湘潭大学计算机科学与技术刘任任版离散数学课后习题答案---第二学期--图论与组合数学
习 题 六1．设G 是一个无回路的图, 求证：若G 中任意两个顶点间有惟一的通路, 则G 是树. 证明：由假设知，G 是一个无回路的连通图，故G 是树。
2．证明：非平凡树的最长通路的起点和终点均为悬挂点. 分析：利用最长通路的性质可证。
证明：设P 是树T 中的极长通路。
若P 的起点v 满足1)(>v d ，则P 不是T 中极长的通路。
对终点u 也可同理讨论。
故结论成立。
3．证明：恰有两个悬挂点的树是一条通路.分析：因为树是连通没有回路的，所以树中至少存在一条通路P 。
因此只需证明恰有两个悬挂点的树中的所有的点都在这条通路P 中即可。
证明：设v u ,是树T 中的两个悬挂点，即1)()(==v d u d 。
因T 是树，所以存在),(v u -通路P ：0,1≥k v w uw k Λ。
显然，2)(≥i w d 。
若2)(>i w d ，则由T 恰有两个悬挂点的假设，可知T 中有回路；若T 中还有顶点x 不在P 中，则存在),(x u -通路，显然u 与x 不邻接，且2)(≥x d 。
于是，可推得T 中有回路，矛盾。
故结论成立。
4．设G 是树, ()k G ≥∆, 求证：G 中至少有k 个悬挂点.分析：由于()k G ≥∆，所以G 中至少存在一个顶点v 的度≥k ，于是至少有k 个顶点与邻接，又G 是树，所以G 中没有回路，因此与v 邻接的点往外延伸出去的分支中，每个分支的最后一个顶点必定是一个悬挂点，因此G 中至少有k 个悬挂点。
证明：设)(G V u ∈，且k m u d ≥≥)(。
于是，存在)(,,1G V v v m ∈Λ，使m i G E uv i ,,1),(Λ=∈。
若i v 不是悬挂点，则有),(G V v i ∈'使。
如此下去，有)()(G V v l i ∈，满足,,)(j i v v j l i≠≠且1)()(=l i v d , m i ,,1Λ=。
故G 中至少有k 个悬挂点。
5．设()q p G ,是一个图, 求证：若p q ≥, 则G 中必含回路.分析：利用树是没有回路且连通的图，且树中的顶点数和边数的关系可证。
证明：设),(q p G 有k 个分支：),(][,),,(][1111k k k k q p G V G q p G V G ==Λ。
显然，,1k p p p ++=Λk q q q ++=Λ1。
若G 无回路，则每个),(i i i q p G 均是树，k i ,,1Λ=。
于是k i p q i i ,,1,1Λ=-=。
从而 p k p q <-=，1≥k ，即p q <。
此为矛盾，故G 必含回路。
6．设()q p G ,是有k 个连通分支的图, 求证：G 是森林当且仅当k p q -=.证明：见题5的证明。
7．画出4K 的所有16棵生成树.解，K4的所有16棵生成树如下图所示。
13 24 13 24 1324 32413 24 1324 1324 1324 13248．设()q p G ,是连通图, 求证：1-≥p q .分析：树应该是具有p 个顶点中边数最少的连通图，而树中的边数q=p-1可证。
证明：设G 是连通图。
若G 无回路，则G 是树，于是1-=p q 。
若G 有回路，则删去G 中0>k 条边使之保持连通且无回路。
于是1-=-p k q ，即11->+-=p k p q 。
9．递推计算3,2K 的生成树数目.1324 1324 1324 1324 1324 1324 1324= K2,3 +=+++=+ ++++10．通过考虑树中的最长通路, 直接验证有标记的5个顶点的树的总数为125.分析：设树中5个顶点的标记分别为1，2，3，4，5。
而5个顶点的树的最长通路只能是4、3、2，如下（1）（2）（3）所示。
(1) 最长通路长度为4；(2)最长通路长度为3；（3） 最长通路长度为2。
对于（1），把每个顶点看作是一个空，不同的顶点序列对应不同的树，但由于对称性12345和54321所形成的树应该是同一棵树，因此这种情况下所有有标记的树的数目为：5！/2=60个； 对于（2），把上面四个顶点分别看作一个空，在构造树的时候可以先构造这四个顶点，剩下的一个顶点只能放在下面，选择上面四个顶点的数目应为可以从所有有标记的树的数目为45C *4！，但同样由对称性，如1234这样的排列和顶点5构成的树与1235这样的排列和4构成的数是一样的。
因此这种情况下所有有标记的树的数目为：45C *4！/2=60个； 对于（3），只要确定了中间度为4的顶点，这棵树就构造完了，所有这种情况下有标记的树的数=++ + ++=+ + + =12目为：515=C 个；解：有标记的5个顶点的树的总数为：60+60+5=125个。
11．用()n T 表示n 个顶点的有标记树的个数, 求证：()()()()()∑-=--=-1112n k kn C k n T k T k n k n T n由此得恒等式()()∑-=-----=-1121112n k n kn k n k n n C k n k分析：每个n 阶树可由下面的方法构造出来：先从这n 个顶点中任取k 个顶点构造出一个k 阶树，对剩下的n-k 个顶点构造出一个n-k 阶树，再将这两个树合并成一个树，显然这样得到的树是一个n 阶的树。
又由定理6.2.4有i 个顶点的无标记的生成树共有i i-2个，可得下面的证明。
证明：任取k 个顶点的一棵k 阶树与 (n –k)个顶点构成的n –k 阶树之间连接两点就是一棵n 阶树，这里有k (n –k) 种连接。
并注意到一来一往每条边用了两次，因此， k (n –k) T(k) T (n –k)C n k =2T(n)。
上式两边对k 从1到n –1求和，得knn k Ck n T k T k n k n T n ∑-=--=-11)()()()()1(2。
再将T(n) = n n –2,T(k) = k k –2, T (n –k)= (n –k)n –k –2, 代入上式便可得恒等式：21111)1(2)(--=----=-∑n kn n k k n k n n C k n k12. 如何用Kruskal 算法求赋权连通图的权最大的生成树（称为最大树）？ 证明：将Kruskal 算法中的“小”改成“大”即可得到“最大树”。
13．设G 是一个赋权连通图, (){}2,,,2,1≥=n n G V Λ. 求证：按下列步骤（Prim 算法）可以得出G 的一个最优树.（i ）置{}∅==:,1:T U ； （ii ）选取满足条件()U G V j U i -∈∈,且()j i C ,最小的()j i ,；（iii ）{}{}j U U j i T T Y Y =:,,:；（iv ）若()G V U ≠则转（ii ）, 否则停止, T 中的边就是最优树的边.解： (1) 设*T 是按Prim 算法得出的图。
由Prim 算法的初值及终止条件，可知*T 连通，且*T 为G 的生成子图。
又由（ⅱ）知*T 无回路。
故*T 是生成树。
（2）设T T G T |{)(=是G 的生成树，}*T T ≠，仿定理6.3.1的证明，可证结论成立。
14．按题13的Prim 算法, 求出图6. 9的最优树.图6.9解：最优树如下。
（权为20）习题七1．对图7.7中的两个图，各作出两个顶点割。
解： 对图7.7增加加节点标记如下图所示，则(a)的两个顶点割为： V11={a,b} ； V12={c,d} (b)的两个顶点割为： V21={u,v} ； V12={y}2．求图7.7中两个图的()G κ和()G λ.解：如上两个图，有 k(G1)=λ(G1)=2, k(G2)=1, λ(G2)=23．试作出一个连通图G , 使之满足：()()()G G G δλκ==解：做连通图G 如下，于是有 ：（a ）（b ）图7.7)(a 7.7图wy)()()(G G G k δλ==4．求证, 若()q p G ,是-k 边连通的, 则2/kp q ≥.证明：设G 是k —边连通的，由定义有λ(G)≧k. 又由定理7.1.2知λ(G)≦，因此有 k≦λ(G) ≦ ≦即 k ≦ ，从而5．求证, 若G 是p 阶简单图, 且()2-≥p G δ, 则()()G G δκ=.分析：由G 是简单图，且()2-≥p G δ，可知G 中的δ(G)只能等于 p-1或p-2；如δ(G)= p-1,则G 是一个完全图，根据书中规定，有k(G)=p-1=δ(G)；如δ(G)= p-2,则从G 中任取V （G ）的子集V1，其中|V1|=3，则V(G)-V1的点导出子图是连通的，否则在V1中存在一个顶点v ，与其他两个顶点都不连通。
则在G 中，顶点v 最多与G 中其他p-3个顶点邻接，所以d(v)≤p-3，与δ(G)= p-2矛盾。
这说明了在G 中，去掉任意p-3个顶点后G 还是连通的，按照点连通度的定义有k(G)>k-3，又根据定义7.1.1，()()G G δκ≤，有k(G)=k-2。
证明：因为G 是简单图 ,所以d(v)≦p-1,v ∈V(G),已知δ(G)≧p-2 （ⅰ）若δ(G)= p-1,则G=Kp （完全图），故k(G)=p-1=δ(G)。
（ⅱ）若δ(G)= p-2, 则 G ≠Kp,设u,v 不邻接，但对任意的w ∈V(G),有 uw,vw ∈E(G).于是，对任意的V1⊆V(G),| V1|=p-3 ,G-V1必连通.因此必有k(G) ≧p-2=δ(G),但k(G) ≦δ(G)。
故k(G) =δ(G)。
6．找出一个p 阶简单图, 使()3-=p G δ, 但()()G G δκ<. 解：⎥⎦⎥⎢⎣⎢p q 2⎥⎦⎥⎢⎣⎢p q 2p q 2pq 2。
2kp q ≥。
，如图)(1)(,32)(,5G G p G p G δκδ<=-===7．设G 为-3正则简单图, 求证()()G G λκ=.分析：G 是一个-3正则简单图，所以δ(G)=3，根据定理7.1.1有()())(G G G δλκ≤≤，所以()G κ只能等于0，1，2，3这四种情况。
下面的证明中分别讨论了这四种情况下()()G G λκ和的关系。
证明：(1)若()G κ=0，则G 不连通,所以λ(G)=K(G).(2) 设 K(G)=1,且u 是G 中的一个割点，G-u 不连通,由于d(u)=3,从而至少存在一个分支仅一边与u 相连,显然这边是G 的割边,故λ(G)＝１，所以λ(G)=K(G)(３) 设K(G)=2,且{v1,v2}为G 的一个顶点割。
G1=G-v1连通,则v2是G1的割点且v2在G1中的度小于等于３，类似于(2)知在G1中存在一割边e2(关联v2)使得G1-e2不连通．另一方面由于λ(G)>=K(G)=2故G-e2连通．由于G1-e2= (G-e2)-v1，故v1是G-e2的割点，且v1在G-e2中的度小于等于３，于是类似于(2)知，在G-e2中存在一割边e1，即(G-e2)-e1=G-{e1,e2}不连通，故λ(G)=2.所以λ(G)=K(G). (４) 设k(G) =3,于是，有3 =k （G ） ≦ ≦δ(G)=3 ,知8．证明：一个图G 是-2边连通的当且仅当G 的任意两个顶点由至少两条边不重的通路所连通.分析：这个题的证明关键是理解-2边连通的定义。
离散数学（第二版）课后习题答案详解（完整版）
离散数学（第⼆版）课后习题答案详解（完整版）习题⼀1.下列句⼦中,哪些是命题？在是命题的句⼦中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四⼤发明.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（2）5 是⽆理数.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（3）3 是素数或 4 是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.（4）2x+ <3 5 答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2 与3 是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（11）只有6 是偶数，3 才能是2 的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8 是偶数的充分必要条件是8 能被3 整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008 年元旦下⼤雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四⼤发明.（2）p: 是⽆理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.（13）p:2008 年元旦下⼤雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1）5 是有理数.答：否定式：5 是⽆理数. p：5 是有理数.q：5 是⽆理数.其否定式q 的真值为1.（2）25 不是⽆理数.答：否定式：25 是有理数. p：25 不是⽆理数. q：25 是有理数. 其否定式q 的真值为1.（3）2.5 是⾃然数.答：否定式：2.5 不是⾃然数. p：2.5 是⾃然数. q：2.5 不是⾃然数. 其否定式q 的真值为1.（4）ln1 是整数.答：否定式：ln1 不是整数. p：ln1 是整数. q：ln1 不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 与5 都是素数答：p：2 是素数，q：5 是素数，符号化为p q∧，其真值为 1.（2）不但π是⽆理数，⽽且⾃然对数的底e 也是⽆理数.答：p：π是⽆理数，q：⾃然对数的底e 是⽆理数，符号化为p q∧，其真值为1.（3）虽然2 是最⼩的素数，但2 不是最⼩的⾃然数.答：p：2 是最⼩的素数，q：2 是最⼩的⾃然数，符号化为p q∧? ，其真值为1.（4）3 是偶素数.答：p：3 是素数，q：3 是偶数，符号化为p q∧，其真值为0.（5）4 既不是素数，也不是偶数.答：p：4 是素数，q：4 是偶数，符号化为? ∧?p q，其真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 或3 是偶数.（2）2 或4 是偶数.（3）3 或5 是偶数.（4）3 不是偶数或4 不是偶数.（5）3 不是素数或4 不是偶数.答: p：2 是偶数，q：3 是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数, t:5 是偶数(1)符号化: p q∨，其真值为1.(2)符号化：p r∨，其真值为1.(3)符号化：r t∨，其真值为0.(4)符号化：? ∨?q s，其真值为1.(5)符号化：? ∨?r s，其真值为0.6.将下列命题符号化.（1）⼩丽只能从筐⾥拿⼀个苹果或⼀个梨.答：p：⼩丽从筐⾥拿⼀个苹果，q：⼩丽从筐⾥拿⼀个梨，符号化为: p q∨ .（2）这学期，刘晓⽉只能选学英语或⽇语中的⼀门外语课.答：p：刘晓⽉选学英语，q：刘晓⽉选学⽇语，符号化为: (? ∧∨∧?p q)(p q) .7.设p：王冬⽣于1971 年，q：王冬⽣于1972 年，说明命题“王冬⽣于1971 年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：合命题可以发现,p 与q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化⽅式.8.将下列命题符号化,并指出真值., 就有；（1）只要, 则；, 才有；（3）只有, 才有；（4）除⾮, 否则；（5）除⾮（6）仅当.答:设p: , 则: ; 设q: , 则: .（1）；（2）；；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.答:根据题意,p 为假命题,q 为真命题.（1）；（2）；（3）；（4）.答:根据题意,p 为真命题,q 为假命题.（1）若2+2=4,则地球是静⽌不动的；（2）若2+2=4,则地球是运动不⽌的；（3）若地球上没有树⽊,则⼈类不能⽣存；（4）若地球上没有⽔,则是⽆理数.12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）2+2=4 当且仅当3+3=6；（2）2+2=4 的充要条件是3+3 6；（3）2+2 4 与3+3=6 互为充要条件；（4）若2+2 4,则3+3 6,反之亦然.答:设p:2+2=4,q:3+3=6.（1）若今天是星期⼀,则明天是星期⼆；（2）只有今天是星期⼀,明天才是星期⼆；（3）今天是星期⼀当且仅当明天是星期⼆；（4）若今天是星期⼀,则明天是星期三.答:设p:今天是星期⼀,q:明天是星期⼆,r:明天是星期三.（1）刘晓⽉跑得快,跳得⾼；（2）⽼王是⼭东⼈或者河北⼈；（3）因为天⽓冷,所以我穿了⽻绒服；（4）王欢与李乐组成⼀个⼩组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他⼀⾯吃饭,⼀⾯听⾳乐；（8）如果天下⼤⾬,他就乘班车上班；（9）只有天下⼤⾬,他才乘班车上班；（10）除⾮天下⼤⾬,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2 与4 都是素数,这是不对的；（13）“2 或 4 是素数,这是不对的”是不对的.答:q：⼤熊猫产在中国.r:太阳从西⽅升起. 求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真值为1，q 真值为1，r 真值为0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当p,q 的真值为0,r,s 的真值为1 时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下⾯⼀段论述是否为真：“ 是⽆理数.并且,如果3 是⽆理数,则也是⽆理数.另外,只有6 能被2 整除,6 才能被4 整除.”解：p: 是⽆理数q: 3 是⽆理数r:是⽆理数s: 6 能被2 整除t：6 能被 4 整除符号化为: ，该式为重⾔式，所以论述为真。
湘潭大学刘任任版离散数学课后习题答案习题
习 题 一1. 用列举法表示下列集合：（1）1到100之间的自然数的集合； （2）小于5的正整数集合；（3）偶自然数的集合； （4）奇整数的集合.分析 本题主要考察集合的定义及怎样用列举法表示集合。
解：(1) A ={,,,,},123100 (2) B ={,,,}1234，(3) },8,6,4,2,0{ =C , (4) D =---{,,,,,,,} 531135.2. 用描述法表示下列集合：（1）偶整数的集合；（2）素数的集合；（3）自然数a 的整数幂的集合.分析 本题主要考察集合的定义及怎样用描述法表示集合。
解：(1) }2{整除的整数被是能x x E =(2) }11{数和自身整除的整且只能被是大于x x P =(3) }{是整数是自然数，n a a A n =3. 设},1,4,3},{{},4},3{,,2{a R a S ==请判断下面的写法正确与否：（1）S a ∈}{（2）R a ∈}{ （3）S a ⊆}}3{,4,{（4）R a ⊂}4,3,1},{{ （5）S R =（6）S a ⊆}{ （7）R a ⊆}{（8）R ⊆∅ （9）E R a ⊆⊆⊆∅}}{{（10）S ⊆∅}{ （11）R ∈∅ （12）}4},3{{⊆∅分析 本题主要考察集合的基本运算。
解：(1) 错; (2) 对; (3) 对; (4) 错; (5) 错; (6) 对; (7) 错; (8) 对; (9) 对; (10) 错;(11)错; (12) 对.4. 设A 、B 和C 为任意三个集合. 以下说法是否正确? 若正确则证明之, 否则举反例说明.（1）若B A ∈且C B ⊆，则C A ∈；（2）若B A ∈且C B ⊆，则C A ⊆；（3）若B A ⊆且C B ∈，则C A ∈；（4）若B A ⊆且C B ∈，则C A ⊆分析 本题主要考察集合的基本运算。
解：(1) 正确。
因B C ⊆，所以，对任何x B ∈均有x C ∈，今A B ∈，故A C ∈。
离散数学第2版课后习题答案
离散数学第2版课后习题答案离散数学是计算机科学和数学领域中一门重要的学科，它研究离散对象及其关系、结构和运算方法。
离散数学的应用非常广泛，包括计算机科学、信息科学、密码学、人工智能等领域。
而离散数学第2版是一本经典的教材，它系统地介绍了离散数学的基本概念、原理和方法。
本文将为读者提供离散数学第2版课后习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握离散数学的知识。
第一章：基本概念和原理1.1 命题逻辑习题1：命题逻辑的基本符号有哪些？它们的含义是什么？答：命题逻辑的基本符号包括命题变量、命题联结词和括号。
命题变量用字母表示，代表一个命题。
命题联结词包括否定、合取、析取、条件和双条件等，分别表示“非”、“与”、“或”、“如果...则...”和“当且仅当”。
括号用于改变命题联结词的优先级。
习题2：列举命题逻辑的基本定律。
答：命题逻辑的基本定律包括德摩根定律、分配律、结合律、交换律、吸收律和否定律等。
1.2 集合论习题1：什么是集合？集合的基本运算有哪些？答：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合的基本运算包括并、交、差和补等。
习题2：列举集合的基本定律。
答：集合的基本定律包括幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律和德摩根定律等。
第二章：数理逻辑2.1 命题逻辑的推理习题1：什么是命题逻辑的推理规则？列举几个常用的推理规则。
答：命题逻辑的推理规则是用来推导命题的逻辑规则。
常用的推理规则包括假言推理、拒取推理、假言三段论和析取三段论等。
习题2：使用推理规则证明以下命题：如果A成立，则B成立；B不成立，则A不成立。
答：假言推理规则可以用来证明该命题。
根据假言推理规则，如果A成立，则B成立。
又根据假言推理规则，如果B不成立，则A不成立。
2.2 谓词逻辑习题1：什么是谓词逻辑？它与命题逻辑有何区别？答：谓词逻辑是一种扩展了命题逻辑的逻辑系统，它引入了谓词和量词。
与命题逻辑不同，谓词逻辑可以对个体进行量化和描述。
湘潭大学刘任任版离散数学课后习题答案习题
习 题 十 一1．设11≥p ，证明任何p 阶图G 与G 总有一个是不可平面图。
分析： G 与G 是两个互补的图，根据互补的定义，互补的图有相同的顶点数，且G 的边数与G 的边数之和等于完全图的边数p(p-1)/2；而由推论11.2.2，有任何简单平面图G ，其顶点数p 和边数q 满足：q ≤3p-6。
证明. 若),(q p G 与),(q p G ''均是可平面图，则63-≤p q （1） 63-'≤'p q （2） 但q p p q p p --='=')1(21, （3）将（3）代入（2）有63)1(21-≤--p q p p 整理后得 q p p 21272≤+- 又由（1）有)63(21272-≤+-p p p 即 024132≤+-p p也即 224413132244131322⨯-+≤≤⨯--p .得 2731327313+≤≤-p 得112<<p此与11≥p 矛盾。
因此任何p 阶图G 与G 不可能两个都是可平面图，从而G 与G 总有一个是不可平面图。
2．证明或否定：两个p 阶极大简单平面图必同构分析：极大平面图是指添加任何一条边以后不构成平面图的平面图；两个p 阶极大简单平面图不一定同构。
解：令6=p ，三个6阶极大简单平面图321,,G G G 如下：顶点上标的数字表示该顶点的度，但显然不同构.3．找出一个8阶简单平面G ，使得G 也是平面图.分析：由第1题证明过程可知，当p<11时，G 和G 可以同时为平面图。
解：如下平面图G ，显然其补图也是平面图。
123G 3344454．证明或者否定：每个极大平面图是H 图. 分析：极大平面图是指添加任何一条边以后不构成平面图的平面图；而H 图是存在一个H 回路的图，即存在一条经过图中每一个顶点一次且仅一次的回路。
由定理11.1.2知极大平面图的每个面都是三角形，因此G 中必存在回路，利用最长回路的性质使用反证法可证明每个极大平面图都是H 图。
离散数学 习题答案(刘任任)
（2）
A B ( A B) ( A B) ( B A) ( B A) B A
( A B) C (( A B) ( B A)) C (( A B ) ( B A )) C (((A B ) ( B A)) C) (((A B ) ( B A)) C)
A B AC
(4) 错误。例如，令 A={2,3,4},B={1,2,3},C={3,4,5}; (5)错误。例如，令A={2,4},B={1,2},C={2,3};
8.
（1）设A=B。于是
A B ( A B) ( A B) A A 反之，设 A B 。若 A B ，则不妨 设 x A而x B 。于是， x A B, 而x A B 从而 A B
3.
(1) 错; (2) 对; (3) 对; (4) 错;
(5) 错;
(9) 对;
(6) 对;
(10) 错;
(7) 错;
(11)错;
(8) 对;
(12)对.
4.
（1）正确。因BC，所以，对任何x∈B均有x∈C， 令A∈B，故A∈C。 （2）错误。例如，令A={1}，B={{1}，2}， C={{1}，2，3}。
(B×A) 2 =(B × A) ×(A × B) ={<<2,1>,<2,1>>,<<2,1>,<2,2>>,<<2,1>,<3,1 >>,<<2,1>,<3,2>>,<<2,2>,<2,1>>,<<2,2>,< 2,2>>,<<2,2>,<3,1>>,<<2,2>,<3,2>>,<<3,1 >,<2,1>>,<<3,1>,<2,2>>,<<3,1>,<3,1>>,<< 3,1>,<3,2>>,<<3,2><2,1>>,<<3,2>,<2,2>>, <<3,2>,<3,1>>,<<3,2>,<3,2>>}
湘潭大学刘任任版离散数学课后习题答案习题14
习题十四1．试判断下列语句是否为命题，并指出哪些是简单命题，哪些是复合命题。
分析：本题主要是考察命题的定义，只要理解定义即可。
（1）2是有理数。
解：是命题，且为简单命题（2）计算机能思考吗？解：非命题（3）如果我们学好了离散数学，那么，我们就为学习计算机专业课程打下了良好的基础。
解：是命题，且为复合命题。
（4）请勿抽烟！解：非命题。
（5）X+5＞0解：非命题。
（6）π的小数展开式中，符号串1234出现奇数次。
解：是命题，且为简单命题。
（7）这幅画真好看啊！解：非命题。
（8）2050年元旦的那天天气晴朗。
解：是命题，且为简单命题。
（9）李明与张华是同学解：是命题，且为简单命题。
（10）2既是偶数又是质数。
解：是命题，且为复合命题。
2．讨论上题中命题的真值，并将其中的复合命题符号化。
解：（1）F （3）T （6）不知真假（8）不知真假（9）真或假，视情况而定（10）T（3）P：我们学好了离散数学。
Q：我们为学习计算机专业课程打下了良好的基础。
P→Q（10）P：2是质数；Q：2是偶数；P∧Q3．将下列命题符号化分析：本题主要是考察命题的符号化，主要是要分清合取、析取、蕴含、等价的使用环境。
（1）小王很聪明，但不用功解：P：小王很聪明；Q：小王不用功；P∧Q（2）如果天下大雨，我就乘公共汽车上班。
解：P：天下大雨；Q：我乘公共汽车上班；P→Q（3）只有天下大雨，我才乘公共汽车上班解：P：天下大雨；Q：我乘公共汽车上班；Q→P（4）不是鱼死，就是网破解：P：鱼死；Q：网破；P∨Q（5）李平是否唱歌，将看王丽是否伴奏而定。
解：P：李平唱歌Q：王丽伴奏P Q4．求下列命题公式的真值表：分析：主要考察真值表。
这个最好自己按照一个思路写出来所有的解释，不要遗漏。
（可以参考二进制来进行给出解释，例如：P，Ｑ，那么我们可以按照这样的顺序给出解释：（０，０）（０，１）（１，０）（１，１））（1）P →(Q ∨R)()101111111100111011111000011011000010111P Q R Q R P Q R ∨→∨(2)P ∧（Q ∨⌝R ）解：()111011101000011010001000110111100111010110011P Q R R Q R P Q R ⌝∨⌝∧∨⌝（3）())(Q Q P P →→∧解：()())((111101001111110001QQ P P Q P P Q P Q P →→∧→∧→（4）()P Q Q ⌝→∧解：()()011001000011101001Q Q P Q P Q P Q P ∧→⌝→⌝→（5）()()Q P Q P ∧↔∨11100001111100101)()(Q P Q P Q P Q P Q P ∧↔∨∧∨5．用真值表方法验证下列基本等值式分析：本题主要是通过验证等值符号两边的真值表相同即可。
离散数学(刘任任版)第2章答案
而关系图中任何两个结点之间的有向弧是单向的。 （即若关系R是反对称的，当且仅当关系矩阵中 以对角线对称的元素不能同时为1，在关系图上 任两个结点的定向弧线不可能成对出现）
5.
R·S={<1,4>,<1,3>},S·R={<3,4>}; R 2={<1,1>,<1,2>,<1,4>}; S 2={<2,2>,<3,4>,<3,3>}.
β(A×A-{<x,x>})=2n2-n
(4)共有2n 2n(n1)/ 2 2n(n1)/ 2 种定义在A上
的不同的对称关系; 说明: ∵A上的对称关系必须满足：如果<x,y>在
这个关系中，则<y,x>也必须在这个关系中。 ∴在构造A上的对称关系的时候可以先将所有 的<x,y>和<y,x>（其中x≠y）看成是一个整体。 ∴要考虑的序偶的个数有：
s(R1) s(R2 ) (R1 R11) (R2 R21)任取 x, y s(R1 R2 ) (R1 R2 ) (R1 R2 )1 (i)若 x,y (R1 R2 ),
则 x, y R1 R1 R11,且 x, y R2 R2 R21,从而 x,y (R1 R11) (R2 R21)
14.
证明 S {Ai Bj | Ai Bj } (1)由S定义知, Ai Bj (2)任取Ai Bi S和Al Bm S, 1 i, j r,1 j, m s ( Ai Bj ) ( Al Bm ) ( Ai Am ) (Bj Bm )
湘潭大学刘任任版离散数学课后习题答案习题
习题二十一1.某年级有100个学生,其中40个学生学英语,40个学生学俄语,40个学生学日语.若分别有21个学生学习上述三种语言中的任何两种语言,有10个学生所有3种语言.问不学任何语言的学生有多少个?解：用A 1、A 2、A 3分别表示学英语、学俄语、学日语的学生集合，S 表示总学生集合，则问题变成求||321A A A ⋂⋂，利用逐步淘汰公式，分别求120404040||=++=∑iA ，∑=++=⋂+⋂+⋂=⋂63212121||||||||323121A A A A A A AA ji， ∑=⋂⋂=⋂⋂10||||321A A A A AA k ji，所以由逐步淘汰公式331063120100||||||100||321=-+-=⋂⋂-⋂+-=⋂⋂∑∑∑k j i j i i A A A A A A A A A2.有多少个小于70且与70互质的正整数?解：由于70=2×５×７，所以该题也就变成了，求所有小于７０的并且不能被２，５，７整除的正整数的个数。
设1A 、2A 、3A 分别表示1到７０之间能被２、５、7整除的整数之集合.于是,问题变成求||321A A A ⋂⋂.利用逐步淘汰公式,先分别求:59101435]770[]570[]270[||=++=++=∑iA其中][b a 表示对ba取整,下同:∑=++=⋂+⋂+⋂=⋂]]7,2[70[]]7,5[70[]]5,2[70[||||||||323121A A A A A A A Aj i14527=++其中],[b a 表示a 与b 的最小公倍数.∑===⋂⋂=⋂⋂1]7070[]]7,5,2[70[||||321A A A A A A k j i代入公式(21.1)得:=⋂⋂-⋂+-=⋂⋂∑∑∑||||||70||321k j i j i i A A A A A A A A A241145970=-+-3.在由10个数字位组成的三进制序列中,有多少个至少出现一个0,一个1和一个2的序列? 解：设只出现0、1、2中任意i 位数的三进制数的个数为N(i)个，i=1,2。
离散数学第二版最全课后习题答案详解
离散数学第二版最全课后习题答案详解离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、电气工程等领域都有着广泛的应用。
对于学习离散数学的同学们来说，课后习题的解答是巩固知识、加深理解的重要环节。
本文将为您提供离散数学第二版的最全课后习题答案详解，希望能对您的学习有所帮助。
在开始讲解具体的习题答案之前，让我们先简要回顾一下离散数学的主要内容。
离散数学包括集合论、数理逻辑、图论、代数结构等几个部分。
集合论是离散数学的基础，它研究集合的性质、运算和关系。
在集合论的习题中，常见的问题包括集合的表示、集合的运算（并集、交集、补集等）、集合的包含关系以及集合的基数等。
例如，有这样一道习题：设集合 A ＝｛1, 2, 3}，B ＝｛2, 3, 4}，求 A ∪ B 和A ∩ B。
答案是：A ∪ B ＝｛1, 2, 3, 4}，A ∩ B ＝｛2, 3}。
这是因为并集是包含两个集合中所有元素的集合，而交集是同时属于两个集合的元素组成的集合。
数理逻辑是研究推理和证明的工具，它包括命题逻辑和谓词逻辑。
在数理逻辑的习题中，需要掌握命题的符号化、逻辑公式的等价变换、推理规则的应用等。
比如，给出这样一个命题：“如果今天下雨，那么我就不去公园”，将其符号化。
我们可以设“今天下雨”为 P，“我去公园”为 Q，那么这个命题可以符号化为P → ¬Q。
图论是研究图的性质和应用的分支。
图的概念在计算机网络、交通运输等领域有着重要的应用。
图论的习题常常涉及图的表示、顶点的度、路径、连通性、图的着色等问题。
假设有这样一道题：一个无向图有 10 个顶点，每个顶点的度都为 6，求这个图的边数。
根据顶点度数之和等于边数的两倍这个定理，我们可以计算出边数为 30。
代数结构则包括群、环、域等概念，在这部分的习题中，需要理解和运用代数结构的定义和性质来解决问题。
接下来，我们具体来看一些习题的详细解答。
例 1：设集合 A ＝｛x ｜ x 是小于 10 的正奇数}，B ＝｛x ｜ x 是小于 10 的正偶数}，求 A B。
湘潭大学 刘任任版 离散数学课后习题答案 习题9
习 题 九1．证明：任何树最多只有一个完美匹配分析：树是连通没有回路的图；树的完美匹配是树存在一个匹配M ，满足树的所有顶点v 都是M-饱和点。
而两个完美匹配中不同的边所关联的顶点的度至少为2，否则如果等于1的话，则该顶点关联的边只有一条，在构造完美匹配的时候为了使得这个点成饱和点，只有一种选择。
证明：设树T 有两个或两个以上的完美匹配，任取完美匹配1M 和2M ，21M M ≠。
于是Φ≠⊕21M M 。
易知边导出子图][21M M T H ⊕=中的每个顶点v 满足2)(≥v d H 。
于是H 中存在回路，从而T 中有回路。
此与T 是树矛盾，故结论成立。
2．证明：树G 有完美匹配当且仅当对任意)(G V v ∈，均有1)(=-v G O分析：一方面，由定理9.1.3 图G 存在完美匹配当且仅当对任意S ⊂V(G)，有||)(S S G O ≤-，所以如果树G 有完美匹配，则1|}{|)(=≤-v v G O ；而G 有完美匹配，说明=|)(|G V 偶数，所以1)(≥-v G O ；从而有1)(=-v G O 。
另一方面，如果对任意)(G V v ∈，均有1)(=-v G O ，则对v 而言，可利用这个这个奇分支找到v 关联的唯一边，从而构造出G 的一个完美匹配。
证明：必要性 设G 有完美匹配。
由定理9.1.3，取}{v S =，则1||)()(=≤-=-S S G O v G O又 ∵G 有完美匹配，∴=|)(|G V 偶数。
于是|)(|v G V -=奇数。
故 1)(≥-v G O . 从而 1)(=-v G O .充分性 设对任意)(G V v ∈，有1)(=-v G O .即v G -恰有一个奇分支)(0v C ，因G 是树，故v 只能与)(0v C 中的一个顶点邻接。
设v 与)(0v C 的关联边为)()(G E vu v e ∈=。
显然v 确定以后，uv 是唯一确定的，且易知uv u C =)(0。