二面角平面角求法
(完整版)二面角求解方法
二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。
下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。
斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。
3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。
4、投影法：利用s投影面=s被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。
尤其对无棱问题5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。
分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PEAC=AB ，PB=PC ∴AE ⊥ BC ，PE ⊥BC∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6PCBAE∴PEA ∠=900∴二面角P-BC-A 的平面角为900。
例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。
[思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。
解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC由三垂线定理知BF ⊥PC∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE=23,EF=42∴tan BFE ∠=6=EFBE∴BFE ∠=arctan 6解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FMAB=AC,PB=PC ∴AE ⊥BC,PE ⊥BC∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC∴平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE由三垂线定理知AM ⊥PCPC BAEF MEPCBAF图1图2∴FMA ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.=PE AE AP∴sin FMA ∠=742=AM AF ∴FMA ∠=argsin742解3：（投影法）过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC∴PEC ∆是PBC ∆在平面PAC 上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141=∆PEC S ,47=∆PBC S由射影面积公式得，77cosarg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=22,PB=PC=2 ∴BE=PC S PBC 21∆=414,CE=42,DE=42由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =77cos arg ,77=∴θ [点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。
求二面角平面角的方法
求二面角平面角的方法
一、二面角平面角的定义
二面角平面角即指由两条平面线段组成的角度，它是由两个平面相交产生的，其值可能为0°（重合）到180°（平行）之间，也就是直角，钝角和锐角。
二、二面角平面角的测量
1.如果要测量二面角平面角，首先要把两条平面线段放到同一个水平面上，这样就可以做出一个直角。
2.然后，由一条水平平面线段和一条垂直平面线段组成的绝对角度，可以用一个水平尺来量出。
3.如果把水平尺顺时针或逆时针移动一定的角度，可以测量出另一条平面线段与水平尺之间的夹角。
4.接下来，可以用一个尺角尺来测量夹角，尺角尺可以用来测量任何角度，用它可以很容易的找到两条平面线段形成的二面角的值。
5.最后，可以用仪器仪表如三角尺等来测量二面角。
在使用三角尺测量夹角时，要尽可能把测量装置稳定地放在水平面上，这样就可以得出准确的结果。
三、二面角平面角的用途
二面角平面角经常用于机械工程设计、建筑学、运算几何以及工业自动化等方面。
其中机械工程设计和建筑学中，常用二面角的测量来进行机械零件和建筑物的强度设计，用于确定链接、螺栓和连接体形等的角度等。
求二面角的平面角的常见解法
四、射影面积法
例4 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD， PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小.
解 如图， ∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， ∴PA⊥AD， 又AD⊥AB， 且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴AD⊥平面PAB，又BC∥AD， ∴BC⊥平面PAB. ∴△PCD在平面PBA上的射影为△PAB， 设平面PBA与平面PCD所成二面角为θ，
∴AE＝ 22＋42－2×2×4×21＝2 3.
又BE∥l，l⊥平面ACE， ∴BE⊥AE，
∴sin∠ABE＝AAEB＝2103＝
3 5.
反思 感悟
利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面 内作棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题 时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角.
∴AF＝CF＝ 2，AE＝1，
∴sin∠AFE＝AAEF＝
1＝ 2
22，
∴∠AFE＝45°. ∴二面角α－l－β的平面角为45°.
反思 感悟
如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂 直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用三 垂线定理可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二 面角的平面角.
三、垂面法
例3 如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直 平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角 E－BD－C的大小.
解 ∵SB＝BC且E是SC的中点， ∴BE是等腰三角形SBC底边SC的中线，∴SC⊥BE. 又SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE， ∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD. 又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC， ∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA⊂平面SAC， ∴BD⊥平面SAC. ∵平面SAC∩平面BDE＝DE， 平面SAC∩平面BDC＝DC， ∴BD⊥DE，BD⊥DC，
二面角8种求法
二面角求法正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角大小方法的典型几何体。
笔者通过探求正方体中有关二面角，分析求二面角大小的八种方法：（1）平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。
一、平面角定义法此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。
以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角，如图二面角α-l-β中，在棱l上取一点O，分别在α、β两个平面内作AO⊥l，BO⊥l，∠AOB即是所求二面角的平面角。
例题1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O、O1是上下底面正方形的中心，求二面角O1-BC-O的大小。
例题2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F为A1D1、C1D1的中点，求平面EFCA与底面ABCD所成的二面角。
二、 利用三垂线定理法此方法是在二面角的一个平面内过一点作另一个面的垂线，再由垂足（或仍是该点）作棱的垂线，连接该点和棱上的垂足（或连两垂足）两点线，即可得二面角的平面角。
如图二面角α-l-β中，在平面α内取一点A ，过A 作AB ⊥平面β，B 是垂足， 由B （或A ）作BO （或AO ）⊥l ，连接AO （或BO ）即得AO 是平面β的斜线， BO 是AO 在平面β中的射影，根据三垂线定理（或逆定理）即得AO ⊥l ，BO ⊥l ， 即∠AOB 是α-l-β的平面角。
例题3：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-AC-B 1的大小。
例题4：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。
三、 线面垂直法此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的性质来寻求二面角的平面角。
完整版)找二面角的平面角的方法汇总
完整版)找二面角的平面角的方法汇总二面角是高中立体几何中的重要内容，但很多学生在解决二面角问题时往往无从下手，因为他们没有掌握寻找二面角的平面角的方法。
本文将介绍六种寻找二面角平面角的方法。
一、根据平面角的定义找出二面角的平面角。
例如，在60度的二面角α-a-β的两个面内，有点A和B，已知A和B到棱的距离分别为2和4，线段AB为10，求直线AB与棱a所构成的角的正弦值以及直线AB与平面α所构成的角的正弦值。
为解决这道题，需要先找到二面角的平面角，即找到60度角所在的位置。
根据题意，在平面β内作AD垂直于a，在平面α内作BE垂直于α，CD平行于EB，然后连接BC、AC。
可以证明CD垂直于a，因此根据二面角平面角的定义，∠ADC为二面角α-a-β的平面角。
二、根据三垂线定理找出二面角的平面角。
例如，在平面β内有一条直线AC与平面α成30度，AC与棱BD成45度，求平面α与平面β的二面角的大小。
为了寻找二面角的平面角，可以通过点A作AF垂直于BD，AE垂直于平面α，并连接FE。
根据三垂线定理，可以证明BD垂直于EF，因此∠AFE 为二面角的平面角。
需要注意的是，寻找二面角平面角时需要注意“作”、“连”、“证”的顺序。
三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角。
例如，在图1中，已知P为α-CD-β内的一点，PA垂直于α于点A，PB垂直于β于点B，如果∠APB=n度，则需要求二面角α-CD-β的平面角。
由PA垂直于α和PB垂直于β可得CD垂直于平面PAB。
因此，只需要画出平面PAB与平面α、β的交线即可。
可以证明∠AEB为α-CD-β的平面角，且∠AEB=180-n度（如图2）。
需要注意的是，如果通过点A作AE垂直于CD，垂足为E，并连接EB，则还需要证明EB垂直于CD，以及AEBP为平面图形。
由于篇幅限制，本文只介绍了三种寻找二面角平面角的方法，其他三种方法包括作二面角棱的垂线，作二面角的高线，以及利用向量的方法。
二面角的平面角的求法
★二面角的平面角的求法：⒈定义法：在二面角的棱上找一点（特殊点），在两个半平面内分别作垂直与棱的射线。
如图，在二面角βα--a 的棱a 上任取一点O ，在平面α内过点O 作a OA ⊥，在平面β内过点O 作a BO ⊥，则AOB ∠为二面角βα--a 的平面角。
⒉垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角。
如图，已知二面角-αβ-l ，过棱上一点O 作一平面γ，使l γ⊥，.,OB OA =⋂=⋂βγβγOB l OA l OB OA ⊥⊥⊆⊆,,,γγ ∴ AOB ∠为二面角βα--l 的平面角。
⒊垂线法：※ 该法也就是利用三垂线定理或逆定理来寻找二面角的平面角，是最常用的一种方法。
由一个半平面内异与棱上的点A 向另一个半平面作垂线，垂足为B ，由点B 向二面角的棱作垂线，垂足为O ，连结AO ，则AOB ∠为二面角的平面角。
如图，已知二面角βα--l ，自平面α内一点A 作AB β⊥于B ，由点B 作BO l ⊥于O ，连结AOAO 为平面β的斜线，BO 为AO 在平面β内的射影∴ AO ,l ⊥∴ AOB ∠为二面角l -α-β的平面角。
⒋射影法： 被投影面投影面S S =θcos⒌向量法：（1）⑴AB,CD 分别是二面角βα--l 的两个面内与棱AC 垂直的异面直线，则二面角的大小为CD AB .[（2）平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，<n 1，n 2>＝θ，则二面角α－l －β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|. ★★利用二面角的两个面的法向量求解※ 法向量的夹角与二面角的大小相等或互补①当法向量21n n 与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量夹角②当法向量1n 与2n 方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量夹角的补角，1．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．1202.如图，四棱锥S -ABCD 的底面是边长为1的正方形，SD ⊥底面ABCD ，SB ＝3，求平面ASD 与平面BSC 所成二面角的大小．3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．(1)证明：PC⊥平面BEF.(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小．4.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF⊥平面A1ED；(3)求二面角A1-ED-F的正弦值．5.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为22a，D是棱A1C1的中点．(1)求证：BC1∥平面AB1D；(2)求二面角A1－AB1－D的大小；6．(12分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1＝a.(1)求a的值；(2)求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小．7.．如图，已知正方形ABCD 和梯形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝22，CF ∥AF ，AC ⊥CE ，ME →＝2FM →，(1)求证：CM ∥平面BDF ；(2)求异面直线CM 与FD 所成角的余弦值的大小；(3)求二面角A －DF －B 的大小．8. (2010·湖北)如图所示，在四面体A －BOC 中，OC ⊥OA ，OC⊥OB ，∠AOB ＝120°，且OA ＝OB ＝OC ＝1.(1)设P 为AC 的中点，证明：在AB 上存在一点Q ，使PQ ⊥OA ，并计算AB AQ的值； (2)求二面角O -AC -B 的平面角的余弦值．9．(14分)已知四棱锥S -ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的任意一点．(1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)当SA AB的值为多少时，二面角B -SC -D 的大小为120°.。
解二面角问题三种方法(习题及答案)
C A B DA A 1B DC C 1 B 1 解二面角问题（一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。
下面举几个例子来说明。
例1：如图，立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形，画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数。
例2：在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余弦值。
这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来的：1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，找出二面角B －AC －B 1的平面角并求出它的度数。
2、．边长为a 的菱形ABCD ，∠ACB=600，现沿对角线BD 将其折成才600的二面角，则A 、C 之间的距离为 。
（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角）3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4，过BC 的一个平面与AA 1交于D ，若AD =3，求二面角D ―BC ―A 的正切值。
总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。
并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。
在常见的几何体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。
至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求解。
由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角形的知识去求解。
（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。
求二面角平面角的方法
OABOABl寻找二面角的平面角的方法二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法．我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型． 1.1 二面角的相关概念新教材]1[在二面角中给出的定义如下：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.定义只给出二面角的定性描述，关于二面角的定量刻画还必须放到二面角的平面角中去研究.教材如下给出了二面角的平面角的概念：二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.2. 二面角的求解方法对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角形的边角问题加以解决.定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍：一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角 二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角 三、“算”：计算出该平面角 由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介绍.2.1 定位二面角的平面角，求解二面角二面角常见题型中根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角.对于前者的二面角的定位通常采用找点、连线或平移等手段来定位出二面角的平面角；而对于无棱二面角我们还必须通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其有“无棱”而“现棱”再进一步定位二面角的平面角.一、根据平面角的定义找出二面角的平面角 例1 在60的二面角βα--a 的两个面内，分别有A 和B 两点．已知A 和B 到棱的距离分别为2和4，且线段10=AB ，试求：（1）直线AB 与棱a 所构成的角的正弦值； （2）直线AB 与平面α所构成的角的正弦值．分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出60角在哪儿．如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半．根据题意，在平面β内作a AD ⊥；在平面α内作α⊥BE ，EBCD //，连结BC 、AC ．可以证明a CD ⊥，则由二面角的平面角的定义，可知ADC ∠为二面角βα--a 的平面角．以下求解略．例1 正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的大小为.αβ图1例2(2006年XX 试题)如图2(1)，在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 上的点，满足AE ： EB=CF ：FA=CP ：BP=1：2.如图2(2)，将△AEF 折起 到△A1EF 的位置，使二面角A1-EF-B 成直二面角，连 接A1B 、A1P.(Ⅰ)与(Ⅱ)略；(Ⅲ)求二面角B-A1P-F 的余弦值 tan ∠COC 1=2分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP 的中点Q ，连接EQ ，则在正三角形ABC 中，很容易证得△BEQ ≌△PEQ ≌△PEF ≌△AEF ，那么在图2(2)中，有A 1Q=A 1F.作FM ⊥A 1P 于M ，连接QH 、QF ，则易得△A 1QP ≌△A 1FP ，△QMP ≌△FMP ，所以∠PMQ=∠PMF=90o ，∠QMF 为二面角B-A 1P-F 的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3，依次可求得A 1P=5，QM=FM=552，在△QMF 中，由余弦定理得cos ∠QMF=87-。
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二面角
二面角的平面角
求二面角的平面角方法
小
①点P在棱上 —定义法 ②点P在一个半平面上 —三垂线法
结
③点P在二面角内 —垂面法 ④射影法
பைடு நூலகம்
ι
二面角
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教学目的： 1. 掌握二面角 的概念。 2.掌握二面角的一般作法。 3.熟练掌握二面角的求解方法。 4.能在复杂图形中找到二面角。 5.提高空间想象能力和综合解题 能力
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二面角的定义
从空间一直线出发的
两个半平面所组成的
图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱，
每个半平面叫做二面角的
⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个 顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这 个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计 算简便，所以我们常用此法。
⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这 一点不好选择，所以此法一般不用。
⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。
C Mα
在β内作OD⊥AB交PN于D，
APO
B
连CD，可得
∠COD是二面角α-AB-β的平面角 设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º
D Nβ
∴CO=a， DO=a， PC
又∵∠MPN=60º
a ， P2D
a 2 C
∴CD=PC a 2
∴∠COD=90º 因此，二面角的度数为90º
P aO
△AB1E在底面A1B1C1D1上的射影为△A1B1C1，故这两个 平面所成二面角的余弦值为
S A1B1C1
S AB1E
2 3
M
D1
C1
A1
B1
E
D A
C B
二面角的求法总结
⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个 顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。 此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是 我们首选的方法。
解：过PA、PB的平面PAB与
棱ι 交于O点 ∵PA⊥α ∴PA⊥ι ∵PB⊥β ∴PB⊥ι
βB
ιO
P Aα
∴ι⊥平面PAB
∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角
又∵PA=5，PB=8，AB=7 由余弦定理得 cosP 1
2
∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º
∴这二面角的度数为120º
变式：P为1200的二面角 a 内一点, P到和的距离均为10,
2 2
E
O
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面积法
B
A C
O
β
常见的图形
讲解例题
α
三 角 形 ABC 在 平 面 N 内 的 射 影 为 BCO 三 角 形 ABC 的 面 积 为S，三角形BCO的 面积为S射 cos = S 射
S
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例4、如图，设E为正方体的边CC1的中点，求平面 AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。
定义法 点P在棱上
α
常见的图形 ι β
A
p
B
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例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别
在 α 、 β 内 引 射 线 PM 、 PN ， 且 ∠ MPN=60º
∠BPM=∠BPN=45º ，求此二面角的度数。
解：在PB上取不同于P 的一点O，
在α内过O作OC⊥AB交PM于C，
P
∵O为 AC 中点， ∠ABC=90º
∴OE∥BC且 OE OE⊥AB ，因此
BC12 PE⊥AB
E
A
B
∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角
在Rt△PBE中，BE ，12 PB=1，PE
3 2
在Rt△POE中， OE ，22PO ∴ tan PEO 2
1 2
O
C P
2
∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为
α
面
ι
β
记作 l
二面角的平面角
二面角的平面角的定义
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角
A
二面角的平面角的三个特征:
l
O
B
1.点在棱上
2.边在面内
3.边与棱垂直
二面角的平面角范围：00 1800
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讲解例题
已知三棱锥D ABC的三个侧面与底面全等，
且AB AC 3，BC 2，求二面角D BC A的
大小. 90°
D
C A
O
B
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垂面法 点P在二面角内
β
B
O
ι
讲解例题
常见的图形
p
α
A
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例2．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5， PB=8，AB=7，求这二面角的度数。
α
β
p
A
B
pβ
α
B
A
ι
β
B
p
O
α
ι
A
求P到棱a的距离.
P
M ON
a
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三垂线法
点P在一个半平面上
β p
α
B
A
ι
讲解例题
常见的图形
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例3．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是
底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二
面角P-A2B-C的正切值。
解：取AB 的中点为E，连PE，OE