A 表示数为,故选C.
【变式3】
【答案】∵π= 3.1415…,∴9<3π<10
因此3π-9>0,3π-10<0
∴
类型二.计算类型题
2.设,则下列结论正确的是()
A. B.
C. D.
解析:(估算)因为,所以选B
举一反三:
【变式1】1)1.25的算术平方根是__________;平方根是__________.2)-27立方根是__________. 3)___________,___________,___________.
【答案】1);.2)-3. 3),,
【变式2】求下列各式中的
(1)(2)(3)
【答案】(1)(2)x=4或x=-2(3)x=-4
类型三.数形结合
3. 点A 在数轴上表示的数为,点B 在数轴上表示的数为
,则A,B两点的距离为______
解析:在数轴上找到A、B 两点,
举一反三:
【变式1】如图,数轴上表示1,的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C表示的数是().
A .-1 B.1-C.2-D .-2
【答案】选C
[变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示:
化简
【答案】:
类型四.实数绝对值的应用
4.化简下列各式:
(1) |-1.4|(2) |π-3.142|
(3) |-| (4) |x-|x-3|| (x≤3)
(5) |x2+6x+10|
分析:要正确去掉绝对值符号,就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零,然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。
解:(1) ∵=1.414…<1.4
∴|-1.4|=1.4-
(2) ∵π=3.14159…<3.142
∴|π-3.142|=3.142-π
(3) ∵<, ∴|-|=-
(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0,
∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|
=|2x-3| =
说明:这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法,我们对
这个绝对值的基本概念要有清楚的认识,并能灵活运用。
(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|
∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1>0
∴|x2+6x+10|= x2+6x+10
举一反三:
【变式1】化简:
【答案】
=+-=
类型五.实数非负性的应用
5.已知:=0,求实数a, b的值。
分析:已知等式左边分母不能为0,只能有>0,则要求a+7
>0,分子+|a2-49|=0,由非负数的和的性质知:3a-b=0且a2-49=0,由此得不等式组从而求出a, b的值。
解:由题意得
由(2)得a2=49 ∴a=±7
由(3)得a>-7,∴a=-7不合题意舍去。
∴只取a=7
把a=7代入(1)得b=3a=21
∴a=7, b=21为所求。
举一反三:
【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0,求(x-y)3-z3的值。
解:∵(x-6)2++|y+2z|=0
且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0,
几个非负数的和等于零,则必有每个加数都为0。
∴解这个方程组得
∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65
【变式2】已知那么a+b-c的值为___________
【答案】初中阶段的三个非负数:,
a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2
类型六.实数应用题
6.有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm,宽为8cm的矩形,要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形,问边长应为多少cm。
解:设新正方形边长为xcm,
根据题意得x2=112+13×8
∴x2=225
∴x=±15
∵边长为正,∴x=-15不合题意舍去,
∴只取x=15(cm)
答:新的正方形边长应取15cm。
举一反三:
【变式1】拼一拼,画一画:请你用4个长为a,宽为b的矩形拼成一个大正方形,并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。(4个长方形拼图时不重叠)
(1)计算中间的小正方形的面积,聪明的你能发现什么?
(2)当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时,大正方形的面积就比小正方形的面积多24cm2,求中间小正方形的边长.
解析:(1)如图,中间小正方形的边长是:
,所以面积为=
大正方形的面积=,
一个长方形的面积=。
所以,
答:中间的小正方形的面积,
发现的规律是:(或
)
(2) 大正方形的边长:,小正方形的边长:
,即,
又大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm2 所以有,
化简得:
将代入,得:
cm
答:中间小正方形的边长2.5 cm。
类型七.易错题
7.判断下列说法是否正确
(1)的算术平方根是-3;(2)的平方根是±15.
(3)当x=0或2时,(4)是分数
解析:(1)错在对算术平方根的理解有误,算术平方根是非负数.
故
(2)表示225的算术平方根,即=15.实际上,本题是求15的平方根,
故的平方根是.
(3)注意到,当x=0时,=,显然此式无意义,
发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”,故x≠0,所以当x=2时,x=0.
(4)错在对实数的概念理解不清. 形如分数,但不是分数,它是无理数.
类型八.引申提高
8.(1)已知的整数部分为a,小数部分为b,求a2-b2的值.
(2)把下列无限循环小数化成分数:①②③
(1)分析:确定算术平方根的整数部分与小数部分,首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间,那么较小的整数即为算术平方根的整数部分,算术平方根减去整数部分的差即为小数部分.
解:由得
的整数部分a=5, 的小数部分,
∴
(2)解:(1) 设x=①
则②
②-①得
9x=6
∴.
(2) 设①
则②
②-①,得
99x=23
∴. (3) 设①
则②
②-①,得
999x=107,
∴.