必修四《第一章_三角函数》典型题型与方法(含详细答案)
必修四《第一章 三角函数》典型问题与方法（含详细答案）
1．1 任意角和弧度制
题型一：区域角的表示
例1．写出终边落在直线y ＝x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．
例2．写出如图所示阴影部分的角α的范围．
【变式训练】
1．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OB 上；(2)终边落在直线OA 上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
题型二：角
n
所在象限的确定 例2．已知α是第二象限角，求角α
2
所在的象限．
【变式训练】
1．已知α是第二象限角，则角2α的终边的位置落在____________________． 2．已知α是第二象限角，则180°－α是第_________________象限角．
3．已知α是第三象限角，则α
3
是第几象限角？
1.1.2 弧度制
题型一：弧度制与角度值的转化 角度 0° 15° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 240° 270° 360° 弧度
题型二：扇形的弧长和面积公式
例2．直径为20 cm 的圆中，求下列各圆心角所对的弧长及扇形面积．
(1)4π
3
； (2)165°.
【变式训练】
1．若扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求扇形圆心角的弧度数．
2．一扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？
1.2.1 任意角的三角函数
题型一：三角函数的定义
例1．(1)求5π
3
的正弦、余弦和正切值；
(2)已知角α的终边经过点P 0(－3，－4)，求角α的正弦、余弦和正切值．
【方法归纳】(1)求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解．(2)对于角α的终边上一点P (x ，y )(非原点)，P 到原点的距离为r ，根据三角函数的定义可得
sin α＝y r ，cos α＝x r ，sin α＝y x .
【变式训练】
1．角α的终边经过点P (2，3)，则有( )
A ．sin α＝21313
B ．cos α＝132
C ．sin α＝31313
D ．tan α＝2
3
2．sin 25π
6等于( )
A.12
B.32 C ．－12 D ．－32
3．已知P (－3，y )为角β的终边上的一点，且sin β＝13
13
，则y 的值为( )
A ．±12 B.12 C ．－1
2
D ．±2
4．已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝2
2
，求sin α，tan α的值．
5．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－
2
2
，求cos α和tan α的值．
6．已知角α的终边过点P (－3m ，m )(m ≠0)，则sin α＝________．
7．角α的终边上有一点P (a ，4)，且tan α＝4
3
，求3sin α－2cos α的值．
8．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．
9．已知角α的终边经过点P (3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则a 的取值范围是________．
题型二：三角函数值符号的判定
例2．(1)确定下列三角函数值的符号：①cos 250°；②sin ???
?－π
4；③tan(－672°)． (2)若sin θtan θ＜0，试确定θ所在象限．
【归纳小结】
(1)对于用已知角α的终边所在象限来判断角α的相应函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来处理．
(2)由三角函数符号确定角α的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求．
例3．函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |
cos x
的值域是________．
【变式训练】
1．判断下列各式的符号：
(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)； (2)sin 285°cos(－105°)．
题型三：公式一的简单运用 例4．求下列三角函数值：
(1)cos 9π
4
； (2)tan ????－11π6； (3)sin ????－31π4； (4)sin 810°＋tan1 125°＋cos 420°.
【变式训练】
1．求值：sin 7π3cos(－23π6)＋tan(－15π4)cos 13π
3
.
题型四：三角函数线的作法 例5．作出
34
π
的正弦线、余弦线和正切线．
【变式训练】
1．如果MP 和OM 分别是角78
π
α=
的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是（ ） A ．0MP OM << B ．0OM MP >> C ．0OM MP << D ．0MP OM >>
2．在单位圆中画出满足1
sin 2
α=的角α的终边．
题型五：利用三角函数线比较大小
例6．利用三角函数线比较下列各组数的大小．
(1)sin 2π3与sin 4π5；(2)tan 2π3与tan 4π5
.
【变式训练】
1．sin 1、cos 1、tan 1的大小关系为__________________________． 2．求证：当(0,)2
π
α∈时，sin tan ααα<<．
题型六：利用三角函数线解不等式
例7．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围．
(1)sin θ≥32； (2)－12≤cos θ＜3
2
.
【变式训练】
1．利用三角函数线比较下列各组数的大小．
(1)sin 2π3与sin 4π5； (2)tan 2π3与tan 4π5
.
2．(1)求函数y ＝2cos x －1的定义域； (2)求满足tan x ＝－1的角x 的集合．
3．当[0,2]x π∈，不等式sin cos x x >的解集为 ___________________． 4．利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合．
（1）sin 2x ≥ （2）1cos 2x ≤ （3）tan 1x ≥- （4）1sin 2x >-且1cos 2
x >