2020年中考数学选择填空压轴题汇编：最值问题
2020年中考数学选择填空压轴题汇编：最值问题1.（2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC ＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为2√5−2．【解答】解：如图，连接BE，BD．由题意BD=√22+42=2√5，∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，∴BE=12MN＝2，∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为2√5−2．故答案为2√5−2．2.（2020•玉林）把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（）A．﹣4B．0C．2D．6【解答】解：∵把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y ＝﹣a（x﹣1）2+4a，∴原二次函数的顶点为（1，﹣4a），∴原二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣4a＝ax2﹣2ax﹣3a，∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，∵（m﹣1）a+b+c≤0，∴（m﹣1）a﹣2a﹣3a≤0，∵a＞0，∴m﹣1﹣2﹣3≤0，即m≤6，∴m的最大值为6，故选：D．3.（2020•河南）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BĈ于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为6√2+π3．【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′C最小，即：E′C+E′C＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD ′＝90°，∴CD ′=√OC 2+OD′2=√22+22=2√2，CD ̂的长l =30π×2180=π3， ∴阴影部分周长的最小值为2√2+π3=6√2+π3． 故答案为：6√2+π3．4.（2020•鄂州）如图，已知直线y =−√3x +4与x 、y 轴交于A 、B 两点，⊙O 的半径为1，P 为AB 上一动点，PQ 切⊙O 于Q 点．当线段PQ 长取最小值时，直线PQ 交y 轴于M 点，a 为过点M 的一条直线，则点P 到直线a 的距离的最大值为 2√3 ．【解答】解：如图，在直线y=−√3x+4上，x＝0时，y＝4，当y＝0时，x=4√3 3，∴OB＝4，OA=4√3 3，∴tan∠OBA=OAOB=√33，∴∠OBA＝30°，由PQ切⊙O于Q点可知：OQ⊥PQ，∴PQ=√OP2−OQ2，由于OQ＝1，因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，∴OP=12OB＝2，此时PQ=√22−12=√3，BP=√42−22=2√3，∴OQ=12OP，即∠OPQ＝30°，若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，过点P作PE⊥y轴于点E，∴EP=12BP=√3，∴BE=√(2√3)2−(√3)2=3，∴OE＝4﹣3＝1，∵OE=12OP，∴∠OPE＝30°，∴∠EPM＝30°+30°＝60°，即∠EMP＝30°，∴PM＝2EP＝2√3．故答案为：2√3．5.（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（）A．2√5B．2√10C．6√2D．3√5【解答】解：设C（m，0），∵CD＝2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴AC+BD=√m2+22+√(m+2)2+42，∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，（PM+PN=√m2+22+√(m+2)2+42），如图1中，作点M关于原点O的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）P′M+P′N的最小值＝P′N+P′M＝P′N+P′Q＝NQ=√22+62=2√10，∴AC+BD的最小值为2√10．故选：B．6.（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为2．【解答】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC=12OB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD＝4，OE＝3，∴DE=2+42=5，∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，∴△DNM ∽△DOE ，∴MN OE=DM DE ， ∴MN 3=35，∴MN =95，当点C 与C ′重合时，△C ′DE 的面积最小，最小值=12×5×（95−1）＝2， 故答案为2．7.（2020•徐州）在△ABC 中，若AB ＝6，∠ACB ＝45°．则△ABC 的面积的最大值为 9√2+9 ．【解答】解：作△ABC 的外接圆⊙O ，过C 作CM ⊥AB 于M ，∵弦AB 已确定，∴要使△ABC 的面积最大，只要CM 取最大值即可，如图所示，当CM 过圆心O 时，CM 最大，∵CM ⊥AB ，CM 过O ，∴AM ＝BM （垂径定理），∴AC ＝BC ，∵∠AOB ＝2∠ACB ＝2×45°＝90°，∴OM＝AM=12AB=12×6=3，∴OA=√OM2+AM2=3√2，∴CM＝OC+OM＝3√2+3，∴S△ABC=12AB•CM=12×6×（3√2+3）＝9√2+9．故答案为：9√2+9．8.（2020•扬州）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF=14DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为9√3．【解答】解：作CH⊥AB于点H，∵在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，∴CH＝4√3，∵四边形ECGF是平行四边形，∴EF∥CG，∴△EOD∽△GOC，∴EOGO =DOOC=EDGC，∵DF=14DE，∴DE EF=45， ∴ED GC=45， ∴EO GO =45，∴当EO 取得最小值时，EG 即可取得最小值，当EO ⊥CD 时，EO 取得最小值，∴CH ＝EO ，∴EO ＝4√3，∴GO ＝5√3，∴EG 的最小值是9√3，故答案为：9√3．9.（2020•聊城）如图，在直角坐标系中，点A （1，1），B （3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C 的纵坐标为1，且CA ＝CB ，在y 轴上取一点D ，连接AC ，BC ，AD ，BD ，使得四边形ACBD 的周长最小，这个最小周长的值为 4+2√5 ．【解答】解：∵点A（1，1），点C的纵坐标为1，∴AC∥x轴，∴∠BAC＝45°，∵CA＝CB，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠C＝90°，∵B（3，3）∴C（3，1），∴AC＝BC＝2，作B关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，则EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，∴AE=√EF2+AF2=√22+42=2√5，∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+2√5，故答案为：4+2√5．10.（2020•泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．√2+1B．√2+12C．2√2+1D．2√2−12【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B的圆上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=12CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2√2，∴CD＝2√2+1，∴OM=12CD=√2+12，即OM的最大值为√2+12；故选：B．11.（2020•乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y=kx交于A、B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（）A．−12B．−32C．﹣2D．−14【解答】解：点O是AB的中点，则OQ是△ABP的中位线，当B、C、P三点共线时，PB最大，则OQ=12BP最大，而OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，设点B（m，﹣m），则（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，解得：m2=1 2，∴k＝m（﹣m）=−1 2，故选：A．12.（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为15．【解答】解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，在Rt△ABD中，AB=ADtan30°=10√3，∵A′H⊥AB，∴AH＝HB＝5√3，∴A′H=√3AH＝15，∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，∴AM+MN≥15，∴AM+MN的最小值为15．故答案为15．13.（2020•新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为6．【解答】解：如图所示，作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH=√3，AA'＝2√3，∠C＝30°，∴Rt△CDE中，DE=12CD，即2DE＝CD，∵A与A'关于BC对称，∴AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE，∴当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，此时，Rt△AA'E中，A'E＝sin60°×AA'=√32×2√3=3，∴AD+DE的最小值为3，即2AD+CD的最小值为6，故答案为：6．。
2020年中考数学压轴题专题4 几何最值存在性问题学案(原版+解析)
专题四几何最值的存在性问题【考题研究】在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
从历年的中考数学压轴题型分析来看，经常会考查到距离或者两条线段和差最值得问题，并且这部分题目在中考中失分率很高，应该引起我们的重视。
几何最值问题再教材中虽然没有进行专题讲解，到却给了我们很多解题模型，因此在专题复习时进行压轴训练是必要的。
【解题攻略】最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB 的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，建立一次函数或者二次函数求解最值问题．【解题类型及其思路】解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。
【典例指引】类型一【确定线段（或线段的和，差）的最值或确定点的坐标】【典例指引1】（2018·天津中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．点B的坐标为（8，4），将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E．（I）证明：EO=EB；（Ⅱ）点P是直线OB上的任意一点，且△OPC是等腰三角形，求满足条件的点P的坐标；（Ⅲ）点M是OB上任意一点，点N是OA上任意一点，若存在这样的点M、N，使得AM+MN 最小，请直接写出这个最小值．【举一反三】（2020·云南初三）如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0），C（2，3），抛物线与y轴的焦点A，与x轴的另一个焦点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为1，当t为何值时，1的长最大，并求最大值；（先根据题目画图，再计算）（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△PAD的面积最大？并求最大值；（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．类型二 【确定三角形、四边形的周长的最值或符合条件的点的坐标】【典例指引2】（2020·重庆初三期末）如图，抛物线2y ax bx =+（0a >）与双曲线k y x=相交于点A 、B ，已知点A 坐标()1,4，点B 在第三象限内，且AOB ∆的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a 、b 、k 的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P 使得POB ∆为等腰三角形？若存在请求出所有的P 点的坐标，若不存在请说明理由.（3）在坐标系内有一个点M ，恰使得MA MB MO ==，现要求在y 轴上找出点Q 使得BQM ∆的周长最小，请求出M 的坐标和BQM ∆周长的最小值.【举一反三】（2019·重庆实验外国语学校初三）如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．类型三 【确定三角形、四边形的面积最值或符合条件的点的坐标】【典例指引3】（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；（3）点E 是二次函数第四象限图象上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标．【举一反三】（2019·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -），()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D 为抛物线对称轴上一点，连接CD BD 、，若DCB CBD ∠=∠，求点D 的坐标；（3）已知()1,1F ，若(),E x y 是抛物线上一个动点（其中12x <<），连接CE CF EF 、、，求CEF ∆面积的最大值及此时点E 的坐标．B C M N为顶点（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以,,,的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【新题训练】1．如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x ＋c的图象交x轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND 长度的最大值；(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F、E的坐标．2．（2019·江苏中考真题）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC边上，则AB’的长度为_____；（2）如图2，当PB=5时，若直线l//AC，则BB’的长度为；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值.3．（2019·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．(1)当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为212时，求OA的长；(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．4.（2018·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣23x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．（1）当t=13秒时，点Q的坐标是；（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．5.（2020·江苏初三期末）已知二次函数223y x x =--+的图象和x 轴交于点A 、B ，与y轴交于点C ，点P 是直线AC 上方的抛物线上的动点.(1)求直线AC 的解析式.(2)当P 是抛物线顶点时，求APC ∆面积.(3)在P 点运动过程中，求APC ∆面积的最大值.6．（2020·江苏初三期末）如图，抛物线265y ax x =+-交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()5,0，直线5y x =-经过点B 、C .（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，求BCP ∆面积S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）过点A 的直线交直线BC 于点M ，连接AC ，当直线AM 与直线BC 的一个夹角等于ACB ∠的3倍时，请直接写出点M 的坐标.7.（2019·石家庄市第四十一中学初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x （x ﹣b ）﹣与y轴相交于A点，与x轴相交于B、C两点，且点C在点B的右侧，设抛物线的顶点为P．（1）若点B与点C关于直线x＝1对称，求b的值；（2）若OB＝OA，求△BCP的面积；（3）当﹣1≤x≤1时，该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为h，求出h与b的关系；若h 有最大值或最小值，直接写出这个最大值或最小值．8.（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．9．（2020·山东初三期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q （2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P 点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．10．（2020·盘锦市双台子区第一中学初三月考）如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB 的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.11．（2020·四川初三）如图，一次函数122y x=-+的图像与坐标轴交于A、B两点，点C 的坐标为(1,0)-，二次函数2y ax bx c =++的图像经过A 、B 、C 三点．（1）求二次函数的解析式（2）如图1，已知点(1,)D n 在抛物线上，作射线BD ，点Q 为线段AB 上一点，过点Q 作QM y ⊥轴于点M ，作QN BD ⊥于点N ，过Q 作//QP y 轴交抛物线于点P ，当QM 与QN 的积最大时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AP ，若点E 为抛物线上一点，且满足APE ABO ∠=∠，求点E 的坐标．12．（2019·广东初三）如图，已知抛物线y ＝﹣3x 2+bx +c 与x 轴交于原点O 和点A （6，0），抛物线的顶点为B ．（1）求该抛物线的解析式和顶点B 的坐标；（2）若动点P 从原点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿线段OB 运动，设点P 运动的时间为t （s ）．问当t 为何值时，△OPA 是直角三角形？（3）若同时有一动点M 从点A 出发，以2个长度单位的速度沿线段AO 运动，当P 、M 其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t （s ），连接MP ，当t 为何值时，四边形ABPM 的面积最小？并求此最小值．13．（2019·山东初三期中）如图，已知抛物线经过两点A （﹣3，0），B （0，3），且其对称轴为直线x ＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式．（2）若点Q 是对称轴上一动点，当OQ +BQ 最小时，求点Q 的坐标．（3）若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点（不包括点A ，点B ），求△PAB 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．14.（2019·四川中考真题）如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PA +的最小值；（3）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15.（2019·天津中考真题）已知抛物线2y x bx c =-+（b c ，为常数，0b >）经过点(1,0)A -，点(,0)M m 是x 轴正半轴上的动点． （Ⅰ）当2b =时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点(,)D D b y 在抛物线上，当AM AD =，5m =时，求b 的值； （Ⅲ）点1(,)2Q Q b y +在抛物线上，当22AM QM +的最小值为332时，求b 的值． 16.（2019·湖南中考真题）如图，抛物线y ＝ax 2+bx （a ＞0）过点E （8，0），矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点A 在点B 的左侧），点C 、D 在抛物线上，∠BAD 的平分线AM 交BC 于点M ，点N 是CD 的中点，已知OA ＝2，且OA ：AD ＝1：3.（1）求抛物线的解析式；（2）F 、G 分别为x 轴，y 轴上的动点，顺次连接M 、N 、G 、F 构成四边形MNGF ，求四边形MNGF 周长的最小值；（3）在x 轴下方且在抛物线上是否存在点P ，使△ODP 中OD 610求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD 不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K 、L ，且直线KL 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.17.（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点D （﹣2，﹣3）和点E （3，2），点P 是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE 和抛物线的表达式；（2）在y 轴上取点F （0，1），连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴的右侧时，直线DE 上存在两点M ，N （点M 在点N 的上方），且MN ＝22，动点Q 从点P 出发，沿P →M →N →A 的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点N 的坐标．18.（2019·湖南中考真题）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(1,0)A ，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，=3OC ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；(3)点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当PBC ∆面积最大时，求点P 的坐标； (4)若点Q 为线段OC 上的一动点，问：12AQ QC +是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．专题四 几何最值的存在性问题【考题研究】在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
中考数学选择填空压轴题之动点或最值问题(共19张PPT)
动点问题是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题， 常见的形式是：点在线段、射线或弧线上运动等。此类题的解题方法：
1、利用动点(图形)位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后 运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题。
2、利用函数与方程的思想和方法将要解决图形的性质(或所求图形面积)直 接转化为函数或方程。
∵PQ为正数，∴PQ²最小时PQ也最小，利用二次函数的 增减性来解决。
5、如图，在△AOB中，∠O＝90°，AO＝8 cm，BO＝6 cm，点C从A点出发， 在边AO上以2 cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上 1以7 1.5 cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了 _8___s时，以C点为圆心，1.5 cm为半径的圆与直线EF相切．
图解
→
2cm/s
解析:
↓ 1.5cm/s 本题主要考查图形运动、直角三角形以及相似三角形的 应用 。
当以点C为圆心、1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，因 为EF⊥CD，所以切点就为点F，则CF=1.5cm。点C速度为 2cm/s，点D的速度为1.5cm/s，则运动t秒后，AC=2t， BD=1.5t,因为AO=8cm，BO=6cm，所以，CO=AO-AC=82t，DO=BO-BD=6-1.5t,因为E是CO的中点，所以 CE=½CO=½(8-2t)=4-t。 因为∠FCE公用，又因为∠CFE=∠DOC=90°,所以，所 以△CFE∽△COD，则EF:DO=CF:CO，所以 EF:(6-1.5t)=1.5:(8-2t),解得EF=9/8。在Rt△CFE中，根据勾 股定理，则CF²+EF²=CE²，即1.5²+(9/8)²=(4-t)²，所以解得
2020年中考数学5.几何综合选择填空压轴题(含解析)
几何综合-填空选择压轴题51、以正方形ABCD勺边AD作等边△ ADE则/ BEC勺度数是 __________2、如图.在厶ABC中, / ACB=60 , AC=1, D是边AB的中点，E是边BC上一点.若DE平分△ ABC的周长，则DE的长是 ____ .3、已知CD是△ ABC的边AB上的高，若CD・3,AD=1AB=2AC则BC的长为__4、如图，将面积为32V2的矩形ABCC沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P,连接AP交BC于点E.若BE=J，贝U AP的长为____ .p5、如图，△ ABC是等边三角形，△ ABD是等腰直角三角形，/ BAD=90 , AE L BD 于点E,连CD分别交AE AB于点F, G过点A作AH L CD交BD于点H.则下列结论：①/ ADC=15 :② AF=AG ③ AH=DF ④厶AF3A CBQ ⑤AF= (V3 - 1)EF.其中正确结论的个数为（）A. 5 B . 4 C . 3 D . 26 已知O 0的半径为10cm AB CD是O O的两条弦，AB// CD AB=16cm CD=12cm则弦AB和CD之间的距离是cm513 13 13 7 77、如图，将矩形ABCD 沿 EF 折叠，使点B 落在AD 边上的点G 处，点C 落在点H 处，已知/ DGH=30，连接BG 则/ AGB ________ .8、如图，？ABCD 勺对角线相交于点 0,且A 》CD 过点0作OM L AC,交AD 于点 M.如果△ CDM 勺周长为8,那么？ABCD 勺周长是 _____ .9、如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为 49，则 sin a - COS a =( ) A 13 B10、如图，P是厶ABC的内心，连接PA PB PC, △ PAB △ PBG △ PAC的面积分别为S、S、S.则Si ____ S2+S3.（填“v” 或“二”或“〉”）11、如图，△ ABC中, AB=AC AD L BC 于D点，DEL AB 于点E, BF 丄AC 于点F,DE=3cryi 则BF= ______ cm12、如图，已知半圆O与四边形ABCD勺边AD AB BC都相切，切点分别为DE、C,半径OC=1 则AE?BE=_.13、《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，冋该直角二角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是____________ 步.14、如图，以AB为直径的。
2020年中考数学压轴题每日一练(含答案)
2020年中考数学压轴题每日一练（4.18）一、选择题1．如图，点A、B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE、BE，若S△ABE＝7，则k的值为（）A．﹣12 B．﹣10 C．﹣9 D．﹣62．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE ＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．则线段OF长的最小值（）A．2B．+2 C．2﹣2 D．5二、填空题3．如图，等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，E、F为边AC、BC上的两个动点，且CF＝AE，连接BE、AF，则BE+AF的最小值为．4．如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ＝AE，则AP等于cm．三、解答题5．如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB 和BC上移动，记P A＝x，点D到直线P A的距离为y，且y关于x的函数图象大致如图：（1）a＝，b＝；（2）求y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）当△PCD的面积是△ABP的面积的时，求y的值．6．如图，以D为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A，B（3，0），交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+P A的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【分析】设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），由AB＝BC，推出B（，），根据点B在y＝上，推出•＝k，可得mn＝3k，连接EC，OA．因为AB＝BC，推出S△AEC＝2•S△AEB＝14，根据S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，构建方程即可解决问题；【解答】解：设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），∵AB＝BC，∴B（，），∵点B在y＝上，∴•＝k，∴k+mn＝4k，∴mn＝3k，连接EC，OA．∵AB＝BC，∴S△AEC＝2•S△AEB＝14，∵S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，∴14＝•（﹣m）•+•n•（﹣m）﹣•（﹣m）•n，∴14＝﹣k﹣+，∴k＝﹣12．故选：A．2．【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由条件可得OM＝5，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．【解答】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，∴OC＝，∴OD＝，∴OM＝，∵OF+MF≥OM，∴OF≥．故选：D．二、填空题3．如图，等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，E、F为边AC、BC上的两个动点，且CF＝AE，连接BE、AF，则BE+AF的最小值为．【分析】如图，作点C关于直线AB的对称点D，连接AD，BD，延长DA到H，使得AH＝AD，连接EH，BH，DE．想办法证明AF＝DE＝EH，BE+AF的最小值转化为EH+EB 的最小值．【解答】解：如图，作点C关于直线AB的对称点D，连接AD，BD，延长DA到H，使得AH＝AD，连接EH，BH，DE．∵CA＝CB，∠C＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵C，D关于AB对称，∴DA＝DB，∠DAB＝∠CAB＝45°，∠ABD＝∠ABC＝45°，∴∠CAD＝∠CBD＝∠ADC＝∠C＝90°，∴四边形ACBD是矩形，∵CA＝CB，∴四边形ACBD是正方形，∵CF＝AE，CA＝DA，∠C＝∠EAD＝90°，∴△ACF≌△DAE（SAS），∴AF＝DE，∴AF+BE＝ED+EB，∵CA垂直平分线段DH，∴ED＝EH，∴AF+BE＝EB+EH，∵EB+EH≥BH，∴AF+BE的最小值为线段BH的长，BH＝＝，∴AF+BE的最小值为，故答案为．4．如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ＝AE，则AP等于2或1cm．【分析】根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD＝DC＝PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ ＝30°，再由PN与DC平行，得到∠PF A＝∠DEA＝60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．【解答】解：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC＝PN，在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，AD＝3cm，∴tan30°＝，即DE＝cm，根据勾股定理得：AE＝2cm，∵M为AE的中点，∴AM＝AE＝cm，在Rt△ADE和Rt△PNQ中，，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），∴DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ＝30°，∵PN∥DC，∴∠PF A＝∠DEA＝60°，∴∠PMF＝90°，即PM⊥AF，在Rt△AMP中，∠MAP＝30°，cos30°＝，∴AP＝＝＝2cm；由对称性得到AP′＝DP＝AD﹣AP＝3﹣2＝1cm，综上，AP等于1cm或2cm．故答案为：1或2．三、解答题5．如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB 和BC上移动，记P A＝x，点D到直线P A的距离为y，且y关于x的函数图象大致如图：（1）a＝3，b＝4；（2）求y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）当△PCD的面积是△ABP的面积的时，求y的值．【分析】（1）根据函数的图象，即可得出a、b的值；（2）分点P在线段AB上跟点P在线段BC上讨论，依据相似三角形的性质，即可得出y与x之间的关系；（3）由等高三角形的面积比等于底边长之比，可得出BP的长，根据勾股定理得出x的值，代入到（2）中的关系式中即可求出y的值．【解答】解：（1）当点P在线段AB上时，D到AB的距离为AD，由函数图象可看出，AD＝4，即BC＝b＝4，当点P运动到线段BC上时，D到AB的距离出现变化，由函数图象可看出，AB＝3＝a．故答案为：3；4．（2）①当点P在线段AB上时，有0≤AP≤AB，即0≤x≤3，此时y＝4．②当点P在线段BC上时，连接AC，过点D作DE⊥AP于点E，如图，由勾股定理可得：AC＝＝5．∵此时P点过B点向C点运动，∴AB＜AP≤AC，即3＜x≤5．∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠APB，又∵∠ABP＝∠DEA＝90°，∴△DAE∽△APB，∴＝，即＝，∴y＝．综合①②得：y＝．（3）∵△PCD的面积是△ABP的面积的，且两三角形等高，∴BP＝3PC，∵BP+PC＝BC＝4，∴BP＝3，由勾股定理可得：x＝＝3，将x＝3代入，得y＝＝2．故当△PCD的面积是△ABP的面积的时，y的值为2．6．如图，以D为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A，B（3，0），交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+P A的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据点B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A的坐标，由点B，C的坐标可得出直线BC的解析式，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（3，3），由两地之间线段最短可得出当A，P，O′共线时，PO+P A取最小值，由点O′，A的坐标可求出该最小值，由点A，O′的坐标，利用待定系数法可求出直线AO′的解析式，联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标；（3）由点B，C，D的坐标可得出BC，BD，CD的长，由CD2+BC2＝BD2可得出∠BCD＝90°，由点A，C的坐标可得出OA，OC的长度，进而可得出＝，结合∠AOC＝∠DCB＝90°可得出△AOC∽△DCB，进而可得出点Q与点O重合时△AQC∽△DCB；连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q，则△ACQ∽△AOC∽△DCB，由相似三角形的性质可求出AQ的长度，进而可得出点Q的坐标．综上，此题得解．【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．如图1，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（3，3）．∵O与O′关于直线BC对称，∴PO＝PO′，∴PO+P A的最小值＝PO′+P A＝AO′＝＝5．设直线AO′的解析式为y＝kx+m，将A（﹣1，0），Q′（3，3）代入y＝kx+m，得：，解得：，∴直线AO′的解析式为y＝x+．联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，得：，解得：，∴点P的坐标为（，）．（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴点D的坐标为（1，4）．又∵点C的坐标为（0，3），点B的坐标为（3，0），∴CD＝＝，BC＝＝3，BD＝＝2，∴CD2+BC2＝BD2，∴∠BCD＝90°．∵点A的坐标（﹣1，0），点C的坐标为（0，3），∴OA＝1，OC＝3，∴＝＝．又∵∠AOC＝∠DCB＝90°，∴△AOC∽△DCB，∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．如图2，连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，∴△ACQ∽△AOC．又∵△AOC∽△DCB，∴△ACQ∽DCB，∴＝，即＝，∴AQ＝10，∴点Q的坐标为（9，0）．综上所述：当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似．。
2020年中考数学压轴题之动点产生的定值和最值专题Word版无答案
2020年中考数学压轴题之动点产生的定值和最值专题Word版无答案中考数学压轴题专题动点产生的定值与最值问题中考数学压轴题——动点产生的定值与最值问题目录第1 讲角为定值的常规解法第2 讲角为定值的高级解法第3 讲边为定值的动点问题第4 讲线段的和或差为定值的动点问题第5 讲比值为定值的动点问题第6 讲乘积为定值的动点问题第7 讲面积为定值的动点问题第8 讲动点产生的几何最值问题【几何法证明角为定值】（1）三角形内角和定理（2）三角形外角定理第 1 讲 角为定值的常规解法（3）等腰三角形底角相等（4）直角三角形两锐角互余（5）平行线的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补（6）平行四边形的对角相等、邻角互补（7）等腰梯形底角相等（8）圆所涉及的角的关系：圆心角、圆周角、弦切角定理等【例】如图,平面内两条互相垂直的直线相交于点 O,∠MON=90°，点 A 、B 分别在射线 OM 、 ON 上移动，AC 是△BAO 的角平分线，BD 为∠ABN 的角平分线，AC 与 BD 的反向延长线交于 点 P.试问：随着点 A 、B 位置的变化，∠APB 的大小是否会变化?若保持不变，请求出∠APB 的度数；若发生变化，求出变化范围。
、【例】如图所示,O 的直径 AB=4,点 P 是 AB 延长线上的一点,过 P 点作 O 的切线,切点为 C ， 连接 AC.(1)若∠CPA=30°，求 PC 的长；(2)若点 P 在 AB 的延长线上运动，∠CPA 的平分线交 AC 于点 M ，你认为∠CMP 的大小是否发 生变化?若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP 的大小。
【代数法求角为定值】一般在直角坐标系中，可以用坐标的方法表示出边或角，从而求解具体角为定值的问题。
【例】如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒(t>0),抛物线y = ax2 + bx + c 经过点O和点P,已知矩形ABCD的三个顶点为A(1,0),B(1,−5),D(4,0).(1)求c,b (用含t的代数式表示):(2)当4<t<5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N.①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式,并求t为何值时,S=218；(3)在矩形ABCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”。
2020年江苏中考数学压轴题精选精练5(解析版)
2020年中考数学压轴题精选精练5一、选择题1．若0＜m＜2，则关于x的一元二次方程﹣（x+m）（x+3m）＝3mx+37根的情况是（）A．无实数根B．有两个正根C．有两个根，且都大于﹣3mD．有两个根，其中一根大于﹣m2．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP ＝QO，则的值为（）A．B．C．D．3．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（）A．12 B．14 C．24 D．214．如图，AB是半圆O的直径，且AB＝12，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是（）A．4πB．5πC．6πD．8π5．如图，△ABC和△DCE都是边长为8的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上接BD，AE，则四边形FGCH的面积为（）A．B．C．D．6．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝60°，BC＝4，当点P在上由B点运动到C点时，弦AP的中点E运动的路径长为（）A．πB．πC．πD．2二、填空题1．如图，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四边形ABCD 的面积为4，则AC＝．第1题第2题2．如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，C为半圆AB的中点，P为上一动点，延长BP至点Q，使BP•BQ＝AB2．若点P由A运动到C，则点Q运动的路径长为．3．如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN 长度的最小值是．第3题第4题4．如图，AB为⊙O的直径，点C、D分别是半圆AB的三等分点，AB＝4，点P自A点出发，沿弧ABC向C点运动，T为△P AC的内心．当点P运动到使BT最短时就停止运动，点T运动的路径长为5．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠BAD＝60°，对角线AC平分∠BAD，且AB＝AC＝4，点E、F分别是AC、BC的中点，连接DE、EF、DF，则DF的长为．第3题第4题6．如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝8，∠CAB＝60°，P是弧上的一个点，连接AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，在点P移动过程中，BD长的最小值为．三、解答题1．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN ＝BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．2．如图，抛物线23(0)y ax ax c a =-+≠与x 轴交于A ，B 两点，交y 轴于点C ，其中A （－1，0），C （0，3）. (1) 求抛物线的解析式(2) 点P 是线段BC 上方抛物线上一动点（不与B ，C 重合），过点P 作PD ⊥x 轴，垂足为D ，交BC 于点E ，作PF ⊥直线BC 于点F ，设点P 的横坐标为x ，△PEF 的周长记为l ,求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值及此时点P 的坐标(3) 点H 是直线AC 上一点，该抛物线的对称轴上一动点G ，连接OG ，GH ，则两线段OG ，GH 的长度之和的最小值等于______,此时点G 的坐标为_____（直接写出答案。
《2020年中考数学保A必刷压轴题(湖南长沙专版)》(二)：最值问题专题(解析版)
《2020年中考数学保A必刷压轴题(湖南长沙专版)》（二）最值问题专题1.（2019•十堰）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝6．解：作DH⊥AE于H，如图，∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，在Rt△ABF中，BF＝＝3，∵∠EAF＝90°，∴∠BAF+∠BAH＝90°，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH和△ABF中，∴△ADH≌△ABF（AAS），∴DH＝BF＝3，∴S△ADE＝AE•DH＝×3×4＝6．故答案为6．2.（2019•黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是．解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵MA′＝MB′，∴△A′MB′为等边三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，∴CD的最大值为14，故答案为14．3.（2019•南京）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是4＜BC≤．解：作△ABC的外接圆，如图所示：∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4，当∠BAC＝90°时，BC是直径最长，∵∠C＝60°，∴∠ABC＝30°，∴BC＝2AC，AB＝AC＝4，∴AC＝，∴BC＝；当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，∵∠BAC＞∠ABC，∴BC长的取值范围是4＜BC≤；故答案为：4＜BC≤．4.（2019•连云港）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以点C 为圆心作⊙C 与直线BD 相切，点P 是⊙C 上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则的最大值是 3 ．方法1、解：设C 的半径为R ，如图，作BD 的平行线P E '，使P E '切C 于P '，则PE 与BD 的最大距离为2R ，BD 与C 相切，∴点C 到BD 的距离为R ，∴四边形ABCD 是矩形，∴点A 到BD 的距离为R ，∴点A 到PE 的最大距离为3R ，∴AP AT 的最大值为33R R=； 方法2、解：如图，过点A 作AG BD ⊥于G ，BD 是矩形的对角线，90BAD ∴∠=︒，5BD ∴==，1122AB AD BD AG =， 125AG ∴=，BD 是C 的切线，C ∴的半径为125过点P 作PE BD ⊥于E ，AGT PET ∴∠=∠，ATG PTE ∠=∠，AGT PET ∴∆∆∽， ∴AG AT PE PT=， ∴512PT PE AT =⨯ 1AP AT PT PTAT AT AT+==+， 要AP AT最大，则PE 最大， 点P 是C 上的动点，BD 是C 的切线，PE ∴最大为C 的直径，即：245PE =最大， ∴AP AT 最大值为8134+=， 故答案为3．方法3、解：如图，过点P 作//PE BD 交AB 的延长线于E ，AEP ABD ∴∠=∠，APE ATB ∆∆∽， ∴AP AE AT AB=， 4AB =，4AE AB BE BE ∴=+=+， ∴14AP BE AT =+， BE ∴最大时，AP AT最大， 四边形ABCD 是矩形，3BC AD ∴==，4CD AB ==，过点C 作CH BD ⊥于H ，交PE 于M ，并延长交AB 于G ， BD 是C 的切线，90GME ∴∠=︒，在Rt BCD ∆中，5BD ，90BHC BCD ∠=∠=︒，CBH DBC ∠=∠，BHC BCD ∴∆∆∽， ∴BH CH BC BC DC BD==， ∴3345BH CH ==， 95BH ∴=，125CH =， 90BHG BAD ∠=∠=︒，GBH DBA ∠=∠，BHG BAD ∴∆∆∽， ∴HG BG BH AD BD AB==， ∴95354HG BG ==，2720HG ∴=，94BG =， 在Rt GME ∆中，33sin 55GM EG AEP EG EG =∠=⨯=， 而94BE GE BG GE =-=-， GE ∴最大时，BE 最大，GM ∴最大时，BE 最大，2720GM HG HM HM =+=+， 即：HM 最大时，BE 最大，延长MC 交C 于P '，此时，HM 最大2425HP CH '===， 1234GP HP HG ''∴=+=， 过点P '作//P F BD '交AB 的延长线于F ，BE ∴最大时，点E 落在点F 处，即：BE 最大BF =，在Rt △GP F '中，1234143sin sin 45GP GP FG F ABD ''====∠∠， 8BF FG BG ∴=-=， ∴AP AT 最大值为8134+=， 故答案为：3．5.（2019•镇江）已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是．解：∵抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，∴＝﹣＝﹣2∵线段AB的长不大于4，∴4a+1≥3∴a≥∴a2+a+1的最小值为：（）2++1＝；故答案为．6.（2019•潍坊）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝．解：，解得，或，∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），∴AB＝＝3，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△P AB的周长最小，点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，，得，∴直线A′B的函数解析式为y＝x+，当x＝0时，y＝，即点P的坐标为（0，），将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°，∴点P到直线AB的距离是：（﹣1）×sin45°＝＝，∴△P AB的面积是：＝，故答案为：．7.（2019•泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．D．解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°∴∠DP2P1＝90°∴∠DP1P2＝45°∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2∴BP1＝2∴PB的最小值是2故选：D．8.（2019•东营）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）A．3B．C．3D．3解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，则线段BF为所求的最短路程．设∠BAB′＝n°．∵＝4π，∴n＝120即∠BAB′＝120°．∵E为弧BB′中点，∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，∴BF＝AB•sin∠BAF＝6×＝3，∴最短路线长为3．故选：D．9.（2019•自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．B．C．D．解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD＝CF＝5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO＝＝，∴＝，∴OE＝，∴AE＝＝，作EH ⊥AB 于H ．∵S △ABE ＝•AB •EH ＝S △AOB ﹣S △AOE ，∴EH ＝，∴AH ＝＝，∴tan ∠BAD ＝＝＝，故选：B ．10.（2019•台州）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，A ，B ，C 分别为直线l 1，l 2，l 3上的动点，连接AB ，BC ，AC ，线段AC 交直线l 2于点D ．设直线l 1，l 2之间的距离为m ，直线l 2，l 3之间的距离为n ，若∠ABC ＝90°，BD ＝4，且＝，则m +n 的最大值为 ．解：过B 作1BE l ⊥于E ，延长EB 交3l 于F ，过A 作2AN l ⊥于N ，过C 作2CM l ⊥于M ， 设AE x =，CF y =，BN x =，BM y =，4BD =，4DM y ∴=-，4DN x =-，90ABC AEB BFC CMD AND ∠=∠=∠=∠=∠=︒，90EAB ABE ABE CBF ∴∠+∠=∠+∠=︒，EAB CBF ∴∠=∠，ABE BFC∴∆∆∽，∴AE BEBF CF=，即x mn y=，xy mn∴=，ADN CDM∠=∠，CMD AND∴∆∆∽，∴AN DNCM DM=，即4243m xn y-==-，3102y x∴=-+，23mn=，32n m∴=，5()2m n m∴+=最大，∴当m最大时，5()2m n m+=最大，22333(10)10222mn xy x x x x m ==-+=-+=，∴当1010332()2x=-=⨯-时，250332mn m==最大，103m∴=最大，m n∴+的最大值为51025233⨯=．故答案为：253．。
2020年中考数学压轴题(含答案) (2)
2020年中考数学压轴题一、选择题1．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．B．C．D．第1题第2题2．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，0），B（3，0），若在直线y＝﹣x+m上存在点P满足∠APB＝60°，则m的取值范围是（）A．≤m≤B．﹣﹣5≤m≤+5C．﹣2≤m≤+2D．﹣﹣2≤m≤+2二、填空题18．如图，点G是矩形ABCD的对角线BD上一点，过点G作EF∥AB交AD于E，交BC 于F，若EG＝5，BF＝2，则图中阴影部分的面积为．第3题第4题24．如图为二次函数y＝ax2+bx+c图象，直线y＝t（t＞0）与抛物线交于A，B两点，A，B 两点横坐标分别为m，n．根据函数图象信息有下列结论：①abc＞0；②若对于t＞0的任意值都有m＜﹣1，则a≥1；③m+n＝1；④m＜﹣1；⑤当t为定值时，若a变大，则线段AB变长．其中，正确的结论有（写出所有正确结论的序号）三、解答题5．如图，已知点A（1，0），B（0，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，设E为AD的中点．（1）若F为CD上一动点，求出当△DEF与△COD相似时点F的坐标；（2）过E作x轴的垂线l，在直线l上是否存在一点Q，使∠CQO＝∠CDO？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标．【答案与解析】一、选择题1．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再分别对每一项进行判断即可．【解答】A．∵EF∥AB，∴＝，故本选项正确，B．∵DE∥BC，∴＝，∵EF∥AB，∴DE＝BF，∴＝，∴＝，故本选项正确，C．∵EF∥AB，∴＝，∵CF≠DE，∴≠，故本选项错误，D．∵EF∥AB，∴＝，∴＝，故本选项正确，故选：C．2．【分析】作等边三角形ABE，然后作外接圆，求得直线y＝﹣x+m与外接圆相切时的m的值，即可求得m的取值范围．【解答】解：如图，作等边三角形ABE，∵A（﹣3，0），B（3，0），∴OA＝OB＝3，∴E在y轴上，当E在AB上方时，作等边三角形ABE的外接圆⊙Q，设直线y＝﹣x+m与⊙Q相切，切点为P，当P与P1重合时m的值最大，当P与P1重合时，连接QP1，则QP1⊥直线y＝﹣x+m，∵OA＝3，∴OE＝3，设⊙Q的半径为x，则x2＝32+（3﹣x）2，解得x＝2，∴EQ＝AQ＝PQ＝2，∴OQ＝，由直线y＝﹣x+m可知OD＝OC＝m，∴DQ＝m﹣，CD＝m，∵∠ODC＝∠P1DQ，∠COD＝∠QP1D，∴△QP1D∽△COD，∴＝，即＝，解得m＝+2，当E在AB下方时，作等边三角形ABE的外接圆⊙Q，设直线y＝﹣x+m与⊙Q相切，切点为P，当P与P2重合时m的值最小，当P与P2重合时，同理证得m＝﹣﹣2，∴m的取值范围是﹣﹣2≤m≤+2，故选：D．二、填空题3．【分析】由矩形的性质可证明S矩形AEGM＝S矩形CFGN＝2×5＝10，即可求解．【解答】解：作GM⊥AB于M，延长MG交CD于N．则有四边形AEGM，四边形DEGN，四边形CFGN，四边形BMGF都是矩形，∴AE＝BF＝2，S△ADB＝S△DBC，S△BGM＝S△BGF，S△DEG＝S△DNG，∴S矩形AEGM＝S矩形CFGN＝2×5＝10，∴S阴＝S矩形CFGN＝5，故答案为：5．4．【分析】由图象分别求出a＞0，c＝﹣2，b＝﹣a＜0，则函数解析式为y＝ax2﹣ax﹣2，则对称轴x＝，由开口向上的函数的图象开口与a的关系可得：当a变大，函数y＝ax2﹣ax﹣2的开口变小，依据这个性质判断m的取值情况．【解答】解：由图象可知，a＞0，c＝﹣2，∵对称轴x＝﹣＝，∴b＝﹣a＜0，∴abc＞0；∴①正确；A、B两点关于x＝对称，∴m+n＝1，∴③正确；a＞0时，当a变大，函数y＝ax2﹣ax﹣2的开口变小，则AB的距离变小，∴⑤不正确；若m＜﹣1，n＞2，由图象可知n＞1，∴④不正确；当a＝1时，对于t＞0的任意值都有m＜﹣1，当a＞1时，函数开口变小，则有m＞﹣1的时候，∴②不正确；故答案①③．三、解答题5．【分析】（1）当△DEF∽△COD时，＝，DF＝DE cos∠CDO＝，据此求出EF的长度和点F的坐标即可；（2）首先以CD为直径作圆，设其圆心为P，交直线a于点Q、Q′，连接PQ，P Q′，由圆周角定理，可得∠CQO＝∠CQ′O＝∠CDO，在Rt△CDO中，由勾股定理可得CD＝，则PQ＝CD＝；然后求出点P的坐标是多少；设Q（﹣1，a），则（）2+（a﹣）2＝，据此求出a的值是多少，进而求出Q点坐标是多少即可．【解答】解：（1）∵A（1，0），B（0，3），∴OA＝1，OB＝3，∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，∴OC＝1，OD＝3，∴C（0，1），D（﹣3，0），如图1，当△DEF∽△COD时，＝∴EF＝，∴F（﹣1，）；当△DEF∽△COD时，DF＝DE cos∠CDO＝，作FK⊥OD于K，则FK＝DF sin∠CDO＝，DK＝DF cos∠CDO＝，∴F（﹣，）；（2）如图2，以CD为直径作圆，设其圆心为P，交直线a于点Q、Q′，连接PQ，P Q′，由圆周角定理，可得∠CQO＝∠CQ′O＝∠CDO，在Rt△CDO中，由勾股定理可得CD＝，则PQ＝CD＝，又∵P为CD中点，P（﹣，），设Q（﹣1，a），则（）2+（a﹣）2＝，解得a＝2或﹣1，∴Q（﹣1，2）或（﹣1，﹣1）．6．【分析】（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）作PF∥BO交AB于点F，证△PFD∽△OBD，得比例线段，则PF取最大值时，求得的最大值；（3）（i）点F在y轴上时，P在第一象限或第二象限，如图2，3，过点P作PH⊥x轴于H，根据正方形的性质可证明△CPH≌△FCO，根据全等三角形对应边相等可得PH＝CO＝2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii）点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，同理可证得△EPS≌△CPK，可得PS＝PK，则P点的横纵坐标互为相反数，可求出P点坐标；点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，同理可证得△PEN≌△PCM，可得PN＝PM，则P点的横纵坐标相等，可求出P点坐标．由此即可解决问题．【解答】解：（1）直线y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，当x＝0时，y＝4，x＝﹣4时，y＝0，∴A（﹣4，0），B（0，4），把A，B两点的坐标代入解析式得，，解得，，∴抛物线的解析式为；（2）如图1，作PF∥BO交AB于点F，∴△PFD∽△OBD，∴，∵OB为定值，∴当PF取最大值时，有最大值，设P（x，），其中﹣4＜x＜0，则F（x，x+4），∴PF＝＝，∵且对称轴是直线x＝﹣2，∴当x＝﹣2时，PF有最大值，此时PF＝2，；（3）∵点C（2，0），∴CO＝2，（i）如图2，点F在y轴上时，若P在第二象限，过点P作PH⊥x轴于H，在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°，∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，∴∠HPC＝∠OCF，在△CPH和△FCO中，，∴△CPH≌△FCO（AAS），∴PH＝CO＝2，∴点P的纵坐标为2，∴，解得，，x＝﹣1+（舍去）．∴，如图3，点F在y轴上时，若P在第一象限，同理可得点P的纵坐标为2，此时P2点坐标为（﹣1+，2）（ii）如图4，点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，同理可证得△EPS≌△CPK，∴PS＝PK，∴P点的横纵坐标互为相反数，∴，解得x＝2（舍去），x＝﹣2，∴，如图5，点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，同理可证得△PEN≌△PCM，∴PN＝PM，∴P点的横纵坐标相等，∴，解得，（舍去），∴，综合以上可得P点坐标为，，．。
2020年中考数学压轴解答题13 几何中的最值与定值问题 (学生版)
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题13 几何中的最值与定值问题【类型综述】线段和差的最值问题,常见的有两类：第一类问题是“两点之间,线段最短”．两条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“牛喝水”问题,关键是指出一条对称轴“河流”第二类问题是“两点之间,线段最短”结合“垂线段最短”．【方法揭秘】两条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“牛喝水”问题,关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题,关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题,一般根据三角形的两边之差小于第三边,当三点共线时,两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3,P A与PB的差的最大值就是AB,此时点P在AB的延长线上,即P′．解决线段和差的最值问题,有时候求函数的最值更方便,本讲不涉及函数最值问题．图1 图2 图3如图4,正方形ABCD的边长为4,AE平分∠BAC交BC于E．点P在AE上,点Q在AB上,那么△BPQ周长的最小值是多少呢？如果把这个问题看作“牛喝水”问题,AE是河流,但是点Q不确定啊．第一步,应用“两点之间,线段最短”．如图5,设点B关于“河流AE”的对称点为F,那么此刻PF＋PQ的最小值是线段FQ．第二步,应用“垂线段最短”．如图6,在点Q运动过程中,FQ的最小值是垂线段FH．这样,因为点B和河流是确定的,所以点F是确定的,于是垂线段FH也是确定的．图4 图5 图6【典例分析】【例1】如图1,△ABC是边长为8的等边三角形,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E.（1）求证：AE＝3EB（2）若点F是AD的中点,点P是BC边上的动点,连接PE,PF,如图2所示,求PE＋PF的最小值及此时BP 的长；（3）在（2）的条件下,连接EF,当PE＋PF取最小值时,△PEF的面积是______.【例2】问题探究()1请在图①的正方形ABCD的对角线BD上作一点P,使PA PC+最小；()2如图②,点P为矩形ABCD的对角线BD上一动点,AB2=,BC3=点E为BC边的中点,请作一点+最小,并求这个最小值；P,使PE PC问题解决()3如图③,李师傅有一块边长为1000米的菱形采摘园ABCD,AC1200=米,BD为小路,BC的中点E为一水池,李师傅现在准备在小路BD上建一个游客临时休息纳凉室P,为了节省土地,使休息纳凉室P到水池E与大门C的距离之和最短,那么是否存在符合条件的点P？若存在,请作出点P的位置,并求出这个最短距离；若不存在,请说明理由．【例3】在平面直角坐标系中,点A （0,4）,B （m ,0）在坐标轴上,点C ,O 关于直线AB 对称,点D 在线段AB 上．（1）如图1,若m ＝8,求AB 的长；（2）如图2,若m ＝4,连接OD ,在y 轴上取一点E ,使OD ＝DE ,求证：CE ＝2DE ；（3）如图3,若m ＝43,在射线AO 上裁取AF ,使AF ＝BD ,当CD +CF 的值最小时,请在图中画出点D 的位置,并直接写出这个最小值．【例4】如图,一次函数122y x =-+的图像与坐标轴交于A 、B 两点,点C 的坐标为(1,0)-,二次函数2y ax bx c =++的图像经过A 、B 、C 三点．（1）求二次函数的解析式（2）如图1,已知点(1,)D n 在抛物线上,作射线BD ,点Q 为线段AB 上一点,过点Q 作QM y ⊥轴于点M ,作QN BD ⊥于点N ,过Q 作//QP y 轴交抛物线于点P ,当QM 与QN 的积最大时,求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下,连接AP ,若点E 为抛物线上一点,且满足APE ABO ∠=∠,求点E 的坐标．【例5】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y ＝﹣235333x x ++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧）,与y 轴交于点C ．（1）求出△ABC 的周长．（2）在直线BC 上方有一点Q ,连接QC 、QB ,当△QBC 面积最大时,一动点P 从Q 出发,沿适当路径到达y 轴上的M 点,再沿与对称轴垂直的方向到达对称轴上的N 点,连接BN ,求QM +MN +BN 的最小值．（3）在直线BC 上找点G ,K 是平面内一点,在平面内是否存在点G ,使以O 、C 、G 、K 为顶点的四边形是菱形？若存在,求出K 的坐标；若不存在,请说明理由．【例6】在平面直角坐标系中,抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B ,C ,已知A （﹣1,0）,C （0,3）．【变式训练】一、单选题1．如图,APB △中,4,3AP BP ==,在AB 的同侧作正ABD △、正APE V 和正BPC △,则四边形PCDE 面积的最大值是（ ）A ．12B ．15C ．20D ．252．如图,在Rt ABC ∆中, 90BAC =︒∠,45ACB ∠=︒,22AB =,点P 为BC 上任意一点,连结PA ,以PA ,PC 为邻边作平行四边形PAQC ,连结PQ ,则PQ 的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．43．如图,矩形ABCD 中,3AB =,8BC =,点P 为矩形内一动点,且满足PBC PCD ∠=∠,则线段PD 的最小值为（ ）A ．5B ．1C ．2D ．34．已知：AB 是O e 的直径,AD ,BC 是O e 的切线,P 是O e 上一动点,若10AD =,4OA =,16BC =,则PCD ∆的面积的最小值是（ ）A ．36B ．32C ．24D ．10.45．⊙O 是半径为1的圆,点O 到直线L 的距离为3,过直线L 上的任一点P 作⊙O 的切线,切点为Q ；若以PQ 为边作正方形PQRS,则正方形PQRS 的面积最小为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．106．在△ABC 中,AB=BC,点D 在AC 上,BD=6cm,E ,F 分别是AB ,BC 边上的动点,△DEF 周长的最小值为6 cm,则ABC ∠=( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°7．如图,已知点(1,3)A -,(5,1)B -,点(,0)P m 是x 轴上一动点,点Q 是y 轴上一动点,要使四边形ABPQ 的周长最小,m 的值为（ ）A ．3.5B ．4C ．7D ．2.58．如图,四边形ABCD 中,∠BAD=130°,∠B=∠D=90°,在BC 、CD 上分别找一点M 、N,使三角形AMN 周长最小时,则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．130°二、填空题9．如图,ABC ∆是等边三角形,13AD AB =,点E 、F 分别为边AC 、BC 上的动点,当DEF ∆的周长最小时,FDE ∠的度数是______________.10．如图,△ABC 中,AB=8,AC=5,BC=7,点D 在AB 上一动点,线段CD 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE,AE 的最小值为________11．在Rt △ABC 中,∠BAC =90,AB =AC ,AD ⊥BC 于点D ,P 是线段AD 上的一个动点,以点P 为直角的顶点,向上作等腰直角三角形PBE ,连接DE ,若在点P 的运动过程中,DE 的最小值为3,则AD 的长为____．12．如图示,在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,3AC =,3BC =,点P 在Rt ABC ∆内部,且PAB PBC ∠=∠,连接CP ,则CP 的最小值等于______.13．如图,在半径为2的⊙O 中,弦AB ⊥直径CD ,垂足为E ,∠ACD ＝30°,点P 为⊙O 上一动点,CF ⊥AP 于点F ． ①弦AB 的长度为_____；②点P 在⊙O 上运动的过程中,线段OF 长度的最小值为_____．14．如图,矩形ABCD 中,6AB =,8BC =,M 是AD 边上的一点,且2AM =,点P 在矩形ABCD 所在的平面中,且90BPD ∠=︒,则PM 的最大值是_________．三、解答题15．如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的两边OA OC 、分别在x 轴、y 轴的正半轴上,8,4OA OC ==.点P 从点O 出发,沿x 轴以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动,当点P 到达点A 时停止运动,设点P 运动的时间是t 秒.将线段CP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转90o ,得点D ,点D 随点P 的运动而运动,连接DP DA 、.(1)请用含t 的代数式表示出点D 的坐标. (2)求t 为何值时,DPA ∆的面积最大,最大为多少?(3)在点P 从O 向A 运动的过程中,DPA ∆能否成为直角三角形?若能,求t 的值:若不能,请说明理由. (4)请直接写出整个运动过程中,点D 所经过的长度.16．已知矩形纸片OBCD 的边OB 在x 轴上,OD 在y 轴上,点C 在第一象限,且86OB OD ==，.现将纸片折叠,折痕为EF （点E,F 是折痕与矩形的边的交点）,点P 为点D 的对应点,再将纸片还原。
2020年中考数学二轮专项冲刺复习——动点、最值问题、压轴题型(含详细解答)
2020年中考数学二轮专项冲刺复习——动点、最值问题、压轴题型1、（2019陕西•中考 第25题•12分）问题提出：（1）如图1，已知ABC ∆，试确定一点D ，使得以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD 中，4AB =，10BC =，若要在该矩形中作出一个面积最大的BPC ∆，且使90BPC ∠=︒，求满足条件的点P 到点A 的距离；问题解决：（3）如图3，有一座草根塔A ，按规定，要以塔A 为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区BCDE ．根据实际情况，要求顶点B 是定点，点B 到塔A 的距离为50米，120CBE ∠=︒，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE ？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE 的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A 的占地面积忽略不计）【考点】四边形综合题【分析】（1）利用平行四边形的判定方法画出图形即可．（2）以点O 为圆心，OB 长为半径作O e ，O e 一定于AD 相交于1P ，2P 两点，点1P ，2P 即为所求．（3）可以，如图所示，连接BD ，作BDE ∆的外接圆O e ，则点E 在优弧¶BD 上，取·BED 的中点E '，连接E B '，E D '，四边形BC DE ''即为所求．【解答】解：（1）如图记为点D 所在的位置．（2）如图，4AB =Q ，10BC =，∴取BC 的中点O ，则OB AB >．∴以点O 为圆心，OB 长为半径作O e ，O e 一定于AD 相交于1P ，2P 两点，连接1BP ，1PC ，1PO ，90BPC ∠=︒Q ，点P 不能再矩形外； BPC ∴∆的顶点1P 或2P 位置时，BPC ∆的面积最大，作1PE BC ⊥，垂足为E ，则3OE =， 1532AP BE OB OE ∴==-=-=，由对称性得28AP =．（3）可以，如图所示，连接BD ，A Q 为BCDE Y 的对称中心，50BA =，120CBE ∠=︒，100BD ∴=，60BED ∠=︒作BDE ∆的外接圆O e ，则点E 在优弧¶BD 上，取·BED 的中点E '，连接E B '，E D '，则E B E D '='，且60BE D ∠'=︒，∴△BE D '为正三角形．连接E O '并延长，经过点A 至C '，使E A AC '='，连接BC '，DC '，E A BD '⊥Q ，∴四边形E D '为菱形，且120C BE ∠''=︒，作EF BD ⊥，垂足为F ，连接EO ，则EF EO OA E O OA E A +-'+='…， 1122BDE E BD S BD EF BD E A S ∆'∴='=V g g g g …，()2221006050003E BD BCDE BC DE S S S sin m '''∴==⋅︒=V 平行四边形平行四边形…所以符合要求的BCDE Y 的最大面积为250003m ．2、（2019宁夏•中考 第26题•10分）如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，点M ，Q 分别是边AB ，BC 上的动点（点M 不与A ，B 重合），且MQ BC ⊥，过点M 作BC 的平行线MN ，交AC 于点N ，连接NQ ，设BQ 为x ．（1）试说明不论x 为何值时，总有QBM ABC ∆∆∽；（2）是否存在一点Q ，使得四边形BMNQ 为平行四边形，试说明理由； （3）当x 为何值时，四边形BMNQ 的面积最大，并求出最大值．【考点】相似形综合题【分析】（1）根据题意得到MQB CAB ∠=∠，根据相似三角形的判定定理证明； （2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；（3）根据勾股定理求出BC ，根据相似三角形的性质用x 表示出QM 、BM ，根据梯形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可． 【解答】解：（1）MQ BC ⊥Q ， 90MQB ∴∠=︒，MQB CAB ∴∠=∠，又QBM ABC ∠=∠， QBM ABC ∴∆∆∽；（2）当BQ MN =时，四边形BMNQ 为平行四边形， //MN BQ Q ，BQ MN =，∴四边形BMNQ 为平行四边形；（3）90A ∠=︒Q ，3AB =，4AC =，5BC ∴==， QBM ABC ∆∆Q ∽，∴QB QM BM AB AC BC ==，即345x QM BM==， 解得，43QM x =，53BM x =，//MN BC Q ，∴MN AM BC AB=，即53353x MN -=， 解得，2559MN x =-， 则四边形BMNQ 的面积21254324575(5)()2932782x x x x =⨯-+⨯=--+，∴当458x =时，四边形BMNQ 的面积最大，最大值为752．3、如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，已知A (0,8)，D (24,8)，C (26,0)，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1 cm/s 的速度运动；动点Q 从点C 开始沿CO 边向点O 以3 cm/s 的速度运动，若P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．(1)求经过多少时间后，四边形PQCD 为平行四边形；(2)当四边形PQCD 为平行四边形时，求PQ 所在直线的函数解析式．解：(1)设t 秒后四边形PQCD 为平行四边形，∵当PD ＝QC 时，四边形PQCD 为平行四边形，∴24－t ＝3t ，解得，t ＝6；(2)6秒时，点P 的坐标为(6,8)，点Q 的坐标为(8,0)，设直线PQ 的解析式为y ＝kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧6k ＋b ＝8，8k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4，b ＝32，∴直线PQ 的解析式为y ＝－4x ＋32.4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2－2mx ＋m ＋4与y 轴交于点A (0,3)，抛物线的对称轴与x 轴交于点B ，直线l 1：y ＝kx ＋b 经过点B 和点C (－1，－2)．(1)求直线l 1及抛物线的表达式；(2)已知点P (t,0)，过点P 作垂直于x 轴的直线交抛物线于点M ，交直线l 1于点N ，若点M 和点N 中至少有一个点在x 轴下方，直接写出t 的取值范围；(3)将l 1向上平移两个单位得到直线l 2，与抛物线交于点D ，E (点D 在点E 左侧)，若Q 是抛物线上位于直线l 2上方的一个动点，求△DEQ 的面积．解：(1)把A (0,3)代入y ＝mx 2－2mx ＋m ＋4，得到3＝m ＋4，∴m ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，∵抛物线的对称轴为x ＝1，∴点B 坐标为(1,0)，把B (1,0)，C (－1，－2)代入y ＝kx ＋b ，得到⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，－k ＋b ＝－2，)解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1.)∴直线l 1的解析式为y ＝x －1；(2)如图1中，由图象可知当过P 点的直线MN 在抛物线的对称轴左侧时，点M 和点N 中至少有一个点在x 轴下方，此时t ＜1，当t ＞3时，点M 和点N 中至少有一个点在x 轴下方，综上所述，符合条件的t 的范围是t ＜1或t ＞3；(3)如图2中，∵直线l 1的解析式为y ＝x －1，∴直线l 1向上平移2个单位后的直线l 2的解析式为y ＝x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝－x 2＋2x ＋3，)解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.)∴D (－1,0)，E (2,3)，作EG ⊥x 轴于G ，设点Q (m ，－m 2＋2m ＋3)，∵S △QDE ＝S △QDG ＋S △QEG －S △DEG ，∴S △QED ＝12×3×(－m 2＋2m ＋3)＋12×3×(2－m )－12×3×3＝－32m 2＋32m ＋3.5、如图，在矩形ABCD 中，∠BAC ＝30°，对角线AC ，BD 交于点O ，∠BCD 的平分线CE 分别交AB ，BD 于点E ，H ，连接OE .(1)求∠BOE 的度数；(2)若BC ＝1，求△BCH 的面积； (3)求S △CHO ∶S △BHE 的值．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AO ＝CO ＝BO ＝DO ，∴∠DCE ＝∠BEC ，∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE ＝∠DCE ＝45°，∴∠BCE ＝∠BEC ＝45°，∴BE ＝BC ，∵∠BAC ＝30°，AO ＝BO ＝CO ，∴∠BOC ＝60°，∠OBA ＝30°，∵∠BOC ＝60°，BO ＝CO ，∴△BOC 是等边三角形，∴BC ＝BO ＝BE ，且∠OBA ＝30°，∴∠BOE ＝75°；(2)如解图①，过点H 作FH ⊥BC 于F ，∵△BOC 是等边三角形，∴∠FBH ＝60°，FH ⊥BC ，∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF ，∵∠BCE ＝45°，FH ⊥BC ，∴CF ＝FH ＝3BF ，∴BC ＝3BF ＋BF ＝1， ∴BF ＝3－12，∴FH ＝3－32，∴S △BCH ＝12×BC ×FH ＝3－34；(3)如解图②，过点C 作CN ⊥BO 于N ，∵△BOC 是等边三角形，∴∠FBH ＝60°，FH ⊥BC ，∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF ，∵∠BCE ＝45°，FH ⊥BC ，∴CF ＝FH ＝3BF ，∴BC ＝3BF ＋BF ＝BO ＝BE ，∴OH ＝OB －BH ＝3BF －BF ，∵∠CBN ＝60°，CN ⊥BO ，∴CN ＝32BC ＝3＋32BF ，∵S △CHO ∶S △BHE ＝12×OH ×CN ∶12×BE ×BF ，∴S △CHO ∶S △BHE ＝3－32.6、(2019乐山模拟)如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别是边BC ，CD 的延长线上的动点，且CE ＝DF ，连接AE 、BF ，交于点G ，连接DG ，则DG 的最小值为________．解：5－1在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，在△ABE 和△BCF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ∠ABC ＝∠BCD BE ＝CF，∴△ABE ≌△BCF (SAS)，∴∠BAE ＝∠CBF ，∵∠CBF ＋∠ABF ＝90°，∴∠BAE ＋∠ABF ＝90°，∴∠AGB ＝90°，∴点G 在以AB 为直径的圆上，如解图，连接OG ，当O 、G 、D 在同一直线上时，DG 有最小值，∵在正方形ABCD 中，AD＝BC ＝2，∴AO ＝1＝OG ，∴OD ＝AD 2＋AO 2＝22＋12＝5，∴DG ＝5－1.7、（2019威海•中考 ）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝10 cm ，E 为对角线BD 上一动点，连接AE ，CE ，过E 点作EF ⊥AE ，交直线BC 于点F .E 点从B 点出发，沿着BD 方向以每秒2 cm 的速度运动，当点E 与点D 重合时，运动停止．设△BEF 的面积为y cm 2，E 点的运动时间为x 秒．(1)求证：CE ＝EF ；(2)求y 与x 之间关系的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围； (3)求△BEF 面积的最大值．题图 备用图(1)证明：如解图，过点E 分别作AB 、BC 的垂线，垂足分别为点G 、H ，则四边形GBHE 为矩形． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC .∵BD 是对角线，∴BD 所在直线是正方形的对称轴， ∴CE ＝AE ，EG ＝EH ， ∴四边形GBHE 为正方形． ∵EF ⊥AE ，∴∠AEF ＝∠GEH ＝90°.∵∠AEG ＋∠GEF ＝90°，∠FEH ＋∠GEF ＝90°， ∴∠AEG ＝∠FEH . ∵∠AGE ＝∠FHE ＝90°， ∴△AGE ≌△FHE (ASA)， ∴AE ＝EF ， ∴CE ＝EF ；解图(2)解：∵EF ＝EC ，EH ⊥BC ， ∴FH ＝HC .∵△EHB 是等腰直角三角形，BE ＝2x ， ∴EH ＝BH ＝2x ，∴HC ＝10－2x ，∴FH ＝HC ＝10－2x ，∴FB ＝10－22x ， ∴y ＝12×(10－22x )×2x ＝－2x 2＋52x (0≤x ≤52)；(3)解：∵y ＝－2x 2＋52x ＝－2(x －524)＋254(0≤x ≤52)，a ＝－2＜0，∵x ＝524<52，∴当x ＝524时，y 有最大值，y 的最大值为0－（52）24×（－2）＝254， 即△BEF 面积的最大值为254cm 2. 8、（2019•朝阳）如图，四边形ABCD 是正方形，连接AC ，将△ABC 绕点A 逆时针旋转α得△AEF ，连接CF ，O 为CF 的中点，连接OE ，OD ．（1）如图1，当α＝45°时，请直接写出OE 与OD 的关系（不用证明）． （2）如图2，当45°＜α＜90°时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）当α＝360°时，若AB ＝4，请直接写出点O 经过的路径长．解：（1）OE ＝OD ，OE ⊥OD ；理由如下： 由旋转的性质得：AF ＝AC ，∠AFE ＝∠ACB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ACB ＝∠ACD ＝∠FAC ＝45°，∴∠ACF ＝∠AFC ＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠DCF ═∠EFC ＝22.5°，∵∠FEC ＝90°，O 为CF 的中点，∴OE ＝CF ＝OC ＝OF ，同理：OD ＝CF ，∴∠EOC＝2∠EFO＝45°，∠DOF＝2∠DCO＝45°，∴∠DOE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴OE⊥OD；（2）当45°＜α＜90°时，（1）中的结论成立，理由如下：延长EO到点M，使OM＝EO，连接DM、CM、DE，如图2所示：∵O为CF的中点，∴OC＝OF，在△COM和△FOE中，，∴△COM≌△FOE（SAS），∴∠MCF＝∠EFC，CM＝EF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠BAC＝∠BCA＝45°，∵△ABC绕点A逆时针旋转α得△AEF，∴AB＝AE＝EF＝CD，AC＝AF，∴CD＝CM，∠ACF＝∠AFC，∵∠ACF＝∠ACD+∠FCD，∠AFC＝∠AFE+∠CFE，∠ACD＝∠AFE＝45°，∴∠FCD＝∠CFE＝∠MCF，∵∠EAC+∠DAE＝45°，∠FAD+∠DAE＝45°，∴∠EAC＝∠FAD，在△ACF中，∵∠ACF+∠AFC+∠CAF＝180°，∴∠DAE+2∠FAD+∠DCM+90°＝180°，∵∠FAD+∠DAE＝45°，∴∠FAD+∠DCM＝45°，在△ADE和△CDM中，，∴△ADE≌△CDM（SAS），∴DE＝DM，∵OE＝OM，∴OE⊥OD，在△COM和△COD中，，∴△COM≌△COD（SAS），∴OM＝OD，∴OE＝OD，∴OE＝OD，OE⊥OD；（3）连接AO，如图3所示：∵AC＝AF，CO＝OF，∴AO⊥CF，∴∠AOC＝90°，∴点O在以AC为直径的圆上运动，∵α＝360°，∴点O经过的路径长等于以AC为直径的圆的周长，∵AC＝AB＝×4＝8，∴点O经过的路径长为：πd＝8π．9、（2019•湘潭）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，AD＝5，CD＝5，点M是线段AC 上一动点（不与点A重合），连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点N，连接BN．（1）求∠CAD的大小；（2）问题探究：动点M在运动的过程中，①是否能使△AMN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由．②∠MBN的大小是否改变？若不改变，请求出∠MBN的大小；若改变，请说明理由．（3）问题解决：如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段FH的长度．解：（1）如图一（1）中，∴∠ADC＝90°，∵tan∠DAC＝＝＝，∴∠DAC＝30°．（2）①如图一（1）中，当AN＝NM时，∵∠BAN＝∠BMN＝90°，BN＝BN，AN＝NM，∴Rt△BNA≌Rt△BNM（HL），∴BA＝BM，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝∠DAC＝30°，AB＝CD＝5，∴AC＝2AB＝10，∵∠BAM＝60°，BA＝BM，∴△ABM是等边三角形，∴AM＝AB＝5，∴CM＝AC﹣AM＝5．如图一（2）中，当AN＝AM时，易证∠AMN＝∠ANM＝15°，∵∠BMN＝90°，∴∠CMB＝75°，∵∠MCB＝30°，∴∠CBM＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴CM＝CB＝5，综上所述，满足条件的CM的值为5或5．②结论：∠MBN＝30°大小不变．理由：如图一（1）中，∵∠BAN+∠BMN＝180°，∴A，B，M，N四点共圆，∴∠MBN＝∠MAN＝30°．如图一（2）中，∵∠BMN＝∠BAN＝90°，∴A，N，B，M四点共圆，∴∠MBN+∠MAN＝180°，∵∠DAC+∠MAN＝180°，∴∠MBN＝∠DAC＝30°，综上所述，∠MBN＝30°．（3）如图二中，∵AM＝MC，∴BM＝AM＝CM，∴AC＝2AB，∴△ABM是等边三角形，∴∠BAM＝∠BMA＝60°，∵∠BAN＝∠BMN＝90°，∴∠NAM＝∠NMA＝30°，∴NA＝NM，∵BA＝BM，∴BN垂直平分线段AM，∴FM＝，∴NM＝＝，∵∠NFM＝90°，NH＝HM，∴FH＝MN＝．10、（2019•贵阳）（1）数学理解：如图①，△ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系；（2）问题解决：如图②，在任意直角△ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若AB＝BE+AF，求∠ADB的度数；（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，求MN，AM，BN的数量关系．解：数学理解：（1）AB＝（AF+BE）理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形∵四边形DECF是正方形∴DE＝DF＝CE＝CF，∠DFC＝∠DEC＝90°∴∠A＝∠ADF＝45°∴AF＝DF＝CE∴AF+BE＝BC＝AC∴AB＝（AF+BE）问题解决：（2）如图，延长AC，使FM＝BE，连接DM，∵四边形DECF是正方形∴DF＝DE，∠DFC＝∠DEC＝90°∵BE＝FM，∠DFC＝∠DEB＝90°，DF＝ED∴△DFM≌△DEB（SAS）∴DM＝DB∵AB＝AF+BE，AM＝AF+FM，FM＝BE，∴AM＝AB，且DM＝DB，AD＝AD∴△ADM≌△ADB（SSS）∴∠DAC＝∠DAB＝∠CAB同理可得：∠ABD＝∠CBD＝∠ABC∴∠CAB+∠CBA＝90°∴∠DAB+∠ABD＝（∠CAB+∠CBA）＝45°∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠ABD）＝135°联系拓广：（3）∵四边形DECF是正方形∴DE∥AC，DF∥BC∴∠CAD＝∠ADM，∠CBD＝∠NDB，∠MDN＝∠AFD＝90°∵∠DAC＝∠DAB，∠ABD＝∠CBD∴∠DAB＝∠ADM，∠NDB＝∠ABD∴AM＝MD，DN＝NB在Rt△DMN中，MN2＝MD2+DN2，∴MN2＝AM2+NB2，11、（2019•通辽）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．①如图2，求证：BE⊥DQ；②如图3，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．解析：（1）证明：∵∠BCD＝90°，∠PCQ＝90°，∴∠BCP＝∠DCQ，在△BCP和△DCQ中，，∴△BCP≌△DCQ（SAS）；（2）①如图b，∵△BCP≌△DCQ，∴∠CBF＝∠EDF，又∠BFC＝∠DFE，∴∠DEF＝∠BCF＝90°，∴BE⊥DQ；②∵△BCP为等边三角形，∴∠BCP＝60°，∴∠PCD＝30°，又CP＝CD，∴∠CPD＝∠CDP＝75°，又∠BPC＝60°，∠CDQ＝60°，∴∠EPD＝180°﹣∠CPD﹣∠CPB＝180°﹣75°﹣60＝45°，同理：∠EDP＝45°，∴△DEP为等腰直角三角形．。