立体几何中的折叠问题(微专题)
微专题16 立体几何中的折叠、探究问题
1
真题演练 感悟高考
索引
1.(2019·全国Ⅲ卷)图①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面 图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与 BF重合，连接DG，如图②. (1)证明：图②中的A，C，G，D四点共面，且平 面ABC⊥平面BCGE； 证明 由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG， 所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面. 由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，BE，BC⊂平面BCGE， 所以AB⊥平面BCGE. 又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
索引
(2)若直线 AC 与平面 ABFE 所成角的正切值为 36，求平面 CEB 与平面 EBF 夹
角的余弦值. 解 如图过点 C 作 CG⊥EF，交 EF 于点 G，连接 AG，
因为平面ABFE⊥平面 EFCD，且平面ABFE∩平面EFCD＝EF，
所以CG⊥平面ABFE， 故直线AC与平面ABFE所成的角为∠CAG， 设DE＝h，则在Rt△CAG中 ，CG＝DE＝h， AG＝ EG2＋EA2＝ h2＋4， 所以 tan∠CAG＝CAGG＝ hh2＋4＝ 36， 解得 h＝2 2，
索引
考向1 折叠后的位置关系及空间角 例1 (2022·重庆诊断)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，
AB⊥AD，AB＝2CD＝4，E，F分别为AD，BC的中 点，沿EF将四边形EFCD折起，使得DE⊥BF(如图2). (1)求证：平面ABFE⊥平面EFCD； 证明 由题设条件，得EF∥AB∥CD，AB⊥AD，则DE⊥EF， 又DE⊥BF且BF∩EF＝F，BF，EF⊂平面ABFE， 则DE⊥平面ABFE， 又DE⊂平面EFCD， 故平面ABFE⊥平面EFCD.
立体几何中“折叠问题”解题策略(含详细解析)
立体几何中“折叠问题”的解题策略[例题]如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥BC，BD∥DC，点E是BC边的中点，将∥ABD沿BD折起，使平面ABD∥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．(1)求证：AB∥平面ADC；(2)若AD＝1，二面角CABD的平面角的正切值为6，求二面角BADE的余弦值.[解](1)证明：因为平面ABD∥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BD∥DC，DC∥平面BCD，所以DC∥平面ABD.因为AB∥平面ABD，所以DC∥AB.又因为折叠前后均有AD∥AB，DC∩AD＝D，所以AB∥平面ADC.(2)由(1)知AB∥平面ADC，所以二面角CABD的平面角为∥CAD.又DC∥平面ABD，AD∥平面ABD，所以DC∥AD.依题意tan∥CAD ＝CDAD ＝ 6. 因为AD ＝1，所以CD ＝ 6. 设AB ＝x (x ＞0)，则BD ＝x 2＋1. 依题意∥ABD ∥∥DCB ，所以AB AD ＝CDBD ， 即x 1＝6x 2＋1，解得x ＝2，故AB ＝2，BD ＝3，BC ＝BD 2＋CD 2＝3.以D 为坐标原点，射线DB ，DC 分别为x 轴，y 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则D (0,0,0), B (3,0,0), C (0,6，0), E (23,26,0）, A (33,0,36）， 所以DE ―→＝(23,26,0），DA ―→＝(33,0,36）.由(1)知平面BAD 的一个法向量n ＝(0,1,0)． 设平面ADE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧m·DE ―→＝0，m·DA ―→＝0，得⎩⎨⎧32x ＋62y ＝0，33x ＋63z ＝0.令x ＝6，得y ＝－3，z ＝－3，所以m ＝(6，－3，－3)为平面ADE 的一个法向量． 所以cos<n ，m>＝n ·m |n |·|m |＝－12.由图可知二面角B AD E 的平面角为锐角， 所以二面角B AD E 的余弦值为12. 解题策略：1.确定翻折前后变与不变的关系画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决.2.确定翻折后关键点的位置所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算.变式练习：1．如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∥BAD ＝90°， AB ＝23，BC ＝4，AD ＝6，E 是AD 上的点，AE ＝13AD ， P 为BE 的中点，将∥ABE 沿BE 折起到∥A 1BE 的位置， 使得A 1C ＝4，如图2.(1)求证：平面A1CP∥平面A1BE；(2)求二面角BA1PD的余弦值．解：(1)证明：如图3，连接AP，PC.∥在四边形ABCD中，AD∥BC，∥BAD＝90°，AB＝23，BC＝4，AD＝6，E是AD上的点，AE＝13AD，P为BE的中点，∥BE＝4，∥ABE＝30°，∥EBC＝60°，BP＝2，∥PC＝23，∥BP2＋PC2＝BC2，∥BP∥PC.∥A1P＝AP＝2，A1C＝4，∥A1P2＋PC2＝A1C2，∥PC∥A1P.∥BP∩A1P＝P，∥PC∥平面A1BE.∥PC∥平面A1CP，∥平面A1CP∥平面A1BE.(2)如图4，以P 为坐标原点，PB 所在直线为x 轴，PC 所在直线为y 轴，过P 作平面BCDE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A 1(－1,0,3)，P (0,0,0)，D (－4,23,0)， ∥P A 1―→＝(－1,0,3)， PD ―→＝(－4,23,0)， 设平面A 1PD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m·P A 1―→＝0，m·PD ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3z ＝0，－4x ＋23y ＝0，取x ＝3,得m ＝(3,2,1)．易知平面A 1PB 的一个法向量n ＝(0,1,0)， 则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝22. 由图可知二面角B A 1P D 是钝角， ∥二面角B A 1P D 的余弦值为－22.2．如图1，在高为2的梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝5，过A ，B 分别作AE ∥CD ，BF ∥CD ，垂足分别为E ，F .已知DE ＝1，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF ，如图2.(1)若AF ∥BD ，证明：DE ∥BE ；(2)若DE ∥CF ，CD ＝3，在线段AB 上是否存在点P ，使得CP 与平面ACD 所成角的正弦值为3535？并说明理由．解：(1)证明：由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2， ∥AF ∥BE .∥AF ∥BD ，BE ∩BD ＝B ，∥AF ∥平面BDE . 又DE ∥平面BDE ，∥AF ∥DE .∥AE ∥DE ，AE ∩AF ＝A ，∥DE ∥平面ABFE . 又BE ∥平面ABFE ，∥DE ∥BE .(2)当P 为AB 的中点时满足条件．理由如下： ∥AE ∥DE ，AE ∥EF ，DE ∩EF ＝E ，∥AE ∥平面DEFC . 如图，过E 作EG ∥EF 交DC 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA ―→，EF ―→，EG ―→分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,1，3)，D (0,21-，23)， AC ―→＝(－2,1，3)，AD ―→＝(－2,21-，23).设平面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n ·AC ―→＝0，n ·AD ―→＝0，即⎩⎨⎧－2x ＋y ＋3z ＝0，－2x －12y ＋32z ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，－1，3)．设AP ―→＝λPB ―→，则P (2,λλ+12,0)，λ∥(0，＋∞)，可得CP ―→＝(2,λλ+-11,－3).设CP 与平面ACD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos<CP ，n>|＝52)11(7111⨯+-++---λλλλ＝3535，解得λ＝1或λ＝－25(舍去)，∥P 为AB 的中点时，满足条件．。
向量法求立体几何中的折叠探索及最值问题 高三数学一轮复习
巩固训练2 [2024·河南郑州模拟]在底面ABCD为梯形的多面体中．AB∥CD，
BC⊥CD，AB＝2CD＝2 2，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四边 形BDEN为矩形．
(1)求证：BD⊥AE； (2)线段EN上是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？ 若不存在，请说明理由．若存在，确定点Q的位置并加以证明．
(1)求证：OP⊥平面ABED；
(2)求二面角B-PE-F的正弦值．
题型二 探索性问题
例2 [2024·河北石家庄模拟]如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为
矩形且垂直于侧面SAB，O为AB的中点，SA＝SB＝AB＝2，AD＝ 2.
(1)证明：BD⊥平面SOC；
(2)侧棱SD上是否存在点E，使得平面ABE与平面SCD夹角的余弦值
为1，若存在，求SE的值；若不存在，说明理由．
5
SD
题后师说
(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当 作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”转化为“点的坐标的 方程是否有解，是否有规定范围内的解”等．
(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知条件 和结论列出等式，解出参数．
高考大题研究课七 向量法求立体几何中的折叠、探索及最值问题
会用向量法解决立体几何中的折叠、角的存在条件及最值问题，提 高学生空间想象能力、数学运算能力．
关键能力·题型剖析 题型一 折叠问题 例1 [2024·江西景德镇模拟]如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC ＝CD＝12AD＝2，现以AC为折痕把△ABC折起，使点B到达点P的位置，且 PA⊥CD.
题型三 最值问题
例3 [2020·新高考Ⅰ卷]如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形， PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
微专题6 方法技巧 巧用勾股定理解决折叠问题课件 2024-2025学年 华东师大版数学八年级上册
长为CD+AD+AC=BC+AC=7+5=12(cm).
7.(2024·汉中期末)在数学实验课上,李静同学剪了两张直角三角形纸片,进行了如
图的操作:
操作一:如图1,将Rt△ABC纸片沿某条直线折叠,使斜边两个端点A与B重合,折痕为
AD上的点E处,折痕的一端点G在边BC上.
(2)如图(2),当折痕的另一端F在AD边上且BG=10时,
①求证:EF=EG.
②求HF的长.
【解析】(2)①∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的点E处,
∴∠BGF=∠EGF,
∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC,
∴∠BGF=∠EFG,
∴∠EGF=∠EFG,
∴EF=EG;
DE.
36°
(2)如果∠CAD∶∠BAD=1∶2,可得∠B的度数为____;
操作二:如图2,李静拿出另一张Rt△ABC纸片,将直角边AC沿直线CD折叠,使点A与
点E重合,若AB=10 cm,BC=8 cm,请求出BE的长.
【解析】(2)设∠CAD=x,则∠BAD=2x.
由翻折的性质可知:∠BAD=∠CBA=2x,
②∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的点E处,
∴EG=BG=10,HE=AB=8,FH=AF,
∴EF=EG=10,
在Rt△EFH中,FH= − = − =6.
本课结束
类型一 三角形的折叠问题
1.(2024·天津模拟)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=9,将△ABC折叠,使点C与
AB的中点D重合,折痕交AC于点M,交BC于点N,则线段BN的长为
高中数学立体几何折叠问题大题精选
立体几何折叠问题大题精选1．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝8，BC＝6，AB＝2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF平面EFDC．（Ⅰ）当，是否在折叠后的AD上存在一点，且，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）设BE＝x，问当x为何值时，三棱锥A CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．2．如图1，A，D分别是矩形A1BCD1上的点，AB＝2AA1＝2AD＝2，DC＝2DD1，把四边形A1ADD1沿AD折叠，使其与平面ABCD垂直，如图2所示，连接A1B，D1C得几何体ABA1DCD1.(1)当点E在棱AB上移动时，证明：D1E⊥A1D；(2)在棱AB上是否存在点E，使二面角D1ECD的平面角为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．3．如图，已知四棱锥S－A BCD是由直角梯形沿着CD折叠而成,其中SD≥DA≥AB≥BC≥l，AS∥BC，A⊥AD，且二面角S－CD－A的大小为120o．（Ⅰ）求证：平面ASD⊥平面ABCD；（Ⅱ）设侧棱SC和底面ABCD所成角为，求的正弦值．4．如图1所示，在边长为24的正方形中，点在边上，且，，作分别交于点，作分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱.（1）求证：平面；（2）求多面体的体积.5．如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，，作//，分别交，于点，，作//，分别交，于点，，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱．（1）求证：平面；（2）若点E为四边形BCQP内一动点,且二面角E-AP-Q的余弦值为,求|BE|的最小值.6．已知平面五边形关于直线对称（如图（1）），，，将此图形沿折叠成直二面角，连接、得到几何体（如图（2））（1）证明：平面；（2）求平面与平面的所成角的正切值.7．已知中，角，，所对的边分别为，，，若，．（1）判断的形状；（2）在的边，上分别取，两点，使沿线段折叠三角形时，顶点正好落在边上的点处，设，当最小时，求的值．8．如图1，四边形中，，，将四边形沿着折叠，得到图2所示的三棱锥，其中．（1）证明：平面平面；（2）若为中点，求二面角的余弦值．9．如图，是等边三角形，，，将沿折叠到的位置，使得．(1)求证：；(2)若，分别是,的中点，求二面角的余弦值．10．一张半径为4的圆形纸片的圆心为，是圆内一个定点，且，是圆上一个动点，把纸片折叠使得与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与半径的交点为，当在圆上运动时，则点的轨迹为曲线，以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图.（1）求曲线的方程；（2）曲线与轴的交点为，（在左侧），与轴不重合的动直线过点且与交于、两点（其中在轴上方），设直线、交于点，求证：动点恒在定直线上，并求的方程.11．图甲是一个几何体的表面展开图，图乙是棱长为的正方体。
折叠几何综合专题---16道题目(含答案)
01如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝25，求BE的长．(1)证明：由折叠性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，∠EFA ＝∠DFA ，EG ＝GD ，∵EG ∥DC ，∴∠DFA ＝∠EGF ，∴∠EFA ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形；(2)解：EG 2＝12GF ·AF .理由如下： 如解图，连接ED ，交AF 于点H ，∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝12DE ， ∵∠FEH ＝90°－∠EFA ＝∠FAE ，∠FHE ＝∠AEF ＝90°，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF AF ＝FH EF，即EF 2＝FH ·AF ， 又∵FH ＝12GF ，EG ＝EF ，∴EG 2＝12GF ·AF ； (3)解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2＝12AF ·GF ，∴(25)2＝12(6＋GF )·GF ， 解得GF ＝4或GF ＝－10(舍)，∴GF ＝4，∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8，∵∠CDE＋∠DFA＝90°，∠DAF＋∠DFA＝90°，∴∠CDE＝∠DAF，∵∠DCE＝∠ADF＝90°，∴Rt△DCE∽Rt△ADF，∴ECDF＝DEAF，即EC25＝810，∴EC＝855，∴BE＝BC－EC＝1255.02如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F，若DE＝4，BD＝8.(1)求证：AF＝EF；(2)求证：BF平分∠ABD.证明：(1)在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，∵△BED是△BCD对折得到的，∴ED＝CD，∠E＝∠C，∴ED＝AB，∠E＝∠A，(2分)又∵∠AFB＝∠EFD，∴△ABF≌△EDF(AAS)，∴AF＝EF；(4分)(2)在Rt△BCD中，∵DC＝DE＝4，BD＝8，∴sin∠CBD＝DCBD＝12，∴∠CBD＝30°，(5分)∴∠EBD＝∠CBD＝30°，∴∠ABF＝90°－30°×2＝30°，(7分)∴∠ABF＝∠EBD，∴BF平分∠ABD.(8分)03把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG。
微专题四 勾股定理与折叠问题
△ABC折叠,使点A与BC的中点D重合,折痕为MN,则BN的长是(
A.4
B.3
C.6
D.5
)
3.(2022济宁)如图所示,在三角形纸片ABC中
,∠BAC=90°,AB=2,AC=3.沿过点A的直线将纸片折叠,使点B落在边
A
BC上的点D处;再折叠纸片,使点C与点D重合,若折痕与AC的交点为E,
则AE的长是(
A.
B.
)
C.
D.
四边形折叠与勾股定理
4.(2024莱州期中)如图所示,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=4 cm,
AD=2 cm,BC=CD,E是AB上的一点.如果沿CE折叠,使B,D两点重合,
那
△AED的面积为
cm
2
.
么
5.如图所示,在长方形ABCD中,AB=4,BC=5,F为CD上一点,将长方形
2
2
2
在 Rt△EFC 中,CF +CE#43;2 =(4-x) ,解得 x= ,
所以 CF= ,所以△CFE 的面积 S= CE·CF= ×2× = .
6.如图所示,在长方形ABCD中,P为边AD上一点,沿直线BP将△ABP翻
折至△EBP(点A的对应点为点E),PE与CD相交于点O,且OE=OD,BE与
微专题四 勾股定理与折叠问题
三角形折叠与勾股定理
1.如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,将△ABC折叠,使点B
恰好落在边AC上的点B′处,AE为折痕,则EC长为(
(完整版)立体几何中的折叠问题
立体几何中的折叠问题1.概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题.2.折叠问题分析求解原则：(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变。
（最值问题）1、把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为_______.（两点间距离，全品83页）2、把长宽分别为2的长方形ABCD 沿对角线AC 折成60o 的二面角，求顶点B 和D 的距离。
3、（全品70页）给出一边长为2的正三角形纸片，把它折成一个侧棱长与底面边长都相等的三棱锥，并使它的全面积与原三角形面积相等，设计一种折叠方法，并用虚线标在图中，并求该三棱锥的体积。
4、（2005江西文）矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B —AC —D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为 （ ） A ．π12125B ．π9125C ．π6125D ．π3125A BCEMN解决折叠问题的关键是弄清折叠前后哪些量没有变化，折叠后位置关系怎样变化，通过空间想象折叠成的几何体的形状来分析已知和待求，是培养空间想象能力的很好的题型。
高考题中的折叠问题1、在正方形SG 1G 2G 3中E 、F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点,D 是EF 的中点,现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体,使G 1、G2、G 3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S —EFG 中必有(A)SG ⊥△EFG 所在平面 (B)SD ⊥△EFG 所在平面 (C)GF ⊥△SEF 所在平面 (D)GD ⊥△SEF 所在平面 2、如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点， G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点.将△ABC 沿DE ， EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．0°3、（2005浙江理科）12．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如下图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_____．4、（2006山东）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB =60°,E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P －DCE 三棱锥的外接球的体积为(A)2734π (B)26π (C)86π (D)246π5、（2009浙江）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．6．（2010上海）在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O,剪去AOB V ,将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A 、（B ）、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为 。
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（ 12 浙江）10．已知矩形 ABCD，AB＝ 1，BC＝ 2 ．将 ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折着过程中， A．存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B．存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C．存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D．对任意位置，三直线“ AC 与 BD” ， “ AB 与 CD” ， “ AD 与 BC”均不垂直
（05
浙江） 设 M、 N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点， DE⊥AB 于 E(如
图 )．现将△ADE 沿 DE 折起，使二面角 A－ DE－B 为 45° ，此时点 A 在平面 BCDE 内的射影恰为点 B，则 M、 N 的连线与 AE 所成角的 大小等于_________．
D
C
N
M
A
E
B
（09 浙江） 17．如图，在长方形 ABCD 中，AB 2 ，BC 1 ，E 为 DC 的 中点， F 为线段 EC （端点除外）上一动点．现将 AFD 沿 AF 折起， 使平面 ABD 平面 ABC ．在平面 ABD 内过点 D 作 DK AB ， K 为垂 足．设 AK t ，则 t 的取值范围是 ．
立体几何中的翻折问题
灵溪二高：刘勇
把一个平面图形按某种要求折起，转化 为空间图形，进而研究图形在位置关系和数 量关系上的变化，这就是翻折问题。
图形的翻折问题在历年高考中时常出现， 浙江省近几年就出现了四次，因为它是一个由直 观到抽象的过程，所以每次的出现的题号都偏后， 同学们的答题情况也不太理想。
A D
A
D B
B
C
C
2014温一模（16题）
如图，矩形 ABCD 中，E 为边 AB 的中点，将△ADE 沿直线 DE 翻 转成△A1DE．若 M 为线段 A1C 的中点，则在△ADE 翻转过程 中，正确的命题是 ． ① |BM|是定值； ② 点 M 在圆上运动； ③ 一定存在某个位置，使 DE⊥A1C； ④ 一定存在某个位置，使 MB∥平面 A1DE．
（1）AD与BC所成的角固定吗？
D
它们会垂直吗？
（2）AC与BD所成的角固定吗？
A
M
C
（3）AD与面BDM所成的角固定吗？(M为AC中点） （4）二面角A-DB-C固定吗？ 你能不用求解看出它的范围吗？ 考向二：通过翻折得到一个不确定的几何体， 研究其点线面的位置关系 策略：明确不变量、紧抓关键量
B
课本中翻折：
如图：边长为2的正方形ABCD中， （1）点E、F分别是边BC和CD的中点，将△ABE， △AFD分别沿AE，AF折起，使两点重合于P点， 求证：AP⊥EF 1 （2）当CE=CF= 4 BC时，求三棱锥P-AEF的体积； A P(B,D)
F
E C
链接高考：
（ 12 浙江第 10 题）已知矩形 ABCD， AB＝ 1， BC＝ 2 ．将 ABD 沿矩形的对 角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折着过程中， A．存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B．存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C．存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D．对任意位置，三直线“ AC 与 BD” ， “ AB 与 CD” ， “ AD 与 BC”均不垂直
典型例题
如图：边长为2的正方形ABCD中，将 △ACD沿对角线AC折起，连接BD，得 到一个新的三棱锥D-ABC 尝试作图
在翻折的过程中，三棱锥与原来的正方形对比，哪些量没有变化？哪些量发生 了变化？（长度、角度、图形）
D C
D
A
为 2 的正方形 ABCD 中，将△ACD沿对角线AC折起，连 接BD，得到一个新的三棱锥DABC，当三棱锥的体积最大时。
问题1、求AC与BD所成的角？ 问题2、AD与BC会垂直吗？ 问题3、角DAB固定吗？ 它的范围为？ 问题4、AD与平面ABC所成的线面角固定吗？
A C D
它有最大值吗？
M
问题 5 、 AD 与面 BDM 所成的角固定吗？ (M 为 AC 中 点）
问题6、二面角D-AC-B固定吗？范围为？
B
问题7、二面角A-DB-C的范围能求吗？
（1）求AD与BC所成的角 （2）求AD与面DBC所成角的正弦值 （3）求二面角D-AB-C的正切值
D
A
C
考向一：通过翻折得到一个确定的几何体， 研究其点线面的位置关系。 策略：建系、模型、传统方法
B
变式、 如图：边长为 2 的正方形 ABCD 中，将△ ACD 沿 对角线 AC 折起，连接 BD ，得到一个新的三棱锥 DABC，（平面DAC与平面BAC不重叠）
（ 10 浙江）如图， 在矩形 ABCD 中，点 E， F 分别在线段 AB， AD 上，
，沿直线 EF 将△ AEF 翻 折成△ A′ EF，使平面 A′ EF⊥平面 BEF。 （Ⅰ）求二面角 的余弦值；
（Ⅱ）点 M， N 分别在线段 FD，BC 上，若沿 直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折， 使 C与 重合，求线段 FM 的长。
【总结规律】
求解翻折问题的基本方法：
(1)根据题中条件画出立体图形 (2)比较翻折前后的图形，弄清哪些量和位置关 系在翻折过程中不变，哪些已发生变化. (3)将不变的条件集中到几何体图形中，将问题 归结为一个条件与结论明朗化的立几问题。
链接高考：
（09 浙江） 17．如图，在长方形 ABCD 中，AB 2 ，BC 1 ，E 为 DC 的 中点， F 为线段 EC （端点除外）上一动点．现将 AFD 沿 AF 折起， 使平面 ABD 平面 ABC ．在平面 ABD 内过点 D 作 DK AB ， K 为垂 足．设 AK t ，则 t 的取值范围是 ．